INTERPRETACJA GEOMETRYCZNA RÓŻNICZKI ZUPEA
NEJ
Niech
K =ð R,
U ÎðTopRn,
f :U ®ð R,
x0 ÎðU ,
f Îð D(ðx0)ð,
tzn. funkcja jest różniczkowalna w punkcie x .
0
Rozważmy wykres funkcji f, tzn. zbiór
Gð =ð {ð(ðx, f (ðx)ð)ð, x ÎðU}ðÌð Rn+ð1
i hiperpłaszczyznę afiniczną Ą przechodząca przez punkt (x , f(x )) i generowaną przez
0 0
różniczkę wyznaczoną w tym punkcie,
pð =ð{ð(ðx, y)ð: x Îð Rn, y Îð R, y =ð f (ðx0)ð+ð dx f (ðx -ð x0)ð}ðÌð Rn+ð1.
0
Wymiar hiperpÅ‚aszczyzny wynosi n (stopieÅ„ niższy niż wymiar przestrzeni Rn+ð1 ).
y
pð
(x0,f(x0))
x2
x1
HiperpÅ‚aszczyzna Ä„ jest styczna do wykresu “ funkcji f w punkcie o współrzÄ™dnych (x , f(x )),
0 0
bo wartość y z płaszczyzny Ą przybliża wartość funkcji f z dokładnością do o(x-x ),
0
f (ðx)ð-ð y =ð f (ðx)ð-ð f (ðx0)ð-ð dx f (ðx -ð x0)ð=ð o(x -ð x0).
0
{ð {ð
ÎðGð Îðpð
opracował Jacek Zańko
1