Notatki do wykładu

Krzywe eliptyczne

Instytut Matematyki

Uniwersytetu Jagiellońskiego

Semestr letni 2006

Sławomir Cynk

e-mail: [e-mail]

ROZDZIAŁ I

Funkcje eliptyczne

Długość łuku elipsy

x

2

a

2

+

y

2

b

2

= 1 (a ­ b ­ 0) jest dana wzorem 4aE

q

1 − (

b

a

)

2



, gdzie

E(k) =

Z

1

0

q

(1 − x

2

)(1 − k

2

x

2

)dx

jest całką eliptyczną II rodzaju. Podobnie całka eliptyczna I rodzaju to

K(k) =

Z

1

0

dx

q

(1 − x

2

)(1 − k

2

x

2

)

.

Liouville udowodnił, że całki te są (dla k 6= ±1) nieelementarne. Dowolną całke eliptycz-
ną postaci

R

R(x,

q

P (x))dx (gdzie R jest funkcja wymierną dwóch zmiennych, natomiast

P (x) jest wielomianem stopnia 3,4 bez pierwiastków podwójnych) można wyrazić przy po-

mocy całek eliptycznych I, II lub III rodzaju. Całki eliptyczne można również sprowadzić

do przypadku P (x) = x(x − 1)(x − λ) (λ 6= 0, 1). Jeżeli liczby x

1

, x

2

, x

3

, x

4

są pierwiastkami

wielomianu stopnia cztery, to istnieje homografia, które przeprowadza te liczby w 0, 1, λ, ∞,
przy pomocy tej homografii dokonujemy stosownego podstawienia w całce.

Całkę postaci

R

R(x,

q

P (x))dx (gdzie R jest funkcja wymierną dwóch zmiennych, nato-

miast P (x) jest wielomianem stopnia 2 bez pierwiastków podwójnych) możemy sprowadzić

do całki funkcji wymiernej przy pomocy podstawień Eulera, geometrycznie podstawienia Eu-

lera sprowadzają się do wymiernej parametryzacji stożkowej y

2

= P (x). Przykładem takiej

parametryzacji jest rzut stereograficzny z punktu na stożkowej (wskazannie punktu na stoż-

kowej jest równoważne ze wskazaniem parametryzacji stożkowej). Jeżeli P (x) = ax

2

+ bx + c,

to mamy trzy (częsciowo pokrywające się) przypadki

(I) a > 0, wybieramy punkt w neskończoności zadany przez kierunek asymptoty, wtedy

zamiast rzutu stereograficznego mamy rzut równoległy

(II) ∆ > 0, wtedy wybieramy punkt x

0

, 0, gdzie P (x

0

) = 0

(III) c > 0, wybrany punkt to (0,

√

c).

Propozycja I.1. Krzywa y

2

= x(x − 1)(x − λ) (λ 6= 0, 1) nie posiada parametryzacji

wymiernej, tzn. jeżeli f, g ∈ C(t) takie, że f

2

= g(g − 1)(g − λ), to f, g = const.

1

2

S. Cynk

Dowód. Niech f =

r
s

, g =

p
q

, (p, q) = (r, s) = 1. Wtedy r

2

q

3

= s

2

p

3

(p − q)(p − λq),

a więc s

2

|q

3

i q

3

|s

2

, czyli s

2

= aq

3

, dla pewnego a ∈ k, i w konsekwencji aq = (

s
q

)

2

jest

kwadratem w K[t]. Również r

2

= apq(p − q)(p − λq). Istnieją więc stałe b, c, d ∈ K takie, że

bp, c(p − q), d(p − λq) są kwadratami w K[t]. Teza propozycji wynika więc z następującego
Lematu

Lemat I.2. Niech ¯

k

ciało algebraicznie domknięte,p, q ∈ ¯

k

[t]. Jeżeli cztery rózne kom-

binacje liniowe (λp + µq) (tzn. dla czterech różnych (λ : µ) ∈ P

1

) są kwadratami w ¯

k

[t], to

p, q ∈ ¯

k

.

Dowód Lematu. Możemy przyjąć, że p, q, p − q, p − λq są kwadratami w ¯

k

[t]. Wtedy

p = u

2

, q = v

2

, u, v ∈ ¯

k

[t], (u, v) = 1, max(deg u, deg v) < max(deg p, deg q). Przyjmując, że

p, q są najmniejszego stopnia. Ponieważ p − q = (u − v)(u + v), p − λq = (u − µv)(u + µv),
gdzie µ

2

= λ. A zatem u − v, u + v, u − µv, u + µv są kwadratami w ¯

k

[t], wbrew minimalności

stopni dla p i q.





Zamiast rozpatrywać całkę rzeczywistą, rozpatrujemy całkę zespoloną, wtedy załeży ona

od wyboru krzywej, a dokładniej tego, jak krzywa ”obiega” pierwiastki wielomianu P (x).
Wykres funkcji

q

P (x) powstaje przez sklejenie dwóch sfer Riemanna wzdłuż dwóch odcin-

ków, a więc jest torusem. Całka jest określona z dokładnością do Zω

1

+ Zω

2

, gdzie ω

1

i

ω

2

są całkami dwóch po pętlach. Zamiast rozpatrywać funkcję wieloznaczną rozpatrujemy

odwrotną do niej funkcję dwuokresową

Definicja I.1. Kratą w C nazywamy dowolną podgrupę dyskretna rzędu 2.
Funkcją eliptyczną względem kraty Λ nazywamy funkcję meromorficzną f ∈ M(C) taką,

że f (z + ω) = f (z), dla ω ∈ Λ.

