1
OSCYLATOR DRGA
Ń
HARMONICZNYCH
(NIETŁUMIONYCH)
x
k
F
−
=
Sił
ą
harmoniczn
ą
(spr
ęż
ysto
ś
ci) nazywamy sił
ę
działaj
ą
c
ą
na ciało, proporcjonaln
ą
do przesuni
ę
cia tego ciała od pocz
ą
tku układu i skierowan
ą
ku pocz
ą
tkowi układu.
x
k
ma
−
=
Korzystamy z drugiej zasady
dynamiki Newtona:
Masa na spr
ęż
ynie
x
k
t
x
m
−
=
2
2
d
d
Czyli:
Aby znale
źć
kinematyczne równanie ruchu x(t) trzeba rozwi
ą
za
ć
równanie ró
ż
niczkowe
tzw. równanie oscylatora drga
ń
harmonicznych.
równanie
ró
ż
niczkowe
(II rz
ę
du):
x
m
k
t
d
x
d
−
=
2
2
(*)
inaczej:
0
2
2
=
+
x
m
k
t
d
x
d
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
)
sin(
)
0
0
ϕ
ω
ω
+
−
=
=
t
A
t
d
x
d
(t
v
Zgadujemy rozwi
ą
zanie postaci:
Obliczamy pierwsz
ą
:
i drug
ą
pochodn
ą
:
(przy okazji obliczyli
ś
my pr
ę
dko
ść
i przyspieszenie)
)
(
)
cos(
2
0
0
2
0
2
2
t
x
ω
t
Aω
dt
x
d
dt
d
a(t)
−
=
+
−
=
=
=
ϕ
ω
v
Rozwi
ą
zanie ogólne równania
Podstawiamy do równania oscylatora drga
ń
harmonicznych:
0
)
cos(
)
cos(
0
0
2
0
=
+
+
+
−
ϕ
ω
ϕ
ω
t
A
m
k
t
Aω
m
k
ω
=
0
(*)
to:
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
gdzie:
m
k
ω
=
2
0
2
Ogólniej mo
ż
emy zapisa
ć
,
ż
e rozwi
ą
zaniem równania oscylatora drga
ń
harmonicznych postaci:
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
0
2
0
2
2
=
+
x
ω
dt
x
d
jest funkcja:
0
ω
gdzie:
zale
ż
y od układu drgaj
ą
cego
Dla oscylatora drga
ń
harmonicznych okres drga
ń
nie zale
ż
y od amplitudy
A
.
0
/
2
ω
T
π
=
Okres drga
ń
wynosi
, cz
ę
stotliwo
ść
drga
ń
definiujemy jako:
0
/
2
ω
T
π
=
π
2
/
/
1
0
ω
T
f
=
=
(jednostka cz
ę
stotliwo
ś
ci drga
ń
1 Hz = 1 s
-1
)
Dla spr
ęż
yny mieli
ś
my:
0
d
d
2
2
=
+
x
m
k
t
x
m
k
ω
=
0
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
Ogólne równanie oscylatora drga
ń
harmonicznych
Je
ś
li ruch ciała opisany jest powy
ż
szym równaniem ró
ż
niczkowym to
znamy jego rozwi
ą
zanie.
)
sin(
)
0
0
ϕ
ω
ω
+
−
=
=
t
A
t
d
x
d
(t
v
m
k
ω
=
0
)
cos(
)
(
0
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
gdzie:
Interpretacja rozwi
ą
zania:
A - amplituda ruchu
ωt + φ - fazą drgań
ω
0
=2
π
/T – częst. kątowa
T- okres drgań
φ - faza początkowa
Stałe A i
φ
s
ą
wyznaczone
przez warunki pocz
ą
tkowe:
)
cos(
)
0
(
ϕ
A
x
=
)
sin(
)
0
0
ϕ
ω
A
(
−
=
v
t
A
-A
T
T/2
x(t)
0
0
2T
3T
v
max
T
T/2
v(t)
0
0
2T
3T
T
T/2
0
0
2T
3T
-v
max
a
max
-a
max
a(t)
t
t
2
0
max
0
max
max
Aω
a
Aω
A
x
=
=
=
v
φ=0
)
(
)
cos(
2
0
0
2
0
2
2
t
x
ω
t
Aω
dt
x
d
dt
d
a(t)
−
=
+
−
=
=
=
ϕ
ω
v
3
Energia w ruchu harmonicznym
2
cos
2
cos
2
0
2
2
2
0
0
2
2
2
t
A
m
t
A
k
x
k
E
p
ω
ω
ω
=
=
=
t
A
(t)
0
0
sin
ω
ω
−
=
v
t
A
t
x
0
cos
)
(
ω
=
k
m
=
2
0
ω
2
sin
2
sin
2
0
2
2
0
2
2
2
0
2
t
kA
t
A
m
m
E
k
ω
ω
ω
=
=
=
v
2
)
(
2
)
cos
1
(
2
2
0
2
2
x
A
k
t
kA
E
k
−
=
−
=
ω
inaczej:
.
