Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
KOMPENDIUM Z FIZYKI
µ = mc2
Elementy rachunku
różniczkowego
i całkowego
w kinematyce
Autor: Darek Dyl
Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
KOMPENDIUM Z FIZYKI
Darek Dyl
Elementy rachunku
różniczkowego
i całkowego
w kinematyce
Gdańsk 2009
Redakcja naukowa:
Recenzent:
Redaktor Wydawnictwa:
Okładkę i strony tytułowe zaprojektował:
© Copyright by Uniwersytet GdaÅ„ski
Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego
Gdańsk 2009
ISBN & & & & & & & & &
Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego ul. Armii Krajowej 119/121,
81-824 Sopot, Tel./fax [phone]-
Spis treści
Wstęp........................................................................................................... 4
1.0. Granica ciÄ…gu liczbowego, szeregu i funkcji rzeczywistej 5
1.1. CiÄ…g liczbowy i jego granica .......................................................................5
1.2. Szereg liczbowy i jego zbieżność .................................................................6
1.3. Granica i ciągłość funkcji rzeczywistej ......................................................9
2.0. Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania11
2.1. Definicja pochodnej i różniczki .................................................................11
2.2. Pochodne wyższych rzędów ......................................................................12
2.3. Interpretacja geometryczna pochodnej ....................................................13
2.4. Podstawowe własności pochodnej .............................................................14
2.5. Pochodne niektórych funkcji. Przykłady obliczania pochodnych............15
2.6. Niektóre zastosowanie pochodnej ............................................................17
3.0. Całka oznaczona i nieoznaczona funkcji rzeczywistej..... 19
3.1. Całka oznaczona z funkcji rzeczywistej ( całka Riemanna ) ...................19
3.2. Funkcja górnej granicy całkowania. Całka nieoznaczona ......................20
4.0. Różniczkowanie i całkowanie wektorów. ............................ 23
4.1. Pochodna wektora i jej własności .............................................................23
4.2. Całkowanie wektorów ...............................................................................24
5.0. Opis ruchu punkt materialnego ............................................ 26
5.1. Wektor wodzÄ…cy, wektor styczny i normalny do krzywej.........................27
5.2. Prędkość chwilowa i jej własności ............................................................29
5.3. Przyspieszenie chwilowe i jego własności ................................................32
5.4. Podsumowanie...........................................................................................35
6.0. Rozwiązania przykładowych problemów. ........................... 36
6.1. Zagadnienie 1 ............................................................................................36
6.2. Zagadnienie 2 ...........................................................................................37
6.3. Zagadnienie 3. ..........................................................................................38
6.4. Zadanie 4 ...................................................................................................39
Literatura................................................................................................... 42
3
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
Wstęp
Celem tego kompendium jest wprowadzenie elementarnych pojęć rachunku róż-
niczkowego i całkowego w zastosowaniu do zagadnień kinematyki punktu mate-
rialnego. Zakres tego opracowania obejmuje materiał niezbędny do zrozumienia
zagadnień z mechaniki klasycznej, wykładany na pierwszych latach kierunków
nauk przyrodniczych, w szczególności fizyki.
Ideą przewodnią jaka przyświecała autorowi, była chęć przybliżenia pojęć na-
tury matematycznej w kontekście fizyki. W kompendium tym nie są zawarte ści-
słe dowody przytaczanych stwierdzeń  pokazana jest jedynie ścieżka rozumowa-
nia, tak aby Czytelnik nie stracił ciągłości wywodu. Zdaniem autora, wystarcza to
do zrozumienia zasadniczej myśli, podjęcia tematu i próby samodzielnego rozwią-
zywania problemów z zakresu kinematyki. Po pewnym uzupełnieniu  głównie z
zakresu fizyki  materiał prezentowany w kompendium posłużyć może za podsta-
wę do nauki innych działów, w tym dynamiki, elektrodynamiki czy termodynamiki.
Na kompendium składa się sześć rozdziałów uzupełnionych literaturą, z któ-
rej powinien skorzystać Czytelnik chcący rozszerzyć swoje wiadomości. Pięć pierw-
szych rozdziałów służy omówieniu podstawowych pojęć z zakresu rachunku róż-
niczkowego i całkowego, wraz z ich zastosowaniem w zakresie kinematyki punk-
tu materialnego. Rozdziały te zawieraj podstawowe definicje z ich omówieniami,
uzupełnione przykładami. Ostatni, szósty rozdział, zawiera przykładowe zagadnie-
nia kinematyczne z rozwiązaniami, co pozwoli Czytelnikowi zrozumieć konieczność
stosowania wprowadzonych pojęć.
Oznaczenia występujące w tekście, pojawiają się w sposób naturalny i są zgod-
ne z przyjętymi konwencjami. W szczególności, wektory zawsze oznaczamy symbo-
lem strzałki np. v , przy czym wektory jednostkowe ( o długości jednostkowej ) zwy-
kle umieszczajÄ…c daszek np. it.
Numery równań umieszczono w nawiasach okrągłych ( ), a odwołania do litera-
tury w nawiasach prostokÄ…tnych [].
4
4
1.0. Granica ciÄ…gu liczbowego, szeregu i funkcji
rzeczywistej
Zrozumienie pojęcia granicy jest konieczne do właściwego zrozumienia zarówno
idei pochodnej funkcji rzeczywistej, jak i całki, te zaś do zrozumienia definicji pręd-
kości i przyspieszenia. W tym rozdziale przedstawione zostaną kolejno  począw-
szy od najprostszego przypadku  definicje granicy ciÄ…gu liczbowego, szeregu i
funkcji rzeczywistej. Całość jest uzupełniona ważnymi przykładami, które będą
wykorzystywane w dalszych częściach kompendium.
1.1. CiÄ…g liczbowy i jego granica
CiÄ…giem liczbowym ( rzeczywistym ) nazywamy dowolne odwzorowanie f zbioru
liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R:
( 1.1 ) f :N$ R
Oznaczając dla każdego nd N elementy f]ng przez xn, sam ciąg będziemy zapi-
sywać jako xn
! +
Ważnymi przykładami ciągów, znanymi z kursu na poziomie szkoły średniej, są:
1
1 1 1
ciÄ…g harmoniczny o wyrazach %n/ 1, , , ,...
= ! +
2 3 4
ciąg arytmetyczny, w którym każdy kolejny wyraz otrzymuje się z poprzed-
niego poprzez dodanie stałej liczby d zwanej różnicą tzn. xn x1 (n - 1) d
= +
ciąg geometryczny, w którym każdy kolejny wyraz otrzymuje się z poprzed-
niego, mnożąc go przez stałą liczbę q zwaną ilorazem tzn. xn x1 qn-1
=
Oczywiście istnieje nieskończona mnogość ciągów liczbowych, które można definio-
wać jawnie za pomocą dowolnej funkcji rzeczywistej f określonej na zbiorze liczb
naturalnych, lub rekurencyjnie tj. za pomocą relacji pomiędzy wyrazami ciągu np. :
n
1 n
xn a1
= +
nk lub xn = n
0 dla n 0
=
albo, xn 1 dla n 1 ( ciÄ…g Fibonacciego )
= =
*
xn-1 xn-2 dla n> 1
+
5
5
ROZDZIAÅ‚ 1: Granica ciÄ…gu liczbowego, szeregu i funkcji rzeczywistej:
DO PODROZDZIAłU: Szereg liczbowy i jego zbieżność
Mówimy, że ciąg liczbowy xn ma granicę w x, lub inaczej, że jest zbieżny do
! +
x jeżeli dla dowolnej liczby rzeczywistej dodatniej f istnieje taka liczba naturalna
n0, że dla każdej liczby naturalnej n równej lub większej od n0 odległość na osi licz-
bowej pomiędzy n-tym wyrazem ciągu xn a granicą x jest mniejsza niż f.
Zapisujc to bardziej formalnie oznacza to, że
( 1.1 ) 6 edR, e2 0 7 n0 d N 6nd R, nH n0 : xn - x 1 e
Jeśli x jest granicą ciągu xn , to fakt ten zapisujemy jako
! +
( 1.1 ) lim xn x lub xn $ x
=
n" 3
Przedstawiając to bardziej obrazowo, istnienie granicy x ciągu xn oznacza, że po-
! +
cząwszy od pewnego elementu wszystkie jego kolejne elementy leżą w dowolnie
bliskim otoczeniu granicy tj w przedziale x - f, x f .
! + +
Przykładem ciągu zbieżnego jest ciąg harmoniczny xn 1 z granicą w zerze,
=
n
1
bowiem dla dowolnej liczby f> 0 wszystkie jego elementy o wskaz
nikach n> leżą
f
w przedziale f .
!-f,
+
n
1
Innym, ważnym przykładem ciągu zbieżnego jest ciąg xn a1 $ e, gdzie e
= +
nk
jest podstawą logarytmów naturalnych, lub ciąg xn n n $ 1
=
Oczywiście nie każdy ciąg jest zbieżny. Ciągi nie posiadające granicy, lub dążące
do granic niewłaściwych 3 albo -3, nazywamy niezbieżnymi lub, w ostatnich
+
dwóch przypadkach, rozbieżnymi. Jako przykład wystarczy rozważyć ciąg geome-
tryczny xn x1 qn-1o ilorazie q, który dla q < 1 jest zbieżny do zera, ale dla q > 1
=
jest ewidentnie rozbieżny. Oczywiście dla q 1 ciąg ten jest ciągiem stałym.
=
Więcej informacji o ciągach, ich ogólnych własnościach oraz kryteriach zbieżno-
ści można znalez
ć w pozycjach [1], [2], [3] oraz w kompendiach tego cyklu, poświę-
conym zagadnieniom matematycznym.
1.2. Szereg liczbowy i jego zbieżność
Szeregiem liczbowym nazywamy parÄ™ xn , Sn , gdzie xn jest ciÄ…giem liczbowym
!! + ! ++ ! +
a ciąg Sn skonstruowany jest według przepisu:
! +
6
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAÅ‚ 1: Granica ciÄ…gu liczbowego, szeregu i funkcji rzeczywistej:
DO PODROZDZIAłU: Szereg liczbowy i jego zbieżność
n
Sn x1 x2 f xn xi
= + + + =/
i 1
=
Ciąg Sn nazywamy ciągiem sum częściowych szeregu.
! +
Szereg nazywamy zbieżnym, jeśli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny w sensie
definicji z poprzedniego podrozdziału tzn. jeśli istnieje granica
n
S lim Sn lim xn
= = /
n" 3 n" 3
i 1
=
3
Granicę tę często zapisujemy jako: xn ( pojawił się symbol 3 w górnej granicy su-
/
i 1
=
mowania.