Ciało funkcji eliptycznych względem kraty Λ oznaczamy przez C(Λ).

Uwaga. Dowolna krata w C jest postaci Zω

1

+Zω

2

dla pewnych ω

1

, ω

2

∈ C

∗

, Im(

ω

1

ω

2

) 6= 0.

Definicja I.2. Podstawowym równoległobokiem kraty Λ nazywamy dowolny zbiór postaci

D := {a + t

1

ω

1

+ t

2

ω

2

: 0 ¬ t

1

, t

2

< 1}, gdzie a ∈ C, ω

1

, ω

2

stanowią bazę Λ.

Zatem C/Λ powstaje ze sklejenia przeciwległych boków równoległoboku, a więc jest to-

rusem. Stosując zasadę maximum otrzymujemy następującą propozycję

Propozycja I.3. Funkcja eliptyczna bez biegunów jest stała.

Twierdzenie I.4. Niech f ∈ C(Λ). Wtedy

Rozdział I. Funkcje eliptyczne

3

(a)

P

ω∈C/Λ

res

w

f = 0,

(b)

P

ω∈C/Λ

ord

w

f = 0,

(c)

P

ω∈C/Λ

(ord

w

f )w ∈ Λ.

Symbol

P

ω∈C/Λ

oznacza, że sumujemy po dowolnym równoległoboku podstawowym. W

(a) i (b) suma nie zależy od wyboru równoległoboku, natomiast w (c) różni się tylko o
element kraty.

Dowód. Wybieramy podstawowy równoległobok D taki, że f nie ma biegunów ani zer

na ∂D.

(a) Na mocy twierdzenia o residuach

X

ω∈C/Λ

res

w

f =

1

2πi

Z

∂D

f (z)dz,

ale całki po przeciwległych bokach znoszą sie z okresowości funkcji f .

(b) Podobnie z twierdzenia o residuach pochodnej logarytmicznej

X

ω∈C/Λ

ord

w

f =

1

2πi

Z

∂D

f

′

(z)

f (z)

dz.

(c) Również z twierdzenia o residuach pochodnej logarytmicznej

X

ω∈C/Λ

(ord

w

f )w =

1

2πi

Z

∂D

f

′

(z)

f (z)

zdz.



Definicja I.3. Rzędem funkcji eliptycznej nazywamy liczbę biegunów (zer) w dowolnym

podstawowym równoległoboku.

Propozycja I.5. Funkcji eliptyczna różna od stałej ma rząd równy co najmniej 2.

Dowód. Gdyby funkcja miała rząd równy 1, to miałaby jedyny (modulo krata) biegun

rzędu 1 o residuum równym zera, sprzeczość.



Definicja I.4. Niech Λ będzie kratą. Funkcja ℘ Weierstrassa (względem Λ) jest zdefi-

niowana przy pomocy szeregu

℘(z, Λ) :=

1

z

2

+

X

ω∈Λ

ω6=0

1

(z − ω)

2

−

1

ω

2

!

.

Szeregiem Eisensteina wagi 2k (względem Λ) nazywamy szereg

G

2k

(Λ) :=

X

ω∈Λ

ω6=0

1

ω

2k

.

4

S. Cynk

Zamiast

P

ω∈Λ

ω6=0

będziemy pisać

P

ω∈Λ

′

.

Twierdzenie I.6. Niech Λ bedzie dowolną kratą.

(a) Szereg Eisensteina G

2k

(Λ) jest bezwzględnie zbieżny dla k > 1.

(b) Szereg definiujący funkcję ℘ jest absolutnie i niemal jednostajnie zbieżny w C \ Λ.

Definiuje on funkcję mającą biegun podójny o residuum równym zero w każdym

punkcie kraty Λ.

(c) Funkcja ℘ jest parzystą funkcją eliptyczną rzędu dwa.

Dowód. (a) i (b) wynikają z prostych (ale długich) oszacowań.

(c) Oczywiście ℘(z) = ℘(−z). Możemy policzyć pochodną funkcji ℘ różniczkując wyraz

za wyrazem.

℘

′

(z) = −2

X

ω∈Λ

1

(z − ω)63

.

Stąd natychmiast wynika, że ℘

′

jest funkcją eliptyczną, a więc

℘(z + ω) = ℘(z) + c(ω), dla z ∈ C \ Λ,

gdzie c(ω) nie zależy od z. Przyjmując z = −

ω

2

otrzymujemy

℘(

ω

2

) = P (−

ω

2

) + cω,

więc c(ω) = 0, co kończy dowód.



Twierdzenie I.7. Jeśli Λ jest kratą, to

C

(Λ) = C(℘, ℘

′

).

Dowód. Niech f (z) ∈ C(Λ). Ponieważ f(z) =

1
2

(f (z)+f (−z))+

℘

′

(z)

2

(f (z)−f(−z))

1

℘

′

(z)

,

więc bez straty ogólności możemy przyjąć, że f jest parzystą funkcją eliptyczną. Wtedy

ord

w

f = ord

=w

f dla dowolnego w ∈ C oraz ord

w

f jest parzysty dla 2w ∈ Λ.

