Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 1.

Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie Pareto o gęstości

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

+

=

0

0

0

)

2

(

64

)

(

5

x

gdy

x

gdy

x

x

f

.

Niech Y będzie zmienną losową równą

⎩

⎨

⎧

>

−

≤

=

3

3

3

0

x

gdy

X

x

gdy

Y

.

Wyznaczyć

).

3

|

(

>

X

Y

Var

(A)

9

8

(B) 1

(C)

9

50

(D)

9

12

(E)

9

75

1

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 2.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie

ujemnym dwumianowym

2

1

, X

X

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

4

3

,

2

bin

(

)

K

,

2

,

1

,

0

dla

4

1

4

3

1

2

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ +

=

=

n

n

n

n

X

P

n

i

,

Wyznaczyć

)

6

|

3

(

2

1

1

=

+

=

X

X

X

P

.

(A)

21

10

(B)

21

4

(C)

2

1

(D)

21

6

(E)

21

11

2

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 3.

Zmienna losowa N ma rozkład Poissona z parametrem

0

>

λ

. Rozważamy losową

liczbę zmiennych losowych

, przy czym zmienne losowe

są niezależne wzajemnie i niezależne od zmiennej losowej N. Każda ze

zmiennych losowych

ma rozkład Weibulla o gęstości

N

X

X

X

,

,

,

2

1

K

N

X

X

X

,

,

,

2

1

K

i

X

⎩

⎨

⎧

≤

>

−

=

0

0

0

)

exp(

2

)

(

2

x

gdy

x

gdy

x

x

x

p

θ

θ

θ

,

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem. Obserwujemy tylko te spośród zmiennych

, które są większe od 10. Nie wiemy ile jest pozostałych zmiennych ani

jakie są ich wartości. Przypuśćmy, że zaobserwowaliśmy cztery wartości większe od
10 i suma ich kwadratów jest równa 1200. Na podstawie tych danych wyznaczyć
estymatory największej wiarogodności parametrów

N

X

X

X

,

,

,

2

1

K

θ

i

λ

.

(A)

i

4

ˆ

−

= e

θ

4

ˆ =

λ

(B)

300

1

ˆ =

θ

i

e

4

ˆ =

λ

(C)

300

1

ˆ =

θ

i

3

/

1

4

ˆ

e

=

λ

(D)

200

1

ˆ =

θ

i

e

4

ˆ =

λ

(E)

i

4

ˆ

−

= e

θ

e

4

ˆ =

λ

3

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 4.

W urnie znajdują się trzy kule białe i dwie czarne. Powtarzamy następujące
doświadczenie: losujemy z urny kulę, odkładamy na bok i dorzucamy do urny kulę
białą. Dopiero po trzykrotnym powtórzeniu doświadczenia w urnie nie było już kul
czarnych. Obliczyć prawdopodobieństwo, że w pierwszym doświadczeniu
wylosowano kulę czarną.

(A)

4

3

(B)

7

3

(C)

125

6

(D)

125

8

(E)

7

4

4

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 5.

Załóżmy, że

są niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie wykładniczym i

K

K

,

,

,

,

1

0

n

X

X

X

λ

1

=

i

EX

. Niech

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

>

≥

=

∑

=

k

i

i

a

X

k

N

0

:

0

min

,

gdzie

a

jest ustaloną liczbą dodatnią. Podać rozkład prawdopodobieństwa zmiennej

N.

(A)

(

)

k

a

a

a

k

N

P

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

=

=

λ

λ

λ

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

k

(B)

(

)

k

a

a

a

k

N

P

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

+

=

=

λ

λ

λ

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

k

(C)

(

)

!

1

exp

k

a

a

k

N

P

k

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛−

=

=

λ

λ

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

k

(D)

(

)

(

)( )

!

1

exp

k

a

a

k

N

P

k

λ

λ

−

=

=

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

k

(E)

(

)

!

1

exp

k

a

a

a

a

k

N

P

k

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

=

=

λ

λ

dla

K

,

2

,

1

,

0

=

k

5

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie 6.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie jednostajnym na przedziale

K

K

,

,

,

,

2

1

n

X

X

X

[ ]

θ

,

0

, gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem.

Rozważamy estymator nieobciążony parametru

θ

postaci

(

)

n

n

n

n

aX

T

X

X

X

T

:

1

2

1

,

,

,

=

=

K

,

gdzie

i a jest pewną stałą. Wtedy

{

n

n

X

X

X

X

,

,

,

min

2

1

:

1

K

=

}

(A)

(

0

lim

0

0

=

>

−

>

∀

>

∀

∞

→

ε

θ

θ

ε

θ

n

n

T

P

)

(B)

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

=

>

−

>

∀

>

∀

∞

→

θ

ε

ε

θ

θ

ε

θ

1

exp

lim

0

0

n

n

T

P

(C)

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

=

>

−

>

∀

>

∃

∞

→

θ

ε

ε

θ

θ

ε

θ

1

exp

lim

0

0

n

n

T

P

(D)

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

+

=

>

−

>

∃

>

∃

∞

→

θ

ε

θ

ε

ε

θ

θ

ε

θ

1

exp

1

exp

1

lim

0

0

n

n

T

P

(E)

(

)

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+

−

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−

+

=

>

−

>

∀

>

∀

∞

→

θ

ε

θ

ε

ε

θ

θ

ε

θ

1

exp

1

exp

1

lim

0

0

n

n

T

P

6

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

7.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu Weibulla o

gęstości

n

X

X

X

,

,

,

2

1

K

(

)

⎩

⎨

⎧

≤

>

−

=

0

0

0

exp

3

)

(

3

2

x

gdy

x

gdy

x

x

x

f

θ

θ

θ

,

gdzie

0

>

θ

jest nieznanym parametrem. Przedział ufności dla parametru

θ

w oparciu

o estymator największej wiarogodności

(

)

n

n

n

X

X

X

,

,

,

ˆ

ˆ

2

1

K

θ

θ

=

parametru

θ

otrzymujemy rozwiązując nierówność

z

n

n

≤

−

)

(

ˆ

θ

σ

θ

θ

,

gdzie )

(

θ

σ

jest wariancją asymptotyczną statystyki

(

)

n

n

n

X

X

X

,

,

,

ˆ

ˆ

2

1

K

θ

θ

=

i liczba z

spełnia

95

,

0

)

(

ˆ

lim

=

⎟

⎟
⎠

⎞

⎜

⎜
⎝

⎛

≤

−

+∞

→

z

n

P

n

n

θ

σ

θ

θ

.

