Egzamun poprawkowy z matematyki

Wydział WILiŚ, Budownictwo, sem. 2, r.ak. 2006/2007

ZADANIA

Zad.Z1 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]
Wyznaczyć punkt symetryczny do punktu P (6, 2, 9) względem prostej

l :

x + 7

5

=

y + 3

2

=

z + 6

4

.

Zad.Z2 [7p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = ln x + 5 ln y − xy − 8y

2

.

Zad.Z3 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]
Obliczyć moment statyczny względem płasczyzny OXY jednorodnej bryły ograniczonej powierz-
chniami: x

2

+ 4y

2

= 16, z = 0, z =

√

x

2

+ 4y

2

.

Zad.Z4 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 4]
Wyznaczyć rozwiązanie zagadnienia początkowego:

xy

00

+ 2y

0

= x

3

,

y(1) =

1

20

, y

0

(1) = −

4

5

.

Zad.Z5 [8p - rozwiązanie piszemy na stronie 5]
Dane jest równanie:

y

000

− 2y

00

+ 4y

0

− 8y = 3e

2x

+ x sin x.

a) Znaleźć całkę ogólną równania jednorodnego (odpowiadającego danemu równaniu).
b) Przewidzieć postać całki szczególnej danego równania niejednorodnego (stałych nie obliczać).

Max. 38 pkt

TEORIA

Zad.T1 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]
Napisać definicje wartości własnej i odpowiadającego jej wektora własnego macierzy kwadrato-
wej A.
Zad.T2 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 1]
Obliczyć długość wektora ~a = 5~

p − 4~

q, jeżeli |~

p| = 2, |~

q| = 5, ^(~p, ~q) =

2
3

π.

Zad.T3 [2p+3p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]
Korzystając z różniczki zupełnej funkcji obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia

3

√

7, 99 · 2, 03.

Zad.T4 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 2]
Podać definicję maksimum lokalnego funkcji dwóch zmiennych, a następnie, posługując się tą
definicją, wykazać, że funkcja f (x, y) = 3−

√

x

2

+ y

2

ma maksimum lokalne w punkcie P (0, 0).

Zad.T5 [3p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]
Obliczyć pochodną funkcji uwikłanej y = y(x) określonej równaniem: 2y − sin y + x

2

= 0.

Zad.T6 [4p - rozwiązanie piszemy na stronie 3]

Równanie Bernoulliego

y

0

−

sin x

3

y = −3 sin x · y

4

sprowadzić do równania liniowego rzędu

pierwszego.

Max. 22 pkt