Jeśli powyższa granica nie istnieje to szereg nazywamy rozbieżnym. Przykła-
dami rozbieżnych szeregów są szeregi utworzone z wyrazów ciągu arytmetycznego
lub harmonicznego.
Ważnym przykładem jest szereg geometryczny tj. taki którego elementami
sÄ… wyrazy ciÄ…gu geometrycznego xn x1 qn-1
=
Rozważmy ciąg sum częściowych tego szeregu
Sn x1 x1q x1q2 f x1qn-1
= + + + +
Mnożąc powyższe przez q, otrzymujemy:
qSn x1q x q2 f x qn x1 Sn x1qn
= + + + =- + +
1 1
Wyznaczając ze skrajnych równości Sn, mamy ostatecznie:
n
Sn x1 1 - q
=
1 - q
Badanie zbieżności tego szeregu sprowadza się więc do rozpatrzenia zbieżności cią-
! +
gu geometrycznego qn . Ponieważ qn $ 0 dla q < 1 , stąd szereg geometryczny
jest zbieżny dla q < 1 z granicą:
S x11 1
=
- q
oraz jest rozbieżny w pozostałych przypadkach tj. gdy q H 1.
7
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAÅ‚ 1: Granica ciÄ…gu liczbowego, szeregu i funkcji rzeczywistej:
DO PODROZDZIAłU: Szereg liczbowy i jego zbieżność
Innym ważnym przykładem zbieżnego szeregu jest 3
szereg wyznaczony przez ciÄ…g
1
xn n!, gdzie ! oznacza silnię. Można pokazać, że 1 e (podstawa logarytmów natu-
= /n! =
n 0
=
ralnych ).
Dodatkowe informacje o szeregach i kryteriach ich zbieżności można znalez
ć w
[1],[2],[3] i kompendiach tej serii z zakresu matematyki.
Aby w pełni zdać sprawę z ważności pojęcia granicy, rozważmy problem zwany
paradoksem Zenona z Elei ( V w. p.n.e ). Dotyczy on najprostszego typu ruchu
tj. ruchu jednostajnego prostoliniowego.
Rozważa się wyścig żółwia z szybkobiegaczem, po idealnej bieżni, przy czym
oba te obiekty traktujemy jak punkty materialne, które od momentu startu mogą
poruszać się ruchami jednostajnymi z prędkościami odpowiednio vz i vs. Oczywi-
o
m m
ście vz % vs. Przyjmijmy dla ustalenia uwagi:vz 1 i vs 11 . Aby wyścig miał
o o = =
s s
sens, ze względu na dysproporcję w prędkościach biegaczy, dajmy fory żółwiowi i
załóżmy, że w chwili startu znajduje się on w odległości l=100 m przed szybkobie-
gaczem.
Można zadać pytanie: po jakim czasie od momentu startu szybkobiegacz dogo-
ni żółwia ( a potem będzie już tylko go wyprzedzał ) ?
Rozwiązując to zadanie klasycznie rozumujemy następująco: Ponieważ względ-
m
na prędkość obu biegaczy wynosi v vs - vz 10 i w chwili startu dzieliła ich odle-
= =
o s
głość l, stąd czas pogoni T wynosi:
l 100 m
T 10 s
= =
m
vs - vz =
o 10
s
co w pełni zgadza się z naszą intuicją: szybkobiegacz w skończonym czasie dogoni
żółwia, a potem samotnie dobiegnie do mety jako zwycięzca.
Zenon podszedł do problemu inaczej. Rozpatrywał zagadnienie pogoni za żół-
wiem etapami tzn. w etapie pierwszym, szybkobiegacz dochodzi do pozycji starto-
l
wej żółwia przemierzając odległość początkową l w czasie t1 vs . W tym czasie żółw
=
zdąży przemieścić się na odległość l1 vz t1, i szybkobiegacz znowu ma żółwia przed
= o
sobą ( co prawda w mniejszej odległości niż początkowa ) i musi powtórzyć czynność
tzn. dobiec do aktualnej pozycji żółwia, co zajmie mu czas
l1
t2 vs t1 vzo
= =
vs
8
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAÅ‚ 1: Granica ciÄ…gu liczbowego, szeregu i funkcji rzeczywistej:
DO PODROZDZIAłU: Granica i ciągłość funkcji rzeczywistej
Jest jasnym, że w tym czasie żółw znowu zdoła się oddalić, tak więc szybkobiegacz,
po zajęciu poprzedniej pozycji żółwia będzie go miał nadal przed sobą. Ponieważ sy-
tuacja nie zmienia się zasadniczo z etapu na etap, stąd wniosek, że żółw zawsze bę-
dzie znajdował się przed szybkobiegaczem, który ma jedynie szansę go dogonić w
nieskończonym czasie, ale nigdy wyprzedzić. Mamy zatem dwa sprzeczne wnioski
dotyczące tej samej sytuacji, a więc klasyczny paradoks.
Aby rozwiązać ten problem należy oczywiście policzyć dokładnie czas pogoni.
Czas wykonania n-etapów doganiania żółwia wynosi oczywiście:
n
Tn t1 t2 f tn tk
= + + + =/
k 1
=
vz
o
Oznaczając przez q 1 1 stosunek prędkości, ponieważ czas k-ego etapu wynosi
=
vs
tk t1 qk-1, możemy zapisać:
=
Tn t1 t1 q f t1 qn-1 t1 1 - qn
= + + + =
1 - q
Oczywiście etapów doganiania, podążając za rozumowaniem Zenona, jest nieskoń-
czenie wiele. Nie mając odpowiednich narzędzi matematycznych ( granicy ciągu ),
założył on, że każda suma nieskończenie wielu elementów musi być nieskończona.
Właśnie to założenie było z
ródłem paradoksu. Mając do dyspozycji ścisłe pojęcie
granicy wiemy, że w tym przypadku czas doganiania jest skończony, bo dla q1 1
l
T lim Tn t11 1 l 1
= = =
n" 3 vs 1 - vz = vs - vz
- q o o
vs
co jest zgodne z wynikiem klasycznego rozumowania.
1.3. Granica i ciągłość funkcji rzeczywistej
Rozważamy funkcje f : X$ Y, gdzie X,Y1 R oraz ciąg xn o elementach ze zbio-
! +
ru X . Jeśli dla każdego takiego ciągu, zbieżnego do x0, ciąg wartości yn f xn
= ] g
jest zbieżny do tej samej wartości y0 , to wartość tę nazywamy granicą funkcji f
w punkcie x0 d X i oznaczamy jako y0 lim f]xg.
=
x" x0
Jeśli ponadto lim f]xg f x0 to funkcję f nazywamy ciągłą w punkcie x0. Funk-
= ] g
x" x0
cję nazywamy ciągłą, gdy jest ciągła w każdym punkcie xd X
9
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAÅ‚ 1: Granica ciÄ…gu liczbowego, szeregu i funkcji rzeczywistej:
DO PODROZDZIAłU: Granica i ciągłość funkcji rzeczywistej
Z powyższego widać, że pojęcie granicy funkcji wynika z odpowiedniego zasto-
sowania pojęcia granicy do ciągu wartości funkcji, otrzymanego z dowolnego ale
zbieżnego do ustalonego punktu x0 ciągu argumentów. Granica funkcji w pewnym
punkcie x0 nie musi pokrywać się z wartością funkcji w tym punkcie. Jeśli jednak
tak jest, to funkcję nazywamy ciągłą w tym punkcie. Ciągłość funkcji w każdym
punkcie dziedziny oznacza po prostu brak przerw w jej wykresie.
Ruchy ciał rozpatrywane w klasycznej kinematyce zawsze dają się opisać przez
funkcje ciągłe. W związku z tym w dalszych częściach będziemy zakładać, że rozpa-
trywane funkcje są ciągłe, chyba że wyraz
nie będzie zaznaczone inaczej.
Często spotykane funkcje: potęgowe, wykładnicze, logarytmiczne, trygonome-
tryczne jak sinus czy cosinus są ciągłe, lub ciągłe przedziałami jak tangens, cotan-
gens czy funkcje cyklometryczne ( inaczej kołowe, odwrotne do trygonometrycz-
nych). W przypadku funkcji wymiernych ewentualne punkty nieciągłości odpowia-
dajÄ… sytuacjom zerowania siÄ™ mianownika.
10
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
2.0. Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre
zastosowania
Zrozumienie pojęcia pochodnej funkcji rzeczywistej jest niezbędne do pełnego opi-
su ruchu ciał w mechanice klasycznej. Dopiero mając do dyspozycji takie narzędzie
możemy poprawnie zdefiniować podstawowe wielkości kinematyczne, w szczególno-
ści prędkość i przyspieszenie. Ponadto, badanie ruchu często wymaga wykorzysta-
nia niektórych własności pochodnej ( np. wyznaczanie ekstremów ), podobnie jak w
przypadkach wielu przybliżeń stosowanych w opisie złożonych ruchów ( np. przy-
bliżanie funkcji szeregiem ).
2.1. Definicja pochodnej i różniczki
Rozważamy funkcję rzeczywistą f określoną na pewnym podzbiorze liczb rzeczy-
wistych. Chcąc badać zmienność takiej funkcji w okolicy dowolnego, ale ustalonego
punktu x0 wygodnie jest zdefiniować względny przyrost tej funkcji Df x,x0 f]xg- f x0
] g = ] g
powstały na skutek zmiany argumentu od x0 do x x0 Dx, przypadający na jed-
= +
nostkę zmiany argumentu Dx ( tzw. iloraz różnicowy ):
Df x,x f]xg- f x0 f x0 Dx f x0
] g ] g ] + g- ] g
0
=
x - x0 =
Dx Dx
Wielkość ta, dla ustalonego punktu x0, jest funkcją argumentu x lub równoważ-
nie funkcją przyrostu Dx. Ponieważ interesuje nas ocena zachowania ( zmienno-
ści) funkcji w punkcie x0, więc jest oczywistym, że im bliżej  podejdziemy z wielko-
ścią x do badanego punktu, tym dokładniej wyznaczymy interesującą nas właści-
wość. Dokładną miarę zmienności funkcji w punkcie x0 otrzymamy w granicy x" x0
(Dx" 0).
Jeśli w x0 istnieje granica ilorazu różnicowego jako funkcji x ( patrz p.  1.3.
Granica i ciągłość funkcji rzeczywistej na stronie 9 ), tzn gdy istnieje:
Df x,x0 lim f]xg- f x0 lim f x0 Dx f x0
] g ] g ] + g- ] g
lim
=
x" x0 x" x0 x - x0 = Dx" 0
Dx Dx
df x0
df df]xg ] g
to oznaczamy jÄ… symbolem x0 , lub i nazywamy pochodnÄ… funk-
] g
dx dx dx
x0
cji f w punkcie x0, a samą funkcję nazywamy różniczkowalną w punkcie x0.
