04 Obliczanie i pomiary parametrów obwodów prądu jednofazowego

MINISTERSTWO EDUKACJI
i NAUKI
Teresa Birecka
Obliczanie i pomiary parametrów obwodów prądu
jednofazowego 311[08].O1.04
Poradnik dla ucznia
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy
Radom 2005
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
0
Recenzenci:
mgr Krystyna Guja
dr inż. Zdzisław Kobierski
Opracowanie redakcyjne:
mgr inż. Katarzyna Maćkowska
Konsultacja:
dr Bożena Zając
Korekta:
mgr inż. Jarosław Sitek
Poradnik stanowi obudowę dydaktyczną programu jednostki modułowej 311[08].O1.04
Obliczanie i pomiary parametrów obwodów prądu jednofazowego zawartego
w modułowym programie nauczania dla zawodu technik elektryk 311[08].
Wydawca
Instytut Technologii Eksploatacji Państwowy Instytut Badawczy, Radom 2005
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
1
SPIS TREŚCI
1. Wprowadzenie 4
2. Wymagania wstępne 5
3. Cele kształcenia 6
4. Materiał nauczania 7
4.1. Wytwarzanie napięć przemiennych. Podstawowe wielkości prądu
przemiennego 7
4.1.1. Materiał nauczania 7
4.1.2. Pytania sprawdzające 12
4.1.3. Ćwiczenia 12
4.1.4. Sprawdzian postępów 13
4.2. Elementy R, L, C w obwodzie prądu sinusoidalnego 14
4.2.1. Materiał nauczania 14
4.2.2. Pytania sprawdzające 16
4.2.3. Ćwiczenia 17
4.2.4. Sprawdzian postępów 18
4.3. Połączenie szeregowe elementów R, L, C 18
4.3.1. Materiał nauczania 18
4.3.2. Pytania sprawdzające 22
4.3.3. Ćwiczenia 22
4.3.4. Sprawdzian postępów 23
4.4. Połączenie równoległe elementów R, L, C 24
4.4.1. Materiał nauczania 24
4.4.2. Pytania sprawdzające 28
4.4.3. Ćwiczenia 28
4.4.4. Sprawdzian postępów 30
4.5. Moc i energia prądu przemiennego. Poprawa współczynnika mocy 30
4.5.1. Materiał nauczania 30
4.5.2. Pytania sprawdzające 36
4.5.3. Ćwiczenia 36
4.5.4. Sprawdzian postępów 38
4.6. Zjawisko rezonansu w obwodach elektrycznych 38
4.6.1. Materiał nauczania 38
4.6.2. Pytania sprawdzające 41
4.6.3. Ćwiczenia 42
4.6.4. Sprawdzian postępów 43
4.7. Obliczanie obwodów prądu sinusoidalnego 43
4.7.1. Materiał nauczania 43
4.7.2. Pytania sprawdzające 45
4.7.3. Ćwiczenia 45
4.7.4. Sprawdzian postępów 46
4.8. Pomiary w obwodach prądu przemiennego jednofazowego 47
4.8.1. Materiał nauczania 47
4.8.2. Pytania sprawdzające 50
4.8.3. Ćwiczenia 50
4.8.4. Sprawdzian postępów 53
4.9. Obwody nieliniowe 54
4.9.1. Materiał nauczania 54
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
2
4.9.2. Pytania sprawdzające 56
4.9.3. Ćwiczenia 56
4.9.4. Sprawdzian postępów 57
4.10. Obwody ze sprzężeniem magnetycznym 57
4.10.1. Materiał nauczania 57
4.10.2. Pytania sprawdzające 65
4.10.3. Ćwiczenia 65
4.10.4. Sprawdzian postępów 66
4.11. Czwórniki i filtry 66
4.11.1. Materiał nauczania 66
4.11.2. Pytania sprawdzające 71
4.11.3. Ćwiczenia 72
4.11.4. Sprawdzian postępów 73
5. Sprawdzian osiągnięć 74
6. Literatura 81
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
3
1. WPROWADZENIE
Poradnik będzie Ci pomocny w kształtowaniu umiejętności z zakresu obliczania
i dokonywania pomiarów w obwodach prądu jednofazowego.
W poradniku zamieszczono:
- wymagania wstępne: wykaz umiejętności, jakie powinieneś mieć już opanowane, abyś bez
problemów mógł korzystać z poradnika i realizować kształcenie w oparciu o program tej
jednostki modułowej,
- cele kształcenia: wykaz umiejętności, jakie ukształtujesz podczas realizacji tej jednostki,
korzystając z poradnika; ich osiągnięcie jest warunkiem koniecznym do zrozumienia
i przyswojenia treści zawartych w programach następnych modułów,
- materiał nauczania: zawiera pigułkę wiadomości teoretycznych niezbędnych do
osiągnięcia celów kształcenia zawartych w tej jednostce modułowej; materiał nauczania
został podzielony na jedenaście części (rozdziałów), obejmujących grupy zagadnień
kształtujących umiejętności, które można wyodrębnić;
Każdy rozdział zawiera:
" pytania sprawdzające: zestaw pytań przydatny do sprawdzenia, czy już opanowałeś
podane treści,
" ćwiczenia: pomogą ci zweryfikować wiadomości teoretyczne oraz ukształtować
umiejętności praktyczne,
" sprawdzian postępów: pozwoli ci na dokonanie samooceny wiedzy po wykonaniu
ćwiczeń,
" sprawdzian osiągnięć: umożliwi sprawdzenie twoich wiadomości i umiejętności, które
opanowałeś podczas realizacji programu tej jednostki modułowej,
- wykaz literatury: wymieniona tutaj literatura zawiera pełne treści materiału nauczania
i korzystając z niej pogłębisz wiedzę z zakresu programu jednostki modułowej; na końcu
każdego rozdziału podano pozycję z wykazu literatury, którą wykorzystano przy jego
opracowywaniu.
Szczególną uwagę zwróć na zależności pomiędzy prądem i napięciem dla idealnych
elementów. Zależności te wykorzystasz przy rozpatrywaniu obwodów złożonych z wielu
elementów oraz w obwodach zawierających rzeczywiste cewki i kondensatory.
Postaraj się wykonać wszystkie zaproponowane ćwiczenia z należytą starannością.
Wykonując ćwiczenia dotyczące obliczeń i sporządzania wykresów wektorowych zrozumiesz
i utrwalisz poznane wcześniej zależności. Do wykonywania obliczeń i wykresów na
podstawie przeprowadzonych pomiarów staraj się wykorzystywać programy komputerowe.
W ten sposób usprawnisz sobie pracę i udoskonalisz swoje umiejętności informatyczne.
Podczas wykonywania ćwiczeń pomiarowych analizuj wyniki pomiarów. Wnioski z tej
analizy pomogą Ci zdiagnozować pracę urządzeń i zlokalizować przyczynę ich uszkodzenia.
Przy wykonywaniu ćwiczeń praktycznych stosuj poznane wcześniej zasady bezpieczeństwa.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
4
2. WYMAGANIA WSTPNE
Przystępując do realizacji programu jednostki modułowej Obliczanie i pomiary
parametrów obwodów prądu jednofazowego powinieneś umieć:
- rozróżniać podstawowe wielkości elektryczne i ich jednostki,
- wymieniać materiały stosowane w obwodach elektrycznych i magnetycznych,
- rozpoznawać elementy elektryczne na podstawie ich symboli oraz wyglądu zewnętrznego,
- rozróżniać podstawowe pojęcia i wielkości obwodu magnetycznego i znać ich jednostki,
- charakteryzować zjawisko indukcji elektromagnetycznej i wskazać przykłady jego
wykorzystania,
- rozróżniać pojęcia indukcyjności własnej i wzajemnej cewek,
- charakteryzować właściwości materiałów magnetycznych i wskazać ich zastosowania,
- stosować prawa obwodów magnetycznych do obliczania prostych obwodów,
- stosować działania na wektorach,
- obliczać rezystancję zastępczą obwodu,
- obliczać pojemność zastępczą układu kondensatorów,
- łączyć obwody elektryczne prądu stałego na podstawie ich schematów,
- dobierać przyrządy pomiarowe do wykonywania pomiarów w obwodach prądu stałego,
- mierzyć podstawowe wielkości elektryczne w obwodach prądu stałego,
- lokalizować i usunąć proste usterki w obwodach prądu stałego,
- stosować zasady bhp i ochrony ppoż. podczas pomiarów oraz pokazów zjawisk
fizycznych.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
5
3. CELE KSZTAACENIA
W wyniku realizacji jednostki modułowej powinieneś umieć:
- rozróżnić podstawowe wielkości elektryczne prądu przemiennego i ich jednostki,
- rozróżnić podstawowe parametry przebiegu sinusoidalnego,
- obliczyć impedancje obwodów z elementami R, L, C,
- narysować i zinterpretować wykresy wektorowe prostych obwodów z elementami R, L, C,
- obliczyć prądy, napięcia i moce w obwodach RLC,
- wyznaczyć moce odbiorników prądu sinusoidalnego,
- dobrać kondensator do poprawy współczynnika mocy,
- określić warunki oraz skutki rezonansu napięć i prądów,
- połączyć obwody elektryczne prądu przemiennego na podstawie ich schematów,
- dobrać przyrządy pomiarowe do wykonania pomiarów w obwodach prądu przemiennego,
- zmierzyć podstawowe wielkości elektryczne w obwodach prądu przemiennego
jednofazowego,
- wyznaczyć parametry elementów R, L, C oraz ich połączeń w obwodach prądu
przemiennego,
- zlokalizować i usunąć proste usterki w obwodach elektrycznych,
- sklasyfikować czwórniki,
- rozróżnić wielkości charakteryzujące czwórniki,
- wyznaczyć podstawowe parametry czwórników,
- rozróżnić podstawowe rodzaje filtrów,
- wyznaczyć parametry filtrów na podstawie pomiarów,
- opracować wyniki pomiarów z wykorzystaniem programów komputerowych,
- zastosować zasady bhp i ochrony ppoż. podczas pomiarów oraz pokazów zjawisk
fizycznych.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
6
4. MATERIAA NAUCZANIA
4.1. Wytwarzanie napięć przemiennych. Podstawowe wielkości
prądu przemiennego
4.1.1. Materiał nauczania
Wielkości elektryczne (indukcja magnetyczna, strumień magnetyczny, siła
elektromotoryczna, napięcie, prąd, moc), które zmieniają w czasie swoją wartość i kierunek
(lub tylko jeden z tych parametrów) nazywamy zmiennymi. Jeżeli te zmiany powtarzają się
w pewnych określonych przedziałach czasowych (okresach), to wielkości te nazywa się
okresowymi. Przebieg powtarzający się w drugiej połowie okresu co do wartości, ale
zmieniający w połowie okresu swój kierunek, nazywa się przemiennym. Szczególnym
przypadkiem przebiegów przemiennych są przebiegi sinusoidalne.
Napięcie przemienne zmieniające się według sinusoidy (używamy określenia napięcie
sinusoidalne) jest powszechnie stosowane, wytwarzane w elektrowniach przemysłowych
przez prądnice. Przesyłanie i rozdział energii przy napięciu sinusoidalnym jest korzystne
z punktu widzenia technicznego i ekonomicznego.
Powstawanie siły elektromotorycznej (napięcia zródłowego) oparte jest na zjawisku
indukcji elektromagnetycznej: w zwoju w postaci ramki wirującym ze stałą prędkością
w równomiernym polu magnetycznym indukuje się siła elektromotoryczna (napięcie
zródłowe). Jej wartość w każdej chwili można wyrazić zależnością:
e = Bmlvsiną
Bm maksymalna wartość indukcji magnetycznej, l długość czynna ramki, v stała
prędkość wirowania, ą kąt zawarty pomiędzy płaszczyzną zwoju, a liniami sił pola
magnetycznego, wyrażenie Bmlv = Em jest to wartość maksymalna (amplituda) siły
elektromotorycznej.
Napięcia sinusoidalne są wytwarzane w elektrowniach przemysłowych przez prądnice.
W prądnicy dwa najważniejsze elementy to twornik (uzwojenie, w którym indukuje się
siła elektromotoryczna) i magneśnica (magnesy z dodatkowym uzwojeniem, w którym płynie
prąd zwiększający strumień magnetyczny do wytworzenia silnego pola magnetycznego).
Warunkiem indukowania się siły elektromotorycznej w prądnicy jest ruch prętów
uzwojeń względem pola magnetycznego. Nie ma więc znaczenia, czy porusza się
magneśnica, a uzwojenie twornika jest nieruchome, czy też wiruje rozłożone równomiernie na
obwodzie wirnika uzwojenie twornika, a magneśnica jest umieszczona na stojanie.
Rys. 1. Dwa zwoje na stojanie prądnicy dwubiegunowej tworzące między sobą kąt ą [2]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
7
W przypadku gdy prądnica ma jedną parę biegunów, to magneśnica zatacza kąt pełny
2Ą radianów w czasie T, natomiast w dowolnym czasie t zatacza kąt ą, zatem:
2Ą ą 2Ą
= , stąd: ą = t = �t
T t T
� prędkość kątowa (pulsacja). Jednostką pulsacji jest 1 radian na sekundę (1 rad/s)
e = Emsin �t
W odniesieniu do przebiegów sinusoidalnych przyjmuje się zasadę, że czas mierzymy od
chwili rozpoczęcia obserwacji przebiegu, czyli t = 0 jest początkiem obserwacji.
Ponieważ w chwili rozpoczęcia obserwacji ramka może znajdować się w położeniu
dowolnym, przyjmujemy, że kąt odchylenia ramki dla t = 0 wynosi:
ą = �t + �
ą faza przebiegu sinusoidalnego,
� faza początkowa odpowiadająca chwili t = 0.
Zależności powyższe są słuszne dla wszystkich przebiegów sinusoidalnych, a więc prądu
i napięcia także.
Napięcie sinusoidalne przy fazie początkowej różnej od zera przedstawia zależność:
u = Umsin (�t + �)
T okres przebiegu, jego jednostką jest [1s], jest to czas pełnego obrotu ramki
Odwrotnością okresu jest częstotliwość f:
1
f = .
T
Jednostką częstotliwości jest herc [1 Hz ]. Pulsację � można wyrazić:
� = 2Ąf.
Częstotliwość przebiegu sinusoidalnego jest to ilość okresów przypadająca na 1 sekundę.
Wykres napięcia sinusoidalnego z oznaczeniem wielkości charakterystycznych przedstawia
rys. 2.
Rys. 2. Wykres czasowy napięcia sinusoidalnego [zródło własne]
Przy przedstawianiu przebiegów sinusoidalnych wielkości elektrycznych można na oś x
nanieść podziałkę czasu (t), a także kąta (�t).
W Polsce i całej Europie częstotliwość napięcia w sieci elektroenergetycznej wynosi
50 Hz, co odpowiada pulsacji � = 314 rad/s. Częstotliwość 50 Hz nazywamy częstotliwością
techniczną (przemysłową).
Aby wytworzyć napięcie o częstotliwości 50 Hz magneśnica prądnicy dwubiegunowej
musi wirować z prędkością n = 60 f obrotów/minutę, czyli n = 3000 obr/min.
Przy obliczaniu obwodów prądu sinusoidalnego posługujemy się pojęciem wartości
skutecznej prądu i napięcia oraz pojęciem wartości średniej.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
8
Interpretacja fizyczna wartości skutecznej prądu jest następująca:
Wartością skuteczną prądu sinusoidalnego nazywamy taką wartość prądu stałego, który
przepływając przez niezmienną rezystancję R w czasie odpowiadającym jednemu okresowi T
spowoduje wydzielenie się na tej rezystancji takiej samej ilości energii cieplnej, co prąd
sinusoidalny w tym samym czasie.
Można dowieść, że wartość skuteczna:
Im
I = = 0,707 Im.
2
Wartość skuteczna prądu sinusoidalnego jest równa jego amplitudzie podzielonej
przez 2 .
Analogicznie określa się wartość skuteczną innych wielkości sinusoidalnych:
Um Em
U = = 0,707 Um; E = = 0,707 Em.
2 2
Do pomiaru wartości skutecznej prądów i napięć służą mierniki elektromagnetyczne
i elektrodynamiczne. Mierniki magnetoelektryczne (poznane wcześniej) nie reagują na
przepływ prądu przemiennego, ponieważ w czasie trwania połowy okresu (dodatniej połówki)
wychylałyby się w prawo, a w czasie drugiej połówki (ujemnej) w lewo. Ich średni moment
napędowy w czasie każdego okresu jest równy zeru, stąd ich wskazówka nie wychyla się.
Miernikami magnetoelektrycznymi można mierzyć napięcia i prądy wyprostowane, tzn. takie,