Tak otrzymany przedział ma postać

(A)

(

)

(

)

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

+

∑

∑

=

=

n

i

i

n

i

i

n

X

n

n

X

n

1

3

1

3

96

,

1

,

96

,

1

(B)

(

)

(

)

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

+

∑

∑

=

=

n

i

i

n

i

i

n

X

n

n

n

X

n

n

1

3

1

3

96

,

1

,

96

,

1

(C)

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

∑

∑

=

=

n

X

n

n

X

n

n

i

i

n

i

i

96

,

1

1

,

96

,

1

1

1

3

1

3

(D)

(

) (

)

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+

+

∑

∑

=

=

96

,

1

,

96

,

1

1

3

1

3

n

n

X

n

n

X

n

i

i

n

i

i

(E)

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ −

∑

∑

=

=

n

n

X

n

n

X

n

i

i

n

i

i

96

,

1

1

,

96

,

1

1

1

3

1

3

7

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

8.

Zakładając, że zmienne losowe

są niezależne i mają rozkłady normalne

5

2

1

,

,

,

X

X

X

K

)

1

,

(

~

i

m

N

X

i

zbudowano test jednostajnie najmocniejszy dla weryfikacji hipotezy

przy alternatywie

na poziomie istotności 0,05.

0

:

0

=

m

H

0

:

1

>

m

H

W rzeczywistości okazało się, że wektor

ma rozkład normalny taki,

że

)

,

,

,

(

5

2

1

X

X

X

K

i

m

EX

i

=

,

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

=

=

−

=

0

1

1

|

|

5

,

0

)

,

(

pp

w

j

i

gdy

j

i

gdy

X

X

Cov

j

i

Wyznaczyć rzeczywisty rozmiar testu.

(A) 0,11

(B) 0,08

(C) 0,15

(D) 0,07

(E) 0,02

8

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

9.

Obserwujemy

niezależnych zmiennych losowych o tym samym

rozkładzie Pareto o gęstości

4

3

2

1

,

,

,

X

X

X

X

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

+

=

+

0

0

0

)

1

(

)

(

1

1

1

1

x

gdy

x

gdy

x

x

f

θ

θ

θ

i

niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie Pareto o

gęstości

5

2

1

.

,

,

Y

Y

Y

K

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

≤

>

+

=

+

0

0

0

)

1

(

)

(

1

2

2

2

x

gdy

x

gdy

x

x

f

θ

θ

θ

gdzie

1

θ

i

2

θ

są nieznanymi parametrami dodatnimi.

Wszystkie zmienne losowe są niezależne. Testujemy hipotezę

2

:

2

1

0

=

θ

θ

H

przy

alternatywie

2

:

2

1

1

<

θ

θ

H

za pomocą testu o obszarze krytycznym

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

<

=

t

K

2

1

ˆ

ˆ

θ

θ

gdzie

i są estymatorami największej wiarogodności odpowiednio parametrów

1

ˆ

θ

2

ˆ

θ

1

θ

i

2

θ

wyznaczonymi na podstawie prób losowych

i

.

Dobrać stałą t tak, aby otrzymać test o rozmiarze 0,05.

4

3

2

1

,

,

,

X

X

X

X

5

2

1

.

,

,

Y

Y

Y

K

(A)

1628

,

0

=

t

(B)

5358

,

1

=

t

(C)

6511

,

0

=

t

(D)

6736

,

1

=

t

(E)

3852

,

0

=

t

9

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Zadanie

10.

Niech

będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym

rozkładzie wykładniczym o wartości oczekiwanej 1. Obliczyć

n

X

X

X

X

,

,

,

,

2

1

0

K

{

}

(

)

0

1

0

|

,

,

,

min

X

X

X

X

E

n

K

(A)

(

)

(

)

(

0

0

0

exp

exp

1

1

nX

X

nX

n

−

+

−

−

)

(B)

(

)

(

)

(

0

0

0

)

1

(

exp

)

1

(

exp

1

1

1

X

n

X

X

n

n

+

−

+

+

−

−

+

)

(C)

(

)

(

)

(

0

0

0

exp

exp

1

1

nX

X

nX

n

−

−

−

−

)

(D)

(

)

(

)

0

exp

1

1

nX

n

−

−

(E)

1

1

+

n

10

Prawdopodobieństwo i statystyka

14.05.2007 r.

___________________________________________________________________________

Egzamin dla Aktuariuszy z 14 maja 2007 r.

Prawdopodobieństwo i statystyka

Arkusz odpowiedzi

*

Imię i nazwisko : ........................ K L U C Z O D P O W I E D Z I ..............................

Pesel ...........................................

Zadanie nr

Odpowiedź Punktacja

♦

1 C

2 B

3 D

4 E

5 D

6 D

7 B

8 A

9 C

10 D

*

Oceniane są wyłącznie odpowiedzi umieszczone w Arkuszu odpowiedzi.

♦

Wypełnia Komisja Egzaminacyjna.

11