Mamy więc

f (z) = c℘(z)

−

m

Q

i

(℘(z) − ℘(a

i

)

Q

i

(℘(z) − ℘(b

i

)

,

gdzie 2m jest krotnościa zera w ω ∈ Λ, {a

i

, ω−a

i

} są zerami, natomiast {b

i

, ω−b

i

} biegunami

f w C/Λ.



Twierdzenie I.8.

(a) Szereg Laurenta funkcji ℘ w sąsiedztwie 0 ma postać

℘(z) =

1

z

2

+

∞

X

k=1

(2k + 1)G

2k+2

z

2k

.

Rozdział I. Funkcje eliptyczne

5

(b) Dla z ∈ C \ Λ

(℘

′

(z))

2

= 4(℘(z))

3

− 60G

4

℘(z) − 140G

6

.

Dowód. (a) Dla |z| < |ω| mamy

1

(z − ω)

2

−

1

ω

2

=

1

ω

2

1

(1 − z/ω)

2

− 1

!

=

∞

X

n=1

(n + 1)

z

n

ω

n+2

.

Wstawiając do szeregu,zmieniając kolejność sumowania (i pomijając wyrazy nieparzyste)

otrzymujemy tezę.

(b) Z punktu (a) otrzymujemy łatwo

(℘

′

(z))

2

= 4z

−

6

− 24G

4

z

−

2

− 80G

6

+ . . .

(℘(z))

3

= z

−

6

+ 9G

4

z

−

2

+ 15G

6

+ . . .

℘(z)

= z

−

2

+ 3G

4

z

2

+ . . .

więc funkcja

f (z) = (℘

′

(z))

2

− 4(℘(z))

3

+ 60G

4

℘(z) + 140G

6

jest funkcją eliptyczną, holomorficzną, znikającą w 0, czyli f = 0.



Uwaga. Oznaczamy g

2

= 60G

4

, g

3

= 140G

6

.

Propozycja I.9.

(a) Wielomian f (x) = 4x

3

− g

2

x − g

3

ma trzy różne pierwiastki.

Wyróżnik ∆(Λ) = g

3

2

− 27g

2

3

6= 0.

(b) Odwzorowanie

C

/Λ ∋ z 7−→ (℘(z), ℘

′

(z))

jest izomorfizmem na krzywą y

2

= 4x

3

− g

2

x − g

3

w P

2

(C).

Dowód. (a) Niech ω

1

, ω

2

baza Λ, ω

3

= ω

1

+ ω

2

. Wtedy f znika w

ω

i

2

. Ale ℘(ω

i

/2)

jest jedynym zerem (podwójnym) funkcji ℘(z) − ℘(ω

i

/2). Zatem ℘(ω

i

/2) są trzema różnymi

piewiastkami f .

(b) Suriektywność: niech (x, y) należy od krzywej trzeciego stopnia. Wtedy ℘(z) − x jest

funkcją eliptyczną różną od stałej, więc, ma zero a. Wtedy ℘

′

(a) = ±y, czyli (x, y) jest

obrazem a lub −a.

Iniektywność, przypuśćmy, że Φ(z

1

) = Φ(z

2

). Wtedy funkcja eliptyczna rzędu 2 ℘(z) −

℘(z

1

) ma pierwiastki z

1

, −z

1

, z

2

. Jeśli 2z

1

6∈ Λ to z

2

= ±z

1

, tera

℘

′

z

1

= ℘

′

(z

2

) = ℘

′

(±z

1

) = ±℘

′

(z

1

)

implikuje, że z

1

= z

2

. Jeśli 2z

1

∈ Λ, to ℘(z) − ℘(z

1

) mapodwójny pierwiastek w z

1

i znika w

z

2

, więc z

1

= z

2

.



6

S. Cynk

Ustlamy a, b ∈ C, wtedy funkcja ℘

′

− a℘ − b ma biegun krotności 3 w ω ∈ Λ, a więc na

mocy Tw. I.4(c) ma trzy (na ogół różne pierwiastki) z

i

, z

2

, z

3

∈ C/Λ takie, że z

1

+z

2

+z

3

= 0.

Te trzy punkty przechodzą w trzy punkty będące przecięciem kubiki z prostą. Mamy

℘

′

(z) = a℘(z) + b, czyli równanie 4x

3

− (ax + b)

2

− g

2

x − g

3

= 0 ma trzy pierwiastki i ze

wzorów Vietty

P

1

(z) + P

2

(z) + P

3

(z) =

a

2

4

.

Ponadto

a =

℘

′

z

1

− ℘

′

(z

2

)

℘(z

1

) − ℘(z

2

)

.

Ale ponieważ ℘ jest funkcją parzystą więc ℘(z

3

) = ℘(z

1

) + ℘(z

2

), otrzymaliśmy więc nastę-

pujący

Wniosek I.10.

℘(z

1

+ z

2

) = −℘(z

1

) − ℘(z

2

) +

1
4

℘

′

z

1

− ℘

′

(z

2

)

℘(z

1

) − ℘(z

2

)

!

2

℘(2z) = −2℘(z) +

1
4

℘

′′

(z)

℘

′

(z)

!

2

Definicja I.5.

Uwaga. Mamy

G

k

(cΛ) =

1

c

2k

G

k

(Λ)

℘(cz, cΛ) =

1

c

2

(℘(x, Λ))

℘

′

(cz, cΛ) =

1

c

3

(℘

′

(x, Λ))

A więc

E

cΛ

= {(x, y) ∈ C : y

2

= 4x

3

−

g

2

c

4

x −

g

3

c

6

}.

