ÿþT W I E R D Z E N I E O I S T N I E N I U R Ó {N I C Z K I Z U P E AN E J
T w i e r d z e n i e ( o i s t n i e n i u r ó |n i c z k i z u p e Bn e j )
N i e c h
U ÎðT o p R n ,
f : U ®ð R s ,
x 0 ÎðU
¶ðf
o r a z n i e c h "ðj =ð 1 , . . . , n $ð w k a |d y m p u n k c i e z b i o r u U .
¶ðx j
1ð3ð
2ð
p o c h o d n e
c z s t k o w e
J e [l i
¶ðf
"ðj =ð1 , . . . , n ÎðC (ðx 0 )ð
¶ðx j
1ð4ð4ð4ð4ð2ð4ð4ð4ð4ð
3ð
k a |d a p o c h o d n a c z s t k o w a
j e s t c i g Ba w p u n k c i e x 0
t o
1 o $ðd x f
0
1ð2ð3ð
i s t n i e j e r ó |n i c z k a
w p u n k c i e x
0
o r a z
n
¶ðf
2 o d x f (ðh )ð=ð (ðx 0 )ðh j d l a h =ð (ðh 1 , . . . , h n )ðÎð R n .
åð
0
¶ðx j
j =ð1
D o w ó d
W y s t a r c z y r o z w a |y p r z y p a d e k s = 1 , a p o zn i e j u t w o r z y k o m b i n a c j l i n i o w r o z w i z a D
u t w o r z o n y c h d l a p o s z c z e g ó l n y c h s k Ba d o w y c h .
N i e c h s = 1 .
1 0 Z a Bó |m y , |e n = 2 .
$ðr >ð 0 : K ( x , r ) Ìð U .
W y b i e r a m y p u n k t x =ð ( x 1 , x 2 ) ÎðU . W t e d y
N i e c h h =ð ( h 1 , h 2 ) Îð K ( ( 0 , 0 ) , r ) i h ¹ð 0 ( t z n . ( h 1 , h 2 ) ¹ð ( 0 , 0 ) ) .
P r z e d s t a w m y p r z y r o s t Dðf f u n k c j i f w p u n k c i e x w p o s t a c i s u m y d w ó c h r ó |n i c :
Dðf =ð f (ðx +ð h )ð-ð f (ðx )ð=ð f (ðx 1 +ð h 1 , x 2 +ð h 2 )ð-ð f (ðx 1 +ð h 1 , x 2 )ð+ð f (ðx 1 +ð h 1 , x 2 )ð-ð f (ðx 1 , x 2 )ð
f (ðx 1 +ð h 1 , ×ð)ð
P o n i e w a | f u n k c j a j e s t c i g Ba i r ó |n i c z k o w a l n a w [ x , x + h ] z a t e m , n a p o d s t a w i e
2 2 2
t w i e r d z e n i a L a g r a n g e ' a
1
¶ðf
$ðc 2 Îð(ðx 2 , x 2 +ð h 2 )ð: f ( x 1 +ð h 1 , x 2 +ð h 2 ) -ð f ( x 1 +ð h 1 , x 2 ) =ð h 2 ×ð (ðx 1 +ð h 1 , c 2 )ð
¶ðx 2
f (ð×ð, x 2 )ð
P o d o b n i e , p o n i e w a | f u n k c j a j e s t c i g Ba i r ó |n i c z k o w a l n a w [ x , x + h ] z a t e m , n a
1 1 1
p o d s t a w i e t w i e r d z e n i a L a g r a n g e ' a o t r z y m u j e m y
¶ðf
$ðc 1 Îð(ðx 1 , x 1 +ð h 1 )ð: f ( x 1 +ð h 1 , x 2 ) -ð f ( x 1 , x 2 ) =ð h 1 ×ð (ðc 1 , x 2 )ð.
¶ðx 1
S t d
¶ðf ¶ðf
f ( x +ð h ) -ð f ( x ) =ð h 1 ×ð (ðc 1 , x 2 )ð+ð h 2 ×ð (ðx 1 +ð h 1 , c 2 )ð.
