ć
w
i
c
z
e n
i
e
10
DRGANIA
W
LINIOWYCH OBWODACH ELEKTRYCZNYCH.
ANALOGIE ELEKTROMECHANICZNE
Celem ćwiczenia jest wykazanie podobieństwa pewnych cech układów
mechanicznych i elektrycznych oraz przedstawienie możliwości modelowania
dynamicznych układów mechanicznych przez odpowiednio dobrane obwody
elektryczne.
W ćwiczeniu na prostym przykładzie omówiono sposób wykorzystania
elektrycznego obwodu rezonansowego w badaniu drgań mechanicznych.
10.1. Wprowadzenie
teoretyczne
Analogia obejmuje wiele zjawisk zachodzących w przyrodzie. Podstawą
teorii analogii jest stwierdzenie, że przebiegami różnych zjawisk rządzą po
dobne prawa. OznacZa to, że zjawiska te mogą być opisane matematycznie
identycznymi równaniami algebraicznymi, trygonometrycznymi, różniczkowy
mi lub innymi.
Weźmy pod uwagę obwód elektryczny składający się ze źródła prądu
zmiennego o sile elektromotorycznej E(t)
=
Eosinvt,
o amplitudzie
Eo
i częstości
v,
opornika o rezystancji R, cewki o indukcyjności L oraz kon
densatora, którego pojemność jest równa
C.
Wszystkie elementy obwodu są
połączone szeregowo ( rys.
10.1).
Obwód taki nazywamy szeregowym obwo
dem rezonansowym.
[
Ue
Rys.
lO. l.
Szeregowy obwód rezonansowy
'I"
t
I
I
I
101
�
Płynący w obwodzie prąd o chwilowej wartości natężenia i(t) wywołuje
na każdym oporze odpowiedni spadek napięcia.
Na rezystancji R spadek napięcia zgodnie z prawem Ohma wynosi
uR =
Ri.
(10.1)
Spadek napięcia na cewce zależy od prędkośCi zmian prądu
UL =
L
di.
dt
Spadek napięcia na kondensatorze jest
gdzie:
u =!1.
c
C'
(10.2)
(10.3)
q(t)
.
-
zmienny w czasie ładunek elektryczny na płytkach kondensatora.
�
hw"ową wartość natężenia prądu możemy przedstawić jako prędkość
zmian ładunku
.
dq
z = -.
dt
(IOA)
A
�
tem, gromadzący się na płytkach kondensatora ładunek jest określany
następującą całką
q
=
J
idt.
(10.5)
Zgod
�
ie z
?
rugim. prawem Kirchhoffa suma spadków napięć na elementach
obwodu Jest równa sile elektromotorycznej źródła
(10.6)
Uwzględniając zależności
(10.1), (10.2), (10.3)
oraz
(10.5),
otrzymujemy
równanie różniczkowe
Ldi R'
I
J
·d
- +
1+-
l
t
=
E
o
sin
vt
dt
C
opisujące zmiany prądu w obwodzie.
( 10.7)
Wykorzystując związek między natężeniem prądu i ładunkiem
(10A),
wprowadzamy do równania
(10.7)
zmienną q(t) zamiast
i(t).
Wówczas
'1
102
Ld2q +Rdq +l.q
=
Eosinvt.
dt2
d
t
C
(10.8)
Jest to równanie różniczkowe przedstawiające zmiany ładunku w funkcji
. czasu w szeregowym obwodzie rezonansowym.
ie
iR
i (II
=
losin�t
L
Rys.
10.2.
Równoległy obwód rezonansowy
Jeżeli te same elementy, tzn. kondensator o pojemności
C,
opornik ,o ,rezy-
stancji
R
oraz cewkę o indukcyjności
L
pOłączymy. równ
?
legle ze zrodłem
prądu zmiennego i
(
t
)
=
lo sin
vt
(rys.
10.2),
to zgodme z pIerwszym prawem
Kirchhoffa otrzymamy zależność
O"dzie:
i
i
i
-
chwilowe natężenia prądu w poszczególnych gałęziach.
o
Wart
�
śc
i
ch
�
ilowych natężeń prądów wynikają z równań
(10.1).;.( 10.4),
i
=
(10.10)
c
dt'
u
R'
(10.11)
±
f
udt.