Twierdzenie I.11. Dla dowolnych krat Λ

1

, Λ

2

astępujące odwzorowanie jest bijekcją

{α ∈ C : αΛ

1

⊂ Λ

2

} −−−−−−−−→

(

odwzorowania holomorficzne

Φ : C/Λ

1

→ C/Λ

2

t, że Φ(0) = 0

)

α 7−→ Φ

α

(Φ

α

(z) = αz

mod Λ

2

)

Twierdzenie I.12. Jeżeli g

2

, g

3

∈ C takie, że g

3

2

− 27g

2

3

6= 0 to istnieje jedyna krata

Λ ∈ C taka, że

g

2

= g

2

(Λ), g

3

= g

3

(Λ).

Rozdział I. Funkcje eliptyczne

7

Jeżeli

E : y

2

= 4x

3

− g

2

x − g

3

jest powierzchnią Riemanna to

dx

y

jest nigdzie nieznikającą 4–formą i

Λ = {

Z

γ

dx

y

: γ ∈ H

1

(X, Z)}.

Każda krata jest izomorficzna z kratą postaci Λ

τ

= Z ⊕ Zτ, Im τ > 0. Kraty Λ

τ

i Λ

τ

′

są

izomorficzne gdy istnieje

a b

c d

!

∈ SL

2

(Z) taka, że

aτ + b
cτ + d

= τ

′

. A zatem zbiór krzywych

izomorficznych (z dokładnością do izomorfizmu) jest izomorficzny z H SL

2

(Z).

ROZDZIAŁ II

Dodawanie na krzywej płaskiej stopnia

3

Niech dana będzie krzywa E stopnia 3 na płaszczyżnie rzutowej P(k), ustalmy punkt

O ∈ E(k). Dla dowolnego punktu P ∈ E(k) oznaczmy przez ¯

P trzeci punkt przeciecia

prostej OP (jeśli P = O, to prosta OP oznacza styczną do E w punkcie o) z krzywą E, ze
wzorów Vietty wynika, że ¯

P ∈ E(k). Dla dowolnych punktów P, Q ∈ E(k) oznaczamy przez

S(P, Q) oznaczmy trzeci punkt przecięcia prostej P Q (jeśli P = Q to prostej stycznej do E
w P ) z krzywą E.

Twierdzenie II.1. Krzywa E z działaniem

E × E ∋ (P, Q) 7→ S(P, Q) ∈ E

jest grupą abelową.

Szkic dowodu: Zdefiniowane działanie jest oczywiście przemienne, punkt O jest ele-

mentem neutralnym. Dla dowolnego elementu P element przeciwny jest równy S(p, ¯

O).

Pozostaje wię wykazać łączność, w przypadku “generycznym” (gdy wszystkie występu-

jące punkty są różne) rozpatrujemy proste

l

1

= ABR

l

2

= RO ¯

R

l

3

= ¯

RCS

m

1

= BCQ m

2

= QO ¯

Q m

3

= A ¯

QS

′

(oznaczenia jak na rysunku).

A

B

L1

R

L2

O

S

L3

L4

C

¯

R

¯

S

8

Rozdział II. Dodawanie na krzywej płaskiej stopnia 3

9

Chcemy pokazać, że ¯

S = ¯

S

′

lub równoważnie, że S = S

′

. Wynika to z tw. Cayley–Bacharacha,

mówiącego, że jesli krzywe stopnia 3 C

1

i C

2

przecinają się w w dziewięciu różnych punktach

P

1

, . . . , P

9

to dowolna kubika C zawierająca punkty P

1

, . . . , P

8

przechodsi również przez

punkt P

9

. Tw. to stosujemy do C

1

= l

1

+ m

2

+ l

3

, C

2

= m

1

+ l

2

+ m

3

oraz C = E. Ponieważ

E zawiera osiem punktów przecięcia D

1

∩ D

2

(A, B, C, O, Q, ¯

Q, R, ¯

R) więc zawiera dziewiąty,

czyli punkt przecięcia prostych l

3

i m

3

, tzn, S = S

′

.



Jeżeli O = ¯

O (tzn. O jest punktem przegięcia krzywej E), to mamy doczynienia z tzw.

uproszczonym prawem dodawania, jeśli ponadto układ współrzędnych jest wybrany tak,
że o = [0 : 1 : 0] jest jedynym punktem krzywej E w nieskończoności, to P i ]barP są
symetryczne względem osi OX. W tym przypadku punkty przecięcia krzywej E z osią OX

są punktami2–torsyjnymi, natomiast pozostałe punkty przegięcia są punktami 3–torsyjnymi.

Ponieważ punkty przegięcia są zerami hessianu równania (jednorodnego) krzywej E więc

w ciele algebraicznie domkniętym krzywa ma 27 punktów przegięcia, niestety jeśli ciało k
nie jest algebraicznie domknięte to na ogól E nie ma punktu przegięcia.

ROZDZIAŁ III

Krzywe algebraiczne

Niech k będzie ustalonym ciałem (niekoniecznie algebraicznie domkniętym). Płaszczyzną

afiniczną nad k nazywamy zbiór A

2

(k) = k

2

.

