ć

w

i

c

z

e n

i

e

10

DRGANIA

W

LINIOWYCH OBWODACH ELEKTRYCZNYCH.

ANALOGIE ELEKTROMECHANICZNE

Celem ćwiczenia jest wykazanie podobieństwa pewnych cech układów

mechanicznych i elektrycznych oraz przedstawienie możliwości modelowania
dynamicznych układów mechanicznych przez odpowiednio dobrane obwody

elektryczne.

W ćwiczeniu na prostym przykładzie omówiono sposób wykorzystania

elektrycznego obwodu rezonansowego w badaniu drgań mechanicznych.

10.1. Wprowadzenie

teoretyczne

Analogia obejmuje wiele zjawisk zachodzących w przyrodzie. Podstawą

teorii analogii jest stwierdzenie, że przebiegami różnych zjawisk rządzą po­

dobne prawa. OznacZa to, że zjawiska te mogą być opisane matematycznie
identycznymi równaniami algebraicznymi, trygonometrycznymi, różniczkowy­

mi lub innymi.

Weźmy pod uwagę obwód elektryczny składający się ze źródła prądu

zmiennego o sile elektromotorycznej E(t)

=

Eosinvt,

o amplitudzie

Eo

i częstości

v,

opornika o rezystancji R, cewki o indukcyjności L oraz kon­

densatora, którego pojemność jest równa

C.

Wszystkie elementy obwodu są

połączone szeregowo ( rys.

10.1).

Obwód taki nazywamy szeregowym obwo­

dem rezonansowym.

[

Ue

Rys.

lO. l.

Szeregowy obwód rezonansowy

'I"

t

I

I

I

101

�

Płynący w obwodzie prąd o chwilowej wartości natężenia i(t) wywołuje

na każdym oporze odpowiedni spadek napięcia.

Na rezystancji R spadek napięcia zgodnie z prawem Ohma wynosi

uR =

Ri.

(10.1)

Spadek napięcia na cewce zależy od prędkośCi zmian prądu

UL =

L

di.
dt

Spadek napięcia na kondensatorze jest

gdzie:

u =!1.

c

C'

(10.2)

(10.3)

q(t)

.

-

zmienny w czasie ładunek elektryczny na płytkach kondensatora.

�

hw"ową wartość natężenia prądu możemy przedstawić jako prędkość

zmian ładunku

.

dq

z = -.

dt

(IOA)

A

�

tem, gromadzący się na płytkach kondensatora ładunek jest określany

następującą całką

q

=

J

idt.

(10.5)

Zgod

�

ie z

?

rugim. prawem Kirchhoffa suma spadków napięć na elementach

obwodu Jest równa sile elektromotorycznej źródła

(10.6)

Uwzględniając zależności

(10.1), (10.2), (10.3)

oraz

(10.5),

otrzymujemy

równanie różniczkowe

Ldi R'

I

J

·d

- +

1+-

l

t

=

E

o

sin

vt

dt

C

opisujące zmiany prądu w obwodzie.

( 10.7)

Wykorzystując związek między natężeniem prądu i ładunkiem

(10A),

wprowadzamy do równania

(10.7)

zmienną q(t) zamiast

i(t).

Wówczas

'1

102

Ld2q +Rdq +l.q

=

Eosinvt.

dt2

d

t

C

(10.8)

Jest to równanie różniczkowe przedstawiające zmiany ładunku w funkcji

. czasu w szeregowym obwodzie rezonansowym.

ie

iR

i (II

=

losin�t

L

Rys.

10.2.

Równoległy obwód rezonansowy

Jeżeli te same elementy, tzn. kondensator o pojemności

C,

opornik ,o ,rezy-

stancji

R

oraz cewkę o indukcyjności

L

pOłączymy. równ

?

legle ze zrodłem

prądu zmiennego i

(

t

)

=

lo sin

vt

(rys.

10.2),

to zgodme z pIerwszym prawem

Kirchhoffa otrzymamy zależność

O"dzie:

i

i

i

-

chwilowe natężenia prądu w poszczególnych gałęziach.

o

Wart

�

śc

i

ch

�

ilowych natężeń prądów wynikają z równań

(10.1).;.( 10.4),

i

=

(10.10)

c

dt'

u

R'

(10.11)

±

f

udt.