których wartość jest zawsze dodatnia. Dla prądu i napięcia sinusoidalnego wyprostowanego
całofalowo określa się tzw. wartość średnią półokresową:
2
Iśr = Im = 0,637 Im
Ą
2
Uśr = Um = 0,637 Um.
Ą
Wartością średnią półokresową prądu (napięcia) sinusoidalnego o okresie T nazywamy
średnią arytmetyczną tego prądu (napięcia) obliczoną za połowę okresu, w którym przebieg
jest dodatni.
Wartość średnia całookresowa dla przebiegu sinusoidalnego wynosi zero.
Przebiegi, których wartość średnia całookresowa jest równa zeru, nazywamy przebiegami
przemiennymi.
Prąd wyprostowany (pulsujący) nie jest przebiegiem przemiennym. Stosunek wartości
skutecznej prądu do wartości średniej nazywamy współczynnikiem kształtu i oznaczamy
literą kk. Dla sinusoidy wynosi on:
I ImĄ Ą
kk = = = = 1,11.
Iśr
22Im 2 2
Napięcia i prądy wyprostowane można mierzyć miernikami magnetoelektrycznymi
z wbudowanym prostownikiem. Najczęściej są to mierniki uniwersalne z dwiema
podziałkami: dla prądu sinusoidalnego i dla prądu wyprostowanego (stałego).
Przebiegi sinusoidalne o jednakowej pulsacji nazywamy synchronicznymi. Przebiegi
synchroniczne mogą mieć różną fazę (rys. 3). Przesunięcie fazowe tych przebiegów jest
równe �1 �2.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
9
Rys. 3. Przebiegi czasowe dwóch napięć sinusoidalnych przesuniętych w fazie [1]
Tutaj napięcie u1 wyprzedza napięcie u2, lub inaczej, napięcie u2 opóznia się w stosunku
do napięcia u1.
Napięcie i prąd sinusoidalne w ogólnej postaci można zapisać:
u = Umsin (�t + �u ),
i = Imsin (�t + �i ).
Różnicę faz początkowych dwóch wielkości sinusoidalnych nazywamy przesunięciem
fazowym.
Przesunięcie fazowe między prądem a napięciem oznaczamy literą Ć i obliczamy
następująco:
Ć = �u �i .
Faza początkowa jednej z tych wielkości może być przyjęta dowolnie, ale druga już od
niej zależy. Jeżeli przyjmiemy, że np. �u = 0, to:
u = Umsin �t,
i = Imsin (�t + Ć).
Tutaj Ć = �i
Rys. 4. Ilustracja przesunięcia fazowego prądu względem napięcia na wykresie czasowym [1]
Na rysunku 4 przedstawiony jest wykres czasowy prądu i napięcia (prąd wyprzedza
napięcie o kąt Ć).
Do pomiarów i obserwacji przebiegów sinusoidalnych służą oscyloskopy.
Wielkości sinusoidalne można przedstawiać za pomocą wektorów.
Związek pomiędzy wirującym z prędkością � wektorem o promieniu Um a przebiegiem
sinusoidalnym przedstawia rys. 5.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
10
Rys. 5. Związek pomiędzy wektorem wirującym a przebiegiem sinusoidalnym: a)wektor wirujący, b) przebieg
sinusoidalny powstały jako rzut wektora [1]
Z wykresu wynika, że rzuty wektora o module równym amplitudzie przebiegu
sinusoidalnego, obracającego się z prędkością kątową �, równą pulsacji tego przebiegu, na oś
rzędnych odpowiadają wartościom chwilowym przebiegu.
Na tym samym wykresie wektorowym można przedstawić kilka przebiegów
sinusoidalnych synchronicznych.
W praktyce posługiwanie się wektorami napięć (prądów) przy obliczaniu obwodów
elektrycznych jest bardzo przydatne. Sprowadza się do wykonywania wykresów
wektorowych, czyli poprawnego dodawania i odejmowania wektorów napięć (prądów) na
elementach obwodu.
Należy pamiętać, że dodawać i odejmować można tylko te same wielkości fizyczne
(dotyczy to wykonywania działań w każdej postaci, także na wartościach chwilowych)!
Na jednym wykresie wektorowym mogą być przedstawione prąd i napięcie dla tego
samego obwodu, ale nie wolno ich dodawać.
Wykonując dodawanie wektorów uwzględniamy, że rzut wektora wypadkowego na
dowolną oś jest równy sumie rzutów wektorów składowych na tę oś (rys. 6).
Um = U1m + U2m
Rys. 6. Dodawanie dwóch wielkości sinusoidalnych na wykresie wektorowym: a) metodą równoległoboku,
b) bezpośrednie [2]
W praktyce posługujemy się wartościami skutecznymi prądów i napięć, ponieważ takie
wartości mierzą mierniki. Stąd działania na wektorach przy obliczaniu obwodów
wykonujemy dla wartości skutecznych zwrot i kierunek wektora wartości skutecznej jest
taki sam jak odpowiedniego wektora amplitudy, zmienia się tylko jego długość w przyjętej
skali. Na rys. 7 przedstawiono różne przypadki sumy dwóch wektorów.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
11
Rys. 7. Dodawanie dwóch wektorów napięć: a) przy zgodności faz, b) przy przesunięciu faz o 90o, c) przy
fazach przeciwnych [2].
Z rys. 7 wynika, że wartość skuteczna U sumy dwóch wielkości sinusoidalnych:
- zgodnych w fazach jest równa sumie algebraicznej ich wartości skutecznych:
U = U1 + U2
- o fazach różniących się o Ą/2 (90o) jest równa pierwiastkowi drugiego stopnia z sumy
kwadratów wartości skutecznych (stosujemy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia sumy
wektorów):
2
U = U12 + U
2
- o fazach przeciwnych ((będących w przeciwfazie) jest równa różnicy arytmetycznej
wartości skutecznych:
U = U1 U2
Analogicznie obliczamy w tych przypadkach wartość amplitudy sumy dwóch przebiegów
[wykorzystano 1, 2].
4.1.2.Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania
przebiegu ćwiczeń i ich wykonania.
1. Jakie zjawisko towarzyszy wytwarzaniu napięcia w prądnicy?
2. Jakie wielkości charakteryzują przebieg sinusoidalny?
3. Jaka jest różnica między prądem zmiennym a prądem przemiennym?
4. Jak obliczamy wartość skuteczną prądu? Jaka jest jej interpretacja fizyczna?
5. Co to jest wartość średnia prądu? Jaka jest jej interpretacja fizyczna?
6. Co to jest wykres wektorowy, a co czasowy?
7. Dlaczego tylko wektory wielkości sinusoidalnych synchronicznych można przedstawić na
jednym wykresie?
8. Co oznaczają określenia: dwie wielkości sinusoidalne są w fazie, są w przeciwfazie?
9. Jak obliczamy wartość skuteczną sumy (różnicy) przebiegów przesuniętych w fazie o 90o?
4.1.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Oblicz wartość skuteczną napięcia i częstotliwość na podstawie przebiegu czasowego
przedstawionego na wskazanym przez nauczyciela na rysunku.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
12
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) określić amplitudę i okres napięcia,
2) obliczyć częstotliwość i wartość skuteczną,
3) poprawnie zapisać wynik oraz jednostki obliczonych wielkości.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- rysunek przedstawiający przebieg sinusoidalny z naniesioną podziałką,
- kalkulator.
Ćwiczenie 2
Oblicz częstotliwość i wartość skuteczną prądu sinusoidalnego, którego zapis
matematyczny określa zależność: i = 4,23 sin(628t + Ą/2) oraz przedstaw go na wykresie
czasowym.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) określić amplitudę i okres prądu, określić fazę początkową prądu,
2) obliczyć częstotliwość i wartość skuteczną,
3) nanieść podziałki na osie i naszkicować wykres czasowy prądu w przyjętej skali,
4) oznaczyć na wykresie wartość maksymalną, okres, fazę początkową.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- papier milimetrowy,
- kalkulator.
4.1.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz: Tak Nie

