Zadania z równań różniczkowych
Bogdan Przeradzki
9 stycznia 2007
Zadanie 1. Rozwiazać równania:
1 + x2
x = 2tx, x = , x = ex+t,
t
x = ln t · x ln x, x = sin t · cos x, x = |x|,
"
t(1 + x2)
x = , tx = x,
x(1 + t2)
"
x = x cos t, x = t 1 + x2,
1 + x2 1 + x2 2t(1 + ex)
x = - , x = , x = ,
tx t (1 + t2)ex
"
" "
2t 1 - x2 x sin t
x x 1 + t2 = -t 1 + x2, x = , x = ,
1 + t2 ln x cos2 t
x cos x(1 + e2t) = -et sin3 x, (t + x)2x = c2,
x = sin(x - t), x + tx = 1 + tx.
Zadanie 2. Rozwiazać zagadnienia poczatkowe:
x = x · ctg t, x(Ä„/2) = 1,
x ln x
x = - , x(1) = 1,
t
x
x = , x(1) = 0,
t
x = x cos t, x(0) = 1.
1
Zadanie 3. Znalez
ć rozwiazania nastepujacych równań spelniajace za-
dane warunki:
1 16Ä„
x = - , lim x(t) = ,
t"
t2 cos x 3
1 + sin x
x = , lim x(t) = 5Ä„,
t"
t3
ex - 1
x = , x ograniczona przy t ",
e4x
x - 1
x = , x ograniczona przy t ".
t + 1
Zadanie 4. Rozwiazać równania stosujac odpowiednia zamiane zmien-
nych:
"
x2 + t2 1 - 2t - 2x
x = , tx = x + t2 - x2, x = ,
t2 1 + t + x
x 1 = -x2 Ä… x1(x2 + x2),
1 2
x 2 = x1 Ä… x2(x2 + x2),
1 2
t2 + 2tx - x2
x = - ,
x2 + 2tx - t2
tx
x = ,
3t2 - x2
2 - t - x
x = ,
t - x + 4
3x - 4t x + t - 2
x = , (1 - t)x = x + t - 2, x = ,
2x - 3t x - t - 4
t2 + x2
x = - ,
t2
tx = x(ln x - ln t),
5 - 2t - 3x
x = .
3t + 2x - 5
2
Zadanie 5. Znalez
ć rozwiazanie równania
x - x = cos t - sin t,
które jest ograniczone na przedziale [0, ").
Zadanie 6. W tarcze wbija sie pocisk o masie m z predkościa poczatkowa
v0. Sila oporu tarczy jest proporcjonalna do kwadratu predkości: F =
-bv2. Na jaka glebokość wbije sie pocisk i po jakim czasie zatrzyma
sie?
Zadanie 7. Przez tarcze przebija sie pocisk o masie m z predkościa
poczatkowa v0, a wychodzi z niej z predkościa v1. Znalez
ć grubość tar-
czy.
Zadanie 8. Z krawedzi stolu zsuwa sie sznur o masie m i dlugości l,
przy czym w chwili poczatkowej t0 = 0 zwisa go l0 " (0, l) i sznur sie nie
zsuwa. Pod wplywem sily cieżkości sznur rozpoczyna zsuwanie. Znalez
ć
równanie różniczkowe opisujace dlugość sznura zwisajaca w chwili t. Po
jakim czasie caly sznur sie zsunie?
Zadanie 9. Rozwiazać równanie Verhulsta N = rN(1 - N/K), gdzie
r i K sa stalymi dodatnimi. Opisuje ono wzrost populacji  N(t) ozna-
cza liczbe osobników populacji w chwili t (wielkość ,,uciaglona ). Prze-
analizować charakter rozwiazań i zinterpretować wyniki. Analogicznie
dla równania Allee N = N(r - a(N - b)2) i równania Gompertza
N = -aN ln(bN) opisujacego wzrost liczby komórek nowotworowych
a, b > 0.