(10.12)
Podstawiając powyższe zwi<jzki do warunku
(10.9),
otrzymujemy równanie
zmian napięcia
du
1
1
J
d
I ' t
C
-
+
-
u
+
-
u
t
=
o sm v .
dt
R
L
(10.13)
103
Wykorzystując zależność między napIęciem
u
(
t
)
a strumieniem magnety
cznym <1>(t) cewki
d <1>
(10.14)
u =
dr'
możemy równaniu
(10.13)
nadać postać
+..!
d<1>
+ 1:.
.
=
Iosmvt.
dt2
R
dt L
(10.15)
Jest to równanie różniczkowe opisujące zmiany strumienia magnetycznego
w funkcji czasu, w równoległym obwodzie rezonansowym.
Przeanalizujmy teraz ruch liniowego układu
mechanicznego o jednym stopniu swobody,
którego schemat pokazano na rys.
10.3.
Układ
ten stanowi ciało o masie
m,
zawieszone na
sprężynie o sztywności
k.
Siły oporu reprezentu
je tłumik wiskotyczny scharakteryzowany stalą
tłumienia
c.
Oprócz siły restytucyjnej i siły tłumienia
niech na ciało działa okresowo zmienna siła
wymuszająca p
=
Posinvt
o amplitudzie
Po
i częstości
v.
Różniczkowe równanie ruchu rozważanego
układu ma postać
mx+ci+kx
Posinvt,
gdzie:
x
-
wychylenie układu z położenia równowagi.
Rys.
10.3. Schemat układu
mechanicznego
(10.16)
Porównując równania
(l0.8), (10.15)
oraz
(10.16),
możemy stwierdzić, że
zmiany ładunku
q(t)
w szeregowym obwodzie rezonansowym oraz zmiany
strumienia magnetycznego <1>
(t)
w równoległym obwodzie rezonansowym są
opisane matematycznie identycznymi równaniami różniczkowymi, jak prze
mieszczenia x(t) ciała w przedstawionym układzie mechanicznym. Jest to
dowód na podobieństwo omówionych zjawisk elektrycznych i mechanicznych.
A zatem, między parametrami charakteryzującymi układ mechaniczny, takimi
�
jak masa, stala lłumienia i stała sprężystości, a parametrami odpowiedniego
układu elektrycznego w postaci indukcyjności, rezystancji i pojemności, wy
stępuje ścisła odpowiedniość. Zestawienie wielkości mechanicznych i odpo
wiadających im wielkości elektrycznych podano w tabl. LO.l.
Wiemy, że rozwiązaniem równania drgań wymuszonych układu o jednym
stopniu swobody
(10.16)
jest funkcja okresowa
\04
Tab
I
iea
10.1
Wielkości
mechaniczne i ich
odpowiedniki elektryczne
Drgania
mechaniczne
Drgania elektryczne
szeregowy obwód rezonansowy
równoległy obwód
rezonansowy
wielkość
Wychylenie
Prędkość
Przyspieszenie
Masa
Stała tłumienia
Stała sprętysto-
ści
Siła
wymuszaląca
gdzie:
oznaczenie
x
v. dx
dt
dv
�
d2x
dt
dt2
m
C
k
Posłnvt
wielkość
oznaczenie
ładunek
q
=
fldt
natężenie prądu
I
�
E9.
dt
prędkość zmian
E!
=
E..:q
prądu
dt
dt2
indukcyjność
L
rezystancja
R
odwrotność po-
jemności
s�a elektromo·
loryczna
Ęslnvt
x
=
Xo
s
in
(
v
t
- 8),
Xo
- amplituda drgań ciała o masie
(m) .
wielkość
oznaczenie
strumień magne-
.ti
-
f
udt
t:-pIrf
napięcie
dlf>
U�-
dt
prędkość
zmian
du
d21f>
napięcia
dt • dt2
pojemność
C
przewodność
1
-
R
odwrotnoŚĆ In-
1
dukcyjnośd
natężenie
ir6dła
prądu
foslnvt
(10.17)
8 - kąt przesunięcia fazowego między siłą wymuszającą a przemiesz
czeniem
x.