(10.12)

Podstawiając powyższe zwi<jzki do warunku

(10.9),

otrzymujemy równanie

zmian napięcia

du

1

1

J

d

I ' t

C

-

+

-

u

+

-

u

t

=

o sm v .

dt

R

L

(10.13)

103

Wykorzystując zależność między napIęciem

u

(

t

)

a strumieniem magnety­

cznym <1>(t) cewki

d <1>

(10.14)

u =

dr'

możemy równaniu

(10.13)

nadać postać

+..!

d<1>

+ 1:.

.

=

Iosmvt.

dt2

R

dt L

(10.15)

Jest to równanie różniczkowe opisujące zmiany strumienia magnetycznego

w funkcji czasu, w równoległym obwodzie rezonansowym.

Przeanalizujmy teraz ruch liniowego układu

mechanicznego o jednym stopniu swobody,

którego schemat pokazano na rys.

10.3.

Układ

ten stanowi ciało o masie

m,

zawieszone na

sprężynie o sztywności

k.

Siły oporu reprezentu­

je tłumik wiskotyczny scharakteryzowany stalą
tłumienia

c.

Oprócz siły restytucyjnej i siły tłumienia

niech na ciało działa okresowo zmienna siła
wymuszająca p

=

Posinvt

o amplitudzie

Po

i częstości

v.

Różniczkowe równanie ruchu rozważanego

układu ma postać

mx+ci+kx

Posinvt,

gdzie:

x

-

wychylenie układu z położenia równowagi.

Rys.

10.3. Schemat układu

mechanicznego

(10.16)

Porównując równania

(l0.8), (10.15)

oraz

(10.16),

możemy stwierdzić, że

zmiany ładunku

q(t)

w szeregowym obwodzie rezonansowym oraz zmiany

strumienia magnetycznego <1>

(t)

w równoległym obwodzie rezonansowym są

opisane matematycznie identycznymi równaniami różniczkowymi, jak prze­

mieszczenia x(t) ciała w przedstawionym układzie mechanicznym. Jest to

dowód na podobieństwo omówionych zjawisk elektrycznych i mechanicznych.

A zatem, między parametrami charakteryzującymi układ mechaniczny, takimi

�

jak masa, stala lłumienia i stała sprężystości, a parametrami odpowiedniego

układu elektrycznego w postaci indukcyjności, rezystancji i pojemności, wy­

stępuje ścisła odpowiedniość. Zestawienie wielkości mechanicznych i odpo­
wiadających im wielkości elektrycznych podano w tabl. LO.l.

Wiemy, że rozwiązaniem równania drgań wymuszonych układu o jednym

stopniu swobody

(10.16)

jest funkcja okresowa

\04

Tab

I

iea

10.1

Wielkości

mechaniczne i ich

odpowiedniki elektryczne

Drgania

mechaniczne

Drgania elektryczne

szeregowy obwód rezonansowy

równoległy obwód

rezonansowy

wielkość

Wychylenie

Prędkość

Przyspieszenie

Masa

Stała tłumienia

Stała sprętysto-

ści

Siła

wymuszaląca

gdzie:

oznaczenie

x

v. dx

dt

dv

�

d2x

dt

dt2

m

C

k

Posłnvt

wielkość

oznaczenie

ładunek

q

=

fldt

natężenie prądu

I

�

E9.

dt

prędkość zmian

E!

=

E..:q

prądu

dt

dt2

indukcyjność

L

rezystancja

R

odwrotność po-

jemności

s�a elektromo·

loryczna

Ęslnvt

x

=

Xo

s

in

(

v

t

- 8),

Xo

- amplituda drgań ciała o masie

(m) .

wielkość

oznaczenie

strumień magne-

.ti

-

f

udt

t:-pIrf

napięcie

dlf>

U�-

dt

prędkość

zmian

du

d21f>

napięcia

dt • dt2

pojemność

C

przewodność

1

-

R

odwrotnoŚĆ In-

1

dukcyjnośd

natężenie

ir6dła

prądu

foslnvt

(10.17)

8 - kąt przesunięcia fazowego między siłą wymuszającą a przemiesz­

czeniem

x.

