Różniczka zupełna


RÓŻNICZKA ZUPEANA
Niech przestrzenie unormowane nad K,
(X , ),(Y, )
U TopX ,
f :U Y,
x0 U.
Różniczką zupełną (pochodną zupełną) odwzorowania f w punkcie x nazywamy
0
odwzorowanie liniowe i ciągłe Lx L(X, Y) spełniające warunek
0
f (x0 + h)- f (x0)= Lx (h)+ o(h) dla x0 + hU
0
lub równoważnie
f (x0 + h)- f (x0)- Lx (h)
0
lim = 0Y
h0
h
lub
rx (h)
0
f (x0 + h)- f (x0)= Lx (h)+ rx (h), gdzie lim = 0.
0 0
h0
1 3 13
2 2
h
część reszta
liniowa
Zatem funkcja f w punkcie x ma rózniczkę zupełną, jeśli przyrost funkcji można rozłożyć na
0
część liniową i nieliniową resztę, która jest funkcją typu o(h).
Różniczkę odwzorowania f w punkcie x oznaczamy też symbolem dx f lub f '(x0).
0
0
Definicja
x U
Jeśli f jest różniczkowalna dla każdego , to odwozorowanie
f ':U ' x dx f
L(X,Y)
nazywamy odwzorowaniem pochodnym funkcji f.
1
Przykład
Zbadać różniczkowalność funkcji w punkcie
f : R2 R3, f (x, y)= (xy, x + y, x2 + y2)
(x , y )=(2, 1).
0 0
Wybieramy wektor h=[h , h ] i obliczamy przyrost Df funkcji f w punkcie (x , y )
1 2 0 0
Df = f (x0 + h1, y0 + h2)- f (x0, y0)= f (2 + h1, 1+ h2)- f (2, 1)=
2 2
= ((2 + h1)(1+ h2), 3+ h1 + h2, (2 + h1) +(1+ h2) )-(2, 3, 5)=
ć
2h2
= + h + h1h2, h12h2, 44223 + h12 + h22 =
h h
123 1+3 11 + 42
4 41

Ł liniowe liniowe liniowe ł
= (2h2 44h1 h2, 4h1 + 24)+(h1h2,4,24+ h3)
0 h12 22
14+ h1, 4+ 3
424444h2 14 4 44
część część
liniowa nieliniowa
Musimy pokazać, że część nieliniowa jest typu o(h).
ć
(h1h2, 0, h12 + h22)= lim(h1h2, 0, h12 + h22)= lim h1h2
lim , 0, h12 + h22 =(0, 0, 0),
h10
h0 h0
h
h12 + h22 h2 0Ł h12 + h22
ł
skorzystalismy z liczymy granicę dla
normy euklidesowej każdej składowej osobno
h1h2 obliczyliśmy korzystając ze
gdzie granicę pierwszej składowej
lim(0,
(h1 , h2 ) 0)
h12 + h22
współrzędnych biegunowych:
r cosj r sinj
lim = lim rcosj sin3 = 0.
{1
r0 424j
r0
r
j -dow.Ż ograniczone
j -dow.
0
Zatem udowodniliśmy, że część liniowa należy do klasy o(h) f D(x0, y0).
Część liniowa stanowi różniczkę, czyli
d(2, 1) f (h1, h2)= (h1 + 2h2, h1 + h2, 4h1 + 2h2)
lub korzystajacąc z macierzowego zapisu odwzorowania liniowego
1 2
ł
ę1
d(2,1) f (h1, h2)= 1ś[h1, h2].
ę ś
ę ś
4 2
2
Twierdzenie (o jednoznaczności różniczki w punkcie)
dx f ,
Jeśli istnieje różniczka to jest jedyna.
0
Uwaga
Jedyność różniczki odwzorowania określonego w przestrzeni o wymiarze dimX >1
uzyskujemy dzięki temu, że dziedzina tego odwzorowania jest zbiorem otwartym.
Przykład
D ={(x, y): 0 Ł x Ł 1, 0 Ł y Ł x2},
Niech
f : D R,
f (x, y)= x3.
D TopR2.
Dziedzina funkcji nie jest zbiorem otwartym,
Wyznaczamy różniczkę w punkcie (x , y )=(0, 0), który jest punktem skupienia dziedziny D.
0 0
I. Rozłóżmy przyrost w punkcie (0,0) na część liniową i nieliniową
f (0 + h1, 0 + h2)- f (0, 0)= h13 = 0 + h13
Zatem L(0, 0)(h1, h2)= 0 jest różniczką funkcji w punkcie (0, 0), jeżeli
r(h1, h2) = h13 jest
typu o(h).
Sprawdzamy czy r(h)o(h)
:
h13
lim(0,0) = 0,
(h1,h2 )
h12 + h22
ponieważ
r3 cos3 j
lim = lim r2 cos3 = 0.
{
2j
r0 r0 1 3
r
Ż
ograniczone
j -dow. j -dow.
0
3
II. Wyznaczamy część liniową w inny sposób
f (h1, h2)- f (0, 0)= h2 +(h1324).
{ 1 3
4- h2
liniowe
nieliniowe
Zatem L(0,0)(h1, h2)= h2, r(h1, h2)= h13 - h2 jest typu o(h).
jeżeli
Sprawdzimy, czy reszta jest typu o(h).
h13 - h2
Na podstawie twierdzenia o trzech funkcjach lim(0,0) = 0,
bo
(h1,h2 )
h12 + h22
h13 - h2 h13 - h2 h13 + h2 h13 + h2 h12
0 Ł = Ł Ł Ł h12 + = h1 + h1 ,
h1 123
h12 + h22 h12 + h22 h12 + h22 h1
Ż
0
h2 Ł h12 .
gdzie ostatnia nierówność jest spełniona ponieważ dla (h1, h2 ) D zachodzi
Z I i II wynika, że funkcja nie ma jednoznacznie określonej różniczki.
Wniosek
Funkcja o dziedzinie nie będącej zbiorem otwartym nie ma jednoznacznie określonej
różniczki.
Twierdzenie (o liniowości różniczki względem odwzorowań)
Niech X,Y  przestrzenie unormowane nad ciałem K,
U TopX ,
f , g :U Y,
x0 U,
f , g D(x0) oraz niech ą, K.
Wtedy
$dx (af + bg)
(istnieje rózniczka kombincji liniowej funkcji f i g)
0
oraz
dx (af + bg) = a dx f + b dx g.
0 0 0
4
Twierdzenie (o różniczce iloczynu i ilorazu funkcji)
Jeśli dodatkowo założymy, że Y=K, to
ć
f

