TWIERDZENIA RACHUNKU RÓśNICZKOWEGO
1. Monotoniczność funkcji
Twierdzenie Rolle a.
Je\
eli funkcja x a f (x)
1) jest ciągła w przedziale [a,b];
2) jest ró\
niczkowalna w przedziale (a,b) (tzn. istnieje pochodna
x a f '(x) wewnątrz przedziału [a,b]) oraz
3) spełniony jest warunek f(a)=f(b), to istnieje punkt c"(a,b) taki, \
e
f  (c) = 0.
Geometrycznie Twierdzenie Rolle a wyra\
a fakt, \
e je\
eli funkcja f
1) jest ciągła w przedziale domkniętym [a,b],
2) jest ró\
niczkowalna w przedziale otwartym (a,b) i
3) przyjmuje na końcach przedziały równe wartości, to istnieje w
przedziale (a,b) punkt c taki, w którym styczna do wykresu funkcji f
jest równoległa do osi OX (zob.: Rys. 1)
Y
f (c)=0
y=f(x)
f(a)=f(b)
0 a c c1 b
f (c1)
Rys 1.
47
Twierdzenie Lagrange a (twierdzenie o wartości średniej).
Je\
eli funkcja x a f (x)
1) jest ciągła w przedziale [a,b];
2) jest ró\
niczkowalna w przedziale (a,b), to istnieje punkt c"(a,b) taki,
f (b) - f (a)
\
e f '(c) = .
b - a
Interpretację geometryczną twierdzenia o wartości średniej mo\
na
f '(c) = tgÄ…
Y
f (b) - f (a)
sieczna
styczna
= tg²
b - a
P2
P3
P1 = (a, f (a))
y=f(x)
P2 = (b, f (b))
P3 = (c, f (c))
P1
Ä… ²
tgÄ… = tg²
0 a c
b
odczytać z Rys. 2.
Rys 2.
Wnioski:
Niech będzie dana funkcja f : (a,b)" x y = f (x)" R . Zakładamy, \
e
funkcja f jest ró\
niczkowalna w (a,b), tzn. istnieje pochodna x a f '(x).
Twierdzenie 1.1.
Je\
eli f '(x) = 0 dla x"(a,b), to funkcja f jest stała w przedziale(a,b).
48
Twierdzenie 1.2.
Je\
eli f '(x) < 0 dla ka\
dego x"(a,b), to funkcja f jest malejÄ…ca
w przedziale(a,b).
Twierdzenie 1.3.
Je\
eli f '(x) > 0 dla ka\
dego x"(a,b), to funkcja f jest rosnÄ…ca
w przedziale(a,b).
Uwagi:
1. Twierdzenia 1.1, 1.2, 1.3, są prawdziwe równie\
w przypadkach,
gdy przedziałami są (-",b),(a,+"),(-",+").
2. Z Twierdzeń 1.2 i 1.3 wynika, \
e przedziałami monotoniczności
funkcji będą te przedziały, w których pierwsze pochodne funkcji
zachowały stały znak.
Przykład 1.1.
Rozwa\
my funkcjÄ™ x a f (x) = 1- x2 .
Funkcja f jest określona w zbiorze D = [-1,1], bo dla -1d" x d"1 będzie
1- x2 e" 0.
Jako przedział (a,b) mo\
emy przyjąć przedział (a,b) = (-1,1). W tym
przedziale funkcja f jest ró\
niczkowalna, bo istnieje
1 - x
x a f '(x) = (-2x) = , gdy x "(-1,1) . Poniewa\
dla x "(-1,1)
2 1- x2 1- x2
będzie 1- x2 > 0 , więc znak pochodnej f '(x) będzie zale\
ał od znaku
wyra\
enia - x .
49
Je\
eli -1 d" x d" 0 , to - x > 0 i wtedy f '(x) > 0 . Zatem w przedziale (-1,0)
funkcja jest funkcjÄ… rosnÄ…cÄ….
Je\
eli 0 d" x < 1, to - x < 0 i wtedy f '(x) < 0 . Zatem w przedziale (-1,0)
funkcja jest funkcjÄ… malejÄ…cÄ….
- 0
Dla x = 0 będzie f '(0) = = 0 .
1- 02
Otrzymane wyniki mo\
emy zestawić w następującej tabelce:
x -1 < x < 0 x = 0 0 < x < 1
f '(x)
+ = 0 -
f (x) f (0) = 1
rosnÄ…ca malejÄ…ca
Ćwiczenie 1.1.
Wyznaczyć przedziały monotoniczności dla funkcji :
1. x a y = ax , gdy:
1.1. a = -3 , 1.2. a = 2,3.
a
2. x a y = h(x) = , gdy:
x
2.1. a = -0,5, 2.2. a = 4.