11
11
ROZDZIAł 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania:
DO PODROZDZIAłU: Pochodne wyższych rzędów
Funkcja nazywa się różniczkowalną jeśli posiada pochodną w każdym punk-
cie dziedziny. Każda funkcja różniczkowalna jest funkcją ciągłą, ale nie każda
funkcja ciągła jest różniczkowalna np. f]xg x jest ciągła w zerze, ale nie jest w
=
tym punkcie różniczkowalna.
Różniczką funkcji f w punkcie x0 na przyroście argumentu Dx x - x0 nazy-
=
wamy wielkość
] gDx
df Dx,x0 df x0
] g =
dx
df]xgdx.
W szczególności dla nieskończenie małego przyrostu argumentu: df]xg
=
dx
Często pochodną funkcji oznacza się symbolem prim lub kropką tzn.
df]xg
l
f ]xg fo]xg
= =
dx
Z samego określenia pochodnej wynika, że jeśli w jakim przedziale pochodna
funkcji jest dodatnia, to w tym przedziale funkcja jest rosnąca, a jeśli ujemna, to
funkcja w tym przedziale jest malejąca. Szybkość zmienności funkcji wyznaczona
jest wartością bezwzględną pochodnej.
2.2. Pochodne wyższych rzędów
df]xg
Sama pochodna funkcji może być różniczkowalną funkcją x. W takim przy-
dx
padku sensownie jest rozważać pochodną takiej funkcji  nazywamy ją wtedy dru-
gą pochodną funkcji f . Wprowadza się następujące oznaczenia:
df]xg d2 f]xg
d
m
f ]xg fp]xg
= = =
dx dx
dx2
Również i druga pochodna może okazać się różna od zera i różniczkowalna, wtedy
poprzez jej zróżniczkowanie definiuje się trzecią pochodną i analogicznie, pochodne
wyższych rzędów, zgodnie z regułą:
dnf]xg dn-1f]xg
d (n)
f ]xg
=
dxn = dx
dxn-1
12
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAł 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania:
DO PODROZDZIAÅ‚U: Interpretacja geometryczna pochodnej
Proces ten możemy kontynuować dopóty, dopóki przed obliczeniem pochodnej mamy
do czynienia z różną od zera funkcją różniczkowalną.
2.3. Interpretacja geometryczna pochodnej
f
f (x+"x)
C
"f
Ä…
f (x)
B
A
"x 0
x+"x
x
Ä…(x)
Na powyższym rysunku przedstawiono wielkości definiujące iloraz różnicowy wy-
stępujący w określeniu pochodnej pewnej funkcji f w punkcie x ( wykres łukowa-
ty ). Rozważając trójkąt ABC wyznaczony przez sieczną , wykres funkcji i pomoc-
nicze linie dochodzimy do wniosku, że wartość ilorazu różnicowego jest równa tan-
gensowi kąta nachylenia siecznej do osi odciętych.
BC Df
tg a
= =
AB Dx
W miarÄ™ zmniejszania siÄ™ boku AB Dx tzn. gdy Dx" 0, sieczna przechodzi w stycz-
=
ną yst do wykresu funkcji w punkcie x  kierunek zmian pokazują strzałki. Otrzy-
mujemy zatem wniosek, że po wykonaniu przejścia granicznego pochodna funkcji
w punkcie x jest równa tangensowi kąta nachylenia stycznej do wykresu funkcji w
punkcie x względem osi odciętych.
df]xg
tg a]xg a
= =
dx
13
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
t
s
czna y
ty
s
sieczna
ROZDZIAł 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania:
DO PODROZDZIAłU: Podstawowe własności pochodnej
Inaczej mówiąc, pochodna funkcji wyznacza współczynnik kierunkowy a stycznej
do wykresu funkcji w danym punkcie x. Równanie stycznej do wykresu funkcji f
w punkcie x ma zatem postać:
df]xg(x - x) + f]xg
u u u
yst(x) ax b
= + =
dx
Interpretacja ta pozwala w prosty sposób wysnuć niektóre wnioski omawiane w
następnych podrozdziałach.
2.4. Podstawowe własności pochodnej
Poniższe własności podajemy bez dowodów, które można znalez
ć np. w pozycjach
[1], [2] i [3].
Pochodna funkcji stałej ma wartość 0, co jest oczywiste.
Wyznaczanie pochodnej jest operacjÄ… liniowÄ… tzn.
df]xg dg]xg
d
a f]xg b g]xg a b
] + g = +
dx dx dx
dla różniczkowalnych funkcji f,g i dowolnych stałych a,b.
Pochodną iloczynu funkcji różniczkowalnych f, g obliczamy zgodnie z:
df]xgg]xg+ f]xgdg]xg
d
]f]xgg]xgg
=
dx dx dx
Pochodną ilorazu funkcji różniczkowalnych f, g obliczamy zgodnie z:
df]xgg]xg- f]xgdg]xg
f]xg
d
dx dx
b
dx g]xgl = g]xg2
Pochodną złożenia różniczkowalnych funkcji f, g obliczamy zgodnie z:
df dg
d
f]g]xgg ]g]xgg ]xg
=
dx dx dx
Jeżli mamy do czynienia z różniczkowalną funkcją będącą funkcją odwrotną
-1
do danej, oznaczaną przez f , tj. spełniającej zależność
14
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAł 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania:
DO PODROZDZIAłU: Pochodne niektórych funkcji. Przykłady obliczania pochodnych
-1 -1
] g
f ]f]xgg f f ]xg x
= =
wtedy pochodnÄ… funkcji odwrotnej wyznaczamy zgodnie z:
-1
df ]xg
1
=
dx
df]xg
dx - 1
f ]xg
Wzór ten jest szczególnym wnioskiem wynikającym ze sposobu wyznaczania po-
chodnej złożenia dwóch funkcji.
2.5. Pochodne niektórych funkcji. Przykłady obliczania
pochodnych
Aby przybliżyć rozumienie definicji pochodnej funkcji rzeczywistej, wyznaczymy z
definicji pochodną funkcji f]xg x2. W pierwszej kolejności konstruujemy iloraz róż-
=
nicowy ( patrz p.  2.1. Definicja pochodnej i różniczki na stronie 11 ):
f x0 Dx f x0 x0 Dx - x02 + + - x02
] + g- ] g ] + g2 x02 2x0Dx Dx2
= = =
Dx Dx Dx
2x0Dx Dx2
+
2x0 Dx
= = +
Dx
Zgodnie zatem z definicjÄ… pochodnej:
df x0 lim 2x0 Dx 2x0
] g
= ] + g =
Dx" 0
dx
dx2
StÄ…d otrzymujemy znany wynik 2x.
=
dx
Stosują podobne metody można wyznaczyć:
dxn
nxn-1 dla wszystkich nd R
=
dx
d sin ]xg d cos ]xg
cos ]xg oraz
= =- sin ]xg
dx dx
x
de
ex
=
dx
15
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAł 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania:
DO PODROZDZIAłU: Pochodne niektórych funkcji. Przykłady obliczania pochodnych
Pochodną funkcji tangens i cotangens wyznaczymy korzystając z formuły
na pochodną ilorazu funkcji i powyższych wyników.
d sin ]xg cos ]xg
d tg]xg sin ]xgl = dx cos ]xg- sin ]xgd
d
dx
= bcos =
dx dx ]xg
cos2 ]xg
cos2 ]xg sin2 ]xg 1
+
= =
cos2 ]xg cos2 ]xg
d ctg]xg
1
Podobnie otrzymujemy
=-
dx
sin2 ]xg
Pochodą logarytmu naturalnego otrzymamy korzystając z formuły na po-
chodnÄ… funkcji odwrotnej
d ln ]xg 1 1 1
= = =
dx
dex eln]xg x
dx
ln ]xg
Korzystając z powyższego wyznaczymy pochodną funkcji wykładniczej dla
a> 0,a! 1
x
dax d d ln]ag ln]ag
ex ex d (x ln ]ag) eln]a g ln ]ag ln ]agax
= = = = =
dx dx dx dx
gdzie skorzystaliśmy z formuły na pochodną złożenia dwóch funkcji.
PochodnÄ… funkcji odwrotnej do sinusa oznaczanej jako arcsin ]xg, wyznaczy-
my z reguły różniczkowania funkcji odwrotnej
d arcsin ]xg 1 1
= =
dx cos arcsin ]xg
] g
d sin ]xg
dx
arcsin ]xg
1 1
dla - 1# x# 1
= =
1 - sin2 arcsin ]xg 1 - x2
] g
analogicznie
d arccos ]xg 1
oraz
=-
dx
1 - x2
darctg]xg darcctg]xg
1 1
, i
= =-
dx dx
1 x2 1 x2
+ +
16
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAł 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania:
DO PODROZDZIAłU: Niektóre zastosowanie pochodnej
Obliczanie pochodnych jest, w większości przypadków, procesem mechanicz-
nym  należy jedynie konsekwentnie wykorzystywać otrzymane powyżej wyniki
oraz ogólne własności pochodnej( patrz p.  2.4. Podstawowe własności pochod-
nej na stronie 14 )
2.6. Niektóre zastosowanie pochodnej
" Wyznaczanie ekstremów lokalnych
Z analizy geometrycznej pochodnej wynika bezpośrednio ( patrz p.  2.3. In-
terpretacja geometryczna pochodnej na stronie 13 ), że w otoczeniu ekstremum
lokalnego, przy przechodzeniu przez ekstremum pochodna funkcji zmienia znak,
osiągając w samym ekstremum wartość 0, bowiem styczna w ekstremum lokalnym
jest zawsze równoległa do osi odciętych X. Jeśli ponadto funkcja jest dwukrotnie
różniczkowalna, to rodzaj ekstremum określony jest przez znak drugiej pochodnej.
Druga pochodna określa bowiem zmienność pierwszej pochodnej  w przypadku
maksimum pierwsza pochodna jest funkcjÄ… malejÄ…cÄ… w otoczeniu ekstremum, a w
przypadku minimum, rosnÄ…cÄ… PodsumowujÄ…c zatem:
df]xg
warunek 0 wyznacza punkty xmax i xmin ,
=
dx
d2 f d2 f
ponadto xmax < 0 i xmin > 0 .