1) określić parametry przebiegu sinusoidalnego na podstawie jego wykresu
czasowego i zapisu matematycznego?

2) obliczyć okres, częstotliwość, pulsację?

3) narysować wykres czasowy i wektorowy wielkości sinusoidalnej na
podstawie zapisu matematycznego na wartość chwilową?

4) podać własność charakteryzującą przebieg przemienny?

5) dodać wartości chwilowe i wektory przebiegów sinusoidalnych?

6) obliczyć wartość skuteczną przebiegu sinusoidalnego i wyjaśnić jej sens
fizyczny?

7) obliczyć wartość średnią i wyjaśnić jej sens fizyczny?

8) podać współczynnik kształtu dla sinusoidy?
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
13
4.2. Elementy R, L, C w obwodzie prądu sinusoidalnego
4.2.1. Materiał nauczania
Rezystory, cewki, kondensatory nazywamy elementami idealnymi R, L, C, jeżeli każdy
z nich zawiera tylko jeden parametr (odpowiednio: rezystancję, indukcyjność, pojemność).
W elementach rzeczywistych należy uwzględniać pozostałe parametry: pojemność i (lub)
indukcyjność występujące w rezystorze (w zależności od jego budowy), rezystancję cewki
(jest nawinięta z drutu nawojowego o określonej rezystywności), rezystancję upływową
dielektryka w kondensatorze. Schematy zastępcze rzeczywistych rezystorów, cewek
i kondensatorów można przedstawić jako połączenie elementów idealnych R, L i C. Ten sam
element może mieć różny schemat zastępczy w zależności od częstotliwości napięcia
zasilającego.
Elementy R, L, C są elementami liniowymi ich parametry nie zależą od wartości prądu,
który przez nie przepływa.
Elementy R, L, C są elementami pasywnymi. Stanowią elementy odbiorcze w obwodzie.
Ze względu na sposób wykonania nazywamy je dwójnikami (mają dwa zaciski).
Przy obliczaniu prądu w dwójniku korzystamy z prawa Ohma, które jest spełnione
zarówno w odniesieniu do amplitud, jak i do wartości skutecznych.
DWÓJNIK O REZYSTANCJI R
Jeżeli rezystor idealny zasilimy napięciem sinusoidalnym (rys. 8):
uR = Umsin�t,
uR U sin�t
m
to w obwodzie popłynie prąd: iR = = = Im sin�t
R R
a) b) c)
Rys. 8. Analiza przebiegów w dwójniku R: a) schemat dwójnika b) wykres czasowy napięcia i prądu c) wykres
wektorowy [1]
U
m
Amplituda prądu: Im =
R
U
Wartość skuteczna prądu: I = = GU
R
Dla idealnego rezystora napięcie i prąd są w fazie: Ć = Ću Ći = 0
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
14
DWÓJNIK O INDUKCYJNOŚCI L
Jeżeli przez idealną cewkę o indukcyjności L (rys. 9) płynie prąd sinusoidalny:
iL = Imsin�t,
to napięcie na jej zaciskach wynosi:
uL = �LImcos�t = Umsin(�t + Ą/2),
amplituda napięcia: Um = �LIm
wartość skuteczna napięcia: U = �LI
Oznaczamy: XL = �L = 2 ĄfL
Wielkość XL reaktancja indukcyjna(opór bierny indukcyjny); jej jednostką jest 1om
(1&!).
a) b) c)
Rys. 9. Analiza przebiegów w dwójniku L: a) schemat dwójnika, b) wykres czasowy napięcia i prądu, c) wykres
wektorowy [1]
W obwodzie z cewką idealną napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy Ć = Ą/2. Kąt Ć
zawsze zaznaczamy od prądu do napięcia (strzałka przy wektorze napięcia).
Wartość skuteczna prądu w obwodzie z cewką idealną (prawo Ohma dla wartości
skutecznych):
U
I =
X
L
Odwrotność reaktancji indukcyjnej nazywamy susceptancją indukcyjną BL. Jednostką
susceptancji jest 1 simens (1S).
1 1
BL = =
X �L
L
Reaktancja indukcyjna jest wprost proporcjonalna do częstotliwości f. Oznacza to, że
jeżeli f " reaktancja indukcyjna również dąży do nieskończoności, a dla f = 0 (prąd stały)
XL = 0, co można interpretować następująco: w obwodzie prądu stałego idealna cewka
stanowi zwarcie. W obwodzie z cewką rzeczywistą dla f = 0 prąd jest ograniczony tylko jej
rezystancją.
DWÓJNIK O POJEMNOŚCI C
Jeżeli do idealnego kondensatora o pojemności C ( rys. 10) przyłożymy napięcie
sinusoidalne
uC = Umsin�t
to w obwodzie popłynie prąd:
iC = �CUmcos�t = Imcos�t = Im sin(�t + Ą/2)
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
15
Rys. 10. Analiza przebiegów w dwójniku C: a) schemat dwójnika, b) wykres czasowy napięcia i prądu, c)
wykres wektorowy [1]
W obwodzie z idealnym kondensatorem napięcie opóznia się względem prądu o kąt
fazowy Ć = Ą/2. Prąd wyprzedza napięcie o Ą/2.
Wartość maksymalna prądu: Im = �CUm.
U
Wartość skuteczna: I = �CU = .
1
�C
1 1
Wielkość XC = = nazywamy reaktancją pojemnościową. Jej jednostką jest
�C 2ĄfC
1om (1&!).
1
Wielkość BC = = �C nazywamy susceptancją pojemnościową. Jej jednostką jest 1S.
X
C
Prawo Ohma dla dwójnika zawierającego idealny kondensator przyjmuje postać:
U
I = = BC U.
X
C
Reaktancja pojemnościowa XC jest odwrotnie proporcjonalna do częstotliwości f.
Oznacza to, że jeżeli f ", reaktancja pojemnościowa dąży do zera, a dla f 0 (f = 0 prąd
stały) XC", co można interpretować następująco: w obwodzie prądu stałego idealny
kondensator stanowi przerwę, a przy nieskończenie dużej częstotliwości prądu zwarcie.
[wykorzystano 1,2]
4.2.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania
przebiegu ćwiczeń i ich wykonania.
1. Jaki element nazywamy idealnym?
2. Jaka jest zależność między wartościami chwilowymi prądu i napięcia na idealnym
rezystorze?
3. Jak obliczamy wartość skuteczną prądu sinusoidalnego płynącego przez rezystor idealny?
Czy ten prąd zależy od częstotliwości napięcia zasilającego?
4. Jakie jest przesunięcie fazowe między napięciem a prądem w obwodzie z idealnym
rezystorem?
5. Jaką zależnością określamy reaktancję indukcyjną?
6. Co jest jednostką reaktancji?
7. Ile wynosi przesunięcie fazowe między napięciem a prądem w obwodzie z idealną cewką?
8. Jak obliczamy wartość skuteczną prądu w obwodzie z idealną cewką?
9. Jaki wpływ na wartość prądu w dwójniku o indukcyjności L ma częstotliwość?
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
16
10. Jaka jest zależność między wartościami chwilowymi prądu i napięcia na idealnym
kondensatorze?
11. Jak obliczamy wartość skuteczną prądu w obwodzie z idealnym kondensatorem?
12. Jakie jest przesunięcie fazowe między napięciem a prądem w obwodzie z idealnym
kondensatorem?
13. Jaką zależnością określamy reaktancję pojemnościową?
14. Jak zmienia się prąd w dwójniku pojemnościowym przy wzroście częstotliwości?
4.2.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Oblicz częstotliwość i wartość skuteczną prądu płynącego przez rezystor o rezystancji
R = 46 &!, który jest zasilany napięciem sinusoidalnym u = 325sin628t V i narysuj wykres
wektorowy w przyjętej skali.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) obliczyć częstotliwość,
2) obliczyć wartość skuteczną napięcia z dokładnością do jednego wolta,
3) obliczyć wartość skuteczną prądu z dokładnością do dziesiątej części ampera,
4) przyjąć skalę dla napięcia i skalę dla prądu i narysować wykres.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- przybory do rysowania,
- kalkulator.
Ćwiczenie 2
Oblicz wartość skuteczną napięcia, jakim zasilana jest idealna cewka o indukcyjności
L = 10 mH, jeżeli płynie przez nią prąd i = 10sin(314t Ą/2) A. Dla wartości skutecznych
prądu i napięcia wykonaj wykres wektorowy w przyjętej skali.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) obliczyć wartość skuteczną prądu oraz częstotliwość,
2) obliczyć reaktancję indukcyjną,
3) obliczyć wartość skuteczną napięcia,
4) przyjąć skalę dla napięcia i skalę dla prądu i narysować wykres.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- przybory do rysowania, papier milimetrowy,
- kalkulator.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
17
Ćwiczenie 3
Przedstaw zależności na wartości chwilowe napięcia i prądu płynącego przez
kondensator o pojemności C = 3 �F zasilany napięciem o wartości skutecznej U = 200 V
i częstotliwości f = 1000 Hz. Narysuj wykres czasowy dla tego dwójnika.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) obliczyć amplitudę napięcia i pulsację,
2) obliczyć reaktancję pojemnościową,
3) obliczyć amplitudę prądu,
4) zapisać zależności na wartość chwilową napięcia (założyć fazę początkową),
5) zapisać zależności na wartość chwilową prądu,
6) przyjąć skalę dla napięcia, skalę dla prądu i pulsacji i narysować wykres czasowy.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- przybory do rysowania, papier milimetrowy,
- kalkulator.
4.2.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz: Tak Nie