3. x a y = ax + b , gdy :
3.1. a = 2 i b = 1, 3.2. a = -1 i b = -3.
3.3. a = 0,5 i b = -1, 3.4. a = 3 i b = 0,7 .
1
4. x a y = , gdy :
x - a
50
4.1. a = -4 , 4.2. a = 1.
5. x a y = ax2 - bx , gdy :
5.1. a = -1 i b = -3, 5.2. a = -1 i b = 3;
5.3. a = 2 i b = -1, 5.4. a = 1 i b = 4 .
2. Ekstremum lokalne funkcji
Zakładamy, \
e funkcja x a f (x) jest określona w pewnym otoczeniu
Ot(x0 ,´ ) = (x0 - ´ , x0 + ´ ) punktu x0 .
Definicja 2.1.
Mówimy, \
e funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne (minimum
lokalne), je\
eli istnieje takie sÄ…siedztwo S(x0 ,´ ) = (x0 - ´ , x0 ) *" (x0 , x0 + ´ )
punktu x0 , \
e :
f (x) d" f (x0 ) dla ka\
dego x " S(x0 ,´ ) ,
( f (x0 ) d" f (x) dla ka\
dego x " S(x0 ,´ ) ).
y=f(x)
y=f(x)
max
ymax
min
ymin
X0-´
X0 X0+´
0
X0-´ X0+´
0
X0
51
Uwaga:
Je\
eli w podanych określeniach zamiast nierówności :
f (x) d" f (x0 ) ( f (x0 ) d" f (x) )
są spełnione nierówności
f (x) < f (x0 ) ( f (x0 ) < f (x) )
to mówimy, \
e funkcja f ma w punkcie x maksimum (minimum) lokalne
właściwe.
Maksimum lub minimum funkcji nazywamy ekstremum funkcji.
Twierdzenie 2.1. (Warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego
funkcji)
Je\
eli funkcja x a f (x)
1. jest ró\
niczkowalna (tzn. istnieje x a f '(x));
2. ma w punkcie x0 ekstremum lokalne, to f '(x0 ) = 0 .
Twierdzenie 2.2. (Warunek wystarczajÄ…cy na to, aby funkcja
ró\
niczkowalna f miała w punkcie x0 ekstremum lokalne)
Je\
eli funkcja x a f (x)
1. jest ró\
niczkowalna (tzn. istnieje x a f '(x)
52
2. f '(x0 ) = 0
3. w pewnym otoczeniu Ot(x0 ,´ ) punktu x0 pochodna f ' zmienia
znak. Przy czym:
3.1. je\
eli
f '(x) < 0 dla x0 - ´ < x < x0 i f '(x) > 0dla x0 < x < x0 + ´ to
funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne;
3.2. je\
eli
f '(x) > 0 dla x0 - ´ < x < x0 i f '(x) < 0 dla x0 < x < x0 + ´ to
funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne.
Twierdzenie 2.3. (Warunek wystarczajÄ…cy na to, aby funkcja
ró\
niczkowalna f miała w punkcie x0 ekstremum lokalne)
Je\
eli funkcja x a f (x)
1. jest ró\
niczkowalna (tzn. istnieje x a f '(x)
2. ma w pewnym otoczeniu Ot(x0 ,´ ) punktu x0 drugÄ… pochodnÄ…
x a f ''(x)
3. f '(x0 ) = 0 i f ''(x0 ) = 0 , to :
3.1. je\
eli f ''(x0 ) > 0 , to funkcja f ma w punkcie x0 minimum
lokalne;
3.2. je\
eli f ''(x0 ) < 0 , to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum
lokalne.
53
Ćwiczenie 2.1.
Wskazać lub wyznaczyć (o ile istnieją) ekstrema lokalne funkcji x a f (x) ,
gdy:
1
1. f (x) = x2 - 3x ; 2. f (x) = ; 3. f (x) = x ; 4. f (x) = (x + 4)(x -1) ;
x2 - 3x
1
5. f (x) = (x + 4)(x -1) ; 6. f (x) = x2 + 4; 7. f (x) = ; 8. f (x) = sin x;
x2 + 4
9. f (x) = cos x .
Ćwiczenie 2.2.