2
2
2
)
(
2
2
2
2
const
A
k
x
k
x
A
k
E
E
E
p
k
c
=
=
+
−
=
+
=
-A
E
p
(t)
0
x
E
k
(t)
E
c
A
lub
cz
ę
stotliwo
ść
drga
ń
atomów: f
≅≅≅≅
10
14
Hz
Przykład 1.
atomy w sieci krystalicznej
4
Przykład 2.
wahadło matematyczne
ciało o masie punktowej,
zawieszone na cienkiej,
niewa
ż
kiej, nierozci
ą
gliwej nici
składowa siły
powoduj
ą
ca
ruch:
2
2
d
d
t
x
m
ma
F
=
=
θ
sin
d
d
2
2
mg
t
x
m
−
=
θ
sin
mg
F
−
=
II zasada dynamiki
Newtona:
czyli:
dla małych wychyle
ń
θ
:
rozwiazanie równania oscylatora
drga
ń
harmonicznych:
)
cos(
)
(
0
0
ϕ
ω
+
=
t
x
t
x
l
g
=
0
ω
g
l
T
π
2
=
0
2
2
=
+
x
l
g
d t
x
d
poniewa
ż
:
l
x
=
≈
θ
θ
sin
0
2
0
2
2
=
+
x
ω
d t
x
d
moment siły
powoduj
ą
cy
ruch:
2
2
d
d
t
I
I
M
θ
ε
=
=
θ
θ
sin
d
d
2
2
mgd
t
I
−
=
θ
sin
d
mg
M
−
=
II zasada dynamiki
Newtona dla bryły
sztywnej:
czyli:
dla małych wychyle
ń
θ
:
0
d
d
2
2
=
+
θ
θ
I
mgd
t
poniewa
ż
:
θ
θ
≈
sin
rozwi
ą
zanie równania oscylatora drga
ń
harmonicznych:
)
cos(
)
(
0
0
ϕ
ω
θ
θ
+
=
t
t
I
mgd
=
0
ω
mgd
I
T
π
2
=
0
d
d
2
0
2
2
=
+
θ
ω
θ
t
Przykład 3.
wahadło fizyczne
5
dt
dx
b
b
F
x
t
−
=
−
=
v
x
k
F
s
−
=
siły działaj
ą
ce na ciało:
2
2
d t
x
d
m
ma
F
F
F
t
s
=
=
+
=
II zasada dynamiki Newtona:
0
2
2
x =
m
k
+
dt
dx
m
b
+
d t
x
d
2
2
d t
x
d
= m
dt
dx
-kx -b
inaczej:
równania oscylatora
drga
ń
harmonicznych
tłumionych (r. ruchu)
0
2
2
0
2
2
x =
+ ω
dt
dx
β
+
d t
x
d
2m
b
=
β
m
k
=
2
0
ω
β
ω
ω
2
2
-
=
0
rozwi
ą
zanie:
(dodatek 1)
)
+
t
(
Ae
=
x
t
ϕ
ω
β
cos
−
(
ββββ
- współczynnik tłumienia, w
0
-cz
ę
st. kołowa drga
ń
własnych)
gdzie:
RUCH HARMONICZNY TŁUMIONY
2
2
0
β
ω
ω
−
=
Oscylacyjny charakter ruchu zachowany
zostaje dla
słabego tłumienia.
