RÓŻNICZKA ZUPEA
NA
Niech przestrzenie unormowane nad K,
(�X , )�,(�Y, )�
U ��TopX ,
f :U �� Y,
x0 ��U.
Różniczką zupełną (pochodną zupełną) odwzorowania f w punkcie x nazywamy
0
odwzorowanie liniowe i ciągłe Lx �� L(X, Y) spełniające warunek
0
f (�x0 +� h)�-� f (�x0)�=� Lx (�h)�+� o(�h)� dla x0 +� h ��U
0
lub równoważnie
f (�x0 +� h)�-� f (�x0)�-� Lx (�h)�
0
lim =� 0��Y
h��0
h
lub
rx (�h)�
0
f (�x0 +� h)�-� f (�x0)�=� Lx (�h)�+� rx (�h)�, gdzie lim =� 0.
0 0
h��0
1� 3� 1�3�
2� 2�
h
część reszta
liniowa
Zatem funkcja f w punkcie x ma rózniczkę zupełną, jeśli przyrost funkcji można rozłożyć na
0
część liniową i nieliniową resztę, która jest funkcją typu o(h).
Różniczkę odwzorowania f w punkcie x oznaczamy też symbolem dx f lub f '(�x0)�.
0
0
Definicja
x ��U
Jeśli f jest różniczkowalna dla każdego , to odwozorowanie
f ':U '� x �� dx f �� L(X,Y)
nazywamy odwzorowaniem pochodnym funkcji f.
1
Przykład
Zbadać różniczkowalność funkcji f : R2 �� R3, f (�x, y)�=� (�xy, x +� y, x2 +� y2)�
w punkcie
(x , y )=(2, 1).
0 0
Wybieramy wektor h=[h , h ] i obliczamy przyrost D�f funkcji f w punkcie (x , y )
1 2 0 0
D�f =� f (�x0 +� h1, y0 +� h2)�-� f (�x0, y0)�=� f (�2 +� h1, 1+� h2)�-� f (�2, 1)�=�
2 2
=� (�(�2 +� h1)�(�1+� h2)�, 3+� h1 +� h2, (�2 +� h1)� +�(�1+� h2)� )�-�(�2, 3, 5)�=�
ć� ��
��2h2
=� +� h +� h1h2, h12�h2, 44�2�23� +� h12 +� h22 �� =�
h h
1�2�3� 1�+�3� 1�1 +� 4�2
4� 4�1
�� ��
Ł� liniowe liniowe liniowe ł�
=� (�2h2 4�4�h1 h2, 4h1 +� 24�)�+�(�h1h2,4�,2�4�+� h3�)�
0 h12 22
1�4�+� h1, 4�+� 3�
4�2�4�4�4�4�h2 1�4� 4� 4�4�
część część
liniowa nieliniowa
Musimy pokazać, że część nieliniowa jest typu o(h).
ć� ��
(�h1h2, 0, h12 +� h22)�=� lim(�h1h2, 0, h12 +� h22)�=� lim�� h1h2
lim , 0, h12 +� h22 �� =�(�0, 0, 0)�,
h1��0
h��0 h��0 �� ��
h
h12 +� h22 h2 ��0Ł� h12 +� h22
ł�
skorzystalismy z liczymy granicę dla
normy euklidesowej każdej składowej osobno
h1h2 obliczyliśmy korzystając ze
gdzie granicę pierwszej składowej lim(�0,
(�h1, h2 )�� 0)�
h12 +� h22
współrzędnych biegunowych:
r cosj� r sinj�
lim =� lim rcosj� sin =� 0.
{�1� 3�
r��0 4�2�4�j�
r��0
r
j� -�dow.Ż� ograniczone
j� -�dow.
0
Zatem udowodniliśmy, że część liniowa należy do klasy o(�h)� �� f �� D(�x0, y0)�.
Część liniowa stanowi różniczkę, czyli
d(2, 1) f (�h1, h2)�=� (�h1 +� 2h2, h1 +� h2, 4h1 +� 2h2)�
lub korzystajacąc z macierzowego zapisu odwzorowania liniowego
1 2
�� ł�
ę�1
d(2,1) f (�h1, h2)�=� 1ś�[�h1, h2]�.
ę� ś�
ę� ś�
��4 2��
2
Twierdzenie (o jednoznaczności różniczki w punkcie)
Jeśli istnieje różniczka dx f , to jest jedyna.
0
Uwaga
Jedyność różniczki odwzorowania określonego w przestrzeni o wymiarze dimX >1
uzyskujemy dzięki temu, że dziedzina tego odwzorowania jest zbiorem otwartym.
http://notatek.pl/rozniczka-zupelna?notatka
Przykład
Niech D =�{�(�x, y)�: 0 Ł� x Ł� 1, 0 Ł� y Ł� x2}�,
f : D �� R,
f (�x, y)�=� x3.
Dziedzina funkcji nie jest zbiorem otwartym, D ��TopR2.
Wyznaczamy różniczkę w punkcie (x , y )=(0, 0), który jest punktem skupienia dziedziny D.
0 0
I. Rozłóżmy przyrost w punkcie (0,0) na część liniową i nieliniową
f (�0 +� h1, 0 +� h2)�-� f (�0, 0)�=� h13 =� 0 +� h13
Zatem L(�0, 0)�(�h1, h2)�=� 0 jest różniczką funkcji w punkcie (0, 0), jeżeli
r(h1, h2) =� h13 jest
typu o(h).
Sprawdzamy czy r(�h)��� o(�h)�:
h13
lim(0,0) =� 0,
(h1,h2 )��
h12 +� h22
ponieważ
r3 cos3 j�
lim =� lim r2 cos33� =� 0.
{�
2�j�
r��0 r��0 1�
r
Ż�
ograniczone
j� -�dow. j� -�dow.
0
3