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji :
1. g(x) = 0,6x5 - 2,25x4 + 2;
2 3
2. w(t) = 500 + 81t - 9t - t dla 0 d" t d" 8 ;
160
3. k(x) = 0,9x2 +10 + dla x > 0.
x
Uwaga:
Je\
eli funkcja x a f (x) :
Ma w punkcie x0 maksimum lokalne, to zapisujemy
f (x0 ) = max f (x), x " Ot(x0 ,´ )
max
ymax=f(x0)
y=f(x)
X0-´
0 X0+´
X0
54
Ma w punkcie x0 minimum lokalne, to zapisujemy
f (x0 ) = min f (x), x " Ot(x0 ,´ )
y=f(x)
min
ymin=f(x0)
0
X0
X0-´ X0+´
3. Wklęsłość i wypukłość funkcji (wykresu funkcji)
Zakładamy, \
e funkcja x a f (x) jest określona i ciągła w przedziale (a,b)
Definicja 3.1. (Definicja 3.2.)
Funkcję f nazywamy wypukłą (wklęsłą) w przedziale (a,b) wtedy i tylko
wtedy, gdy:
1. dla ka\
dych x1 i x2 z przedziału (a,b);
2. dla ka\
dych Ä…1 i Ä…2 takich, \
e x1 + x2 = 1;
3. spełniony jest warunek :
f (Ä…1x1 +Ä…2 x2 ) d" Ä…1 f (x1) +Ä…1 f (x2 ) zob. Rys. 7;
( f (Ä…1x1 + Ä…2 x2 ) e" Ä…1 f (x1) + Ä…1 f (x2 ) zob. Rys 8.)
55
P2
f(x2)=y2
sieczna
f (Ä…1x1 + Ä… x2 ) d" Ä…1 f (x1) + Ä…1 f (x2 )
2
P3
y=f(x)
funkcja f wypukła
P1
P4
f(x1)=y1
Ä…1
f(x1)+Ä…2
f(x2)
f(Ä…1
x1+Ä…2
x2)
X1 x=Ä…1x1+Ä…2x2 X2
0
Ç
y=f(x0)+f  (x0)(x-x0)
P2
styczna
f (Ä…1x1 + Ä… x2 ) e" Ä…1 f (x1) + Ä…1 f (x2 )
2
P0
P1
y0=f(x0)
funkcja f wklęsła
f(x0)+f  (x0)(x-x0)
f(x)
y=f(x)
0
Je\
eli ponadto zało\
ymy, \
e funkcja f ma w przedziale ciągłą
pochodnÄ… x a f ' (x), to:
Wykres funkcji f będzie krzywą wypukłą (wklęsłą) w przedziale (a,b),
je\
eli dla ka\
dego x0 " (a,b) styczna do tej krzywej w punkcie P0 = (x0 , f (x0 ))
o odciętej x0 le\
y pod tÄ… krzywÄ… (le\
y nad tÄ… krzywÄ…)  zob. Rys. 9 (Rys.
10).
56
y=f(x)
P1
f wypukła
styczna w punkcie P0 jest
y=f(x0)+f  (x0)(x-x0)
pod wykresem funkcji f
P2 styczna
f(x)
P0
y0=f(x0)
f(x0)+f  (x0)(x-x0)
0
y=f(x0)+f  (x0)(x-x0)
P2
styczna
P0 f wklęsła
P1
y0=f(x0)
styczna w punkcie P0 jest
nad wykresem funkcji f
f(x0)+f  (x0)(x-x0)
f(x)
y=f(x)
0
Twierdzenie 3.1.
Zakładamy, \
e funkcja x a f (x) ma w przedziale (a,b) drugÄ… pochodnÄ…
ciągłą.
Je\
eli f ''(x) > 0 dla x " (a,b) , to funkcja f jest wypukła w (a,b)
Je\
eli f ''(x) < 0 dla x " (a,b) , to funkcja f jest wklęsła w (a,b)
Przykłady:
1. Funkcja x a f (x) = x2 jest wypukła w (-",+") .
2. Funkcja x a f (x) = -x2 jest wklęsła w (-",+") .
3. Funkcja x a f (x) = x3 jest wklęsła w (-",0), zaś wypukła w (0,+").
57
4. Funkcja x a y = ax jest wypukła w (-",+") , gdy a > 1, zaś wklęsła w
(-",+") , gdy 0 < a < 1.
5. Funkcja x a y = loga x w przedziale (0,+") jest wypukła, gdy 0 < a < 1,
zaś wklęsła, gdy a > 1.
6. Funkcja x a y = cos x jest wklęsła w przedziale (-Ą / 2,Ą / 2) .
4. Punkty przegięcia wykresu funkcji
Zakładamy, \
e funkcja x a f (x) jest określona i ciągła w przedziale (a,b).
Definicja 4.1.
