RÓŻNICZKA ZUPEANA
Niech przestrzenie unormowane nad K,
(X , ),(Y, )
U TopX ,
f :U Y,
x0 U.
Różniczką zupełną (pochodną zupełną) odwzorowania f w punkcie x nazywamy
0
odwzorowanie liniowe i ciągłe Lx L(X, Y) spełniające warunek
0
f (x0 + h)- f (x0)= Lx (h)+ o(h) dla x0 + hU
0
lub równoważnie
f (x0 + h)- f (x0)- Lx (h)
0
lim = 0Y
h0
h
lub
rx (h)
0
f (x0 + h)- f (x0)= Lx (h)+ rx (h), gdzie lim = 0.
0 0
h0
1 3 13
2 2
h
część reszta
liniowa
Zatem funkcja f w punkcie x ma rózniczkę zupełną, jeśli przyrost funkcji można rozłożyć na
0
część liniową i nieliniową resztę, która jest funkcją typu o(h).
Różniczkę odwzorowania f w punkcie x oznaczamy też symbolem dx f lub f '(x0).
0
0
Definicja
x U
Jeśli f jest różniczkowalna dla każdego , to odwozorowanie
f ':U ' x dx f
L(X,Y)
nazywamy odwzorowaniem pochodnym funkcji f.
1
Przykład
Zbadać różniczkowalność funkcji w punkcie
f : R2 R3, f (x, y)= (xy, x + y, x2 + y2)
(x , y )=(2, 1).
0 0
Wybieramy wektor h=[h , h ] i obliczamy przyrost Df funkcji f w punkcie (x , y )
1 2 0 0
Df = f (x0 + h1, y0 + h2)- f (x0, y0)= f (2 + h1, 1+ h2)- f (2, 1)=
2 2
= ((2 + h1)(1+ h2), 3+ h1 + h2, (2 + h1) +(1+ h2) )-(2, 3, 5)=
ć
2h2
= + h + h1h2, h12h2, 44223 + h12 + h22 =
h h
123 1+3 11 + 42
4 41
Ł liniowe liniowe liniowe ł
= (2h2 44h1 h2, 4h1 + 24)+(h1h2,4,24+ h3)
0 h12 22
14+ h1, 4+ 3
424444h2 14 4 44
część część
liniowa nieliniowa
Musimy pokazać, że część nieliniowa jest typu o(h).
ć
(h1h2, 0, h12 + h22)= lim(h1h2, 0, h12 + h22)= lim h1h2
lim , 0, h12 + h22 =(0, 0, 0),
h10
h0 h0
h
h12 + h22 h2 0Ł h12 + h22
ł
skorzystalismy z liczymy granicę dla
normy euklidesowej każdej składowej osobno
h1h2 obliczyliśmy korzystając ze
gdzie granicę pierwszej składowej
lim(0,
(h1 , h2 ) 0)
h12 + h22
współrzędnych biegunowych:
r cosj r sinj
lim = lim rcosj sin3 = 0.
{1
r0 424j
r0
r
j -dow.Ż ograniczone
j -dow.
0
Zatem udowodniliśmy, że część liniowa należy do klasy o(h) f D(x0, y0).
Część liniowa stanowi różniczkę, czyli
d(2, 1) f (h1, h2)= (h1 + 2h2, h1 + h2, 4h1 + 2h2)
lub korzystajacąc z macierzowego zapisu odwzorowania liniowego
1 2
ł
ę1
d(2,1) f (h1, h2)= 1ś[h1, h2].
ę ś
ę ś
4 2
2
Twierdzenie (o jednoznaczności różniczki w punkcie)
dx f ,
Jeśli istnieje różniczka to jest jedyna.
0
Uwaga
Jedyność różniczki odwzorowania określonego w przestrzeni o wymiarze dimX >1
uzyskujemy dzięki temu, że dziedzina tego odwzorowania jest zbiorem otwartym.
Przykład
D ={(x, y): 0 Ł x Ł 1, 0 Ł y Ł x2},
Niech
f : D R,
f (x, y)= x3.
D TopR2.
Dziedzina funkcji nie jest zbiorem otwartym,
Wyznaczamy różniczkę w punkcie (x , y )=(0, 0), który jest punktem skupienia dziedziny D.
0 0
I. Rozłóżmy przyrost w punkcie (0,0) na część liniową i nieliniową
f (0 + h1, 0 + h2)- f (0, 0)= h13 = 0 + h13
Zatem L(0, 0)(h1, h2)= 0 jest różniczką funkcji w punkcie (0, 0), jeżeli
r(h1, h2) = h13 jest
typu o(h).