] g ] g
dx2 dx2
f (x)
maksimum
minimum
x
xmax xmin
17
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAł 2: Pochodna funkcji rzeczywistej i jej niektóre zastosowania:
DO PODROZDZIAłU: Niektóre zastosowanie pochodnej
" Rozwijanie funkcji w szereg.
Załóżmy, że funkcja f jest N+1-krotnie różniczkowalna wokół pewnego punktu x0.
Wtedy możemy dla innego punktu x x0 Dx zapisać ( wzór Taylora ):
= +
N
]
f]xg f x0 1 dk f x0 - x0 RN x0,Dx
= ] g+/k! dxk g]x gk + ] g
k 1
=
przy czym reszta RN x0,Dx dąży do zera szybciej niż N-ta potęga Dx
] g
Oznacza to, że w takim przypadku możemy przybliżać funkcję f przez szereg
potęgowy stopnia N ( N-ty rząd przybliżenia ) określony przez wartość funkcji i jej
pochodne w punkcie x0. Szczególna postać tego wzoru otrzymana dla x0 0 nosi na-
=
zwÄ™ wzoru Maclaurina.
dk ex
Jako przykład rozważmy f]xg ex. Ponieważ ex dla każdego k, więc roz-
= =
dxk
wijając wokół x0 0 otrzymamy:
=
3
1 1 1
ex 1 x x2 1 x3 f xn f xn
= + + + + + + =/
2! 3! n! n!
n 0
=
Podobnie:
1 1
sin ]xg x - x3 1 x5 - x7 f f
= + + + ]-1
gn x2n+1 +
3! 5! 7!
2n 1 !
] + g
oraz
1 1
cos ]xg 1 - x2 1 x4 - x6 f f
= + + + ]-1
gn x2n +
2! 4! 6!
2n !
] g
0 3
" Wyznaczanie granic wyrażeń nieokreślonych postaci , .
3
0
Załóżmy, że funkcje f,g są różniczkowalne w otoczeniu punktu x0, i ponadto
l
g x0 ] 0. Jeśli, przy x" x0 obie te funkcje dążą jednocześnie do 0 albo do 3, i ist-
] g
nieje granica:
l
f ]xg
lim
x" x0
gl]xg
l
f]xg f ]xg
to lim lim
=
x" x0 x" x0
g]xg
gl]xg
0
Jako przykład rozpatrzmy, spełniające powyższe warunki, wyrażenie typu :
0
d sin ]xg
sin ]xg cos ]xg
dx
lim lim lim 1
= = =
x" 0 x x" 0 x" 0
dx 1
dx
18
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
3.0. Całka oznaczona i nieoznaczona funkcji
rzeczywistej
Całkowanie, ogólnie mówiąc, jest operacją odwrotną do różniczkowania. O ile jed-
nak, w większości sytuacji, różniczkowanie polega na mechanicznym stosowaniu
określonych metod, o tyle całkowanie jest pewnego rodzaju sztuką. Tylko w nielicz-
nych sytuacjach udaje się uzyskać wynik całkowania w postaci analitycznej. Istnie-
je oczywiście szereg metod całkowania, skutecznych w określonych sytuacjach, jed-
nak ich omówienie przekracza ramy tego kompendium. W tym rozdziale ograniczy-
my się jedynie do zdefiniowania całki oznaczonej i nieoznaczonej, wymienienia ich
podstawowych własności i rozpatrzenia kilku prostych przykładów. Materiał ten
można pogłębić sięgając np. do pozycji [1], [2], [3] lub skryptów i kompendiów tej
serii poświęconych zagadnieniom całkowania.
3.1. Całka oznaczona z funkcji rzeczywistej ( całka Riemanna )
Rozważamy ciągłą funkcję f i pole powierzchni pomiędzy jej wykresem i osią X wy-
znaczone przez punkty x: a i b
f (x)
P
i
P
N
f (x )
i
P
1
x
a i x
b
"x
b - a
Podzielmy odcinek [a,b] na N równych przedziałów o szerokości Dx
i wpisz-
=
N
my w interesujące nas pole N prostokątów o jednakowych podstawach Dx i wysoko-
ściach dobranych tak, aby jak najlepiej przybliżyć wyznaczane pole S.
19
19
ROZDZIAł 3: Całka oznaczona i nieoznaczona funkcji rzeczywistej:
DO PODROZDZIAłU: Funkcja górnej granicy całkowania. Całka nieoznaczona
Na tym etapie wartość pola S może być przybliżona przez wielkość sumy pól po-
szczególnych prostokątów:
N N
S. SN P1 P2 f PN Pi f xi Dx
= + + + =/ =/ ] g
i 1 i 1
= =
gdzie skorzystaliśmy z faktu, że dla każdego z rozpatrywanych prostokątów, istnie-
je taka wartość argumentu xi, iż wysokość prostokąta jest wartością funkcji w tym
punkcie f xi . Wtedy pole i-tego prostokÄ…ta wynosi Pi f xi Dx.
] g = ] g
Jest oczywiste, że to przybliżenie jest tym lepsze, im bardziej gęsty jest podział
pola S na prostokąty. Wartość dokładną S otrzymujemy w granicy N" 3
Jeśli ciąg sum częściowych S jest zbieżny ( patrz p.  1.2. Szereg liczbowy i
N
jego zbieżność na stronie 6 ) to granicę S lim S nazywamy całką oznaczoną z
=
N
N" 3
funkcji f i oznaczamy ją zgodnie z poniższym zapisem:
b
N
f]xgdx lim f xi Dx S
# = / ] g =
N" 3
i 1
=
a
Symbol całki powstał z rozciągnięcia symbolu sumowania , wynikającego z
# /
rozszerzenia sumy dyskretnej na przypadek ciągły w wyniku wykonania przejścia
granicznego. Oznaczenie dx  różniczka funkcji x, ( patrz p.  2.1. Definicja po-
chodnej i różniczki na stronie 11 )  to nieskończenie mały przyrost argumentu Dx
w granicy zmierzającej do 0. Wielkości a,b wyznaczają granice całkowania  krań-
ce przedziału całkowania  dolną i górną, odpowiednio.
Z interpretacji geometrycznej całki oznaczonej jako odpowiedniego pola po-
wierzchni, wynikają bezpośrednio poniższe własności.
b a
f]xg f]xgdx
# =- #
a b
b c b
f]xgdx f]xg f]xgdx dla a< c< b
# = # + #
a a c
3.2. Funkcja górnej granicy całkowania. Całka nieoznaczona
Przez funkcję górnej granicy całkowania F]xg rozumiemy funkcję określoną dla
zmiennej będącej górną granicą całkowania:
x
F]xg f]xgdx
= #
a
20
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAł 3: Całka oznaczona i nieoznaczona funkcji rzeczywistej:
DO PODROZDZIAłU: Funkcja górnej granicy całkowania. Całka nieoznaczona
Na mocy dwóch poprzednich równań
x Dx x x x Dx x
+ +
f]xgdx f]xgdx f]xgdx f]xgdx f]xgdx
# - # # + # - #
F x Dx F]xg
] + g-
a a a x a
lim lim lim
= = =
Dx" 0 Dx" 0 Dx" 0
Dx Dx Dx
x Dx
+
f]xgdx
#
]ug
f x Dx
x
]ug
lim lim lim f x f]xg
= = = =
Dx" 0 Dx" 0 Dx" 0
Dx Dx
u
bowiem x" x gdy Dx" 0.
dF]xg
Zatem funkcja górnej granicy całkowania spełnia: f]xg
=
dx
Oznacza to, że całkowanie jest operacją odwrotną do różniczkowania. Postać
funkcji górnej granicy całkowania zależy od wyboru stałej a  dolnej granicy cał-
kowania. Dla różnych wyborów otrzymujemy funkcje różniące się stałą C  tzw.
u
stałą całkowania. Inaczej mówiąc, F]xg F]xg C jest również funkcją górnej
= +
granicy całkowania. Każdą funkcję F]xg spełniającą równanie:
dF]xg
f]xg
=
dx
nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f i oznaczamy symbolem f]xgdx
#
Powyższe pozwala ustalić całki nieoznaczone niektórych, prostych funkcji. Na
przykład:
d
1
x dx x2 C , bowiem x2 C x
# = + ]1 + g =
2 2
dx
Analogicznie:
1 1
xndx xn+1 C dla n!- 1, oraz dx ln x C
# = + # = +
x
n 1
+
ex dx ex C , sin ]xgdx cos ]xg C , cos ]xgdx sin ]xg C
# = + # =- + # = +
( patrz p.  2.5. Pochodne niektórych funkcji. Przykłady obliczania pochod-
nych na stronie 15 )
Wyznaczanie całki oznaczonej można sprowadzić do wyznaczenia całki nie-
oznaczonej i skorzystania z równości:
b
b
f]xgdx F]bg- F]ag F]xg , gdzie F]xg f]xgdx
# = = = #
a
a
21
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAł 3: Całka oznaczona i nieoznaczona funkcji rzeczywistej:
DO PODROZDZIAłU: Funkcja górnej granicy całkowania. Całka nieoznaczona
Na przykład:
3
3
1 1 1
ponieważ x3 dx x4 C , stąd x3 dx (1 x4 C ) (34 - (- 1)4) 81 - 1 20.
# = + # = + = = ] g =
4 4 4 4
-1
-1
Całkowanie jest operacją liniową tzn. dla dowolnych stałych a,b
(af]xg bg]xg)dx a f]xgdx b g]xgdx .
# + = # + #
Ponadto
dg (x)dx= dg= g]xg+ C
# #
dx
gdzie C jest stałą całkowania.
W przeciwieństwie do obliczania pochodnych, dla całkowania nie istnieją ogólne
reguły, które pozwalałyby obliczyć całkę dowolnej funkcji. Przegląd metod całkowa-
nia w częściej spotykanych przypadkach, można znalez
ć w [2]. Pomocne mogą być
też tablice często spotykanych całek np. [4]
22
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
4.0. Różniczkowanie i całkowanie wektorów.
Podstawowe wielkości kinematyczne są wielkościami wektorowymi, w szczególno-
ści wektorami są prędkość i przyspieszenie. Wektory mogą być funkcją pewnego
parametru t np. czasu  mówimy wtedy o zależności parametrycznej wektora od
zmiennej t. W takim przypadku można rozważać zarówno pochodną wektora po
zmiennej t, jak i jego całkę po tej zmiennej.
Rozważać zatem będziemy wektor w]tg , który w ustalonym układzie karte-
t t
zjańskim, zdefiniowanym przez wersory it ( oś X ), j ( oś Y ), k (oś Z ), ma składo-
we wx]tg, wy]tg, wz]tg tzn.
t+ t=
w]tg wx]tgit wy]tgj wz]tgk wx]tg,wy]tg,wz]tg
= + 5 ?