Punkt P = (x0 , f (x0 )) , gdzie x0 " (a,b) nazywamy punktem przegięcia
wykresu funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje otoczenie Ot(x0 ,´ )
punktu x0 takie, \
e:
1. Wykres funkcji jest wypukÅ‚y dla x0 - ´ < x < x0 (na lewo od x0 ) i
wklÄ™sÅ‚y dla x0 < x < x0 + ´ ;
2. Wykres funkcji jest wklÄ™sÅ‚y dla x0 - ´ < x < x0 (na lewo od x0 ) i
wypukÅ‚y dla x0 < x < x0 + ´ ;
Punkt przegięcia
Punkt przegięcia
y=f(x)
wykres
wykres
wklęsły
y=f(x)
P0
wklęsły
P0
wykres
wykres
wypukły
wypukły
X0-´
X0-´ X0 X0 X0+´
X0+´
0 0
58
Twierdzenie 4.1.
Zakładamy, \
e funkcja x a f (x) :
1. jest określona w przedziale(a,b);
2. ma w przedziale (a,b) drugą pochodną x a f ''(x) ciągłą.
Warunkiem koniecznym i wystarczajÄ…cym na to by punkt P0 = (x0, f (x0)) ,
gdy x0 " (a,b), był punktem przegięcia wykresu funkcji f jest :
f ' ' (x) < 0 dla x < x0; f ''(x0 ) = 0 , f ' ' (x0 ) > 0 dla x > x0 .
albo :
f ''(x) > 0 dla x < x0; f ''(x0 ) = 0 , f ''(x0 ) < 0 dla x > x0 .
f (x)<0 P0 f (x)<0
P0
f(x0)=y0
f(x0)=y0
f (x)>0
f (x)>0
X0-´ X0-´
X0 X0+´ X0 X0+´
0 0
Ćwiczenie 4.1.
Wyznaczyć punkty przegięcia (o ile istnieją) funkcji x a f (x) , gdy :
1
1. f (x) = ; 2. f (x) = sin x, gdy 0 d" x d" 2  ;
x2 +1
1
3. f (x) = cos x , gdy 0 d" x d" 2  ; 4. f (x) = x3 ; 5. f (x) = x + .
x
59
5. Asymptoty
5.1. Asymptoty pionowe
Definicja 5.1.
Prostą o równaniu x = x0 nazywamy asymptotą pionową funkcji y = f (x),
je\
eli przynajmniej jedna z granic jednostronnych funkcji f w punkcie x0
jest niewłaściwa, tzn., gdy:
1) lim f (x) = -" lub lim f (x) = +" (dla asymptot pionowych
xx0- xx0-
prawostronnych)
2) lim f (x) = -" lub lim f (x) = +" (dla asymptot pionowych
xx0+ xx0+
lewostronnych)
Ćwiczenie 5.1.
Wyznaczyć asymptoty pionowe dla funkcji y = f (x), gdy:
1
1 1
x
1. f (x) = ; 2. f (x) = ; 3. f (x) = xe -1;
x2 -1 (x + 3)(x -1)
-1
4. f (x) = x-2 ; 5. f (x) = .
x
5.2. Asymptoty poziome
Definicja 5.2.
Prostą o równaniu y = b nazywamy asymptotą poziomą wykresu funkcji
y = f (x), je\
eli lim f (x) = b lub lim f (x) = b .
x+" x-"
60
Ćwiczenie 5.2.
Wyznaczyć asymptoty poziome funkcji y = f (x), gdy:
x2 1
1. f (x) = ; 2. f (x) = ex ; 3. f (x) = (1+ )x ;
1- x2 x
4. f (x) = 2x ; 5. f (x) = (0,5)x .
5.3. Asymptoty ukośne
Definicja 5.3.
Prostą o równaniu y = ax + b , gdy a `" 0 , nazywamy asymptotą ukośną
(asymptotą pochyłą) wykresu funkcji y = f (x), je\
eli:
lim[ f (x) - (ax + b)] = 0 lub lim[ f (x) - (ax + b)] = 0 .
x-" x+"
Uwaga:
Asymptoty ukośne mogą mieć funkcje określone w przedziałach
nieskończonych i mające granice niewłaściwe w punktach
niewłaściwych.
Twierdzenie 5.1.
Je\
eli wykres funkcji y = f (x) ma asymptotę ukośną o równaniu y = ax + b ,
to:
f (x)
1. a = lim oraz b = lim[ f (x) - ax] lub
x+" x+"
x
f (x)
2. a = lim oraz b = lim[ f (x) - ax].
x-" x-"
x
61
Ćwiczenie 5.3.
Wyznaczyć asymptoty ukośne dla funkcji x a y = f (x) , gdy:
x3 x
1. f (x) = ; 2. f (x) = xex ; 3. f (x) = .
4 - x2 x -1
62