Automatyka i Robotyka

Przykładowe zadania

1. Dane jest równanie stanu układu sterowania

1

1

2

2

1

5

4

x

y

x

x

u

x

x

⋅

=

⋅

=

+

=

&

&

Określić odpowiedź układu sterowania na impuls Dirac’a.

Odp.:

)

(

5

,

2

)

(

2

2

t

t

e

e

t

y

+

−

+

⋅

=

Time (sec.)

A

m

pl

itud

e

Impulse Response

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0

50

100

150

200

250

300

350

400

2. Dla układu sterowania o transmitancji:

1

2

3

)

(

+

⋅

⋅

=

s

s

s

G

a) podać równanie różniczkowe układu,
b) określić odpowiedź układu na skok jednostkowy,
c) naszkicować charakterystyki A-F Nyquist’a oraz logarytmiczne charakterystyki

Bodego układu,

d) określić pasmo przenoszenia.

Odp.:

a)

)

(

3

)

(

)

(

2

t

u

t

x

t

x

&

&

⋅

=

+

⋅

b)

t

e

t

x

5

,

0

5

,

1

)

(

−

⋅

=

Time (sec.)

A

m

pl

itude

Step Response

0

2

4

6

8

10

12

0

0.5

1

1.5

c)

Real Axis

Im

agi

na

ry

A

xi

s

Nyquist Diagrams

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

Frequency (rad/sec)

P

has

e (

deg)

; M

agn

itude (

dB

)

Bode Diagrams

-40

-20

0

20

10

-2

10

-1

10

0

10

1

0

50

100

d)

rad/s.

3. Dane jest równanie różniczkowe układu sterowania:

)

(

)

(

)

(

2

)

(

3

)

(

4

t

u

t

x

t

x

t

x

t

x

=

+

⋅

+

⋅

+

⋅

&

&&

&&

&

a)

przedstawić model matematyczny układu sterowania w przestrzeni stanu,

b)

podać macierz dynamiki stanu, macierz sterowania oraz macierz tranzycyjną układu,

c)

przedstawić schemat blokowy układu sterowania odpowiadający jego modelowi w
przestrzeni stanu,

Odp.:

a)

(

)

1

3

2

1

3

3

2

2

1

3

2

25

,

0

x

y

u

x

x

x

x

x

x

x

x

=

+

⋅

−

⋅

−

−

⋅

=

=

=

&

&

&

b)

[

]

]

0

[

;

0

0

1

;

25

,

0

0

0

;

75

,

0

1

0

5

,

0

0

1

25

,

0

0

0

=

=





















=





















−

−

−

=

D

C

B

A

c)

∫

∫

∫

2

3

+

+

+

_

4

1

u

+

x

4. Wyznaczyć odpowiedź następującego układu sterowania na impuls Dirac’a.

1

0,01

1

100

s

s

s

G

⋅

+

=

2

,

0

1

)

(

1

0,2

+

_

+

+

u

z

x

Odp.:

0

;

)

2

3

sin

3

,

0

2

3

(cos

1

)

(

5

,

0

≥

⋅

+

−

=

−

t

t

t

e

t

x

t

Time (sec.)

Amp

lit

ud

e

Impulse Response

0

5

10

15

20

25

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

5. Wyznaczyć transmitancję zastępczą układu przedstawionego schematem blokowym:

G

1

G

2

+

+

+

_

_

u

x

Odp.:

2

1

2

1

2

1

)

1

(

G

G

G

G

G

G

Z

⋅

+

+

+

⋅

=

6. Narysować równoważne układy mechaniczny i elektryczny dla hydraulicznego układu
przedstawionego na rysunku.

A

1

h

1

h

2

A

2

R

2

R

1

q

1

q

2

q

3

u

2

C

1

C

2

i

C

1

R

2

R

1

i

2

i

C

2

i

1

u

K

1

K

2

Z

1

Z

2

x

K1

x

1

x

K2

x

2

f

7. Wyprowadzić zlinearyzowany model matematyczny zbiornika gazu przedstawionego na
rysunku. Sygnałami wejściowymi są A

1

(t) i A

2

(t), wyjściowy to ciśnienie w zbiorniku p(t).

Przyjąć, że proces zmiany ciśnienia w zbiorniku odbędzie się w stałej temperaturze
(przemiana izotermiczna).

A

1

(t)

A

2

(t)

p (t)

q

1

(t)

q

2

(t)

p

2

=p

atm .

p

z

=const.

odp.:

)

(

)

(

)

(

)

(

2

2

1

1

t

A

C

t

A

C

t

p

t

p

T

∆

⋅

+

∆

⋅

=

∆

+

∆

⋅ &

gdzie:

RT

V

T

ρ

=

,

)

(

2

0

2

2

0

1

0

1

2

2

0

1

A

A

A

q

C

+

⋅

⋅

⋅

=

α

ρ

oraz

)

(

2

0

2

2

0

1

0

2

2

2

0

1

A

A

A

q

C

+

⋅

⋅

⋅

=

α

ρ

T: temperatura,

ρ

: gęstość, gęstość, R: stała gazowa, q: natężenie przepływu/odpływu,

indeks dolny 0: punkt nominalny (stan ustalony).