1) określić zależność między wartościami chwilowymi prądu i napięcia dla
idealnych elementów R, L i C?

2) napisać zależność na wartość chwilową prądu przy podanej wartości
chwilowej napięcia na elementach R, L i C?

3) narysować wykres czasowy i wektorowy napięcia i prądu dla
dwójników zawierających R, L lub C?

4) obliczyć reaktancję pojemnościową i indukcyjną?

5) obliczyć susceptancję pojemnościową i indukcyjną?

6) zastosować prawo Ohma dla wartości skutecznych i amplitud
w obwodzie zawierającym idealny element R, L lub C?

7) zanalizować wpływ zmian częstotliwości na wartość prądu
w obwodzie?
4.3. Połączenie szeregowe elementów R, L, C
4.3.1. Materiał nauczania
SZEREGOWE POACZENIE R i L
Szeregowe połączenie R i L to zarówno połączenie idealnego rezystora z idealną cewką,
jak też schemat zastępczy rzeczywistej cewki o indukcyjności L i rezystancji R (rys. 11)
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
18
Rys. 11. Dwójnik szeregowy R, L: a) schemat dwójnika, b) wykres czasowy napięć i prądu, c) wykres
wektorowy napięć, d) trójkąt impedancji [1]
W tym obwodzie: u = uR + uL
Jeżeli:
i = Imsin�t,
to: u = R Imsin�t + �LIm sin(�t + Ą/2) = URmsin�t + ULmsin(�t + Ą/2) = Umsin(�t +Ć)
Dodawaniu wartości chwilowych napięć zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa
odpowiada dodawanie geometryczne wektorów odwzorowujących te napięcia:
wartości maksymalnych: Um = URm + ULm
wartości skutecznych: U = UR + UL
2
Um = U2 + U2 = (RIm )2 + (X Im )2 = Im R2 + X
Rm Lm L L
2
oraz: U = U2 + U2 = I R2 + X
R L L
2
Oznaczamy: Z = R2 + X
L
Z impedancja ( opór pozorny ) dwójnika szeregowego RL; jednostką impedancji jest 1 om
(1 &!).
Ć kąt przesunięcia fazowego: Ć = Ću Ći.
Prawo Ohma dla dwójnika RL zasilanego napięciem sinusoidalnym:
U = IZ
Ponieważ moduły napięć są proporcjonalne do prądu, czyli: UR = IR, UL = I XL, U = IZ,
to po podzieleniu boków trójkąta napięć przez prąd I otrzymujemy trójkąt impedancji
o bokach R, XL, Z, który jest trójkątem podobnym do trójkąta napięć. Wynika z niego, że:
R = Z cos Ć
XL = Z sin Ć
R X X
L L
cos Ć = ; sin Ć = ; tg Ć =
Z Z R
Ą
Kąt Ć dla dwójnika RL jest dodatni zawarty w przedziale 0d" Ć d"
2
Ą
Dla Ć = 0 dwójnik jest idealnym dwójnikiem R, dla Ć = idealny dwójnik L.
2
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
19
SZEREGOWE POACZENIE R i C
Szeregowe połączenie rezystora o rezystancji R i kondensatora o pojemności C
zasilanych napięciem sinusoidalnym oraz wykresy dla tego dwójnika przedstawia rys. 12.
Rys. 12. Dwójnik szeregowy RC: a) schemat dwójnika, b) wykres czasowy napięć i prądu, c) wykres wektorowy
napięć, d) trójkąt impedancji [1]
W tym obwodzie:
u = uR + uC
Jeżeli:
i = Imsin�t,
1
to: u = R Imsin�t + Im sin(�t Ą/2) = URmsin�t + UCmsin(�t Ą/2) = Umsin(�t +Ć).
�C
Dodawaniu wartości chwilowych napięć zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa
odpowiada dodawanie geometryczne wektorów odwzorowujących te napięcia:
wartości maksymalnych: Um = URm + UCm
wartości skutecznych: U = UR + UC
2 2
Um = U2 + UCm = (RIm )2 + (X Im )2 = Im R2 + X
Rm C C
2 2
oraz: U = U2 + UC = I R2 + X
R C
2
Oznaczamy: Z = R2 + X
C
Z impedancja (opór pozorny) dwójnika szeregowego RC; jednostką impedancji jest 1 om
(1&!).
Ć kąt przesunięcia fazowego: Ć = Ću Ći
Prawo Ohma dla dwójnika RL zasilanego napięciem sinusoidalnym:
U = IZ
Moduły napięć są proporcjonalne do prądu, czyli: UR = IR, UC = IXC, U = IŻ. Trójkąt
impedancji o bokach R, XC, Z jest trójkątem podobnym do trójkąta napięć. Wynika z niego,
że:
R = Z cos Ć
XC = Z sin Ć
R X X 1
C C
cos Ć = ; sin Ć = ; tg Ć = = - .
Z Z R �CR
Ą
Kąt Ć dla dwójnika RC jest ujemny, zawarty w przedziale d" Ćd" 0
2
Ą
Dla Ć = 0 dwójnik jest idealnym dwójnikiem R, dla Ć = idealny dwójnik C (R = 0).
2
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
20
SZEREGOWE POACZENIE R, L, C
Szeregowe połączenie R, L i C oraz wykresy dla takiego dwójnika przedstawia rys. 13.
Rys. 13. Dwójnik szeregowy R, L, C: a) schemat dwójnika, b) wykres wektorowy dla XL > XC, c) wykres
wektorowy dla XL < XC, d) wykres wektorowy dla XL = XC [1]
W tym obwodzie:
u = uR + uL +uC
Jeżeli:
i = Imsin�t,
1
to: u = R Imsin�t + �LIm sin(�t + Ą/2)+ Im sin(�t Ą/2)
�C
u = URmsin�t + ULmsin(�t + Ą/2) + UCmsin(�t Ą/2) = Umsin(�t +Ć),
Ć kąt przesunięcia fazowego: Ć = Ću Ći.
Dodawaniu wartości chwilowych napięć zgodnie z drugim prawem Kirchhoffa
odpowiada dodawanie geometryczne wektorów odwzorowujących te napięcia:
wartości maksymalnych: Um = URm +ULm + UCm
wartości skutecznych: U = UR + UL + UC
Um = U2 + (ULm -UCm )2 = (RIm )2 + (X Im - X Im )2 = Im R2 + (X - X )2
Rm L C L C
oraz: U = U2 + (UL -UC )2 = I R2 + (X - X )2
R L C
2
Oznaczamy: Z = R2 + (X - X )2 = R2 + X
L C
Z impedancja (opór pozorny) dwójnika szeregowego RLC; jednostką impedancji jest 1 &!).