¶ðx 1 ¶ðx 2
O b l i c z a m y r e s z t
¶ðf ¶ðf ¶ðf ¶ðf
r x (ðh )ð=ð f (ðx +ð h )ð-ð f (ðx )ð-ð d x f ( h ) =ð h 1 (ðc 1 , x 2 )ð+ð h 2 (ðx 1 +ð h 1 , c 2 )ð-ð (ðx 1 , x 2 )ð×ðh 1 -ð (ðx 1 , x 2 )ð×ðh 2 =ð
¶ðx 1 ¶ðx 2 ¶ðx 1 ¶ðx 2
æð æð
¶ðf ¶ðf ¶ðf ¶ðf
çð ÷ð çð ÷ð
=ð h 1 çð (ðc 1 , x 1 )ð-ð (ðx 1 , x 2 )ðöð +ð h 2 çð (ðx 1 +ð h 1 , c 2 )ð-ð (ðx 1 , x 2 )ðöð
¶ðx 1 ¶ðx 1 ÷ð èð ¶ðx 2 ¶ðx 2 ÷ð
èð øð øð
a n a s t p n i e s p r a w d z a m y , c z y j e s t o ( h ) ,
æð öð æð öð
÷ð çð ÷ð
r x (ðh )ð h 1 çð ¶ðf ¶ðf h 2 çð ¶ðf ¶ðf
çð
=ð (ðc 1 , x 1 )ð-ð (ðx 1 , x 2 )ð÷ð +ð (ðx 1 +ð h 1 , c 2 )ð-ð (ðx 1 , x 2 )ð÷ð ¾ð 0
¾ð®ð
g d y ( h 1 , h 2 ) ®ð0
çð ÷ð çð ÷ð
h h ¶ðx 1 3ð ¶ðx 1 h ¶ðx 2 4ð2ð4ð4ð ¶ðx 2
1ð4ð2ð4ð 1ð4ð 3ð
{ðçð {ðçð
÷ð ÷ð
o g r . o g r .
èð øð èð øð
¯ð ¯ð
¶ðf ¶ðf
(ðx 1 , x 2 )ð (ðx 1 , x 2 )ð
¶ðx 1 ¶ðx 2
P r z y o b l i c z a n i u g r a n i c y s k o r z y s t a l i [m y z n a s t p u j c y c h i m p l i k a c j i :
h 1 ®ð 0 Þð x 1 +ð h 1 ¾ð x 1 Þð c 1 ®ð x 1
¾ð®ð
h 1 ®ð0 h 1 ®ð0
h 2 ®ð 0 Þð x 2 +ð h 2 ¾ð x 2 Þð c 2 ®ð x 2
¾ð®ð
h 2 ®ð0 h 2 ®ð0
2 0 D l a n > 2 s t o s u j e m y t z w . z a s a d Ba Dc u c h a . t z n . p r z y r o s t f u n k c j i r o z k Ba d a m y n a s u m n
r ó |n i c :
j j -ð1
n
öð æð öð
çð ÷ð çð ÷ð
f (ðx 0 +ð h )ð-ð f (ðx 0 )ð=ð f x 0 +ð e k ÷ð-ð f x 0 +ð e k ÷ð] ,
åð[ æð åðh k åðh k
çð çð
j =ð1 k =ð1 k =ð1
èð øð èð øð
g d z i e e e - w e k t o r y b a z y k a n o n i c z n e j w i p o s t p u j e m y a n a l o g i c z n i e j a k w p u n k c i e 1 0 .
1 , . . . , n R n
c
o p r a c o w a B J a c e k Z a Dk o
2
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Wykład 03 (część 08) twierdzenie o wzajemności prac i z niego wynikająceRóżniczka zupełnarozniczka zupelnaTWIERDZENIA Rachunku Różniczkowego05 Różniczka zupełna (2)t3 plaszcyzna styczna rozniczka zupelnarownania rozniczkowe zupelne zadaniaObliczanie błędów pomiarowych metoda różniczki zupelnej07 Interpretacja geometryczna różniczki zupełnej (3)1997 08 str 100 101 Dostrzegalna roznicawięcej podobnych podstron