3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

14.10.2000

r.

___________________________________________________________________________

1

Zadanie 1.

: FLJX  U]XWyZ PRQHW OLF]\P\ VHULH  RUáyZ .D*G\ FLJ VVLDGXMF\FK ]H VRE 

RUáyZ X]QDMHP\ ]D VHUL  3U]\MPXMHP\ ]DWHP *H VHULH PRJ Ä]DFKRG]Lü QD VLHELH´ QD

SU]\NáDG Z FLJX

R O O O O O O O R O O O R O O O O O R R
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

PDP\  VHULH ]DF]\QDMFH VL RG PLHMVF    L 

2EOLF] ZDUWRü RF]HNLZDQ OLF]E\ VHULL  RUáyZ Z  U]XWDFK

(A) 2

(B) 20/32

(C) 1

(D) 20/16

(E) 1/2

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

14.10.2000

r.

___________________________________________________________________________

2

Zadanie 2.
1D RNU JX R REZRG]LH  Z\ELHUDP\ SXQNW

0

X

 D QDVW SQLH ORVRZR L QLH]DOH*QLH

wybieramy punkty

n

X

X ,...,

1

. Niech Y

R]QDF]D RGOHJáRü RG

0

X

GR QDMEOL*V]HJR

VSRUyG SXQNWyZ

n

X

X ,...,

1

 OLF]RQ Z]GáX* RNU JX 2EOLF]\ü

[ ]

Y

E

.

(A)

[ ]

1

1

+

=

n

Y

E

.

(B)

[ ]

n

Y

E

1

4

1

=

.

(C )

[ ]

1

1

2

1

+

=

n

Y

E

.

(D)

[ ]

(

)

2

1

1

+

=

n

Y

E

.

(E)

[ ]

n

Y

E

4

1

=

.

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

14.10.2000

r.

___________________________________________________________________________

3

Zadanie 3.
Niech X i Y

E G ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL R áF]Q\P UR]NáDG]LH QRUPDOQ\P WDNLP

*H

,

0

]

[

]

[

=

=

Y

E

X

E

1

]

[

=

X

Var

,

5

]

[

=

Y

Var

,

2

]

,

[

−

=

Y

X

Cov

. Oblic

]\ü

]

|

[

2

x

X

Y

E

=

.

(A)

2

2

4

5

]

|

[

x

x

X

Y

E

+

=

=

.

(B)

2

2

4

1

]

|

[

x

x

X

Y

E

+

=

=

.

(C) 1

]

|

[

2

=

=

x

X

Y

E

.

(D) 5

]

|

[

2

=

=

x

X

Y

E

.

(E)

2

2

4

]

|

[

x

x

X

Y

E

+

=

=

.

Wskazówka:

5R]SDWU] ]PLHQQ ORVRZ

X

Y

Z

2

+

=

.

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

14.10.2000

r.

___________________________________________________________________________

4

Zadanie 4.
Niech ,...

,...,

,

2

1

n

X

X

X

E G QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL R UR]NáDG]LH

jednostajnym na przedziale

[ ]

2

,

0

. Niech

.

...

2

1

n

n

X

X

X

Y

⋅

⋅

⋅

=

.WyUD ] QDVW SXMF\FK UyZQRFL MHVW SUDZG]LZD"

(A)

(

)

0

1

Pr

lim

=

≤

∞

→

n

n

Y

.

(B)

(

)

2

/

1

1

Pr

lim

=

≤

∞

→

n

n

Y

.

(C)

(

)

0

)

/

2

(

Pr

lim

=

≤

∞

→

n

n

n

e

Y

.

(D)

(

)

2

/

1

)

/

2

(

Pr

lim

=

≤

∞

→

n

n

n

e

Y

.

(E)

(

)

1

)

/

2

(

Pr

lim

=

≤

∞

→

n

n

n

e

Y

.

Wskazówka: Wykorzystaj Centralne Twierdzenie Graniczne.

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

14.10.2000

r.

___________________________________________________________________________

5

Zadanie 5.

=Dáy*P\ *H

Y

X ,

i Z

V QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL R VWDQGDUGRZ\P

UR]NáDG]LH QRUPalnym

( )

1

,

0

N

 =QDOH(ü OLF]E a WDN *H

.

6

.

0

|

|

Pr

2

2

2

=









≤

+

+

a

Z

Y

X

X

(A)

9785

.

0

=

a

.

(B)

6

.

0

=

a

.

(C)

565

.

0

=

a

.