Zadanie 10. Znalez
ć wszystkie rozwiazania nastepujacych równań:
2
x = 2tx + 2tet , x + x cos t = sin 2t,
x = xtg t + cos-3 t, x - t ln t · x = 3t3(ln t)2.
Zadanie 11. Znalez
ć wszystkie rozwiazania nastepujacych równań:
x + 2x = e-t, x cost - x sin t = 2t,
t
2
x = -xett + e(1-t)e , x - · x = t3 cos t.
t
3
Zadanie 12. Znalez
ć wszystkie rozwiazania równań:
3tx2x - 2x3 = t3, , 2x sin t + x cos t = x3 sin2 t
x cos t
3t2
2x ln t + = , x = .
t3+ex
t x
Wskazówka do ostatniego równania: jakie równanie spelnia funkcja
odwrotna do t x(t)?
Zadanie 13. Przypuśćmy, że znane sa dwa różne rozwiazania Ć1, Ć2
równania niejednorodnego x = p(t)x+q(t). Znalez
ć wszystkie rozwiazania
tego równania.
Zadanie 14. Rozważmy wykresy rozwiazań równania x = p(t)x+q(t)
i wez
my styczne do tych krzywych w punktach (t0, x), gdzie x " R
należy do wykresu. Wykazać, że wszystkie te styczne przecinaja sie w
jednym punkcie.
Zadanie 15. Punkt o masie m porusza sie po prostej pod dzialaniem
sily proporcjonalnej do czasu t (wspólczynnik proporcjonalności k1) i
napotyka na opór ośrodka proporcjonalny do jego predkości (wspól-
czynnik proporcjonalności k2). Znalez
ć zależność jego predkości od czasu,
jeżeli w chwili t0 = 0 punkt ten pozostawal w spoczynku.
Zadanie 16. Znalez
ć wszystkie rozwiazania równań:
x + 2tx ="
2tx2, x = x cos t + x2 cos t,
x = 2xet + 2 xet, 2x ln t = t-1x + x-1 sin t.
Zadanie 17. Rozwiazać równania:
(sin xy + xy cos xy) dx + x2 cos xy dy = 0,
(3x2 - 2x - y) dx + (2y - x + 3y2) dy = 0,
x dx + y dy x dy - y dx
+ = 0,
x2
x2 + y2
x2 + y2 x2 + y2
2x + dx = dy,
x2y xy2
2x(1 - ey) ey
dx + dy = 0.
(1 + x2)2 1 + x2
4
Zadanie 18. Rozwiazać nastepujace równania:
(1-x2y) dx+x2(y -x) dy = 0, (2xy2 -3y3) dx+(7-3xy2) dy = 0,
x2 + t2 + 1 t + sin t + sin x
x = , x = - ,
2tx cos x
(x cos y - y sin y)dy + (x sin y + y cos y)dx = 0.
Zadanie 19. Rozwiazać równania:
x(2x2 + y2) dx + y(x2 + 2y2) dy = 0,
2y3 x3 3y2
(3x2ctg y - ) dx + ( + 4y3 + ) dy = 0,
x3 sin2 y x2
x
dx + - sin y dy = 0,
y
6 x2 y
3x + + + 3 y (x) = 0,
y y x
3xy + y2 + (x2 + xy)y (x) = 0,
(x ln y + xy) dx + (y ln x + xy) dy = 0,
1 1
sin y + y sin x + dx + x cos y - cos x + dy = 0,
x y
2x y2 - 3x2
dx + dy = 0.
y3 y4
Zadanie 20. Rozwiazać nastepujace równania:
(1 - x2y) dx + x2(y - x) dy = 0, (x2 + y) dx - x dy = 0,
(x4 ln x-2xy3) dx+3x2y2 dy = 0, (x-xy) dx+(y+x2) dy = 0 µ(x2+y2).