4.1. Pochodna wektora i jej własności
dw]tg
W analogi do definicji pochodnej funkcji, pochodnÄ… wektora definiujemy po-
dt
przez granicÄ™ ( o ile taka istnieje ):
w t dt w]tg
dw]tg ] + g-
lim
=
Dt" 0
dt dt
( patrz p.  2.1. Definicja pochodnej i różniczki na stronie 11 )
Pochodne wyższych rzędów definiujemy rekurencyjnie, jako odpowiednie, kolej-
ne pochodne z pochodnej wektora
dnw]tg dn-1w]tg
dla n> 1
dtn =
dtn-1
Z definicji pochodnej wektora wynikają bezpośrednio następujące własności:
dw]tg
" 0 dla stałego wektora w]tg const.
= =
dt
dw]tg dv]tg
d
" aw]tg bv]tg a b dla dowolnych stałych a,b tzn. liniowość
] + g = +
dt dt dt
df]tgw]tg+ f]tgdw]tg dla różniczkowalnej funkcji f]tg
dw]tg d
" 0 ( f]tgw]tg )
= =
dt dt dt dt
23
23
ROZDZIAł 4: Różniczkowanie i całkowanie wektorów:
DO PODROZDZIAłU: Całkowanie wektorów
" W szczególności oznacza to, że w układzie kartezjańskim, pochodną wekto-
ra otrzymujemy przez zróżniczkowanie jego składowych
dwy]tg
dw]tg dwz]tgD
:dwx]tg, ,
=
dt dt dt dt
Np. dla:
w]tg sin (2t),cos (t2),t t3 , mamy:
= 5 + ?
dw]tg sin(2t) d cos (t2) dt dt3
:d , , D 2 cos(2t), - 2t sin (t2), 1 3t2
= + = 5 + ?
dt dt dt dt dt
oraz
d2 w]tg d(2t sin (t2) dt2
:d(2 cos (2t)), - ?
, 3 D sin(2t), - 4t2 cos (t2), 6t
= = 5-4
dt dt dt
dt2
" OznaczajÄ…c przez : i # iloczyn skalarny i wektorowy odpowiednio, pochodne
tych iloczynów wyznaczamy zgodnie z:
dw]tg dv]tg
d
w]tg: v]tgg : v]tg w]tg:
] = +
dt dt dt
dw]tg dv]tg
d
# g # #
]w]tg v]tg v]tg w]tg
= +
dt dt dt
Różniczką wektora określoną na przyroście parametru Dt nazywamy wielkość:
dw]tgDt
dw t,Dt
] g =
dt
w granicy Dt" 0 oznaczamy jÄ… jako dw]tg.
4.2. Całkowanie wektorów
Związek pomiędzy całką oznaczoną i nieoznaczoną w przypadku całkowania wek-
torów jest analogiczny jak w przypadku funkcji rzeczywistej ( patrz p.  3.2. Funk-
cja górnej granicy całkowania. Całka nieoznaczona na stronie 20 ). Wystarczy
zatem określić całkę nieoznaczoną z wektora w]tgdt W]tg, którą definiujemy
# =
jako dowolny z wektorów ( wektor określony z dokładnością do wektora stałego )
W]tg spełniających:
dW]tg
w]tg
=
dt
24
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAł 4: Różniczkowanie i całkowanie wektorów:
DO PODROZDZIAłU: Całkowanie wektorów
Tak określona operacja jest oczywiście liniowa w poniższym sensie:
a w]tg b v]tg dt a w]tgdt b v]tgdt
#] + g = # + #
dla dowolnych stałych a, b i całkowalnych wektorów w]tg, v]tg.
Dla stałego wektora w0 const. i całkowalnej funkcji f]tg mamy ponadto:
=
f]tg w0 dt w0 f]tgdt
# = #
oraz
d v]tgdt= dv]tg = v (t) + const.
# #
dt
Z powyższego wynika bezpośrednio, że dla wektora określonego w kartezjańskim
układzie współrzędnych, jego całkę wyznacza się poprzez całkowanie jego składo-
wych:
w]tg dt wx]tg dt, wy]tg dt, wz]tg dt
B
# = 8 # # #
Na przykład dla w]tg 5t2,2 sin (t), 3 cos (t)?
=
w]tgdt t2 dt, 2 sin (t) dt , 3 cos (t) dt B
# = 8 # # # =
t3 w0x ,
= + - 2 cos (t) w0y , 3 sin (t) w0z 3 t3 , - 2 cos (t) , 3 sin (t) w0
51 + + = ?
? 51 +
3
gdzie stały wektor w0 w0x , w0x , w0x określony jest przez trzy stałe całkowania, któ-
= 5 ?
re, w celu ujednoznacznienia wyniku, należy wyznaczyć z dodatkowych warunków
tzw. warunków początkowych.
Znając całkę nieoznaczoną wektora w]tg, W]tg w]tg dt , łatwo wyznaczyć cał-
= #
kę oznaczoną na przedziale zmienności parametru t: t0 , t1
5 ?
t1
t1
w]tg dt W t1 W t0 W]tg
# = ] g- ] g =
t0
t0
I odwrotnie, w celu jednoznacznego wyznaczenia całki Z]tg ze znanego wekto-
ra w]tg z warunkiem początkowym Z t0 z0 const., należy posłużyć się równa-
] g = =
niem:
t
]tug
Z]tg z0 w dtu
= + #
t0
25
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
5.0. Opis ruchu punkt materialnego
W rozdziale tym zdefiniowane zostaną podstawowe wielkości kinematyczne i jego
zrozumienie wymaga pełnego przyswojenia materiału poprzednich rozdziałów.
Aby dokonać opisu ruchu wymagany jest obserwator uzbrojony w przyrzą-
dy do mierzenia czasu, odległości i kątów. Obserwatora taki, wraz z wprowadzo-
nym układem współrzędnych, definiuje układ odniesienia względem którego bę-
dzie opisywany ruch. Wybór układu odniesienia jest dowolny i powinien być dosto-
sowany do aktualnie badanego ruchu. Właściwy wybór układu odniesienia, w tym
układu współrzędnych, pozwala uprościć opis ruchu i jego interpretację. Poniżej
wprowadzamy układy odniesienia oparte o kartezjański i sferyczny układ współ-
rzędnych.
Z
Ar

A
'"
r
'"
Ć
'"
Ń(t)
Ń
AŃ

r(t)
'"
i
'"
Y
k
'"
j
Ć(t)
X
Ax
Ay
Układy te zdefiniowane są przez układy trzech wektorów jednostkowych tzw. wer-
sorów, wyznaczających osie ( linie ) układu współrzędnych:
t t
" układ stałych prostopadłych wzajemnie wersorów it, j, k definiujących osie X,Y,
Z, kartezjańskiego układu współrzędnych, w którym dowolny wektor A opisany
jest przez swoje składowe Ax, Ay, Az
t
t
" układ wzajemnie prostopadłych wersorów rt, j, { definiujących składowe wek-
tora A : Ar, Aj, A{ , nazywane odpowiednio: radialną, azymutalną ( południko-
wą ) i transwersalną ( równoleżnikową ).
tzn.
26
26
ROZDZIAÅ‚ 5: Opis ruchu punkt materialnego:
DO PODROZDZIAÅ‚U: Wektor wodzÄ…cy, wektor styczny i normalny do krzywej
t t
A Ax it Ay j Az k Ax,Ay,Ay
= + + = 5 ? =
( 5.1 )
t
t
Ar rt Aj j A{ { Ar,Aj,A{
= + + = 5 ?sfer
Długość wektora wyraża się poprzez składowe jako:
2 2 2 2 2
( 5.2 ) A A Ax A2 Az Ar Aj A{
= = + + = + +
y
Te układy współrzędnych różnią się zasadniczo tym, że pomimo iż oba są ortogonal-
ne, to układ kartezjański jest prostoliniowy a sferyczny krzywoliniowy  wektory
t
t
rt, j, {
zależą od punktu, w którym położony jest początek wektora A . W układzie
kartezjańskim mają one następujące składowe:
rt sin (j)cos ]{g, sin (j)sin ]{g, cos (j)
= 5 ?
t
( 5.3 ) j cos (j)cos ]{g, cos (j)sin ]{g, - sin (j)
= 5 ?
t
{ sin ]{g, cos ]{g, 0)
= 5- ?
Oczywiście, jeśli położenie punktu zaczepienia wektora A wyznaczone jest zależ-
nością od pewnego parametru t, to wersory te zależą również od t.
r
Ustalenie kąta j definiuje tzw. biegunowy układ współrzędnych na płasz-
=
2
czyżnie X,Y dogodny do opisywania ruchów płaskich. W tym układzie współrzęd-
t
nych dowolny wektor ma oczywiście dwie składowe A Ar rt A{ { Ar, A{ .
= = + = 5 ?bieg
5.1. Wektor wodzÄ…cy, wektor styczny i normalny do krzywej
z(t)
P(t)'"
n(t)

r(t)
'"
t(t)
Ń(t)
r(t)
y(t)
Å‚
x(t) Ć(t)
Ruch punktu materialnego po krzywej c opisany jest poprzez podanie położe-
nia tego punktu w dowolnej chwili t z przedziału obserwacji t0,t1 . Położenie to wy-
5 ?
27
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAÅ‚ 5: Opis ruchu punkt materialnego:
DO PODROZDZIAÅ‚U: Wektor wodzÄ…cy, wektor styczny i normalny do krzywej
znaczone jest przez koniec wektora łączącego początek układu odniesienia z ak-
tualnym punktem położenia ciała na krzywej c tzw. wektora wodzącego r]tg.
Oczywiście,
r(t) r]tgrt]tg r]tg, 0, 0 x]tg, y]tg, z]tg
= = 5 ?sfer = 5 ?
( 5.4 )
r]tg sin ]j]tgg cos ]{]tgg , r]tg sin ]j]tgg sin ]{]tgg , r]tg cos ]j]tgg
= 5 ?
gdzie, ze względu na wyjątkową rolę wektora wodzącego, jego składowe karte-
zjańskie oznaczyliśmy tak, jak równe im współrzędne punktu P tj. przez funkcje
x]tg, y]tg, z]tg ( zamiast standardowych oznaczeń rx, ry, rz ). Powyższe równanie poda-
je także związek pomiędzy współrzędnymi kartezjańskimi i sferycznymi.
