Energetyczne metody wyznaczania przemieszczeń 

 
 

 
1.  Obliczyć ugięcie pod siłą P dla konstrukcji jak na 

rysunku 1 wg twierdzenia Castigliana. 

 

Dane:   P=10  kN,    E=2*10

5

  MPa,    a=2  m,   



=45

o

 

A=2 cm

2

, (A - przekrój prętów) 

 
 

P 

a

 

a

 



 



 

A

 

B

 

Rys.1 

 

 
2.  Wyznaczyć kąt obrotu punktu C  dla belki jak na 

rysunku 2; 

a)  z twierdzenia Castigliana 
b)  z twierdzenia Maxwella-Mohra 
c)  metodą Wereszczagina 

Dane: EJ, l, P 

 

 

 
 

P

 

l

 

l/2 

A

 

B

 

C 

2EJ 

EJ 

Rys.2 

 

3.  Korzystając z twierdzenia Castigliana wyznaczyć 

dla ramy jak na rysunku 3 kąt obrotu punktu C. 

 

Dane: a, EJ, M 
 

 
 
 
 
 
 

a

 

a

 

A

 

B

 

M 

C

 

EJ =const. 

Rys.3 

 

4.  Dla  statycznie  niewyznaczalnej  belki  jak  na 

rysunku  4  wyznaczyć  wykresy  momentów 
gnących  i  sił  poprzecznych  wykorzystując 
twierdzenie Menabrei.  
Dane: EJ, l, P 

P 

l

 

l/2 

A

 

B

 

EJ =const. 

Rys.4 

 

5.  Wykorzystując  metodę  Maxwella-Mohra  obli-

czyć  pionowe  przemieszczenie  końca  pręta  o 
stałej  średnicy  pokazanego  na  rysunku  5, 
traktując jako dane: średnicę d, długości a i l, siłę 
P, moduł Younga E, oraz moduł Kirchoffa G. 

 

Rys.5 

 

6.  Dla  pręta  jak  na  rysunku  6,  o  kształcie  połowy 

okręgu,  wyznaczyć  poziome  i  pionowe 
przemieszczenie punktu C oraz kąt obrotu w tym 
punkcie metodą Maxwella-Mohra. 
Dane: P, r, EJ=const 

 

 

 
 
 
 
 

r

 

P 

A

 

B

 

C

 

Rys.6