Definicja III.1. Płaską krzywą afiniczną nad k nazywamy klasę abstrakcji wielomianu

nierozkładalnego f ∈ k[x, y] nad k w relacji f ∼

= f

′

⇔ f = λf

′

dla pewnego λ ∈ k

∗

. Zbiorem

punktów K–wymiernych krzywej C/k (K jest rozszerzeniem ciała k) nazywamy zbiór

C(K) := {(x, y) ∈ A

2

: f (x, y) = 0}.

Definicja III.2. Płaską krzywą rzutową nad k nazywamy klasę abstrakcji wielomianu

jednorodnego nierozkładalnego F ∈ k[x, y, z] nad k w relacji F ∼

= F

′

⇔ F = λF

′

dla

pewnego λ ∈ k

∗

. Zbiorem punktów K–wymiernych krzywej C/k (K jest rozszerzeniem ciała

k) nazywamy zbiór

C(K) := {(x : y : z) ∈ P

2

: F (x, y, z) = 0}.

Twierdzenie III.1 (Twierdzenie Bezoute’a). Jeżeli C i C

′

są krzywymi rzutowymi nad

k stopni d i d

′

to C i C

′

przecinają się w ¯

k

2

w dd

′

punktach (liczonych z krotnościami.)

Przykład III.2. Przecięcie z prostą i stożkową.

Definicja III.3. Piersćieniem funkcji regularnych nakrzywej C nzywamy pierścień k[C] =

k[x, y]/(f ). Ciałem funkcji funkcji wymiernych na krzywej afinicznej C nazywamy ciało k(C)

ułamków pierścienia k[C].

Definicja III.4. Ciałem funkcji funkcji wymiernych na krzywej afinicznej C nazywamy

zbiór tych elementów ciała ułamków pierścienia k[x, y, z]/F , które mają przedstawienie w

postaci

P
Q

, gdzie P, Q są wielomianami jednorodnymi tego samego stopnia.

Uwaga funkcja regularna jest funkcja na krzywej afinicznej, natomiast funkcja wymierna

jest określona w dopełnieniu zbioru skończonego.

Krzywa afiniczna (f ) ma domknięcie rzutowe (F ), gdzie F jest homogenizacją wielo-

mianu f . Krzywa rzutowa F jest uzwarceniem następujących trzech krzywych afinicznych

(“podstawowe kawałki afiniczne”) (F (x, y, 1)), (F (x, 1, y)), (F (1, x, y)).

10

Rozdział III. Krzywe algebraiczne

11

Definicja III.5. Krzywą afiniczną C = (f ) nazywamy osobliwą w punkcie P = (x, y) ∈

C(¯

k) jeżeli

∂f
∂x

(x, y) =

∂f
∂y

(x, y) = 0.

Krzywą afiniczną C = (f ) nazywamy gładką (nieosobliwą), gdy jest nieosobliwa w każ-

dym punkcie C(¯

k). Krzywą rzutową nazywamy nieosobliwą gdy jej wszystkie kawałki afi-

niczne są nieosobliwe.

Propozycja III.3. Krzywa C/k jest nieosobliwa w punkcie P , gdy ideał maksymalny

M

P

punktu P w pierścieniu lokalnym

¯

k[V ]

P

= {f/g ∈ ¯k(V ) : g(P ) 6= 0}.

jest główny. Wtedy pierścien lokalny ¯

k[V ]

P

jest pierścieniem waluacji dyskretnej z generato-

rem M

P

jako parametrem regularnymdla a ∈ ¯k. (uniformizującym).

Definicja III.6. Rozniczkowania wymierne na krzywej algebraicznej C sa to odwzoro-

wania ¯

k–liniowe δ : ¯

k(C) −→ ¯k(C) spelniajace

(1) δ(f + g) = δ(f ) + δ(g),
(2) δ(f g) = δ(f )g + f δ(g),

(3) δ(¯

k) = 0

Czyli Ω(C) jest ¯

k(C)–przestrzenią wektorową generowaną przez wyrażenia postaci dx,

dla x ∈ ¯k(C) spełniające następujące relacje

(1) d(x + y) = dx + dy,

(2) d(xy) = xdy + (dx)y,
(3) da = 0,

Jeżeli ω ∈ Ω

C

, t jest lokalnym parametrem w punkcie P , to istnieje jedyna funkcja

g ∈ ¯k(C) taka, że ω = g · dt.

Definicja III.7. Rzad rozniczkowania ω w pnukcie P jest to ( ord)

P

ω := ( ord)

P

g.

Definicja III.8. Dywizorem na krzywej C nazywamy formalna kombinację liniową D =

P

P ∈C

n

P

P o wsółczynnikach calkowitych punktów krzywej C. Stopień dywizora D definiu-

jemy następująco deg D =

P

P

n

P

.

Jeśli f ∈ ¯

K(C)

∗

to definiujemy div(f ) =

P

P

(ord

P

f )P . Podobnie jeśli ω ∈ Ω(C)

∗

to

definiujemy div(ω) =

P

P

(ord

P

ω)P .

Propozycja III.4.

(1) div(f ) = 0 ⇔ f ∈ ¯k

∗

.

(2) deg div(f ) = 0.

Dowód. Wynika z tw. Bezoute’a.



12

S. Cynk

Definicja III.9. Dywizor D nazywamy efektywnym (piszemy D ­ 0 jeżeli n

p

­ 0 dala

każdego P .