β
ω
>
0
Gdy tłumienie (opór) stanie si
ę
dostatecznie
du
ż
e ruch przestaje by
ć
ruchem drgaj
ą
cym,
a ciało wychylone z poło
ż
enia równowagi
powraca do niego
asymptotycznie.
β
ω
<
0
Szczególny przypadek odpowiada sytuacji,
gdy mówimy wtedy o tłumieniu
krytycznym.
β
ω
=
0
t
e
A
x
β
−
=
)
+
t
(
Ae
=
x
t
ϕ
ω
β
cos
−
Oscylator tłumiony - wnioski
6
Je
ż
eli chcemy podtrzyma
ć
drgania to musimy działa
ć
odpowiedni
ą
sił
ą
zewn
ę
trzn
ą
F(t)
Sił
ę
tak
ą
nazywamy sił
ą
wymuszaj
ą
c
ą
:
t
F
t
F
ω
sin
)
(
0
=
Równanie ruchu:
)
(t
F
b
x
k
ma
x
+
−
−
=
v
F(t)
t
d
x
d
b
x
k
t
d
x
d
m
+
−
−
=
2
2
t
ω
α
x
ω
t
d
x
d
β
t
d
x
d
sin
2
0
2
0
2
2
=
+
+
m
F
m
k
m
b
0
0
2
0
oraz
,
2
=
=
=
α
ω
β
układ jest zasilany z cz
ę
sto
ś
ci
ą
ω
ró
ż
n
ą
od cz
ę
sto
ś
ci własnej
ω
0
)
sin(
)
(
ϕ
ω
+
=
t
A
t
x
2
2
0
2
ω
ω
βω
ϕ
−
−
=
tg
2
/
1
2
2
2
2
2
0
0
]
4
)
[(
ω
β
ω
ω
α
+
−
=
A
gdzie:
WNIOSKI:
•Drgania (wymuszone) w stanie ustalonym odbywaj
ą
si
ę
z cz
ę
sto
ś
ci
ą
siły
zewn
ę
trznej, a nie z cz
ę
sto
ś
ci
ą
własn
ą
•Amplituda i faza zale
żą
od relacji pomi
ę
dzy cz
ę
sto
ś
ci
ą
wymuszaj
ą
c
ą
ω
, a cz
ę
sto
ś
ci
ą
własn
ą
ω
0
oraz od współczynnika tłumienia
DRGANIA WYMUSZONE I REZONANS
ω
0
A
ω
β
4
β
3
β
2
β
1
β
0
= 0
Gdy siła wymuszaj
ą
ca osi
ą
ga
odpowiedni
ą
cz
ę
stotliwo
ść
(rezonansow
ą
)
:
β
0
<β
1
<β
2
<β
3
<β
4
)
2
2
0
2
β
ω
ω
−
=
r
2
2
0
0
2
β
ω
β
α
−
=
r
A
..... rezonans
2
/
1
2
2
2
2
2
0
0
]
4
)
[(
ω
β
ω
ω
α
+
−
=
A
Dla drgań nietłumionych =>
0
→
β
∞
→
r
A
to amplituda drgań gwałtownie
rośnie:
7
Drgania prostopadłe:
)
cos(
;
cos
2
2
1
1
ϕ
ω
ω
+
=
=
t
A
y
t
A
x
Krzywe Lissajous
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
IMIC przyklady prady id 211813 Nieznany
Drgania 4 id 141931 Nieznany
ORZ drgania id 340792 Nieznany
MAS e przyklad roz id 281198 Nieznany
chemia przykladowe zad id 11281 Nieznany
IMIC uklady nieinercjalne id 21 Nieznany
MF12 drgania id 297511 Nieznany
Kolokwium przyklad 10 id 240839 Nieznany
projekt 06 przyklad 02 id 39794 Nieznany
Egzamin przykL,adowy id 152794 Nieznany
Kolokwium przyklad 12 id 241030 Nieznany
AiR Przykladowe zadania2 id 533 Nieznany (2)
projekt 03 przyklad 01 id 39794 Nieznany
GW PROJEKT Przyklad Rozw id 197 Nieznany
Zproj Przyklad Projektu id 5927 Nieznany
6 drgania id 43303 Nieznany (2)
IMIR przyklady kinematyka id 21 Nieznany
projekt 05 przyklad 01 id 39794 Nieznany
więcej podobnych podstron