Prawo Ohma dla dwójnika RLC zasilanego napięciem sinusoidalnym:
U = IZ
X = XL XC reaktancja dwójnika RLC
Kąt przesunięcia fazowego: Ć = Ću Ći dla dwójnika RLC jest zawarty w przedziale:
Ą Ą Ą
- d"Ćd" . Dla Ć = 0 dwójnik jest idealnym dwójnikiem R, dla Ć = idealny dwójnik C
2 2 2
(R = 0).
Jeżeli:
X > 0 ( gdy XL > XC ) to kąt Ć jest dodatni obwód ma charakter indukcyjny,
X < 0 ( gdy XL < XC ) to kąt Ć jest ujemny obwód ma charakter pojemnościowy,
X = 0 ( gdy XL = XC ) to kąt Ć jest równy zeru obwód ma charakter rezystancyjny
[wykorzystano 1, 2].
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
21
4.3.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania
przebiegu ćwiczeń i ich wykonania.
1. Jakie wartości może przyjmować kąt przesunięcia fazowego Ć w dwójniku szeregowym
RL, a jakie w RC?
2. Jak obliczamy impedancję dwójnika szeregowego RL? Jaka jest jej jednostka?
3. Jak obliczamy wartość skuteczną prądu sinusoidalnego płynącego przez dwójnik
szeregowy RL? Czy ten prąd zależy od częstotliwości napięcia zasilającego?
4. Jak obliczamy impedancję dwójnika szeregowego RC? Jaka jest jej jednostka?
5. Jak obliczamy wartość skuteczną prądu sinusoidalnego płynącego przez dwójnik
szeregowy RC? Czy ten prąd zależy od częstotliwości napięcia zasilającego?
6. Jakie wartości może przyjmować kąt przesunięcia fazowego Ć w dwójniku szeregowym
RLC?
7. Jak obliczamy impedancję dwójnika szeregowego RLC?
8. Jak obliczamy wartość skuteczną prądu sinusoidalnego płynącego przez dwójnik
szeregowy RLC? Czy ten prąd zależy od częstotliwości napięcia zasilającego?
4.3.3.Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Oblicz wartość prądu płynącego przez rzeczywistą cewkę o rezystancji R = 5 &!
i indukcyjności L = 31,9 mH, do której końców doprowadzono napięcie sinusoidalne
o wartości skutecznej U = 110 V i częstotliwości f = 50 Hz. Narysuj trójkąt napięć i trójkąt
impedancji dla tego obwodu. Cewkę traktujemy jako szeregowe połączenie R i L. Określ
skutki zwarcia połowy zwojów tej cewki.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) obliczyć reaktancję i impedancję cewki,
2) obliczyć prąd płynący przez cewkę,
3) wyznaczyć przesunięcie fazowe Ć i narysować wykres wektorowy i trójkąt impedancji,
4) dokonać analizy zmiany parametrów cewki przy zwarciu połowy zwojów i ocenić wpływ
tej zmiany na wartość prądu płynącego przez cewkę po wystąpieniu zwarcia.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- przybory do rysowania, papier milimetrowy,
- kalkulator.
Ćwiczenie 2
Oblicz wartość napięcia zasilającego układ szeregowo połączonych: rezystora
o rezystancji R = 600 &! i kondensatora o pojemności C = 4 �F, jeżeli wartość skuteczna
prądu płynącego w tym obwodzie wynosi I = 200 mA, a jego częstotliwość f = 50 Hz.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować dwójnik RC i oznaczyć napięcia i prąd,
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
22
2) obliczyć wielkości niezbędne do narysowania trójkąta impedancji i wykresu
wektorowego,
3) narysować wykres wektorowy dla tego dwójnika i trójkąt impedancji,
4) obliczyć napięcie zasilające układ,
5) porównać wartość napięcia zasilania: obliczoną oraz uzyskaną wykreślnie
i zinterpretować wynik porównania.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- przybory do rysowania, papier milimetrowy,
- kalkulator,
Ćwiczenie 3
Jaki prąd popłynie przez szeregowe połączenie rezystora o rezystancji R = 40 &!, cewki
o indukcyjności L = 88 mH i kondensatora o pojemności C = 44 �F, jeżeli układ ten
dołączono do napięcia U = 230V, f = 50 Hz. Jaki jest charakter tego obwodu?
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować dwójnik szeregowy RLC i oznaczyć napięcia i prąd,
2) wymienić i obliczyć wielkości potrzebne do sporządzenia wykresu wektorowego i trójkąta
impedancji w obliczeniach stosować oznaczenia przyjęte w schemacie),
3) narysować wykres wektorowy dla tego dwójnika i trójkąt impedancji,
4) określić przesunięcie fazowe,
5) na podstawie obliczeń i wykresu ocenić charakter tego obwodu.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- przybory do rysowania, papier milimetrowy,
- kalkulator.
4.3.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz: Tak Nie

1) obliczyć reaktancje i impedancje dwójników szeregowych RL, RC
i RLC?

2) zastosować prawo Ohma dla wartości skutecznych i amplitud napięcia
i prądu w obwodzie zawierającym szeregowo połączone RL, RC i RLC?

3) zastosować II prawo Kirchhoffa dla obwodu szeregowego RLC?

4) obliczyć prąd i napięcia na elementach R, L i C dwójników szeregowych
RL, RC i RLC?

5) narysować wykresy wektorowe dwójników szeregowych RL, RC i RLC?

6) określić charakter dwójnika na podstawie wykresu wektorowego?

7) zanalizować wpływ zmian parametrów R, L i C obwodu na charakter
tego obwodu?