Niech L(D) := {f ∈ ¯k(C)

∗

: div(f ) ­ −D} ∪ {0} oraz l(D) = dim

¯

k

L(D).

Propozycja III.5.

(1) deg D < 0 ⇒ L(D) = (0),

(2) l(D) < ∞,
(3) Jeżeli D

′

= D + div(f ) to L(D) ∼

=

L(D

′

). W szczególności l(D) = l(D

′

).

Definicja III.10. Dywizorem kanonicznym K

C

na C nazywamy dowolny dywizor postaci

div(ω).

Twierdzenie III.6 (Riemanna–Rocha). Dla dowolnego dywizora D na krzywej C mamy

l(D) − l(K

C

− D) = deg D − g + 1

gdzie g jest genusem krzywej C.

Wniosek III.7.

(1) l(K

C

) = g,

(2) deg K

C

= 2g − 2,

(3) Jeżeli deg D > 2g − 2, to l(D) = deg D − g + 1.

ROZDZIAŁ IV

Równanie Weierstrassa

Jeśli punkt ∞ = [0 : 1 : 0] jest jedynym punktem krzywej stopnia 3 w nieskończoności

(tzn. punkt w nieskończoności jest punktem przegięciakrzywej, a prosta w nieskończoności
jest styczna do krzywej), to równanie krzywej przyjmuje postać

E :

Y

2

Z + a

1

XY Z + a

3

Y Z

2

= X

3

+ a

2

X

2

Z + a

4

XZ

2

+ a

6

Z

3

czyli w zapisie afinicznym

E :

y

2

+ a

1

xy + a

3

y = x

3

+ a

2

x

2

+ a

4

x + a

6

.

Jesli char 6= 2 to możemy po prawej stronie dopełnić do kwadratów zastępując y przez

1
2

(y − a

1

x − a

3

). Otrzymamy wtedy

E :

y

2

= 4x

3

+ b

2

x

2

+ b

4

x + b

6

,

gdzie

b

2

= a

2

1

+ 4a

2

,

b

4

= 2a

4

+ a

1

a

3

,

b

6

= a

2

3

+ 4a

6

.

Definiujemy dodatkowo

b

8

= a

2

1

a

6

+ 4a

2

a

6

− a

1

a

3

a

4

+ a

2

a

2

3

− a

2

4

,

c

4

= b

2

2

− 24b

4

,

c

6

= b

3

2

+ 36b

2

b

4

− 216b

6

,

∆ = −b

2

2

b

8

− 8b

3

4

− 27b

2

6

+ 9b

2

b

4

b

6

,

j =

c

3

4

∆

,

ω =

dx

2y + a

1

x + a

3

=

dy

3x

2

+ 2a

2

x + a

4

− a

1

y

Mamy wtedy

4b

8

= b

2

b

6

− b

2

4

oraz

1728∆ = c

3

4

− c

2

6

.

Jeśli char k 6= 2, 3 to mmożemy dalej uprościć zastepując (x, y przez

x − 3b

2

36

,

y

216

i otrzymując

E :

y

2

= x

3

− 27c

4

x − 54c

6

.

13

14

S. Cynk

Definicja IV.1. ∆ nazywamy wyróżnikiem, j nazywamy j–niezmiennikiem, a ω nie-

zmienniczą różniczka.

Uwaga. Pokażemy, że jedyne przekształcenia zachowujące postać Weierstrassa to tzw.

transformacje dopuszczalne

x = u

2

x

′

+ r, y = u

3

y

′

+ u

2

sx

′

+ t,

gdzie u, r, s, t ∈ ¯

K, u 6= 0.

Jeśli E :

y

2

= x

3

+ Ax + B, to

∆ = −16(4A

3

+ 27B

2

),

j = 1728

(4A)

3

∆

.

Jedyne transformacje dopuszczalne zachowujące tę postać to x = u

2

x

′

, y = u

3

y

′

, u ∈ ¯

K

∗

.

Wtedy u

4

A

′

= A, u

6

B

′

= B, u

12

∆

′

= ∆.

Propozycja IV.1.

(a) Krzywe zadane równaniem Weierstrassa można sklasyfiko-

wać następująco

(i) E jest nieosobliwa wtw gdy ∆ 6= 0,

(ii) E ma node’a wtw gdy ∆ = 0, c

4

6= 0,

(iii) E ma ostrze (cusp) wtw gdy ∆ = 0, c

4

= 0.

(b) Dwie krzywe w postaci Weierstrassa są izomorficzne wtw gdy mają ten sam j–

niezmiennik.

(c) Niech j

0

∈ ¯k. Wtedy istnieje krzywa eliptyczna zdefiniowana nad k(j

0

) majaca j–

niezmiennik równy j

0

.

Dowód. (a) Punkt ∞ = [0 : 1 : 0] jest zawsze nieosobliwy. Podstawienie x = x

′

+ x

0

,

y = y

′

+ y

0

pozostawia ∆ i c

4

niezmienione, a więc mozemy przjąć, że badamy punkt (0, 0).

Ponieważ a

6

= f (0, 0) = 0, a

4

=

∂f
∂x

= 0 oraz a

3

=

∂f
∂y

= 0 więc f ma postać

f (x, y) = y

2

+ a

1

xy − a

2

x

2

− x

3

= 0

która ma c

4

= (a

2

1

+ 4a

2

)

2

oraz ∆ = 0. Ponieważ wyznacznik formy kwadratowej jest rowny

c

4

otrzymujemy tezę.