Rozwiązanie to przedstawia drgania harmoniczne o częstości
v,
a zatem
wszystkie siły występujące w równaniu ( 10.16) zmieniają się harmoriicznie.
Wykorzystując wektorową interpretację drgań, siły działające w układzie
mechanicznym możemy przedstawić za pomocą wektorów obracających się
z flrędkością kątową równą częstości wymuszenia
v
(rys. 10.4)_
Wychylenie jest reprezentowane przez wektor o wartości równej amplitu-
dzie
Xo
skierowany pionowo w górę. Ponieważ prędkość
przyspieszenie
układu są określane równaniami
i
=
vXo
co
s
(
vt
- 8),
x
=
-v2xo
sin(vt
- 8),
( 10_18)
(10.19)
.
\
I
�
I
�
i
l
I
zatem wielkości te możemy przedstawić jako
wektory o długości równej amplitudzie prędkości
vXo
oraz amplitudzie przysp!eszenia
v2 xo'
obrócone
w stosunku do wektora
Xo
odpowiednio o 90
i
1800
w kierunku ruchu. Na rys. 10.4 wektory te
zaznaczono liniami prZerywanymi.
Siły w układzie są reprezentowane więc nastę
pującymi wektorami:
siła sprężystości - wektor przeciwny do wy-
chylenia. o module równym amplitudzie tej siły
k
x
o
'
105
siła tłumienia - wektor przeciwny do prędko-
Ry s
.
10.4. Wektory sil działa-
ści,
O
module równym
cvxo'
jących w układzie
mecha-
siła bezwładności - wektor przeciwny do
przyspieszenia, o module równym
mv2 xo'
nieznym
Siła wymuszająca
Posinvtwyprzedza
przemieszczenie
x
=
xosin(vt-9)
o dodatni kąt
8.
Na rys. 10.4 wektory sił zaznaczono liniami ciągłymi.
Zgodnie z zasadą d' Alemberta suma wszystkich sił zewnętrznych i sił
bezwładności musi być w każdej chwili równa zeru. Rzutując wektory sił na
kierunek pionowy i poziomy, otrzymujemy równania
kxo - mv2xo -Po 0089
=
o:)
cvxo-Posin8
=
O.
Z równań tych możemy wyznaczyć stałe
Xo
i
8.
Po przekształceniach otrzymujemy wyrażenie na amplitudę drgań
oraz wyrażenie określające kąt przesunięcia fazowego
gdzie:
t
g
8
=
cv
k-mv2
h
- względny współczynnik tłumienia;
h
Wo
- częstość własna układu;
w�
=
k
m
c
2m'
(l 0.20)
(10.2 1)
(10.22)
I
;
'
5,0
Xo
y=
-
Po
T
4,5
'0= .!!..=O
Wo
4,0
3,5
3,0
2,5
l::
2,0
1,5
I
1,0
0,5
(f= 0.15
;
'0=0,25
If=O,5
'012
0.5
1,0
1,5
2,0
2,5
Rys.
10,5.
Krzywe rezonansowe układu mechanicznego
'
i
!
I
-
I
I
I
I
-'
1
I
.
1
I
I
I
i
107
Zmiany amplitudy zależnie od częstości siły wymuszającej, dla różnych
wartości bezwymiarowego współczynnika tłumienia y
=
h/wo'
ilustruje wy
kres krzywych rezonans,owych (rys,
10.5).
Otrzymane rozwiązanie i jego ,analiza są słuszne również w odniesieniu do
różniczkowych równa,ń zmian ,ładunku w szeregowym obwodzie rezonanso
wym oraz zmian strumienia magnetycznego w obwOdzie równoległym.
W
matematycznym opisie porównywanych zjawisk zmieniają się jedynie para
metry - zależne od różnych wielkości fizycznych. Korzystając z tab!.
10.1.
możemy z łatwością przejść od jednego przypadku drgań do drugiego.