(D)

750

.

0

=

a

.

(E)

825

.

0

=

a

.

Wskazówka 1: Wykorzystaj pr

RVW\ Z]yU Z\UD*DMF\

(

)

t

Z

Y

>

+

2

2

Pr

.

Wskazówka 2:

:\NRU]\VWDM JHRPHWU\F]Q LQWHUSUHWDFM ZHWRUD

2

2

2

)

,

,

(

Z

Y

X

Z

Y

X

+

+

.

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

14.10.2000

r.

___________________________________________________________________________

6

Zadanie 6.
Niech

20

11

10

1

,

,

,

,

X

X

X

X





E G QLH]DOH*Q\PL ]PLHQQ\PL ORVRZ\PL SU]\ W\P

10

1

,

X

X



PDM UR]NáDG QRUmalny

(

)

2

1

,

σ

µ

N

 ]D

20

11

,

,

X

X



PDM UR]NáDG

normalny

(

)

2

2

,

σ

µ

N

. Niech

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

20

1

20

11

2

10

1

1

.

20

1

,

10

1

,

10

1

i

i

i

i

i

i

X

X

X

X

X

X

'REUDü OLF]E\

α

i

β

WDN *HE\ VWDW\VW\ND

(

)

(

)

2

2

1

20

1

2

2

ˆ

X

X

X

X

i

i

−

+

−

=

∑

=

β

α

σ

E\áD QLHREFL*RQ\P HVW\PDWRUHm parametru

2

σ

.

(A) 19

/

1

;

19

/

1

−

=

=

β

α

.

(B) 19

/

5

;

19

/

1

−

=

=

β

α

.

(C) 18

/

2

;

18

/

1

−

=

=

β

α

.

(D) 18

/

5

;

18

/

1

−

=

=

β

α

.

(E) 0

;

18

/

1

=

=

β

α

.

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

14.10.2000

r.

___________________________________________________________________________

7

Zadanie 7.

n

X

X ,...,

1

MHVW SUyEN ] UR]NáDGX R J VWRFL SUDZGRSRGRELHVWZD









<

<

=

−

.

0

,

1

0

)

(

1

1

1

przypadku

przeciwnym

w

x

dla

x

x

f

θ

θ

θ

Niech

θ

ˆ E G]LH HVW\PDWRUHP QDMZL NV]HM ZLDURJRGQRFL QLH]QDQHJR SDUDPHWUX

θ

.

2EOLF]\ü IXQNFM U\]\ND WHJR HVW\PDWRUD W]Q

(

)

2

)

ˆ

(

)

(

θ

θ

θ

θ

−

=

E

R

.

(A)

)

2

(

1

)

(

2

θ

θ

θ

+

=

n

R

(B)

2

1

)

(

θ

θ

n

R

=

(C)

θ

θ

n

R

1

)

(

=

(D)

θ

θ

n

R

1

)

(

=

(E)

2

1

)

(

θ

θ

n

R

=

Wskazówka:

0R*QD REOLF]\ü UR]NáDG SUDZGRSRGRELHVWZD ]PLHQQ\FK ORVRZ\FK

i

i

X

Y

ln

−

=

.

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

14.10.2000

r.

___________________________________________________________________________

8

Zadanie 8.
Niech

5

4

3

2

1

,

,

,

,

X

X

X

X

X

E G]LH SUyEN ] UR]NáDGX Z\NDGQLF]HJR R J VWRFL

SUDZGRSRGRELHVWZD







>

=

−

.

0

,

0

)

(

przypadku

przeciwnym

w

x

dla

e

x

f

x

θ

θ

θ

Parametr

θ

MHVW QLH]QDQ\ :LDGRPR *H HVW\PDWRUHP QDMZL NV]HM ZLDURJRGQRFL WHJR

parametru jest

5

/

5

ˆ

S

=

θ

, gdzie

5

4

3

2

1

5

X

X

X

X

X

S

+

+

+

+

=

 1DOH*\ ]EXGRZDü

SU]HG]LDá XIQRFL GOD SDUDPHWUX

θ

postaci

[ ] [

]

.

/

,

/

,

5

5

S

a

S

a

=

θ

θ

)GDP\ *HE\ WHQ SU]HG]LDá E\á V\PHWU\F]Q\ Z W\P VHQVLH *H

(

)

( )

θ

θ

θ

θ

>

=

<

Pr

Pr

.

:\]QDF]\ü VWDáe a i a WDN *HE\ RWU]\PDü SU]HG]LDá QD SR]LRPLH XIQRFL

95

.