Rozwiązanie to przedstawia drgania harmoniczne o częstości

v,

a zatem

wszystkie siły występujące w równaniu ( 10.16) zmieniają się harmoriicznie.

Wykorzystując wektorową interpretację drgań, siły działające w układzie

mechanicznym możemy przedstawić za pomocą wektorów obracających się
z flrędkością kątową równą częstości wymuszenia

v

(rys. 10.4)_

Wychylenie jest reprezentowane przez wektor o wartości równej amplitu-

dzie

Xo

skierowany pionowo w górę. Ponieważ prędkość

przyspieszenie

układu są określane równaniami

i

=

vXo

co

s

(

vt

- 8),

x

=

-v2xo

sin(vt

- 8),

( 10_18)

(10.19)

.

\

I

�

I

�

i

l

I

zatem wielkości te możemy przedstawić jako
wektory o długości równej amplitudzie prędkości

vXo

oraz amplitudzie przysp!eszenia

v2 xo'

obrócone

w stosunku do wektora

Xo

odpowiednio o 90

i

1800

w kierunku ruchu. Na rys. 10.4 wektory te

zaznaczono liniami prZerywanymi.

Siły w układzie są reprezentowane więc nastę­

pującymi wektorami:

siła sprężystości - wektor przeciwny do wy-

chylenia. o module równym amplitudzie tej siły

k

x

o

'

105

siła tłumienia - wektor przeciwny do prędko-

Ry s

.

10.4. Wektory sil działa-

ści,

O

module równym

cvxo'

jących w układzie

mecha-

siła bezwładności - wektor przeciwny do

przyspieszenia, o module równym

mv2 xo'

nieznym

Siła wymuszająca

Posinvtwyprzedza

przemieszczenie

x

=

xosin(vt-9)

o dodatni kąt

8.

Na rys. 10.4 wektory sił zaznaczono liniami ciągłymi.

Zgodnie z zasadą d' Alemberta suma wszystkich sił zewnętrznych i sił

bezwładności musi być w każdej chwili równa zeru. Rzutując wektory sił na
kierunek pionowy i poziomy, otrzymujemy równania

kxo - mv2xo -Po 0089

=

o:)

cvxo-Posin8

=

O.

Z równań tych możemy wyznaczyć stałe

Xo

i

8.

Po przekształceniach otrzymujemy wyrażenie na amplitudę drgań

oraz wyrażenie określające kąt przesunięcia fazowego

gdzie:

t

g

8

=

cv

k-mv2

h

- względny współczynnik tłumienia;

h

Wo

- częstość własna układu;

w�

=

k

m

c

2m'

(l 0.20)

(10.2 1)

(10.22)

I

;

'

5,0

Xo

y=

-

Po

T

4,5

'0= .!!..=O

Wo

4,0

3,5

3,0

2,5

l::

2,0

1,5

I

1,0

0,5

(f= 0.15

;

'0=0,25

If=O,5

'012

0.5

1,0

1,5

2,0

2,5

Rys.

10,5.

Krzywe rezonansowe układu mechanicznego

'

i

!

I

-

I

I

I

I

-'

1

I

.

1

I

I

I

i

107

Zmiany amplitudy zależnie od częstości siły wymuszającej, dla różnych

wartości bezwymiarowego współczynnika tłumienia y

=

h/wo'

ilustruje wy­

kres krzywych rezonans,owych (rys,

10.5).

Otrzymane rozwiązanie i jego ,analiza są słuszne również w odniesieniu do

różniczkowych równa,ń zmian ,ładunku w szeregowym obwodzie rezonanso­

wym oraz zmian strumienia magnetycznego w obwOdzie równoległym.

W

matematycznym opisie porównywanych zjawisk zmieniają się jedynie para­

metry - zależne od różnych wielkości fizycznych. Korzystając z tab!.

10.1.

możemy z łatwością przejść od jednego przypadku drgań do drugiego.