8) zanalizować wpływ zmian częstotliwości napięcia zasilającego na
wartość prądu w obwodzie szeregowo połączonych elementów RLC?
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
23
4.4. Połączenie równoległe elementów R, L, C
4.4.1. Materiał nauczania
RÓWNOLEGAE POACZENIE R i L.
Dla równoległego połączenia R i L (rys. 14) , zgodnie z I prawem Kirchhoffa
i = iR + iL
Rys. 14. Układ równoległy R,L: a)schemat, b) wykres wektorowy, c) trójkąt admitancji [1]
Jeżeli napięcie zasilające dwójnik ma wartość: u = Umsin�t,
U U
m m
to: iR = sin�t, iL = sin(�t Ą/2), i = Imsin(�t Ć),
R X
L
Ć kąt przesunięcia fazowego: Ć = Ću Ći.
Wektor prądu I pobieranego przez dwójnik RL: I = IR + IL.
Dla wartości maksymalnych: Im = IRm + ILm.
Moduł wartości skutecznej prądu (długość wektora I ):
1 1
2 2
I = I + I = ( )2 + ( )2U = G2 + BL 2U = YU
R L
R �L
gdzie:
1
G = konduktancja (przewodność czynna): jednostką konduktancji jest 1S (simens),
R
1
BL = susceptancja (przewodność bierna); jednostką konduktancji jest 1 S (simens),
�L
2
Y = G2 + BL admitancja (przewodność pozorna).
Dla równoległego połączenia R i L można wykreślić trójkąt admitancji, którego boki są
proporcjonalne do odpowiednich boków trójkąta prądów (rys. 14), ponieważ:
IR = UG; IL = U BL; I = UY
Rzeczywistą cewkę (przy pominięciu pojemności międzyzwojowej i pojemności
względem ziemi) można przedstawić jako szeregowe bądz równoległe połączenie idealnych
elementów R i L (rys. 15) i odpowiadające tym schematom zastępczym wykresy wektorowe
rys. 16.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
24
a) b)
Rys. 15. Schematy zastępcze cewki rzeczywistej: a) schemat szeregowy, b) schemat równoległy [1]
a) b)
Rys. 16. Wykresy wektorowe napięć i prądów dla cewki rzeczywistej: a) wykres dla schematu szeregowego,
b) wykres dla schematu równoległego [1]
Tangens kąta Ć nazywamy dobrocią cewki i oznaczamy QL.
U �L1
L
Dla schematu szeregowego: QL = = .
U R1
R
I 1 R2
L
Dla schematu równoległego: QL = = = .
I �L2G2 �L2
R
Im mniejsza rezystancja cewki, tym większa jej dobroć.
RÓWNOLEGAE POACZENIE R i C
Dla równoległego połączenia R i C (rys. 17) zgodnie z I prawem Kirchhoffa:
i = iR + iC
Rys. 17. Układ równoległy RC zasilany napięciem sinusoidalnym: a) schemat obwodu, b) wykres wektorowy [2]
Jeżeli napięcie zasilające dwójnik ma wartość:
u = Umsin�t,
U U
m m
to: iR = sin�t, iC = sin(�t + Ą/2) i = Imsin(�t + Ć)
R X
C
Wektor prądu I pobieranego przez dwójnik RC: I = IR + IC
Dla wartości maksymalnych: Im = IRm +ICm
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
25
Moduł wartości skutecznej prądu (długość wektora I ):
1
2 2
I = I + IC = ( )2 + (�C)2U = G2 + BC 2U = YU
R
R
gdzie:
1
G = konduktancja (przewodność czynna): jednostką konduktancji jest 1 simens (1S),
R
BC = �C susceptancja (przewodność bierna); jednostką konduktancji jest 1 simens (1S),
2
Y = G2 + BC admitancja (przewodność pozorna).
Dla równoległego połączenia R i C można wykreślić trójkąt admitancji, którego boki są
proporcjonalne do odpowiednich boków trójkąta prądów, ponieważ:
IR = UG; IC = UBC; I = UY.
Schemat zastępczy rzeczywistego kondensatora można przedstawić jako równoległe lub
szeregowe połączenie R i C (rys. 18).
Rys. 18. Schematy zastępcze kondensatora rzeczywistego: a) schemat równoległy, b) schemat szeregowy [1]
Dla rzeczywistego kondensatora słuszne są wykresy przedstawione na rys. 19.
a) b)
Rys. 19. Wykresy wektorowe prądów i napięć dla kondensatora rzeczywistego: a) wykres dla schematu
równoległego, b) wykres dla schematu szeregowego [1]
Oznaczenia:� kąt strat dielektrycznych, tg� współczynnik strat dielektrycznych.
Odwrotność współczynnika strat dielektrycznych nazywamy dobrocią kondensatora
i oznaczamy QC. Dla schematu równoległego:
I 1 1 IC
R
tg� = = QC = = = �C1R1
IC �C1R1 tg� IR
RÓWNOLEGAE POACZENIE R, L i C
Dla równoległego połączenia R, L i C (rys. 20) zgodnie z I prawem Kirchhoffa:
i = iR + iL + iC
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
26
Rys. 20. Dwójnik równoległy RLC: a)schemat dwójnika, b) wykres wektorowy dla BC>BL, c) wykres wektorowy
dla BCBL, f) trójkąt admitancji dla BCJeżeli napięcie zasilające dwójnik ma wartość: u = Umsin�t, to:
U U U
m m m
iR = sin�t, iL = sin(�t Ą/2), iC = sin(�t + Ą/2), i = Imsin(�t + Ć)
R X X
L C
Ć kąt przesunięcia fazowego: Ć = Ću Ći.
Wektor prądu I pobieranego przez dwójnik RLC:
I = IR + IL + IC.
Dla wartości maksymalnych: Im = IRm + ILm + ICm.
Moduł wartości skutecznej prądu (długość wektora I ):
1 1
2
I = I + (IC - I )2 = ( )2 + (�C - )2U = G2 + (BC - BL )2U = G2 + B2U = YU ,
R L
R �L
gdzie:
1
G = konduktancja (przewodność czynna),
R
B = BC BL susceptancja dwójnika RLC (przewodność bierna),
Y = G2 + B2 admitancja dwójnika RLC (przewodność pozorna).
Moduły prądów w poszczególnych gałęziach można obliczyć następująco:
U U U
I = = UG IL = = UBL IC = = UBC
R
R X X
L C
Dla równoległego połączenia RLC można wykreślić trójkąt admitancji (rys. 21).
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
27
a) b)
Rys. 21. Trójkąt admitancji dla równoległego połączenia RLC [1]
Kąt przesunięcia fazowego Ć można wyznaczyć wykorzystując funkcje
trygonometryczne:
I BC - BL B
R
cos� = tg� = - = - .
I G G
W zależności od wartości L, C, � susceptancja B dwójnika równoległego RLC może być:
- dodatnia, gdy BC > BL obwód ma charakter pojemnościowy, kąt fazowyĆ ujemny,
- ujemna, gdy BC < BL obwód ma charakter indukcyjny, kąt fazowy Ć jest dodatni.
- równa zeru, gdy BC = BL obwód ma charakter rezystancyjny, kąt fazowy Ć = 0 [1, 2].
4.4.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania
przebiegu ćwiczeń i ich wykonania.
1. Jakie wartości może przyjmować kąt przesunięcia fazowego Ć w dwójniku równoległym
RL, a jakie w RC i w RLC?
2. Jak obliczamy admitancję dwójnika równoległego RL? Jaka jest jej jednostka?
3. Jak obliczamy wartość skuteczną prądu sinusoidalnego pobieranego ze zródła przez
dwójnik równoległy RL? Czy ten prąd zależy od częstotliwości napięcia zasilającego?
4. Jak obliczamy admitancję dwójnika równoległego RC? Jaka jest jej jednostka?
5. Jak obliczamy wartość skuteczną prądu sinusoidalnego pobieranego ze zródła przez
dwójnik równoległy RC? Czy ten prąd zależy od częstotliwości napięcia zasilającego?
6. Jak obliczamy admitancję dwójnika równoległego RLC?
7. Jak obliczamy wartość skuteczną prądu sinusoidalnego pobieranego ze zródła przez
dwójnik równoległy RLC? Czy ten prąd zależy od częstotliwości napięcia zasilającego?
4.4.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Rezystor o rezystancji R = 46 &! i cewkę o indukcyjności L = 70 mH połączono
równolegle i zasilano napięciem sinusoidalnym o wartości U = 230 V i częstotliwości f = 50
Hz. Oblicz wartość prądu pobieranego przez ten dwójnik oraz oceń wpływ dwukrotnego
zwiększenia częstotliwości napięcia zasilającego na wartość tego prądu.
Sposób wykonania ćwiczenia:
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować schemat ideowy dwójnika równoległego RL, oznaczyć prądy,
2) obliczyć susceptancję indukcyjną,
3) obliczyć prądy w gałęziach dwójnika i prąd całkowity,
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
28
4) sporządzić wykres wektorowy i narysować trójkąt admitancji,
5) zanalizować wpływ wzrostu częstotliwości na parametry dwójnika i ocenić charakter
zmiany prądu pobieranego przez dwójnik.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- przybory do rysowania, papier milimetrowy,
- kalkulator.
Ćwiczenie 2
Oblicz wartość prądu pobieranego przez układ równolegle połączonych: rezystora
o rezystancji R = 600 &! i kondensatora o pojemności C = 4 �F, jeżeli wartość skuteczna
napięcia zasilającego ten dwójnik wynosi U = 150 V, a jego częstotliwość f = 50 Hz.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować dwójnik RC i oznaczyć napięcie i prądy,
2) obliczyć wielkości niezbędne do narysowania trójkąta impedancji i wykresu
wektorowego,
3) narysować wykres wektorowy dla tego dwójnika i trójkąt impedancji,
4) obliczyć napięcie zasilające układ,
5) porównać wartość napięcia zasilania: obliczoną oraz uzyskaną wykreślnie i zinterpretować
wynik porównania.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- przybory do rysowania, papier milimetrowy,
- kalkulator.
Ćwiczenie 3
Jaki prąd zostanie pobrany przez układ równolegle połączonych: rezystora o rezystancji
R = 100 &!, cewki o indukcyjności L = 0,25 H i kondensatora o pojemności C = 88 �F, jeżeli
układ ten dołączono do napięcia U = 230V, f = 50 Hz. Określ charakter tego obwodu na
podstawie wykresu wektorowego i oceń czy zmieni się charakter obwodu, jeżeli częstotliwość
napięcia zasilającego zmniejszy się dwukrotnie.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować schemat dwójnika równoległego RLC i oznaczyć napięcie i prądy,
2) wymienić i obliczyć wielkości potrzebne do sporządzenia wykresu wektorowego i trójkąta
admitancji (w obliczeniach stosować oznaczenia przyjęte w schemacie),
3) narysować wykres wektorowy dla tego dwójnika i trójkąt admitancji,
4) określić przesunięcie fazowe,
5) na podstawie obliczeń i wykresu ocenić charakter tego obwodu,
6) zanalizować wpływ zmniejszenia częstotliwości na parametry obwodu i jego charakter.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- przybory do rysowania, papier milimetrowy,
- kalkulator.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
29
Ćwiczenie 4
Określ, jaki wpływ na wartość prądu pobieranego przez dwójnik równoległy RLC
i charakter obwodu będzie miało jednoczesne dwukrotne zmniejszenie indukcyjności L
i dwukrotne zwiększenie pojemności C w obwodzie, bez zmiany parametrów napięcia
zasilającego. Analizę przeprowadz dla dowolnego dwójnika RLC.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) podać zależności na prądy w poszczególnych gałęziach obwodu,
2) ocenić wpływ parametrów L i C na wartość tych prądów,
3) przeprowadzić analizę i sformułować wnioski.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- podręczniki1 i 2 z wykazu literatury.
4.4.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz: Tak Nie