Zadanie 21. Znalez
ć rozwiazania ukladów równań:
Å„Å‚
x =
òÅ‚ -4x + 2y + 5z
x = 2x - y
y = 6x - y - 6z
y = x + 2y,
ół
z = -8x + 3y + 9z,
Å„Å‚ Å„Å‚
x =
òÅ‚ -y + z x = 5x - y - 4z
òÅ‚
y = z y = -12x + 5y + 12z
ół ół
z = -x + z, z = 10x - 3y - 9z.
5
Zadanie 22. Rozwiazać równania:
x = x - y + 4 cos 2t x = 5x + 4y + et
y = 3x - 2y + 8 cos 2t + 5 sin 2t, y = 4x + 5y + 1,
2
x = -4x - 2y +
x = x + y - cos t
et-1
3
y = -2x - y + sin t + cos t, y = 6x + 3y - .
et-1
Zadanie 23. Rozwiazać równania:
x - 13x - 12x = 0, x - 2x = 0,
x + 4x = 0, x(6) Ä… x = 0,
x - x = t2 - t + 1, x - 2x + x = 4et,
sin t
x + x = cos t + cos 2t, x + x = ,
cos2 t
2-t
x + x = et, x + 4x = t2 sin2 t.
t3
Zadanie 24. Znalez
ć rozwiazania ukladów równań:
x = 8y - x x = x + y
y = x + y, y = 4y - 2x,
Å„Å‚ Å„Å‚
x =
òÅ‚ -x + y + z x = 2x - y + z
òÅ‚
y = x - y + z y = x + z
ół ół
z = x + y - z, z = -3x + y - 2z.
Zadanie 25. Rozwiazać równania:
x = 2x - 4y + 1 x = 2x + 4y + cos t
y = -x + 5y, y = -x - 2y + sin t,
x = -2x + y - e2t x = y + tg2t - 1
y = -3x + 2y + 6e2t, y = -x + tg t.
Zadanie 26. Rozwiazać równania:
x + 2x + 2x = (5t + 4)et + e-t, x - 3x = 18t - 10 cos t,
x - x = t + sin t, x - x = 1 + et,
x - x = t2 - t + 1, x - 2x + x = 4et,
1
x + 4x = sin t sin 2t, x(4) + 2x + 2x + 2x + x = tet + cos t.
2
6
Zadanie 27. Rozważmy równanie
x + É2x = f(t),
gdzie É jest stala dodatnia, a f : R R funkcja ciagla 2Ä„ -okresowa. Ja-
É
kie warunki musi spelniać funkcja f, aby równanie to posiadalo rozwia-
2Ä„
zanie -okresowe?
É
Wskazówka: Przedstawić f w postaci sumy trygonometrycznego sze-
regu Fouriera.
Zadanie 28. (i) Wykazać, że uklad funkcji Õj : (a, b) R, j =
1, . . . , k, klasy Ck-1 jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy
îÅ‚ Å‚Å‚
Õ1, Õ2, . . . , Õk
ïÅ‚
Õ 1, Õ 2, . . . , Õ k śł
ïÅ‚ śł
det = 0.

ðÅ‚ ûÅ‚
. . . . . . . . . . . .
Õ(k-1), Õ(k-1), . . . , Õ(k-1)
1 2 k
(ii) Pokazać, że jeśli liczby rzeczywiste j, j = 1, . . . , k, sa parami
j
różne, to funkcje t e t, j = 1, . . . , k, sa liniowo niezależne.
(iii) Pokazać, że funkcje t tjet, j = 0, . . . , k, sa liniowo nie-
zależne.
Zadanie 29. Znalez
ć 8 pierwszych wyrazów rozwiniecia w szereg potegowy
rozwiazań równań
x + tx - t3x = 0,
x + (3t - 2t2)x - (t + 1)x = 0.
Zadanie 30. Znalez
ć rozwiazanie zagadnienia poczatkowego w postaci
szeregu potegowego:
x = 2tx, x(0) = 1, x (0) = 2;
x - tx + x = 1, x(0) = x (0) = 0.
