Odwzorowania liniowe w przestrzeni wektorowej

Definicja 1. (odwzorowania liniowego)

1

2

,

1

2

1

( , , , ), ( , , , )

:

1

: (

)

( )

(

2

:

: (

)

( )

x x

X

K

x X

X K

Y K

f X

Y

f x

x

f x

f x

f

x

f x

α

α

α

∈

∈

∈

+ ⋅

+ ⋅

→

∀

+

=

+

∀

∀

= ⋅

- przestrzenie wektorowe

:

⇔

jest odwzorowaniem liniowym

2

)

WNIOSEK

:

Jeżeli f: jest liniowe to:

X

Y

→

1

0

2

( )

( )

( )

0

x

y

f

f

x

f

=

−

= −

x

Twierdzenie 1.

1

2

,

,

1

2

1

, , , ),( , , , )

:

:

: (

)

( )

(

x x

X

K

X K

Y K

f X

Y

f

x

x

f x

f x

α β

α

β

α

β

∈

∈

+ ⋅

+ ⋅

→

∀

∀

+

=

+

⇔

- przestrzenie wektorowe

jest liniowe

(

Z:

T:

2

)

Twierdzenie 2.

(

f X

∀

∀

f

1

2,

1

2

,

...,

, ,...,

1 1

2 2

1

1

2

2

, , , ), ( , , , )

:

:

:

(

...

)

( )

( ) ...

(

n

n

K

x x

x

X

n n

n

n

X K

Y K

Y

x

x

x

f x

f x

f x

α α

α

α

α

α

α

α

α

∈

∈

+ ⋅

+ ⋅

→

+

+ +

=

+

+ +

⇔

- przestrzenie wektorowe

f jest liniowe

)

Przykład 1.

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

( )

3

1

2

3

1

2

3

, , ,

, ,

(

2 ,

,3

3

3 )

, ,

, ,

,

f

x y z

x y

z x y z x

y

z

u

x x x

v

y y y

f

u

v

f u

f v

α β

α

β

α

β

+ ⋅

=

− +

+ +

+

+

=

=

∈

+

=

+

R

3

2

→

Niech Sprawdźmy, czy jest to odwzorowanie

liniowe

?

Czy

- przestrzeń wektorowa

, że:

taka

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 1 z 5

Część 5 –Odwzorowania liniowe

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

(

) (

)

(

)

)

(

)

(

(

)

1

2

3

1

2

3

1

1

2

2

3

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

1

2

3

, ,

, ,

,

,

2

2

,

,

3

3

3

3

3

3

2 ,

,3

3

3

2 ,

,3

3

3

, ,

f

u

v

f

x x x

y y y

f

x

y

x

y

x

y

x

x

x

y

y

y

x

x

x

y

y

y

x

x

x

y

y

y

x

x

x x

x

x

x

x

x

y

y

y y

y

y

y

y

y

f x x x

α

β

α

β

α

β α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

β

α

+

=

+

=

=

+

+

+

=

=

− +

+

−

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

− +

+

+

+

+

+

−

+

+

+

+

+

+

(

)

( )

( )

1

2

3

, ,

f y y y

f u

f v

β

α

β

=

+

)

=

Odwzorowanie f jest liniowe

Definicja 2.

(

)

f X

(

, , , ,

, , ,

:

X K

Y K

Y

+ ⋅

+ ⋅

→

jest liniowe

)

- przestrzenie wektorowe

Jądrem

odwzorowania liniowego nazywamy ogół takich wektorów z

przestrzeni X, których wartość jest wektorem zerowym przestrzeni Y

Ke

( )

{

}

r :

:

0

y

f

x

X f x

=

∈

=

0

y

Y

Ker f

X

Obrazem

odwzorowania f (przeciwdziedziną, zbiorem wartości)

nazywamy zbiór

{

}

:

:

:

( )

x X

f

y Y

y

f x

∈

=

∈

∃

=

Im

WNIOSEK

:

Im f

Y

X

Ker

{ }

{

}

1

0

( ) :

f

f

f

f x x

X

−





=





=

∈

Im

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 2 z 5

Część 5 –Odwzorowania liniowe

Twierdzenie 3.

- przestrzenie wektorowe

(

T

f

T

f

) (

)

(

)

(

)

1

2

, , , ,

, , ,

:

: Ker , , ,

: Im , , ,

X K

Y K

f X

Y

K

K

+ ⋅

+ ⋅

→

+ ⋅

+ ⋅

podprzestrzeń przestrzeni Y

podprzestrzeń przestrzeni X

i f liniowe

Twierdzenie 4.

