plik


ÿþTWIERDZENIE O ISTNIENIU RÓ{NICZKI ZUPEANEJ Twierdzenie (o istnieniu ró|niczki zupeBnej) Niech U ÎðTopRn, f :U ®ð Rs, x0 ÎðU ¶ðf oraz niech "ðj =ð 1,..., n $ð w ka|dym punkcie zbioru U. ¶ðxj 1ð3ð 2ð pochodne czstkowe Je[li ¶ðf "ðj =ð1,..., n ÎðC(ðx0)ð ¶ðxj 1ð4ð4ð4ð4ð2ð4ð4ð4ð4ð 3ð ka|da pochodna czstkowa jest cigBa w punkcie x0 to 1o $ðdx f 0 1ð2ð3ð istnieje ró|niczka w punkcie x 0 oraz n ¶ðf 2o dx f (ðh)ð=ð (ðx0)ðhj dla h =ð (ðh1, ..., hn )ðÎð Rn. åð 0 ¶ðxj j=ð1 Dowód Wystarczy rozwa|y przypadek s=1, a pozniej utworzy kombinacj liniow rozwizaD utworzonych dla poszczególnych skBadowych. Niech s=1. 10 ZaBó|my, |e n=2. $ðr >ð 0 : K(x, r) Ìð U. Wybieramy punkt x =ð (x1, x2) ÎðU. Wtedy Niech h =ð (h1, h2)Îð K((0, 0), r) i h ¹ð 0(tzn. (h1, h2) ¹ð (0, 0)). Przedstawmy przyrost Dðf funkcji f w punkcie x w postaci sumy dwóch ró|nic: Dðf =ð f (ðx +ð h)ð-ð f (ðx)ð=ð f (ðx1 +ð h1, x2 +ð h2)ð-ð f (ðx1 +ð h1, x2)ð+ð f (ðx1 +ð h1, x2)ð-ð f (ðx1, x2)ð f (ðx1 +ð h1, ×ð)ð Poniewa| funkcja jest cigBa i ró|niczkowalna w [x , x +h ] zatem, na podstawie 2 2 2 twierdzenia Lagrange'a 1 ¶ðf $ðc2 Îð(ðx2, x2 +ð h2)ð: f (x1 +ð h1, x2 +ð h2) -ð f (x1 +ð h1, x2) =ð h2 ×ð (ðx1 +ð h1, c2)ð ¶ðx2 f (ð×ð, x2)ð Podobnie, poniewa| funkcja jest cigBa i ró|niczkowalna w [x , x +h ] zatem, na 1 1 1 podstawie twierdzenia Lagrange'a otrzymujemy ¶ðf $ðc1 Îð(ðx1, x1 +ð h1)ð: f (x1 +ð h1, x2) -ð f (x1, x2) =ð h1 ×ð (ðc1, x2)ð. ¶ðx1 Std ¶ðf ¶ðf f (x +ð h) -ð f (x) =ð h1 ×ð (ðc1, x2)ð+ð h2 ×ð (ðx1 +ð h1, c2)ð. ¶ðx1 ¶ðx2 Obliczamy reszt ¶ðf ¶ðf ¶ðf ¶ðf rx(ðh)ð=ð f (ðx +ð h)ð-ð f (ðx)ð-ð dx f (h) =ð h1 (ðc1, x2)ð+ð h2 (ðx1 +ð h1, c2)ð-ð (ðx1, x2)ð×ðh1 -ð (ðx1, x2)ð×ðh2 =ð ¶ðx1 ¶ðx2 ¶ðx1 ¶ðx2 æð æð ¶ðf ¶ðf ¶ðf ¶ðf çð ÷ð çð ÷ð =ð h1çð (ðc1, x1)ð-ð (ðx1, x2)ðöð +ð h2çð (ðx1 +ð h1, c2)ð-ð (ðx1, x2)ðöð ¶ðx1 ¶ðx1 ÷ð èð ¶ðx2 ¶ðx2 ÷ð èð øð øð a nastpnie sprawdzamy, czy jest o(h), æð öð æð öð ÷ð çð ÷ð rx(ðh)ð h1 çð ¶ðf ¶ðf h2 çð ¶ðf ¶ðf çð =ð (ðc1, x1)ð-ð (ðx1, x2)ð÷ð +ð (ðx1 +ð h1, c2)ð-ð (ðx1, x2)ð÷ð ¾ð 0 ¾ð®ð gdy (h1, h2 )®ð0 çð ÷ð çð ÷ð h h ¶ðx1 3ð ¶ðx1 h ¶ðx2 4ð2ð4ð4ð ¶ðx2 1ð4ð2ð4ð 1ð4ð 3ð {ðçð {ðçð ÷ð ÷ð ogr. ogr. èð øð èð øð ¯ð ¯ð ¶ðf ¶ðf (ðx1, x2)ð (ðx1, x2)ð ¶ðx1 ¶ðx2 Przy obliczaniu granicy skorzystali[my z nastpujcych implikacji: h1 ®ð 0 Þð x1 +ð h1 ¾ð x1 Þð c1 ®ð x1 ¾ð®ð h1®ð0 h1®ð0 h2 ®ð 0 Þð x2 +ð h2 ¾ð x2 Þð c2 ®ð x2 ¾ð®ð h2 ®ð0 h2 ®ð0 20 Dla n > 2 stosujemy tzw.  zasad BaDcucha . tzn. przyrost funkcji rozkBadamy na sum n ró|nic: j j-ð1 n öð æð öð çð ÷ð çð ÷ð f (ðx0 +ð h)ð-ð f (ðx0)ð=ð f x0 +ð ek ÷ð-ð f x0 +ð ek ÷ð], åð[ æð åðhk åðhk çð çð j=ð1 k =ð1 k =ð1 èð øð èð øð gdzie e e - wektory bazy kanonicznej w i postpujemy analogicznie jak w punkcie 10. 1, ... , n Rn c opracowaB Jacek ZaDko 2

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Wykład 03 (część 08) twierdzenie o wzajemności prac i z niego wynikające
Różniczka zupełna
rozniczka zupelna
TWIERDZENIA Rachunku Różniczkowego
05 Różniczka zupełna (2)
t3 plaszcyzna styczna rozniczka zupelna
rownania rozniczkowe zupelne zadania
Obliczanie błędów pomiarowych metoda różniczki zupelnej
07 Interpretacja geometryczna różniczki zupełnej (3)
1997 08 str 100 101 Dostrzegalna roznica

więcej podobnych podstron