$dx ( fg) Ł $dx (istnieją rózniczki iloczynu i ilorazu)
0 0
g
Ł ł
oraz
dx ( fg) = g(x0) dx f + f (x0) dx g
0 0 0
i
g(x0) dx f - f (x0) dx g
ć
f
0 0
dx = , gdy g(x0)ą 0.
2
0
g
[g(x0)]
Ł ł
Twierdzenie (o różniczce złożenia funkcji)
Niech X,Y,Z  przestrzenie unormowane nad K,
U TopX , V TopY ,
f :U V , g :V Z,
x0 U , y0 f (x0) V.
Jeśli
$dx f Ł $dy g,
0 0
to
$dx (g o f )
0
i
dx g o f = dy g o dx f
0 0 0
Twierdzenie (o istnieniu pochodnej kierunkowej)
Niech X ,Y - przestrzenie unormowane nad K,
U TopX ,
f :U Y,
x0 U.
Jeśli
$dx f ,
0
to
"h X , h =1: $1 f (x0 Ł Dh f (x0)= dx f (h).
Dh 3
0
424)
124
4 3
pochodna kierunkowa wartość różniczki
w kierunku w punkcie x
0
wektora h na wektorze h
5
Dowód
Niech h X , h = 1. Wtedy
bo istnieje różniczka jest
różniczka odwzorowaniem linowym
f (x0 + th)- f (x0)Ż lim dx f (th)+ o(th) Ż
0
Dh f (x0)= lim = =
t0 t0
t t
ł
ę ś
const
}
t dx f (h)+ o(th)
ę t ś
o(th) o(th)
ł
0
= lim = limdx f (h)+ = limędx f (h)+ h =
ś
ę 0 ś 0
t0 t0 t0
t t th t

{
ę
13sgn t ś
2
ę ś
Ż
0

1424
3
Ż
0
= dx f (h)
0
c
Wniosek (o istnieniu pochodnych cząstkowych)
Kn.
Niech X= Jeśli
$dx f ,
0
to
śf śf
$ (x0) Ł (x0)= dx f (e )
" i = 1,2,..., n.
j
0
śxj śxj
Twierdzenie
f D(x0)

f C(x0)
Dowód
Wynika bezpośrednio z definicji różniczki.
c
opracował Jacek Zańko
6


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
08 Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej
rozniczka zupelna
05 Różniczka zupełna (2)
t3 plaszcyzna styczna rozniczka zupelna
rownania rozniczkowe zupelne zadania
Obliczanie błędów pomiarowych metoda różniczki zupelnej
07 Interpretacja geometryczna różniczki zupełnej (3)
roznice
pochodna kierunkowa czastkowa rozniczka

więcej podobnych podstron