Z:

(

X K

T:

) (

)

, , , ,

, , ,

:

dim

dim Ker

dim Im

Y K

f X

Y

X

f

+ ⋅

+ ⋅

→

=

+

jest liniowe

- przestrzenie wektorowe

f

Definicja 3.

(

) (

)

, , , ,

, , , , :

X K

Y K

f X

Y

+ ⋅

+ ⋅

→

f – liniowe

Wymiar obrazu nazywamy rzędem odwzorowania liniowego

dim Im

r

f

f

=

Definicja 4.

(

• Odwzorowanie nazywamy

monomorfizmem

, jeżeli jest liniowe i

injektywne (różnowartościowe)

) (

)

, , , ,

, , ,

:

X K

Y K

f X

Y

+ ⋅

+ ⋅

→

- przestrzenie wektorowe

• Odwzorowanie nazywamy

epimorfizmem

, jeżeli jest linowe i

surrjektywne (Im f=Y)

• Odwzorowanie nazywamy

izomorfizmem

, jeżeli jest liniowe i bijektywne

Twierdzenie 5.

Z:

(

) (

)

, , , ,

, , ,

:

X K

Y K

f X

Y

+ ⋅

+ ⋅

→

- przestrzenie wektorowe

f - liniowe

{ }

Ker

0

f

⇔

=

T:

f jest injektywne

Twierdzenie 6.

Z

X

f

dim

T

f

(

) (

)

:

, , , ,

, , ,

:

,

: dim Im

K

Y K

X

Y f

monomorfizm

X

n

n

+ ⋅

+ ⋅

→

−

=

=

- przestrzenie wektorowe

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 3 z 5

Część 5 –Odwzorowania liniowe

Definicja 5.

(

)

X

(

, , , ,

, , ,

:

:

X K

Y K

Y

f X

+ ⋅

+ ⋅

⇔ ∃

→

∼

Mówimy, że X i Y są przestrzeniami izomorficznymi

Y

i f - izomorfizm

)

- przestrzenie wektorowe

WNIOSEK:

X

Twierdzenie 7.

Z

X

T X

dim

dim

Y

X

⇒

=

∼

Y

)

im

(

) (

:

, , , ,

, , ,

:

dim

d

K

Y K

Y

X

Y

+ ⋅

+ ⋅

⇔

=

∼

- przestrzenie wektorowe

Definicja 6.

(

)

L

(

)

(

) {

, , , ,

, , ,

,

:

: :

X K

Y K

X Y

f f X

Y

+ ⋅

+ ⋅

=

→

- przestrzenie wektorowe

}

∧

f - liniowe

Twierdzenie 7.

Z

X

T

X

Gdzie - dodawanie odwzorowań

⊕

(

) (

(

)

(

:

, , , ,

, , ,

:

,

, , ,

K

Y K

Y K

+ ⋅

+ ⋅

⊕

L

)

)

- przestrzenie wektorowe

Jest przestrzenią wektorową

- mnożenie odwzorowań przez skalary z ciała K

Definicja 7.

(

f

)

, , ,

:

X K

X

X

+ ⋅

→

∧

f - liniowe

Odwzorowanie liniowe przestrzeni w samą siebie nazywamy

endomorfizmem

UWAGA

Z

X

T g

(

) (

) (

(

)

(

)

(

)

:

, , , ,

, , , ,

, , ,

,

,

:

,

K

U K

Y K

f

X U

g

U Y

f

X Y

+ ⋅

+ ⋅

+ ⋅

∈

∧ ∈

∈

L

L

L

)

- przestrzenie wektorowe

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 4 z 5

Część 5 –Odwzorowania liniowe

Definicja 8.

(

Wykład dr Magdaleny Sękowskiej

strona 5 z 5

Część 5 –Odwzorowania liniowe

(

)

, , ,

, , ,

X K

K K

+ ⋅

+ ⋅

)

Każde ciało może być traktowane jako

przestrzeń wektorowa nad samym sobą

Odwzorowanie liniowe f: X -> K nazywamy formą liniową

WNIOSEK

(

(

)

)

,

, , ,

X U K

+ ⋅

L

Zbiór form liniowych z dodawaniem i mnożeniem
odwzorowań przez skalar z ciała K jest

przestrzenią wektorową

Definicja 9.

(

(

(

)

)

)

,

, , ,

', , ,

X U K

X

X K

+ ⋅ =

+ ⋅

L

- przestrzeń

dualna

do przestrzeni X (przestrzeń form

liniowych określonych nad przestrzenią X)

'