Zadanie 31. Znalez
ć wszystkie rozwiazania równania w postaci sze-
regu potegowego:
2
x + x + x = 0,
t
t2x + tx + (t2 - µ2)x = 0,
2t2x + t2x - (t + 1)x = 1.
7
Zadanie 32. Znalez
ć 8 pierwszych wyrazów rozwiniecia w szereg potegowy
rozwiazań równań
x - (1 + t2)x = 0,
x + (3t - 2t2)x - (t + 1)x = 0.
Zadanie 33. Znalez
ć rozwiazanie zagadnienia poczatkowego w postaci
szeregu potegowego:
x = 2tx, x(0) = 1, x (0) = 2;
x - etx = 0, x(0) = x (0) = 1.
Zadanie 34. Znalez
ć wszystkie rozwiazania równania w postaci sze-
regu potegowego:
x + tx + x = 0,
x - 2tx = 0.
Zadanie 35. Znalez
ć trajektorie ukladów:
Å„Å‚
x 1 = x3 - x2
òÅ‚
x 2 = x1 - x3
ół
x 3 = x2 - x1;
x 2
x = - ;
x
z
y =
(z-y)2
y
z = ;
(z-y)2
Å„Å‚
x = cos y
òÅ‚
y = cos x
ół
z = cos x · cos y.
Zadanie 36. Znalez
ć trajektorie ukladów:
1
x = -y
x = x2 + y2
1
y = 2xy,
y = ,
x
x
x =
x = sin2 x sin2 y + cos2 x cos2 y
y
y 1
y = sin 2x sin 2y,
y = ,
2
x
y
x =
x-y
x
y = .
x-y
8
Zadanie 37. Naszkicować portrety fazowe ukladów
x = -3x2 - 2x, x = -4x3 + 18x2 - 22x + 6,
2x
x = , x = x3 - x,
x2 + 1
x + sin x = 0, x + bx + sin x = 0,
x + x = Ä… + µx2.
Ostatnie trzy równania to kolejno: równanie wahadla, równanie wa-
hadla z tlumieniem, równanie ruchu planet Einsteina.
Zadanie 38. Przeanalizować uklad
x = x(1 - ax - by)
y = y(1 - cx - dy)
opisujacy rozwój dwóch rywalizujacych ze soba populacji, a, b, c, d > 0.
Interesuje nas zachowanie ukladu w I ćwiartce ukladu wspólrzednych
(liczba osobników jest e" 0.) Znalez
ć punkty stale, zbadać ich stabilność
i charakter. Naszkicować możliwe portrety fazowe. Zinterpretować wy-
niki.
Zadanie 39. Przeanalizować uklad
x = x(a - by)
y = y(-c + dx)
opisujacy rozwój dwóch populacji  drapieżników i ich ofiar; a, b, c, d >
0. Interesuje nas zachowanie ukladu w I ćwiartce ukladu wspólrzednych
(liczba osobników jest e" 0.) Znalez
ć punkty stale, zbadać ich charakter.
Wskazówka  poszukać calki pierwszej w postaci
F (x, y) = g(x) · h(y).
Jest ona zarazem funkcja Lapunowa dla nietrywialnego punktu stalego.
Pokazać, że jest to centrum.
9
Zadanie 40. Zbadać stabilność rozwiazania zerowego dla ukladów.
Jeśli to możliwe, określić charakter punktu stalego (0, 0) :
x = y - x3 x = y + x3 x = x + 2xy2
y = -x - y3, y = -x + y3, y = -2y + 4x2y,
x = -3y - 2x3 x = -xy4 x = xy - x3 + y
y = 2x - 3y3, y = x4y, y = x4 - x2y - x3,
x = y - x3 x = -x - 2y + x2y2
1 1
y = -x - 3y3, y = x - y - x3y,
2 2
x = -2y - x(x - y)2 x = xy - x3 + y x = x5 + y3
3
y = 3x - y(x - y)2, y = x4 - x2y - x3, y = x3 - y5,
2
x = -x + 3y + x2 sin y x = 7x + 2 sin y - y4
5
y = -x - 4y + 1 - cos y2, y = ex - 3y - 1 + x2.