Na odwrot jesli krzywa jest nieosobliwa i char k 6= 2 to możemy przyjąć równanie y

2

=

4x

2

+ b

2

x

2

+ b

4

x + b

6

, wtedy ∆ jest wyróżnikiem wielomianu.

(b) Jeśli krzywe mają równe j-niezmienniki, oraz char k 6= 2, 3, to

E : y

2

= x

3

+ Ax + B

E : y

′

2

= x

′

3

+ A

′

x

′

+ B

′

.

Wtedy

(4A)

3

4A

3

+ 27B

2

=

(4A

′

)

3

4A

′

3

+ 27B

′

2

Rozdział IV. Równanie Weierstrassa

15

a stąd A

3

B

′

2

= A

′

3

B

2

. Szukamy u takiego, że (x, y) = (u

2

x

′

, u

3

y

′

).

Przypadek 1. A = 0 (j = 0), wtedy B 6= 0, i możemy wziąć u = (

B

B

′

)

1/6

. Przypadek 2.

B = 0 (j = 1728), wtedy A 6= 0, i możemy wziąć u = (

A

A

′

)

1/4

. Przypadek 3. A 6= 0 i B 6= 0,

wtedy możemy wziąć u = (

A

A

′

)

1/4

= (

B

B

′

)

1/6

.

(c) Jeśli j

0

6= 0, 1728, to bierzemy krzywą

y

2

+ xy = x

3

−

36

j

0

− 1728

x −

1

j

0

− 1728

,

otrzymując ∆ =

j

2

0

(j

0

−

1728)

3

, j = j

0

.

E : y

2

+ y = x

3

,

∆ = −27, j = 0

E : y

2

= x

3

+ x,

∆ = −64, j = 1728.

Uwaga, jeśli char(k) = 2 ∨ 3, to 0 = 1728.



Wniosek IV.2. Jeśli E/k jest krzywą eliptyczną (char k 6= 2), to

| Aut

¯

k

(E)| =



























2,

j 6= 0, 1728,

4,

j 6= 1728, char k 6= 3,

6,

j 6= 0, char k 6= 3,

12,

j 6= 0(= 1728), char k 6= 3.

Wniosek IV.3. Jeśli ω jest niezmienniczym różniczkowaniem na krzywej eliptycznej E,

to div(ω) = 0. W szczegolnosci g(E) = 1.

Wniosek IV.4. Jeśli A, B, C ∈ E, to

A + B = C ⇔ C ∼ (A + B − O),

to znczy na E istnieje funkcja wymierna mająca pojedyncze zera w A i B oraz pojedyncze-
bieguny w C i O.

Wniosek IV.5. A + (B + C) = D ⇔ D ∼ (A + B + C − 2O) ∼ (A + B) + C = D.

Twierdzenie IV.6.

(1) Jeśli E/k jest gładką krzywą o genusie g(E) = 1, to

l(D) =



























0,

deg D < 0,

0,

deg D = 0, D 6∼ 0,

1,

D ∼ 0,

deg D,

deg D > 0.

.

(2) Jeśli deg D = 1, to istnieje jedyny punkt P ∈ E taki, że (P ) ∼ D (tzn. P =

div(f ) + D).

16

S. Cynk

(3) Jeśli O ∈ E(k), to E z działaniem

E × E ∋ (A, B) 7→ C ∈ E,

gdzie C jedyny punkt taki, że A + B − O ∼ C.

(4) Jeżeli O ∈ E(k), to istnieją funkcje x, y ∈ k(E) takie, że odwzorowanie Φ : E 7→ P

2

,

Φ = [x : y : 1] jest izomorfizmem E/k na krzywą Weierstrassa

E :

y

2

+ a

1

xy + a

3

y = x

3

+ a

2

x

2

+ a

4

x + a

6

.

Funkcje x, y nazywamy współrzędnymi Weierstrassa.

(5) Jedynymi przekształceniami zachowującymi postać Weierstrassa są transformacje

dopuszczalne x = u

2

x

′

+ r, y = u

3

y

′

+ su

2

x

′

+ t, u, r, s, t ∈ ¯k, u 6= 0.

Dowód. (d) Wiemy, że l(kO) = k, k ­ 1. Wypiszemy bazę

l(O) = k · 1,
l(2O) = k · 1 ⊕ k · x,
l(3O) = k · 1 ⊕ k · x ⊕ k · y,
l(4O) = k · 1 ⊕ k · x ⊕ k · y ⊕ k · x

2

,

l(5O) = k · 1 ⊕ k · x ⊕ k · y ⊕ k · x

2

⊕ k · xy,

l(6O) = k · 1 ⊕ k · x ⊕ k · y ⊕ k · x

2

⊕ k · xy ⊕ k · x

3

.

Ale y

2

∈ (6O), czyli y

2

jest kombinacją liniową wcześniejszych, to daje równanie Weierstrassa.

Jeśli x

′

, y

′

są innymi współrzędnymi Weierstrassa, to x

′

∈ L(2O), y

′

∈ L(3O). Czyli x

′

=

u

1

x + r, y

′

= u

2

y + s − 1x + t, podstawiając dostajemy u

2

2

= u

3

1

czyli u

1

= u

2

, u

2

= u

3

, gdzie

u =

u

2

u

1

. Poza tym porównując współczynniki przy xy mamy s

1

= us.