Przykładowo przeanalizujmy zmiany ładunku w szeregowym obwodzie
rezonansowym. Na rys.
10.6
przedstawiono wektorowy wykres spadków na
pięć. Ładunek elektryczny, zmieniający się wg równania
q =
% sin(vt - a),
(10.23)
jest reprezentowany pionowym' wektorem skierowanym w górę, o wartości
równej amplitudzie ładunku
%.
Pozostałe wektory oznaczają amplitudy spad
ków napięć odpowiednio na: pojemności - wektor
(l/C)%.
rezystancji
_
wektor
Rv%.
indukcyjności
-
Lv2%.
oraz siłę elektromotoryczną źródła
o amplitudzie
Eo
przesuniętą o dodatni kąt
a
w stosunku do ładunku .
Porównując wykresy wektorowe sił (rys.
10.4)
i napięć ( rys.
10.6),
możemy stwierdzić, że sile
sprężystości w układzie mechanicznym odpowia
da w szeregowym obwodzie rezonansowym spa
dek napięcia na kondensatorze o pojemności
C,
sile tłumienia - spadek napięcia na oporniku o
rezystancji
R,
a sile bezwładności - spadek
napięcia na cewce o indukcyjności
L.
•
___
. Amplitudę ładunku określamy analogicznie jak
."qo
amplitudę
przemieszczenia
daną
równaniem
( 10.21)
(10.24)
l
[qo
Rys.
10.6.
Wektorowy wykres
napięć w szeregowym obwodzie
rezonasowym
Ponieważ jest i
=
%vcos(vt - a),
zatem mnożąc obie strony zależności
(10.24)
przez częstość
v.
otrzymujemy wyrażenie określające amplitudę natę- ..
żenia prądu
(10.25)
108
Wielkość występującą w mianowniku równania
(10.25)
nazwano impedan
cją (oporem pozornym). Impedancja stanowi wypadkowy opór szeregowego
połączenia elementów R, L, C. Obliczamy ją, sumując geometrycznie rezys
tancję R oraz różnicę reaktancji pojemnościowej i indukcyjnej. Należy dodać,
że jestżnane również pojęcie impedancji mechanicznej, którą definiuje się
jako stosunek siły działającej na punkt 'materialny do prędkości tegei punktu.
Analizując zwi4Zki
(10.24)
i
(10.25),
stwierdzamy, że rezonans amplitudy
ładunku oraz amplitudy prądu w obwodzie występuje, gdy reaktancja pojem
nościowa jest równa reaktancji indukcyjnej (przy rezonansie amplitudy ładun
ku pomijamy wpływ rezystancji na częstość rezonansową)
=
Lv.
(10.26)
vC
Wówczas impedancja ma wartość minimalną równą rezystimcji obwodu,
a ładunek oraz natężenie prądu osiągają wartości największe.
Stan taki można otrzymać, zmieniając odpowiednio indukcyjność L lub
pojemność
C.
Trzecią możliwość stanowi regulacja częstości v napięcia
zasilającego.
Częstość rezonansowa w szeregowym obwodzie R, L, C wynika z warun
ku
(10.26)
1
(10.27)
Łatwo sprawdzić, że częstość rezonansowa w równoległym obwodzie jest
określona identyczną zależnością.
Odpowiednikiem częstości rezonansowej omówionych obwodów elektrycz
nych jest częstość własna ukladu mechanicznego zdefiniowana wzorem
(10.28)
10.2. Opis stanowiska
W stanowisku doświadczalnym wykorzystano szeregowy obwód rezonanso
wy zasilany sinusoidalnie zmiennym napięciem z generatora o regulowanej
częstotliwości. Układ pomiarowy stanowi oscyloskop rejestrujący zmiany
napięcia na rezystorze R. Ponieważ spadek napięcia na oporniku jest p�opor
cjonalny do natężenia przepływającego prądu, więc obraz uzyskany na ekra
nie oscyloskopu odpowiada zmianom natężenia prądu w obwodzie.