Sprawdzamy czy r(h)o(h)
:
h13
lim(0,0) = 0,
(h1,h2 )
h12 + h22
ponieważ
r3 cos3 j
lim = lim r2 cos3 = 0.
{
2j
r0 r0 1 3
r
Ż
ograniczone
j -dow. j -dow.
0
3
II. Wyznaczamy część liniową w inny sposób
f (h1, h2)- f (0, 0)= h2 +(h1324).
{ 1 3
4- h2
liniowe
nieliniowe
Zatem L(0,0)(h1, h2)= h2, r(h1, h2)= h13 - h2 jest typu o(h).
jeżeli
Sprawdzimy, czy reszta jest typu o(h).
h13 - h2
Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach lim(0,0) = 0,
bo
(h1,h2 )
h12 + h22
h13 - h2 h13 - h2 h13 + h2 h13 + h2 h12
0 Ł = Ł Ł Ł h12 + = h1 + h1 ,
h1 123
h12 + h22 h12 + h22 h12 + h22 h1
Ż
0
h2 Ł h12 .
gdzie ostatnia nierówność jest spełniona ponieważ dla (h1, h2 ) D zachodzi
Z I i II wynika, że funkcja nie ma jednoznacznie określonej różniczki.
Wniosek
Funkcja o dziedzinie nie będącej zbiorem otwartym nie ma jednoznacznie określonej
różniczki.
Twierdzenie (o liniowości różniczki względem odwzorowań)
Niech X,Y przestrzenie unormowane nad ciałem K,
U TopX ,
f , g :U Y,
x0 U,
f , g D(x0) oraz niech ą, K.
Wtedy
$dx (af + bg)
(istnieje rózniczka kombincji liniowej funkcji f i g)
0
oraz
dx (af + bg) = a dx f + b dx g.
0 0 0
4
Twierdzenie (o różniczce iloczynu i ilorazu funkcji)
Jeśli dodatkowo założymy, że Y=K, to
ć
f
$dx ( fg) Ł $dx (istnieją rózniczki iloczynu i ilorazu)
0 0
g
Ł ł
oraz
dx ( fg) = g(x0) dx f + f (x0) dx g
0 0 0
i
g(x0) dx f - f (x0) dx g
ć
f
0 0
dx = , gdy g(x0)ą 0.
2
0
g
[g(x0)]
Ł ł
Twierdzenie (o różniczce złożenia funkcji)
Niech X,Y,Z przestrzenie unormowane nad K,
U TopX , V TopY ,
f :U V , g :V Z,
x0 U , y0 f (x0) V.
Jeśli
$dx f Ł $dy g,
0 0
to
$dx (g o f )
0
i
dx g o f = dy g o dx f
0 0 0
Twierdzenie (o istnieniu pochodnej kierunkowej)
Niech X ,Y - przestrzenie unormowane nad K,
U TopX ,
f :U Y,
x0 U.
Jeśli
$dx f ,
0
to
"h X , h =1: $1 f (x0 Ł Dh f (x0)= dx f (h).
Dh 3
0
424)
124
4 3
pochodna kierunkowa wartość różniczki
w kierunku w punkcie x
0
wektora h na wektorze h
5
Dowód
Niech h X , h = 1. Wtedy
bo istnieje różniczka jest
różniczka odwzorowaniem linowym
f (x0 + th)- f (x0)Ż lim dx f (th)+ o(th) Ż
0
Dh f (x0)= lim = =
t0 t0
t t
ł
ę ś
const
}
t dx f (h)+ o(th)
ę t ś
o(th) o(th)
ł
0
= lim = limdx f (h)+ = limędx f (h)+ h =
ś
ę 0 ś 0
t0 t0 t0
t t th t
{
ę
13sgn t ś
2
ę ś
Ż
0
1424
3
Ż
0
= dx f (h)
0
c
Wniosek (o istnieniu pochodnych cząstkowych)
Kn.
Niech X= Jeśli
$dx f ,
0
to
śf śf
$ (x0) Ł (x0)= dx f (e )
" i = 1,2,..., n.
j
0
śxj śxj
Twierdzenie
f D(x0)
f C(x0)
Dowód
Wynika bezpośrednio z definicji różniczki.
c
opracował Jacek Zańko
6
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
08 Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnejrozniczka zupelna05 Różniczka zupełna (2)t3 plaszcyzna styczna rozniczka zupelnarownania rozniczkowe zupelne zadaniaObliczanie błędów pomiarowych metoda różniczki zupelnej07 Interpretacja geometryczna różniczki zupełnej (3)roznicepochodna kierunkowa czastkowa rozniczkawięcej podobnych podstron