Politechnika Gdańska. Materiały pomocnicze do zajęć. Oprac. Danuta Beger (Studium Nauczania Matematyki PG)
MATEMATYKA  POWIERZCHNIE W PRZESTRZENI R3
DEFINICJA
Powierzchnią stopnia drugiego nazywamy zbiór punktów przestrzeni R3 spełniających równanie
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + F yz + Gx + Hy + Jz + K = 0
w którym co najmniej jedna ze stałych A, B, C, D, E, F, G, H, J, K jest różna od zera.
Przykłady
Podane niżej równania opisują następujące powierzchnie
1a) (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = r2  sferę o środku w punkcie S(a, b, c) i promieniu równym r
1b) x2 + y2 + z2 + 2x - 6z + 6 = 0  sfera o środku w punkcie S(-1, 0, 3) i promieniu równym 2.
(x-x0)2 (y-y0)2 (z-z0)2
2a) + + = 1  elipsoida o środku w punkcie P (x0, y0, z0)
a2 b2 c2
2b) 36x2 + 9y2 + 4z2 = 36  elipsoida o środku w punkcie P (0, 0, 0)
2c) 25x2 + 4y2 + 100z2 - 50x + 400z + 325 = 0  elipsoida o środku w punkcie P (1, 0, -2)
3) x2 + y2 - 2y = 3  walec eliptyczny, którego przekrój płaszczyzną z = 0 jest elipsą o środku w punkcie
P (0, 1, 0)
4) 4x2 + 4y2 - z2 = 0  stożek eliptyczny, którego przekrój płaszczyzną o równaniu z = 2 jest okręgiem o
środku w punkcie S(0, 2, 0) i promieniu równym 1
5) 36x2 + 9y2 - 4z2 + 36 = 0  hiperboloida dwupowłokowa, której powłoki mają wierzchołki w punktach
P1(0, 0, 3) i P2(0, 0, -3)
6) 36x2 + 9y2 - 4z2 - 36 = 0  hiperboloida jednopowłokowa, której przekrój płaszczyzną o równaniu z = 0
jest elipsą o środku w punkcie S(0, 0, 0) i promieniach równych odpowiednio 1 i 2.
ZADANIA
1. Proszę ustalić jaką powierzchnię określa równanie
a) x2 = -y2 - z2 + 25 e) x2 = -y + 2 i) 3x2 + z = 1
b) x2 + y2 + z2 - 2x + 4y + 1 = 0 f) 4y2 + z2 = x + 4 j) y2 + z2 - 16 = 0
c) z = -x - y + 4 g) 12x2 + 9z2 = 4y - 36 k) 4x2 + z2 - 16 = 0
d) x2 = -y2 + 25 h) y2 + z2 - 4x = 0 l) 4y + z = -1
2. Proszę narysować powierzchnię określoną równaniem
"
a) x2 = y2 + z2 d) z = 1 - x2 - y2 g) y = - x2 + z2
b) x = y2 + z2 e) z = 1 - x2 - y2 h) x = - 4 - y2 - z2
"
"
c) x2 = z2 - y2 + 4 i) y = 9 - x2 - z2
f) z = x2 + y2
3. Proszę narysować bryłę ograniczoną powierzchniami:
a) x2 + y2 = 1, x2 + y2 = z2
b) x2 + y2 + z2 = 9, x2 + y2 + (z - 5)2 = 4, x2 + y2 + (z - 8)2 = 1, x2 + y2 = -z+
c) x2 - y2 + z2 = 4, x2 + z2 = 1, y = 4, y = -4
d) x2 + y2 = 2, x + y + z = 2, -x + y + z = 2, x - y + z = 2, -x - y + z = 2, z = 0, z = -5
e) z = -x2 - y2 + 9, y2 + z - 1 = 0, z = 0