1
Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.3
dr Jolanta Dymkowska
Równania zupełne
Załóżmy, że funkcje P (x, y) i Q(x, y) mają ciągłe pochodne cząstkowe rzędu pierwszego w
obszarze D ‚" R2 (o zbiorze D zakÅ‚adamy, że jest otwarty i jednospójny). Równanie różniczkowe
pierwszego rzędu postaci:
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
nazywamy równaniem różniczkowym zupełnym, jeżeli spełniony jest warunek:
"(x,y)"D Py(x, y) = Qx(x, y).
Ponadto jeżeli spełniony jest powyższy warunek, to istnieje funkcja F = F (x, y) (określona w
obszarze D i posiadająca w tym obszarze ciągłe pochodne cząstkowe rzędu drugiego) taka, że
"(x,y)"D P (x, y) = Fx(x, y), Q(x, y) = Fy(x, y).
Tym samym wyrażenie P (x, y) dx + Q(x, y) dy = dF (x, y) jest różniczką zupełną funkcji F (x, y) ,
a równanie zupełne przyjmuje postać:
dF (x, y) = 0.
Całką ogólną takiego równania jest funkcja uwikłana (o ile istnieje) y = y(x) określona rónaniem:
F (x, y) = C,
gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą.
Rozwiązanie równania zupełnego polega więc na znalezieniu funkcji F (x, y) takiej, że
Fx(x, y) = P (x, y) i Fy(x, y) = Q(x, y) .
Przykład Wyznaczyć całkę ogólną równania:
( y e-x + ex )dx - e-x dy = 0.
RozwiÄ…zanie:
Na poczatek sprawdzamy, czy jest to równanie zupełne:
P (x, y) = y e-x + ex Py(x, y) = e-x
Q(x, y) = - e-x Qx(x, y) = e-x
Zatem Py(x, y) = Qx(x, y) , a tym samym równanie jest równaniem zupełnym.
W celu rozwiązania równania szukamy funkcji F (x, y) takiej, że Fx(x, y) = P (x, y) i
Fy(x, y) = Q(x, y) , czyli:
Fx(x, y) = y e-x + ex
Fy(x, y) = - e-x
Skoro
Fx(x, y) = y e-x + ex,
2
to całkując powyższą równość względem zmiennej x otrzymujemy
F (x, y) = -y e-x + ex + C(y),
gdzie C(y) jest nieznaną funkcją zmiennej y (mówimy: stałą zależną od y ). Stąd
Fy(x, y) = - e-x + C (y) = - e-x = Q(x, y).
Zatem C (y) = 0 a tym samym C(y) = C , gdzie C jest stałą rzeczywistą.
Całka ogólna naszego równania w postaci uwikłanej dana jest więc równością:
F (x, y) = -y e-x + ex + C = 0.
StÄ…d
y = e2x + C ex.
Ćwiczenia Wyznaczyć całkę ogólną równania:
1. (3x2 - 2y) dx + (3y2 - 2x) dy = 0
2. (x2 - 4xy - 2y2) dx + (y2 - 4xy - 2x2) dy = 0
3. ey dx - (2y - xey) dy = 0
4. 2xy dx + (x2 + y2) dy = 0
5. x ((x2 + y2) - 4) dx + y ((x2 + y2) + 4) dy = 0
6. ex(1 + ey) dx + ey(1 + ex) dy = 0

2x 1 3x2
7. dx + - dy = 0
y3 y2 y4

y2 2y
8. 2 - dx + dy = 0
x2 x
2x(1-ey)
ey
9. dx + dy = 0
(1+x2)2 1+x2
2x y2-3x2
10. dx + dy = 0
y3 y4
11. (2x sin y - y2 sin x) dx + (x2 cos y + 2y cos x + 1) dy = 0
12. ( ex+y + ex ) dx + ( ex+y + ey ) dy = 0
13. ( tg x - sin x sin y ) dx + cos x cos y dy = 0

x
14. ( ln y - 2x ) dx + - 2y dy = 0
y
Ćwiczenie Rozwiązać zagadnienie początkowe Cauchy ego dla równania zupełnego:
1. (2xy3 + 8x) dx + (3x2y2 + 5) dy = 0, y(2) = -1
2. (4x3 + 6xy3) dx + (9x2y2 + 3) dy = 0, y(1) = 0