2
Zadanie 41. Znalez
ć wartości i funkcje wlasne dla zagadnienia Sturma
Liouville a:
a) Lx = x , x(0) = x(1) = 0,
b) Lx = x , x (0) = x (1) = 0,
c) Lx = x , x(0) = x (1) = 0,
d) Lx = x + 2x , x(0) = x(1) = 0.
Zadanie 42. Dla zagadnień z poprzedniego zadania znalez
ć funkcje
Greena.
Zadanie 43. Rozwiazać zagadnienia Sturma Liouville a
x + 3x = t, x(0) = 0 = x(1),
x - 5x = t3, x (0) = 0 = x (1).
Zadanie 44. Narysować portret fazowy ukladu
x = -2 cos x - cos y
y = -2 cos y - cos x
10
Zadanie 45. Napisać program rozwiazujacy zagadnienia poczatkowe
przy pomocy metody Eulera i zmodyfikowanej metody Eulera
x = x2 + t2, x(0) = 1,
x = sin tx, x(0) = -1,
a nastepnie narysować wykresy tych rozwiazań oraz rozwiazania otrzy-
manego przy pomocy pakietu Mathematica (Maple), które jest znale-
zione metoda Rungego Kutty czwartego rzedu. Porównać je. Osza-
cować przedzial określoności maksymalnego rozwiazania zagadnienia.
Dlaczego rozwiazania otrzymane metodami Eulera sa określone na wiekszym
przedziale?
Zadanie 46. (") Wykazać, że rozwiazanie zagadnienia poczatkowego
x = -(t + 1)x2 + t, x(-1) = 1
jest przedlużalne na cala prosta, jest ograniczone i
lim x(t) = 1.
t"
Zadanie 47. (") Wykazać, że rozwiazania równania
1
x =
t2 + x2
startujace w chwili t0 = 0 z punktu x0 = 0 przedlużaja sie na cala

prosta i maja określone granice dla t ą".
Zadanie 48. (") Wykazać, że rozwiazanie zagadnienia poczatkowego
x = sin(tx), x(0) = a > 0
przedluża sie na cala prosta, jest wszedzie dodatnie i
lim x(t) = 0.
tÄ…"
Zadanie 49. (") Niech a > 0. Dla rozwiazań równania
x = a2 - x2
znalez
ć minima i maksima. Gdzie leża wykresy rozwiazań okresowych
i nieokresowych?
11
Zadanie 50. (") Wykazać, że dla każdego c > 0 zagadnienie brzegowe
x + x2 = 0, x(-c) = 0 = x(c)
ma dokladnie dwa rozwiazania.
Zadanie 51. Przy pomocy tw. Poincaré Bendixsona pokazać, że uklad
r = r(1 - r2) + µr cos ¸
¸ = 1
posiada dla malych µ trajektorie okresowa (r, ¸  wspólrzedne biegu-
nowe).
Zadanie 52. Przy pomocy tw. Poincaré Bendixsona pokazać, że uklad
x = -x + ay + x2y
y = b - ay - x2y
posiada dla a, b > 0 trajektorie okresowa.
Zadanie 53. Przy pomocy komputera naszkicować pewne rozwiazania
równania Duffinga z tlumieniem i sila zewnetrzna:
x + ´x - x + x3 = F · cos Ét,
gdzie przyjmujemy ´ = 0, 25, É = 1 (skladnik ´x odpowiada za tlumienie,
prawa strona to silzewnetrzna). Punkt startu wybieramy dowolnie na-
tomiast najpierw F = 0, 18, a w drugim kroku F = 0, 40. Narysować
wykresy t x(t), t x (t), a nastepnie trajektorie (x, x ). Zinterpre-
tować wyniki.
12