Przykładowo przeanalizujmy zmiany ładunku w szeregowym obwodzie

rezonansowym. Na rys.

10.6

przedstawiono wektorowy wykres spadków na­

pięć. Ładunek elektryczny, zmieniający się wg równania

q =

% sin(vt - a),

(10.23)

jest reprezentowany pionowym' wektorem skierowanym w górę, o wartości
równej amplitudzie ładunku

%.

Pozostałe wektory oznaczają amplitudy spad­

ków napięć odpowiednio na: pojemności - wektor

(l/C)%.

rezystancji

_

wektor

Rv%.

indukcyjności

-

Lv2%.

oraz siłę elektromotoryczną źródła

o amplitudzie

Eo

przesuniętą o dodatni kąt

a

w stosunku do ładunku .

Porównując wykresy wektorowe sił (rys.

10.4)

i napięć ( rys.

10.6),

możemy stwierdzić, że sile

sprężystości w układzie mechanicznym odpowia­
da w szeregowym obwodzie rezonansowym spa­

dek napięcia na kondensatorze o pojemności

C,

sile tłumienia - spadek napięcia na oporniku o
rezystancji

R,

a sile bezwładności - spadek

napięcia na cewce o indukcyjności

L.

•

___

. Amplitudę ładunku określamy analogicznie jak

."qo

amplitudę

przemieszczenia

daną

równaniem

( 10.21)

(10.24)

l

[qo

Rys.

10.6.

Wektorowy wykres

napięć w szeregowym obwodzie

rezonasowym

Ponieważ jest i

=

%vcos(vt - a),

zatem mnożąc obie strony zależności

(10.24)

przez częstość

v.

otrzymujemy wyrażenie określające amplitudę natę- ..

żenia prądu

(10.25)

108

Wielkość występującą w mianowniku równania

(10.25)

nazwano impedan­

cją (oporem pozornym). Impedancja stanowi wypadkowy opór szeregowego
połączenia elementów R, L, C. Obliczamy ją, sumując geometrycznie rezys­

tancję R oraz różnicę reaktancji pojemnościowej i indukcyjnej. Należy dodać,
że jestżnane również pojęcie impedancji mechanicznej, którą definiuje się
jako stosunek siły działającej na punkt 'materialny do prędkości tegei punktu.

Analizując zwi4Zki

(10.24)

i

(10.25),

stwierdzamy, że rezonans amplitudy

ładunku oraz amplitudy prądu w obwodzie występuje, gdy reaktancja pojem­
nościowa jest równa reaktancji indukcyjnej (przy rezonansie amplitudy ładun­

ku pomijamy wpływ rezystancji na częstość rezonansową)

=

Lv.

(10.26)

vC

Wówczas impedancja ma wartość minimalną równą rezystimcji obwodu,

a ładunek oraz natężenie prądu osiągają wartości największe.

Stan taki można otrzymać, zmieniając odpowiednio indukcyjność L lub

pojemność

C.

Trzecią możliwość stanowi regulacja częstości v napięcia

zasilającego.

Częstość rezonansowa w szeregowym obwodzie R, L, C wynika z warun­

ku

(10.26)

1

(10.27)

Łatwo sprawdzić, że częstość rezonansowa w równoległym obwodzie jest

określona identyczną zależnością.

Odpowiednikiem częstości rezonansowej omówionych obwodów elektrycz­

nych jest częstość własna ukladu mechanicznego zdefiniowana wzorem

(10.28)

10.2. Opis stanowiska

W stanowisku doświadczalnym wykorzystano szeregowy obwód rezonanso­

wy zasilany sinusoidalnie zmiennym napięciem z generatora o regulowanej
częstotliwości. Układ pomiarowy stanowi oscyloskop rejestrujący zmiany
napięcia na rezystorze R. Ponieważ spadek napięcia na oporniku jest p�opor­

cjonalny do natężenia przepływającego prądu, więc obraz uzyskany na ekra­
nie oscyloskopu odpowiada zmianom natężenia prądu w obwodzie.