Od tego momentu parametr czasowy zawsze będziemy oznaczać literą t ( nie
mylić z oznaczeniem wektora stycznego tt, patrz niżej ). Oczywiście krzywa c po
której porusza się ciało ( trajektoria ruchu ) może być sparametryzowana za pomo-
cą dowolnego, innego parametru qd q0,q1 poprzez podanie funkcji r]qg. Szczegól-
5 ?
nym rodzajem parametru dla danej krzywej c, tzw. parametrem naturalnym,
jest długość jej łuku s liczona od pewnego punktu P0, której nieskończenie mały ele-
ment zdefiniowany jest w układzie kartezjańskim równaniem:
]qgl2 ]qgl2 ]qgl2
( 5.5 ) ds dx2 dy2 dz2 bdx bdy bdz dq
= + + = + +
dq dq dq
Przejście od dowolnej parametryzacji q do parametryzacji naturalnej tj. po-
przez parametr s, opiera się na równaniu:
P q
u u u
]qgl2 ]qgl2 ]qgl2
( 5.6 ) s]qg ds bdx bdy bdz u
dq
= # = # + +
u u u
dq dq dq
P0 q0
Z geometrii różniczkowej ( patrz [1], [5] ) oraz informacji z poprzednich podrozdzia-
łów ( patrz p.  2.3. Interpretacja geometryczna pochodnej na stronie 13 ) wyni-
ka, że wektor zdefiniowany w dowolnej parametryzacji, jako:
dr]qg
dq
( 5.7 ) tt]qg
=
dr]qg
dq
jest jednostkowym wektorem stycznym do krzywej c w punkcie r]qg.
dtt2 dtt
Zatem, ponieważ tt2 tt : tt 1, to 2tt : 0 i każdy wektor równoległy do
= = = =
ds ds
dtt
jest prostopadły do wektora tt.
ds
28
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAÅ‚ 5: Opis ruchu punkt materialnego:
DO PODROZDZIAłU: Prędkość chwilowa i jej własności
t
W szczególności dotyczy to jednostkowego wektora normalnego n do krzywej
c, zdefiniowanego zgodnie z równaniem:
dtt 1 d2 r 1
t
( 5.8 ) n gdzie t
= = =
t
ds
ds2 d2 r
ds2
jest zależnym od punktu promieniem okręgu stycznego do krzywej tzw. promie-
niem krzywizny. Wektor n skierowany jest do środka okręgu stycznego ( patrz ry-
sunek zamieszczony na początku tego podrozdziału ).
Ruch nazywamy prostoliniowym, gdy istnieje taka parametryzacja trajektorii, iż
( 5.9 ) r]qg v0ttq r0 v0 q r0
= + = +
gdzie v0, r0 są wektorami stałymi, tzn. trajektoria jest fragmentem prostej. Dla ru-
chu prostoliniowego nie określa się krzywizny toru, a wektor styczny jest stały.
W pozostałych przypadkach ruch nazywamy krzywoliniowym.
Ruch nazywamy płaskim, gdy jego trajektoria leży w pewnej płaszczyz
nie. tzn
do jego opisu wystarczaj dwie współrzędne np. ( x,y ) lub w w układzie biegunowym
( r,{ ). W ogólności ruch może być istotnie trójwymiarowy ( np. po linii śrubowej )
 ani prostoliniowy, ani płaski.
5.2. Prędkość chwilowa i jej własności
Z definicji, prędkość w chwili t, v]tg , jako miara zmienności ruchu, określona jest
zależnością:
dr]tg
( 5.10 ) v]tg
=
dt
Wprost z definicji i równania ( 5.7 ) na stronie 28, mamy:
( 5.11 ) v]tg v]tgtt]tg
=
gdzie, zgodnie z równaniem ( 5.5 ) na stronie 28,wartość prędkości ( szybkość ) v]tg:
29
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAÅ‚ 5: Opis ruchu punkt materialnego:
DO PODROZDZIAłU: Prędkość chwilowa i jej własności
]tgk2 ]tgk2 ]tgk2
ds 2
( 5.12 ) v]tg v2 v2 vz adx ady adz ,
= = + + = + +
x y
dt dt dt dt
]tg
bowiem w układzie kartezjańskim v]tg , ,
= 9dx dy]tg dz]tgC
dt dt dt
Ruch nazywamy jednostajnym, gdy wartość prędkości jest stała tzn. v]tg v0 const.
= =
Z równania ( 5.11 ) na stronie 29, bezpośrednio wynika, że prędkość jest za-
wsze styczna do trajektorii w każdym punkcie toru ( w każdej chwili ruchu ).
Ponieważ r (t) r]tgrt]tg oraz, zgodnie z ( 5.3 ) na stronie 27 i regułami różnicz-
=
kowania ( patrz p.  2.4. Podstawowe własności pochodnej na stronie 14 ), mamy:
drt]tg
o t
o t
( 5.13 ) rto]tg j]tgj]tg sin ]j]tgg{]tg{]tg ,
= = +
dt
stÄ…d
d
o
v]tg ]r]tg rt]tg g r]tgrt]tg r]tgrto]tg =
= = +
( 5.14 )
dt
o t
o # o t
r]tgrt]tg r]tg j]tgj]tg sin ]j]tgg{]tg{]tg-
= + +
gdzie pochodne po czasie, dla uproszczenia, oznaczono kropką. Z powyższego bez-
pośrednio wynika, że w układzie współrzędnych sferycznych:
o
7 o o Asfer
( 5.15 ) v]tg r]tg , r]tgj]tg , r]tg sin ]j]tgg{]tg
=
r
W szczególności w układzie biegunowym ( j ), składowe prędkości wynoszą:
=
2
o o
( 5.16 ) v]tg r]tg , r]tg {]tg
= 5 ?bieg
o
W ruchu płaskim pochodną {]tg ~]tg nazywamy prędkością kątową, a wiel-
=
kość:
1
#
( 5.17 ) c]tg r]tg v]tg
=
2
prędkością polową. Wartość prędkości polowej c jest równa polu zakreślanemu
przez wektor wodzący w czasie ruchu ciała w jednostce czasu w chwili t.
30
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAÅ‚ 5: Opis ruchu punkt materialnego:
DO PODROZDZIAłU: Prędkość chwilowa i jej własności
Powyższe własności pozwalają bezpośrednio wyznaczyć prędkość ciała, gdy zna-
na jest postać wektora wodzącego r]tg w zależności od czasu tzn. gdy znamy poło-
żenie ciała w dowolnej chwili czasu w interesującym nas okresie.
Można jednak postawić zagadnienie odwrotne: czy ze znajomości prędko-
ści chwilowej ciała w dowolnej chwili czasu v]tg, można uzyskać wiedzę na temat
jego położenia? Zgodnie z wiedzą na temat związku pomiędzy pochodną i całką
( patrz p.  3.2. Funkcja górnej granicy całkowania. Całka nieoznaczona na
stronie 20 ) odpowiedz
na to pytanie jest twierdząca, o ile znamy położenie ciała r0 w
pewnej chwili, zwanej umownie poczÄ…tkowÄ…, t0 tzn. gdy znamy warunek poczÄ…t-
kowy r t0 r0 x0 , y0 , z0 . Wtedy , na mocy poprzednich ustaleń:
] g = = 5 ?
t
]tugdtu
( 5.18 ) r]tg r0 v
= + #
t0
lub bardziej jawnie we współrzędnych kartezjańskich:
Z
t
]x = x0 + vx
]tugdtu
]tg
#
]
t0
]
t
]
]tugdtu
( 5.19 ) ]tg
#
[y = y0 + vy
t0
]
t
]
]tugdtu
]tg
#
]z = z0 + vz
]
t0
\
Powyższe równania pozwalają wyznaczyć jednoznacznie położenie, jeśli umiemy
obliczyć występujące w nich całki, co jak wspomniano wcześniej nie zawsze jest
możliwe. W takim przypadku można zawsze zastosować obliczenia numeryczne, te-
mat ten jednak wykracza poza ramy tego kompendium.
W szczególnym przypadku ruchu ze stałą prędkością v0, jako wniosek z powyż-
szych równań, otrzymujemy:
( 5.20 ) r]tg r0 v0 t - t0
= + ] g
tzn. ruch jest ruchem jednostajnym prostoliniowym.
W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu o promieniu R z prędkością o
wartości v0, zależne od czasu położenie wyznacza jedynie współrzędna biegunowa
{]tg i zgodnie z ( 5.16 ) na stronie 30, mamy ( wybór ! dotyczy kierunku obiegu ):
t
d{]tg v0 = v0
( 5.21 ) R ! v0 & {]tg {0 ! dtu {0 ! t - t0
= = # ] g
dt R R
t0
31
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAÅ‚ 5: Opis ruchu punkt materialnego:
DO PODROZDZIAłU: Przyspieszenie chwilowe i jego własności
5.3. Przyspieszenie chwilowe i jego własności
Z definicji, przyspieszenie chwilowe w chwili t, a(t), określone jest równaniem:
dv (t) d2 r(t)
( 5.22 ) a (t)
= =
dt
dt2
i w związku z tym jest miarą zmienności prędkości ciała.
dv]tgtt]tg+ v]tgdtt]tg
d
! +
KorzystajÄ…c z ( 5.11 ) na stronie 29, mamy: a (t) v]tg tt]tg
= =
dt dt dt
Stąd, biorąc pod uwagę równanie ( 5.8 ) na stronie 29, możemy zapisać
dv]tgtt]tg+ v]tgdtt dv]tgtt]tg+ v]tg2
ds
t
a]tg n]tg
= =
dt ds dt dt t]tg
( 5.23 )
t
at]tg tt]tg ad]tgn]tg
= +
A zatem w sposób naturalny przyspieszenie rozkłada się na wzajemnie prostopa-
dłe składowe:
dv]tg
przyspieszenie styczne at]tg
=
dt
v]tg2
i przyspieszenia dośrodkowe, o wartości ad]tg
=
t]tg
Ruch nazywamy jednostajnie zmiennym ( przyspieszonym lub opóz
nio-
nym), gdy przyspieszenie styczne, at, jest niezerowe i stałe w czasie ruchu. W
ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym  i tylko takim  mamy poza tym
znikanie przyspieszenia dośrodkowego.