Rodzina Legendre’a.

Są to krzywe w postaci

y

2

= x(x − 1)(x − λ),

gdzie

j(λ) = 2

8

(λ

2

− λ + 1)

3

λ

2

(λ − 1)

2

.

Rodzina Hessa.

Są to krzywe w postaci

y

2

+ αxy + y = x

3

,

gdzie

j(α) =

α

3

(α

3

− 24)

3

α

3

− 27

, ‘

gdzie α 6= 3.

Punkt (0, 0) ma rząd 3.

Rodzina Jakobi’ego.

Są to krzywe w postaci

y

2

= (x

2

− σ

2

)(x

2

−

1

σ

2

) = (x

4

− 2ρx

2

+ 1),

gdzie ρ =

1
2

(σ

2

+

1

σ

2

).

Rozdział IV. Równanie Weierstrassa

17

Definicja IV.2. Morfizmem krzywych eliptycznych nazywamy odwzorowanie regularne

(lub równoważnie wymierne) f : E −→ F takie, że f(O

E

) = O

F

.

Propozycja IV.7. Dowolny morfizm krzywych eliptycznych jest homomorfizmem grup

abelowych.

Dowód. Niech P, Q ∈ E, Wtedy P + Q jest jedynymm punktem R ∈ E takim, że

dywizory P + Q oraz R + O

E

są liniowo równoważne. Wtedy dywizory f (P ) + f (Q) oraz

f (R) + f (O

E

) są liniowo równoważne. Ponieważ f (O

E

) = O

F

oznacza to, że f (R) = f (P ) +

f (Q).



W zbiorze endomorfizmów wprowadzamy dodawanie i mnożenie

(f + g)(P ) = f (P ) + g(P )

f · g(P ) = f(g(P )).

Niech d(f ) = [k(C) : f

∗

k(C)], Niech (x, y) będą współrzędnymi Weierstrassa, wtedy d(f ) =

[k(x) : k(f

∗

(x))] = deg(f

∗

(x)) (stopień funkcji wymiernej)

Lemat IV.8.

d(f g) = d(f )d(g)

Lemat IV.9.

d(f + g) + d(f − g) = 2d(f) + 2d(g)

Dowód. Niech (x, y) będą współrzędnymi Weierstrassa na E oraz f

∗

(x) = ξ

1

, g

∗

(x) = ξ

2

,

(f + g)

∗

(x) = ξ

3

, (f − g)

∗

(x) = ξ

4

Wtedy ξ

3

= ξ

1

+ ξ + 2, ξ

4

= ξ

1

− ξ

2

oraz

1 : ξ

3

+]xi

4

: ξ

3

ξ

4

= (ξ

1

− ξ

2

)

2

: 2(ξ

1

ξ

2

+ A)(ξ

1

+ ξ

2

) + 4B : ξ

2

1

ξ

2

2

− 2Aξ

1

ξ

2

− 4B(ξ

1

+ ξ

2

) + A

2

a stąd

deg ξ

3

+ deg ξ

4

= 2 deg ξ

1

+ 2 deg ξ

2

.



Wniosek IV.10. Istnieją r, s, t ∈ Z (zależne tylko od f i g) takie, że

d(mf + ng) = rm

2

+ smn + tn

2

dla dowolnych m, n ∈ Z.

Ponadto r ­ 0, t ­ 0, 4rt − s

2

­ 0.

Dowód. Nierówności wynikają stąd, ze d(nf + mg) ­ 0, czyli forma kwadratowa jest

dodatniopółokreślona.



18

S. Cynk

Lemat IV.11. Dowolny endomorfizm f spełnia równanie postaci

f

2

= sf + t = 0,

dla penych s, t ∈ Z.

Dowód. Niech d(nf + m) = tn

2

+ smn + m

2

, Wtedy d(f

2

− sf − l(s + l)) = d((f +

l)(f − s − l)) = d(f + l)d(f − s − l) = (l

2

+ sl + t)

2

= t

2

+ 2tl(l + s) + (l(l + s))

2

. Na mocy

poprzedniego wniosku (zastosowanego do f

2

− sf i 1) otrzymujemy d(f

2

− sf + n = (t − n)

2

,

w szczególności d(f

2

− sf + t) = 0 czyli f

2

− sf + t = 0.



Twierdzenie IV.12. Hasse-Weil Niech E będzie krzywą eliptyczną nad ciałem skończo-

nym F

q

. Wtedy liczba punktów N = #E(F

q

) spełnia nierównośc

|N − (q + 1)| ¬ 2q

1

2

.

Dowód. Jeżeli E jest zadana w postaci Weierstrassa y

2

= x

3

+ Ax + B to odwzorowanie

F : E ∋ (x, y) 7→ (x

q

, y

q

) ∈ E, jest dobrze zdefiniowanym endomorfizmem (Frobeniusa).

Sprawdzamy bezpośrednio, że d(F ) = q, więc d(F − 1) = q − s + 1, gdzi es

2

¬ 4q.

Zauważmy, że przeciwobraz zera przez odwzorowanie F −1 składa się z tych punktów (x, yE ∈
(¯

F

)

q

dla których x

q

= x, y

q

= y, czyli jest równy zbiorowi E(F

q

). Ponieważ wszystkie elementy

przeciwobrazu zera są jednokrotne, więc #E(F

q

) = d(F − 1), co kończy dowód.