Amplitudę natężenia prądu określa następująca zależność
l =
(Uo)
Ku
o
R
'
gdzie:
(UO>
R
amplituda napięcia zmierzona na ekranie oscyloskopu [mm],
podziałka napięcia
Uo
Ku =
(Uo)
[V'ero-l],
- rezystancja
[O].
@ 00
•
• • •
D
·
·
• •
• •
o O O
• • •
Generator
Oscyloskop
Rys.
10.7, Schemat stanowiska pomiarowego
109
Schemat stanowiska przedstawiono na rys.
10.7.
Szeregowy obwód rezo
nansowy zestawiono z układu kondensatorów i układu oporników umożliwia
jących skokową zmianę pojemności i rezystancji, oraz cewki o zmiennej
indukcyjności.
Schemat zastosowanego w ćwiczeniu szeregowego obwodu rezonansowego
pokazano na rys.
10.8.
\
\
,
"-
"
,
----,------
\
\
\
\
\
'-
a
ti
'-'"
c:
'"
""
a
Cl
,-,
"
,-,'"
....
•
'-'-
•
El
>.
3:
o
�
c::
�
e
Q)
:.§
o
3:
.o
o
S
>.
3:
o
tu)
e
Q)
l:l
3:
-c:
Q)
N
U
""
"O
O-
�
'"
.c::
u
(11
cO
.;
>.
c.:
III
10.3. Przebieg ćwiczenia
l. Wykonać połączenia wg schematu jak na rys.
10.8
(zaznaczone linią
przerywaną).
2.
Włączyć generator i oscyloskop
(220 V).
3.
Przyłączyć pojemność
CI
(wciśnięcie przycisku
Cj).
4.
Zewrzeć obwód rezystancją
RI
(wciśnięcie przycisku
RI).
5.
Dobrać wzmocnienie oscyloskopu, biorąc pod uWagę maksymalną am
plitudę spadku napięcia na oporniku przy zmianie częstotliwości napięcia
zasilającego.
6.
Korzystając z podziałki na ekranie oscyloskopu, zmierzyć amplitudy
spadku napięcia dla kilku częstotliwości napięcia generatora mniejszych i dla
kilku większych od częstotliwości rezonansowej oraż zmierzyć maksymalną
amplitudę i odpowiadającą jej częstotliwość.
7.
Pomiary wskazane w punkcie
6
powtórzyć, podłączając wzrastaj ące
rezystancje
Rz. < � < R4'
8.
Przyłączyć przez wciśnięcie odpowiedniego przycisku dowolną rezystan
cję Rn'
9.
Powtórzyć pomiary wskazane w punkcie
6,
podłączając wzrastające
pojemności
C2 < C3 < C4•
10.
Wyniki zestawić w tab!.
10.2.
Tabl ica
10.2
Wyniki pomiarów
Rezystancja
Pojemność
Częstotliwość
Częs10ść
Ampfrtuda
na·
Amplituda prądu
kołowa
pfęcia
Lp.
R
C
I
v
(UJ
lo: (Uel
K
R u
[Ol
[IlF]
[Hz]
[s-II
[mm]
[Al
10.4. Treść sprawozdania
Sprawozdanie powinno zawierać:
I)
opis i schemat stanowiska badawczego,
112
2)
wykresy rezonansowe wykonane na podstawie pomiarów, których wyni
ki należy wpisać do tabl. 10.2 (wykresy te należy wykonać we współrzędnych
lo'
v
-
wszystkie najednym arkuszu ),
3)
obliczenie indukcyjności obwodu wykonane na podstawie zmierzonych
częstości rezonansowych odpowiadających różnym wartościom pojemności,
4)
wykonany na podstawie pomiarów wykres przedstawiający wpływ po
jemności obwodu na częstość rezonansową (wykres należy wykonać we
współrzędnych
C, v),
5)
korzystając z przeprowadzonych pomiarów i wykonanych wykresów,
opisać wpływ poszczególnych parametrów obwodu na przebieg badanych
drgań elektrycznych; 'wskazać odpowiadający zastosowanemu w ćwiczeniu
obwodowi układ mechaniczny, zestawić analogiczne wielkości.