Zgodnie z definicją ( 5.22 ) na stronie 32, składowe przyspieszenia w układzie karte-
zjańskim wynoszą:
2
dvy]tg
dvz]tg
( 5.24 ) a]tg :dvx]tg , , D , ,
= = :d x]tg d2 y]tg d2 z]tgD
dt dt dt
dt2 dt2 dt2
Chcąc wyznaczyć składowe przyspieszenia w układzie współrzędnych sferycznych
skorzystamy z równania ( 5.15 ) na stronie 30. Oznaczając dla uproszczenia pochod-
ne czasowe kropką, i korzystając z reguł różniczkowania , możemy zapisać:
32
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAÅ‚ 5: Opis ruchu punkt materialnego:
DO PODROZDZIAłU: Przyspieszenie chwilowe i jego własności
d
o t
# o o t
( 5.25 ) a]tg r]tgrt]tg r]tgj]tgj]tg r]tg sin ]j]tgg{]tg{]tg-
= + + =
dt
o t p t o to
p o o
r]tgrt]tg r]tgrto]tg r]tgj]tgj]tg r]tgj]tgj]tg r]tgj]tgj]tg
= + + + + +
o
o o t o t
r]tg sin ]j]tgg{]tg{]tg r]tg cos ]j]tggj]tg{]tg{]tg
+ + +
p
p t o t
r]tg sin ]j]tgg{]tg{]tg r]tg sin ]j]tgg{]tg{]tg
+ +
to
to
Obliczenia pochodnych rto]tg, j]tg, {]tg wersorów wykonujemy korzystając z rów-
nań ( 5.3 ) na stronie 27, zapisując je w postaci analogicznej do ( 5.13 ) na stronie 30.
t
t
Po uporządkowaniu względem wersorów rt]tg, j]tg, {]tg, (patrz ( 5.1 ) na stronie 27)
otrzymujemy:
a]tg ar , aj , a{
= 5 ?sfer
o
p o
ar r (t) - r (t){ (t)2 - r]tgj]tg2
=
( 5.26 )
o p
o
aj 2 r]tgj]tg r]tgj]tg
= +
o
# o o p o
a{ sin ]j]tgg 2 r]tg{]tg r]tg{]tg 2 r]tgctg]j]tggj]tg{]tg-
= + +
W szczególności w układzie współrzędnych biegunowych na płaszczyz
nie X,Y:
o o o p
( 5.27 ) a]tg ar , a{ r(t) - r (t){ (t)2 , 2 r]tg{]tg r]tg{]tg
= 5 ?bieg p + ?
= 5
r
gdyż wtedy j .
=
2
d~]tg
p
W ruchu płaskim pochodną {]tg f]tg nazywamy przyspieszeniem ką-
= =
dt
towym.
Widać z powyższego, że znajomość prędkości ( a tym bardziej położenie ciała w
każdej chwili ruchu ), pozwala metodą różniczkowania wyznaczyć jego przyspiesze-
nie w dowolnym punkcie toru. I znowu można postawić zagadnienie odwrotne:
czy znajomość przyspieszenia w każdej chwili a]tg pozwala jednoznacznie wyzna-
czyć prędkość ciała. Podobnie jak w przypadku prędkości, odpowiedz
na to pytanie
jest pozytywna, jeśli tylko znamy prędkość w ustalonej chwili początkowej t0, v0
, tzn. zadany jest warunek poczÄ…tkowy: v t0 v0. Wtedy na mocy poprzednich roz-
] g =
ważań ( patrz p.  4.2. Całkowanie wektorów na stronie 24 ) mamy:
t
]tugdtu
( 5.28 ) v]tg v0 a
= + #
t0
lub bardziej jawnie we współrzędnych kartezjańskich:
33
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAÅ‚ 5: Opis ruchu punkt materialnego:
DO PODROZDZIAłU: Przyspieszenie chwilowe i jego własności
Z
t
]vx = v0x + ax]tgdtu
]tg
#
]
t0
]
t
]
]tugdtu
( 5.29 ) ]tg
#
y
[v = v0y + ay
t0
]
t
]
]tugdtu
]tg
#
z
]v = v0z + az
]
t0
\
O ile z powyższego uda się obliczyć v]tg, to korzystając z równań ( 5.18 ) na stro-
nie 31 ( lub jawnie we współrzędnych kartezjańskich ( 5.19 ) na stronie 31 ) można wy-
znaczyć położenie ciała w dowolnej chwili t, jeśli znamy jego początkowe położenie.
Na przykład dla ruchu jednostajnie zmiennego wzdłuż osi X z przyspiesze-
niem ax a, i zadanymi warunkami poczÄ…tkowymi w chwili t0 : x0 , v0x, mamy:
=
t
vx]tg v0x a dtu v0x a t - t0 at v0x - at0
= + # = + ] g = +
t0
( 5.30 )
t
2
x]tg x0 atu v0x - at0 dtu x0 1 a t2 - t0 v0x - at0 t - t0
] + ] g] g
= + # + g = + ] g
2
t0
Dla rozpatrywanego poprzednio ruchu jednostajnego po okręgu o promieniu
t]tg R z prędkością o wartości v0 (równanie ( 5.21 ) na stronie 31), przyspieszenie
=
ma tylko składową dośrodkową i na mocy ( 5.23 ) na stronie 32, ma wartość:
2
a ad v0
= =
R
d2{]tg d~]tg
Dla ruch po okręgu ze stałym przyspieszeniem kątowym f
= =
dt dt
( ruch jednostajnie zmienny po okręgu )
mamy:
t
~]tg ~0 ftu dtu ~0 f t - t0
= + # = + ] g
t0
t
2
{]tg {0 ftu ~0 - ft0 dtu {0 1 f t2 - t0 ~0 - ft0 t - t0
] + ] g] g
= + # + g = + ] g
2
t0
Prędkość ma składowe biegunowe 0, R ~]tg i wartość v]tg R ~]tg . Stąd, na
5 ?bieg =
podstawie równań ( 5.23 ) na stronie 32, składowe przyspieszenia stycznego i dośrod-
kowego wynoszÄ… odpowiednio:
d~]tg
( 5.31 ) at dv]tg R R f ad R2~]tg2 R ft ~0 - ft0
= = = = = ] + g2
dt dt R
Widać zatem, że w tym przypadku, wartość przyspieszenia nie jest stała i wynosi
( dla szczególnych wartości początkowych t0 0 , ~0 0 ):
= =
2
a at2 ad R f 1 f2 t4
= + = +
34
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
ROZDZIAÅ‚ 5: Opis ruchu punkt materialnego:
DO PODROZDZIAÅ‚U: Podsumowanie
5.4. Podsumowanie
Z przedstawionych w tym podrozdziale informacji jasno wynika, że dopiero uży-
cie pojęć pochodnej i całki, opartych na pojęciu granicy pozwala w sposób ogólny i
ścisły zarazem zdefiniować podstawowe wielkości kinematyczne, w tym prędkość
i przyspieszenie. Można było zauważyć, że w formie skrajnej mamy do czynienia z
dwoma zasadniczymi typami zagadnień:
" tzw. zagadnieniem prostym, w którym ze znajomości położenia wnioskuje-
my o prędkości. a dalej o przyspieszeniu:
r]tg $ v]tg $ a]tg
co wymaga jedynie znajomości reguł różniczkowania omówionych w poprzed-
nich podrozdziałach.
" tzw. zagadnieniem odwrotnym, w którym ze znajomości przyspieszenia
wnioskujemy o prędkości, a następnie o położeniu ciała:
a]tg $ v]tg $ r]tg
co wymaga jednak stosowania operacji całkowania, a ta, celem ujednoznacz-
nienia wyniku, wymaga znajomości warunków początkowych: r t0 r0 oraz
] g =
v]tu0g v0. Ten typ zagadnień jest o tyle trudniejszy, o ile całkowanie jest trud-
=
niejsze od różniczkowania. Rozszerzając materiał tego kompendium należy
dodać, że nasze poznanie natury ( w fizyce klasycznej ) oparte jest na równa-
niu Newtona, które w inercjalnym układzie odniesienia, przyjmuje postać:
F]tg
a]tg ,
=
m
gdzie m oznacza masę ciała, a F]tg jest siłą działającą na ciało w chwili t, i
opisuje oddziaływanie otoczenia na badany obiekt. Poznanie to więc oparte
jest na zagadnieniu odwrotnym, i jako takie, nie jest na ogół zadaniem pro-
stym, ze względu na problemy związane z wyznaczaniem całek.
Rozszerzenie informacji zawartych w tym podrozdziale, Czytelnik może znalez
ć
w pozycjach literatury: [6], [7], [8].
35
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
6.0. Rozwiązania przykładowych problemów.
Na ogół postawione zagadnienia mają postać uwikłaną, i dają sprowadzić się do za-
gadnienia prostego lub odwrotnego po wykonaniu kilku, lub kilkunastu kroków ro-
zumowania. Poniżej przedstawiono kilka takich problemów. Ich analiza może po-
móc Czytelnikowi w pełniejszym zrozumieniu wprowadzonych pojęć.
Istnieje bogaty literatura związana ze zbiorami zadań na różnym poziomie 
niektóre z nich zawierają mniej lub bardziej pełne rozwiązania. Kilka propozycji
może Czytelnik znalez
ć w spisie literatury.
6.1. Zagadnienie 1
Ruch ciała opisany jest równaniami:
x]tg b ect e-ct , y]tg b ect - e-ct
]
= + g = ] g
gdzie b i c  stałe dodatnie. Znalez
ć równanie toru i maksymalne przyspieszenie
dośrodkowe.
RozwiÄ…zanie. Zadanie jest zagadnieniem typu prostego. W celu znalezienia toru,
dodajmy powyższe równania stronami:
x]tg y]tg 2 b ect ( ect x + y
+ = =
2 b
Podstawiając to do pierwszego z równań, otrzymamy:
y2
x2
y2 x2 - 4b2 , - =
1
=
4b2 4b2
co oznacza, że ciało porusza się po jednej z dwu gałęzi paraboli.
KorzystajÄ…c z ( 5.12 ) na stronie 30, mamy:
dx]tg
vx]tg = = - e-ct
b c ect g
]
dt
dy]tg
vy]tg = = + g
b c ect e-ct
]
dt
skÄ…d:
36
36
 DO PODROZDZIAÅ‚U: Zagadnienie 2
v]tg2 v2 v2 2 b2 c2 e2ct e-2ct
= + = ] + g
x y
W celu wyznaczenia promienia krzywizny skorzystamy z równania (( 5.8 ) na stro-
nie 29, które w przypadku ruchu płaskiego przyjmuje postać:
3
2
o o
x2 y2
] g
+
t]tg
=
o p p o
xy - xy
Na mocy równania ( 5.23 ) na stronie 32, i powyższych rezultatów, otrzymujemy osta-
tecznie:
2 2 b c2
ad]tg
=
e2ct e-2ct
+
]tg
Poszukując ekstremum przyspieszenia dośrodkowego z równania dad 0, docho-
=
dt
dzimy do warunku e2ct - e-2ct 0, co oznacza, że wartość ekstremalna występuje w
=
d2 ar
chwili t=0 i jest to maksimum ( bowiem 0 < 0 ) o wartości 2 b c2.