Amplitudę natężenia prądu określa następująca zależność

l =

(Uo)

Ku

o

R

'

gdzie:

(UO>

R

amplituda napięcia zmierzona na ekranie oscyloskopu [mm],
podziałka napięcia

Uo

Ku =

(Uo)

[V'ero-l],

- rezystancja

[O].

@ 00

•

• • •

D

·

·

• •
• •

o O O

• • •

Generator

Oscyloskop

Rys.

10.7, Schemat stanowiska pomiarowego

109

Schemat stanowiska przedstawiono na rys.

10.7.

Szeregowy obwód rezo­

nansowy zestawiono z układu kondensatorów i układu oporników umożliwia­

jących skokową zmianę pojemności i rezystancji, oraz cewki o zmiennej
indukcyjności.

Schemat zastosowanego w ćwiczeniu szeregowego obwodu rezonansowego

pokazano na rys.

10.8.

\

\

,

"-

"­

,

----,------

\

\

\

\

\

'-

a

ti

'-'"

c:

'"

""

a

Cl

,-,

"

,-,'"

....

•

'-'-

•

El

>.

3:

o

�

c::

�

e

Q)

:.§

o

3:

.o

o

S

>.

3:

o

tu)

e

Q)

l:l

3:

-c:

Q)

N

U

""

"O

O-

�

'"

.c::

u

(11

cO

.;

>.

c.:

III

10.3. Przebieg ćwiczenia

l. Wykonać połączenia wg schematu jak na rys.

10.8

(zaznaczone linią

przerywaną).

2.

Włączyć generator i oscyloskop

(220 V).

3.

Przyłączyć pojemność

CI

(wciśnięcie przycisku

Cj).

4.

Zewrzeć obwód rezystancją

RI

(wciśnięcie przycisku

RI).

5.

Dobrać wzmocnienie oscyloskopu, biorąc pod uWagę maksymalną am­

plitudę spadku napięcia na oporniku przy zmianie częstotliwości napięcia
zasilającego.

6.

Korzystając z podziałki na ekranie oscyloskopu, zmierzyć amplitudy

spadku napięcia dla kilku częstotliwości napięcia generatora mniejszych i dla
kilku większych od częstotliwości rezonansowej oraż zmierzyć maksymalną
amplitudę i odpowiadającą jej częstotliwość.

7.

Pomiary wskazane w punkcie

6

powtórzyć, podłączając wzrastaj ące

rezystancje

Rz. < � < R4'

8.

Przyłączyć przez wciśnięcie odpowiedniego przycisku dowolną rezystan­

cję Rn'

9.

Powtórzyć pomiary wskazane w punkcie

6,

podłączając wzrastające

pojemności

C2 < C3 < C4•

10.

Wyniki zestawić w tab!.

10.2.

Tabl ica

10.2

Wyniki pomiarów

Rezystancja

Pojemność

Częstotliwość

Częs10ść

Ampfrtuda

na·

Amplituda prądu

kołowa

pfęcia

Lp.

R

C

I

v

(UJ

lo: (Uel

K

R u

[Ol

[IlF]

[Hz]

[s-II

[mm]

[Al

10.4. Treść sprawozdania

Sprawozdanie powinno zawierać:

I)

opis i schemat stanowiska badawczego,

112

2)

wykresy rezonansowe wykonane na podstawie pomiarów, których wyni­

ki należy wpisać do tabl. 10.2 (wykresy te należy wykonać we współrzędnych

lo'

v

-

wszystkie najednym arkuszu ),

3)

obliczenie indukcyjności obwodu wykonane na podstawie zmierzonych

częstości rezonansowych odpowiadających różnym wartościom pojemności,

4)

wykonany na podstawie pomiarów wykres przedstawiający wpływ po­

jemności obwodu na częstość rezonansową (wykres należy wykonać we

współrzędnych

C, v),

5)

korzystając z przeprowadzonych pomiarów i wykonanych wykresów,

opisać wpływ poszczególnych parametrów obwodu na przebieg badanych

drgań elektrycznych; 'wskazać odpowiadający zastosowanemu w ćwiczeniu
obwodowi układ mechaniczny, zestawić analogiczne wielkości.