2011-03-05
PA
ASZCZYZNA STYCZNA
Def.1. (równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji)
Niech funkcja / ma ciągłe pochodne cząstkowe df/dx, df/dy w punkcie (x0,y0).
Wówczas płaszczyzna styczna do wykresu funkcji f w punkcie
(x0, y0, f (x0, y0 )) postać:
PRZYKA
AD 1.
Z.KASPERSKI,t.3 1
RÓŻNICZKA ZUPEA
NA
Def.2. Niech funkcja f ma pochodne cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie
(x0,y0). Różniczką (zupełną) funkcji f w punkcie (x0,y0) nazywamy funkcję
D�x,D�y
df(x0,y0) zmiennych określoną wzorem:
Różniczkę funkcji f oznacza się krótko przez df.
Uwaga. Analogicznie definiuje się różniczkę funkcji trzech i więcej zmiennych
zmiennych.
PRZYKA
AD 2.
Napisać różniczki podanych funkcji we wskazanych punktach:
Z.KASPERSKI,t.3 2
1
2011-03-05
ZASTOSOWANIE RÓŻNICZKI ZUPEA
NEJ
f (x, y) =� xy
Niech . Można ją interpretować jako pole prostokąta o bokach x i
y. Załóżmy, że mamy prostokąt o bokach x0,y0. Niech "x i "y oznaczają
przyrosty boków. Obliczmy przyrost pola.
"y
y0
x0
"x
D�f =� f (x0 +� D�x, y0 +� D�y) -� f (x0, y0) =� (x0 +� D�x)(y0 +� D�y) -� x0 y0 =� y0D�x +� x0D�y +� D�xD�y
Natomiast
df =� y0D�x +� x0D�y D�f � df
, zatem mamy lub
i analogicznie dla funkcji trzech i więcej zmiennych
Z.KASPERSKI,t.3 3
PRZYKA
AD 3.
Wykorzystując różniczkę funkcji obliczyć przybliżone wartości podanych
wyrażeń:
Z.KASPERSKI,t.3 4
2
2011-03-05
BA

DY OBLICZEC
:
Niech A  liczba dokładna, a  wartośd przybliżona liczby A. Piszemy
a � A D�a =� A -� a
. Różnicę nazywamy błędem liczby A.
D� =� A -� a
Błąd bezwzględny : , często nieznany ale potrafimy oszacowad z
D�a D� =� A -� a D�a , czyli
góry, tzn. podad takie, że Ł�
a -� D�a Ł� A Ł� a +� D�a .
D� D�a
d� =� d� � d�a =�
Błąd względny : - często nieznany i przyjmuje się .
A a
Z.KASPERSKI,t.3 5
ZASTOSOWANIE RÓŻNICZKI DO SZACOWANIA BA

DÓW
Niech wielkości fizyczne x, y, z będą związane zależnością z = f(x, y), gdzie
funkcja f ma ciągłe pochodne cząstkowe pierwszego rzędu. Ponadto niech
D�x , D�
oznaczają odpowiednio błędy bezwzględne pomiaru wielkości x i y.
y
D�
Wtedy błąd bezwzględny obliczeń wielkości z wyraża się wzorem
z
przybliżonym:
i analogicznie dla funkcji trzech i więcej zmiennych.
PRZYKA
AD 3.
Pomierzone wymiary pokoju wynoszą : długość a =� 4m ą� 0.01m,
szerokość b =� 3.5m ą� 0.01m h =� 3m ą� 0.05m . Z jaką przybliżoną
, wysokość
dokładnością można policzyć objętość tego pokoju?
Z.KASPERSKI,t.3 6
3
2011-03-05
Z.KASPERSKI,t.3 7
Z.KASPERSKI,t.3 8
4