] g
dt2
6.2. Zagadnienie 2
CzÄ…stka porusza siÄ™ po krzywej
y2
x2
1
+ =
a2 b2
z przyspieszeniem równoległym do osi Y. W chwili t=0 cząstka znajdowała się w
punkcie x0 0 , y0 b i miała prędkość o wartości v0
= =
Obliczyć przyspieszenie cząstki w każdym punkcie toru.
Rozwiązanie. Z warunków zadania wynika, że jedyną różną od zera składo-
wą przyspieszenia jest składowa ay. tzn a]tg 0 , ax]tg . Warunek początkowy dla
= 5 ?
prędkości przyjmuje postać v 0 v0 v0,0 , bowiem prędkość jest zawsze styczna
] g = = 5 ?
do trajektorii ruchu. Korzystając kolejno z równań ( 5.29 ) na stronie 34 i ( 5.19 ) na
stronie 31, dla składowej x, otrzymujemy
vx]tg v0 ( x]tg v0 t
= =
Podstawiając to do równania toru i rozwiązując je ze względu na y, mamy:
x]tg2
y]tg ! b 1 -
=
a2
37
37
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
 DO PODROZDZIAÅ‚U: Zagadnienie 3
Korzystając teraz z ( 5.24 ) na stronie 32 dla składowej y, otrzymamy ( licząc pochod-
ną funkcji złożonej ( patrz p.  2.4. Podstawowe własności pochodnej na stro-
nie 14 ) ):
dy]tg dy]xg dx]tg 1
2x]tgl dx]tg
vy]tg = = = b- =
! b
dt dx dt
a2 dt
x]tg2
2 1 -
a2
2
= ]-1
gb v0 x]tg
a2 y]tg
StÄ…d, korzystajÄ…c nadal z funkcji x]tg v0 t , y]tg otrzymanego na poprzedniej
=
dy]tg
o
stronie, z obliczonej wyżej y]tg oraz równania toru, mamy:
=
dt
b2 v0
2
o o
dvx]tg xy - xy b2 v0 v0y + x x
a2
ay]tg
= = ]-1
gb v0 & 0 =- =
dt
a2 y2 a2 y2
2
b4 v0
=-
a2 y]tg3
2
b4 v0
Ostatecznie więc a 0 , - F
= < zależy tylko od współrzędnej y.
a2 y3
Otrzymano także zależność czasową przyspieszenia i prędkości..
6.3. Zagadnienie 3.
W dowolnym punkcie toru wyznaczyć prędkość i przyspieszenie ciała, które w ru-
chu prostoliniowym wzdłuż osi X osiąga punkt x w czasie t]xg a x2 b x c (a, b,
= + +
c są stałymi)
Rozwiązanie. Zgodnie z definicjami prędkości i przyspieszenia, powinniśmy
obliczać pochodne po czasie, a mamy do dyspozycji funkcję odwrotną tj. zależność
czasu od położenia. Korzystając z formuły na pochodną funkcji odwrotnej i funkcji
złożonej( patrz p.  2.4. Podstawowe własności pochodnej na stronie 14 ), mamy:
vx dx 1 1
= = =
dt dt 2ax b
+
dx
2 a 2a
ax dvx dvx dx dvx vx vx 2a
= = = =- =- =-
dt dx dt dx
2ax b 2ax b
] + g2 v3 ] + g3
x
Oczywiście, powyższe ma sens jedynie dla takich x, które nie powodują osobliwości
-b
x!
tj, oraz mają fizyczny sens tzn. leżą na jednej z gałęzi funkcji pierwiastko-
2 a
wej. Zależy to oczywiście od konkretnych wartości stałych a, b, c.
38
38
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
 DO PODROZDZIAÅ‚U: Zadanie 4
6.4. Zadanie 4
Wyznaczyć tor po którym pies goni kota, zakładając, że kot ucieka wzdłuż dosta-
tecznie długiego muru w jedną stronę, ze stałą prędkością o wartości vk. Odległość
przy której pies zobaczył kota na wprost, co rozpoczęło pościg, wynosi l. Jaka musi
być stała wartość prędkości psa vp aby pies dogonił kota?
RozwiÄ…zanie.
Y
C
Ä…(x)
A B
y(x)
l X
x
Powyższy rysunek obrazuje sytuację w chwili t: pies zajmuje położenie A, kot zaś
położenie C. Kluczowym dla rozwiązania spostrzeżeniem jest fakt, że pies goni kota
w taki sposób, że zawsze patrzy na niego na wprost tzn. punk C leży na stycznej
do toru w punkcie A. Po czasie t od początku gonitwy kot przebiegł odległość do
punktu C równą: vk t. Zatem długość odcinka BC wynosi vk t - y]xg, długość odcinka
AB jest natomiast równa l - x. Korzystając z geometrycznej interpretacji pochodnej
( patrz p.  2.3. Interpretacja geometryczna pochodnej na stronie 13 ) otrzymuje-
my podstawowe równanie:
dy (x) vk t - y(x)
tg]ag
= =
dx l - x
to równanie na poszukiwaną funkcję y]xg zawiera nieznaną zmienną: czas t. Ponie-
waż jednak ruch psa jest jednostajny,stąd, korzystając z ( 5.5 ) na stronie 28 , mamy:
C x
]ugl2
x
s 1 1
u
t dx
= = # + = # +
vp vp 0 dx2 dy2 vp 0 1 bdy u
dx
39
39
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
 DO PODROZDZIAÅ‚U: Zadanie 4
Podstawienie tego równania do poprzedzającego daje na jednak równanie na
nieznaną wielkość y]xg równanie typu różniczkowo-całkowego, bowiem szukana
wielkość występuje w nim zarówno pod znakiem pochodnej, jak i całki. Ten typ
równań należy do jednych z najtrudniejszych do rozwiązania. Zamiast tego przej-
dziemy do równania czysto różniczkowego, co wymaga jednak policzenia odpowied-
niej pochodnej. W tym celu przekształćmy przedostatnie równanie do postaci:
x
]ugl2
vk x
l
] - x dx - y]xg
gdy]xg = # +
vp 0 1 bdy u
dx dx
vk
Po obustronnym zróżniczkowaniu, oznaczając b , otrzymujemy:
=
vp
2
]xgk
l
] - x b 1 ady
gd y]xg = +
dx dx
Jest to równanie różniczkowe rzędu drugiego ( jako efekt ostatniego różniczko-
wania, za to już bez całki ) na szukaną wielkość y]xg, które rozwiążemy metodą
przez podstawienie:
dy]xg
z]xg
=
dx
z warunkiem poczÄ…tkowym, zgodnym z warunkami zadania ( pies poczÄ…tkowo pa-
trzy na kota ), z 0 0, a dalej metodÄ… rozdzielania zmiennych tzn. przenoszÄ…c
] g =
wielkości zależne od zmiennej zależnej z]xg na jedną stronę równania, a od nie-
zależnej x na drugą. Nie zawsze da się tak zrobić, ale w tym przypadku prowadzi
to do równania:
z x
1 dx
dz b
# = #
l - x
1 z2
+
0 0
Wykorzystując wnioski z poprzednich paragrafów ( lub korzystając z tablic całek ),
w wyniku całkowania ostatniego równania, otrzymujemy:
] g
ln z 1 z2 ln
al - xk
+ + =-b
l
a stÄ…d:
b -b
l l
1 1
z]xg
=
al - xk - al - xk
2 2
Ponieważ:
x
dy]xg
]ug u
z]xg ( y]xg y0 z x dx
= = + #
dx
0
40
40
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
 DO PODROZDZIAÅ‚U: Zadanie 4
więc ( relatywnie ) proste całkowanie, z warunkiem początkowym y0 0 wynikają-
=
cym z warunków zadania, prowadzi ostatecznie do wyniku:
-b
lb
1
y]xg l l ,
= &1l ] - x - ] - x
g1+b lb g1-b0 +
2
b 1 - b
+ 1 - b2
co jest rozwiązaniem pierwszej części zadania.
Pies dogoni kota jeśli istnieje ( skończona ) granica: lim y]xg, a to zachodzi gdy
x" l
1 - b> 0 tzn. b< 1, czyli jeśli pies jest szybszy od kota  co jest intuicyjne jasne.
W czasie doganiania kot przebiegnie drogÄ™
lb
Sk y]lg
= =
1 - b2
y]ag
co zajmie mu czas T . W tym samym czasie pies przebiegnie drogÄ™ Sp vp T
= =
vk
"
To kończy ten krótki zarys zastosowań elementarnych zastosowań rachunku
różniczkowego i całkowego do prostych zagadnień kinematyczny. Oczywiście w ra-
mach tak krótkiego opracowania, nie można było poruszyć interesujących tematów
dotyczących np. ruchów z więzami czy zagadnień wykraczających poza ramy opi-
su ruchu punktu materialnego np. kinematyki bryły sztywnej. Autor ma nadzieje,
że przedstawiony materiał pomoże w z zrozumieniu bardziej skomplikowanych za-
gadnień, bo podane tu podstawy są uniwersalne. Należy pamiętać o tym, że istotą
jest właściwe rozumienie definicji i umiejętność posługiwania się wprowadzonymi
pojęciami. Reszta to kwestia wyobraz
ni  więc powodzenia.
Dzikowo, 2010 rok.
41
41
Darek Dyl:
 Zastosowanie rachunku różniczkowego i całkowego w kinematyce
Literatura
[1] K. Maurin, Analiza. Część I: Elementy., pwn 1977.
[2] F. Leja, Rachunek różniczkowy i całkowy, pwn 1979.
[3] L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, t.1, pwn 1981
[4] J. Królikowski, C. Steckiewicz, Matematyka. Wzory, definicje, tablice., Wy-
dawnictwa Komunikacji i A
ączności 1970
[5] J. Gancarzewicz, Geometria różniczkowa, pwn 1987
[6] G. Białkowski, Mechanika klasyczna: mechanika punktu materialnego i bryły
sztywnej, pwn 1975
[7] C. Kittel, W.D. Knight, M.A. Ruderman, Mechanika, pwn 1975
[8] R.P. Feynman, R. Leighton, M.Sands, Wykłady Feynmana z fizyki. Tom 1, pwn
1971
[9] A. Hennel, W. Krzyżanowski, W. Szuszkiewicz, K. Wódkiewicz, Zadania i pro-
blemy z fizyki, pwn 2002
[10] L. Grieczko, W. Sugakow, O. Tomasiewicz, A. Fiedoricienko, Zadania z fizy-
ki teoretycznej, pwn 1975
[11] W. Kobuszkin, Metodyka rozwiązywania zadań z fizyki, pwn 1981
42
42