0

1

=

−

α

.

(A)

30

.

18

;

94

.

3

=

=

a

a

.

(B)

025

.

0

log

5

;

975

.

0

log

5

−

=

−

=

a

a

.

(C)

83

.

12

;

83

.

0

=

=

a

a

.

(D)

24

.

10

;

62

.

1

=

=

a

a

.

(E)

48

.

20

;

24

.

3

=

=

a

a

.

Wskazówka: Zmienna losowa

5

S

PD UR]NáDG *DPPD

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

14.10.2000

r.

___________________________________________________________________________

9

Zadanie 9.
Urna zawiera r kul ponumerowanych liczbami

r

,

,

2

,

1

 . Liczba kul r jest nieznanym

param

HWUHP R NWyUP ZLHP\ *H MHVW ZL NV]\ RG  :\ELHUDP\ ] XUQ\  NXO ORVXMF MH

bez zwracania.

1D SRGVWDZLH QXPHUyZ Z\ORVRZDQ\FK NXO WHVWXMHP\ KLSRWH] ]HURZ

25

:

0

=

r

H

przeciwko alternatywie

48

:

1

=

r

H

.

2EOLF]\ü PRF QDMPRFQLHMV]HJR WHVWX QD SR]LRPLH LVWRWQRFL

2

.

0

=

α

 = GRNáDGQRFL GR

WU]HFK F\IU SR NURSFH G]LHVL WQHM PRF MHVW UyZQD

(A) 0.800

(B) 0.873

(C) 0.900

(D) 0.995

(E) 0.975

Wskazówka:

0R*QD VNRQVWUXRZDü WHVW QDMPRFQLHMV]\ QD SRGDQ\P SR]LRPLH LVWRWQRFL

który wykorzystuje tylko

QDMZ*V]\ numer wylosowanej kuli.

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

14.10.2000

r.

___________________________________________________________________________

10

Zadanie 10.
Zmienna losowa X

SU]\MPXMH ZDUWRFL  OXE  ] MHGQDNRZ\P SUDZGRSRGRELHVWZHP

½. Zmienna losowa Y

SU]\MPXMH ZDUWRFL

k

,

,

2

,

1

  '\VSRQXMHP\ SUyEN ] áF]QHJR

UR]NáDGX SUDZGRSRGRELHVWZD ]PLHQQ\FK ORVRZ\FK X i Y  ]áR*RQ ] n par
obserwacji. Niech

j

i

n

R]QDF]D OLF]E WDNLFK SDU GOD NWyU\FK ]PLHnna X SU]\M áD

ZDUWRü i  ]D Y - ZDUWRü j (

k

j

i

,

,

2

,

1

;

2

,

1



=

=

). W celu weryfikacji hipotezy o

QLH]DOH*QRFL ]PLHQQ\FK X i Y , czyli hipotezy

(

)

(

)

j

Y

j

Y

i

X

H

=

=

=

=

Pr

2

1

,

Pr

:

0

dla

k

j

i

,

,

2

,

1

;

2

,

1



=

=

,

X*\ZDP\ VWDW\VW\NL

(

)

∑∑

=

=

−

=

2

1

1

2

2

2

/

ˆ

2

/

ˆ

i

k

j

j

j

j

i

p

n

p

n

n

χ

, gdzie

n

n

n

p

j

j

j

2

1

ˆ

+

=

.

Przy

∞

→

n

 UR]NáDG WHM VWDW\VW\NL ]PLHU]D GR UR]NáDGX FKL-kwadrat ] OLF]E VWRSQL

VZRERG\ UyZQ

(A)

1

2

−

k

(B)

1

−

k

(C) k

(D) k

2

(E)

)

1

(

2

−

k

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

14.10.2000

r.

___________________________________________________________________________

11

(J]DPLQ GOD $NWXDULXV]\ ]  SD(G]LHrnika 2000 r.

3UDZGRSRGRELHVWZR L VWDW\VW\ND

Arkusz odpowiedzi

*

,PL L QD]ZLVNR 

Pesel ...........................................

Zadanie

nr Od

SRZLHG( Punktacja

♦

1 E

2 C

3 B

4 D

5 B

6 D

7 E

8 D

9 E

10 C

*

2FHQLDQH V Z\áF]QLH RGSRZLHG]L XPLHV]F]RQH Z Arkuszu odpowiedzi.

♦

:\SHáQLD .RPLVMD (J]DPLQDF\MQD