1) obliczyć susceptancje i admitancje dwójników równoległych RL, RC
i RLC?

2) zastosować prawo Ohma w wodzie zawierającym równolegle połączone
RL, RC i RLC?

3) zastosować I prawo Kirchhoffa dla obwodu równoległego RLC?

4) obliczyć prądy płynące przez elementy R, L i C dwójników równoległych
RL, RC i RLC oraz prąd pobierany przez dwójnik?

5) narysować wykresy wektorowe dwójników równoległych RL, RC i RLC?

6) określić charakter dwójnika na podstawie wykresu wektorowego?

7) zanalizować wpływ zmian parametrów R, L i C obwodu na charakter
tego obwodu?

8) zanalizować wpływ zmian częstotliwości napięcia zasilającego na
wartość prądu w obwodzie równolegle połączonych elementów R, L, C?
4.5. Moc i energia prądu przemiennego. Poprawa współczynnika
mocy
4.5.1. Materiał nauczania
W obwodzie prądu sinusoidalnego zasilonym napięciem o wartości chwilowej u,
pobierającym prąd o wartości chwilowej i wartość chwilowa mocy jest równa iloczynowi
prądu i napięcia:
p = ui
Ponieważ w obwodzie prądu zmiennego napięcie i prąd zmieniają w czasie swoją
wartość oraz znak, moc chwilowa ma wartość dodatnią w tych przedziałach czasu, w których
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
30
wartości chwilowe prądu i napięcia mają te same znaki, oraz ujemną, w przedziałach czasu,
gdzie napięcie i prąd mają znaki przeciwne.
Jeżeli p>0, to energia jest dostarczana ze zródła do odbiornika; jeżeli p<0, to energia jest
zwracana przez odbiornik do zródła
Na rys. 22 przedstawiono przebiegi prądu, napięcia i mocy dla dwójnika zasilanego
napięciem o wartości chwilowej u = Umsin�t , pobierającego prąd i = Imsin(�t Ć).
Rys. 22. Przebiegi wartości chwilowej napięcia, prądu i mocy [1]
Moc chwilowa, po przekształceniach trygonometrycznych:
p = ui = UIcos Ć UI cos(2�t Ć).
Moc chwilowa ma dwie składowe:
1) składową stałą (nie zmieniającą się w czasie): UIcos Ć
2) składową sinusoidalnie zmienną: UI cos(2�t Ć), której częstotliwość jest dwukrotnie
większa od częstotliwości napięcia i prądu
Energia dostarczana do odbiornika w równych przedziałach czasu "t jest różna, ponieważ
wartość chwilowa mocy dla poszczególnych przedziałów czasu jest różna. Energia w czasie
"t wynosi:
"W = p"t.
Graficznie tę energię ilustruje pole powierzchni paska o podstawie "t. Sumując iloczyny
p"t w ciągu całego okresu otrzymamy energię pobraną w ciągu okresu T:
W = Pt
Po podzieleniu przez T otrzymujemy wartość średnią mocy chwilowej za okres:
P = UIcos Ć
U wartość skuteczna napięcia sinusoidalnego, I wartość skuteczna prądu sinusoidalnego,
cosĆ współczynnik mocy (cos kąta przesunięcia fazowego).
Mocą czynną P nazywamy wartość średnią mocy chwilowej. Jednostką mocy czynnej
jest 1 wat (1W).
Dla urządzeń elektrycznych o określonych wartościach znamionowych napięcia U oraz
prądu I określamy moc pozorną S:
S = UI
Moc pozorna jest iloczynem wartości skutecznych napięcia i prądu.
Jednostką mocy pozornej jest 1 woltoamper (1VA). Moc pozorna jest równa największej
wartości mocy czynnej. Zachodzi to przy cosĆ = 1 (Ć = 0).
W obwodach prądu sinusoidalnego określa się także moc bierną Q:
Q = UIsinĆ
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
31
Moc bierna jest iloczynem wartości skutecznych napięcia i prądu oraz sinusa kąta
przesunięcia fazowego. Jednostką mocy biernej jest 1 war(1 var).
Pomiędzy mocami: czynną, bierną i pozorną zachodzi zależność:
S2 = P2 + Q2, stąd: S = P2 + Q2 .
Dla każdego dwójnika RLC możemy narysować trójkąt mocy (rys. 23), który jest
trójkątem podobnym do trójkąta impedancji (admitancji) dla danego dwójnika:
Rys. 23. Trójkąty mocy a) dla Q > 0, b) dla Q < 0 [1]
Q P
Funkcje kąta Ć można określić z zależności: tg� = ; cos� = .
P S
Na podstawie zależności pomiędzy napięciem a prądem sinusoidalnym zachodzących dla
elementów R, L i C (omówionych w rozdziale 4.2.1) oraz przedstawionych wyżej zależności
dotyczących mocy, dla poszczególnych elementów R, L i C oraz ich połączeń słuszne są
następujące zależności i twierdzenia dotyczące mocy:
MOC W IDEALNYM REZYSTORZE
W idealnym rezystorze przesunięcie fazowe Ć = 0, moc chwilowa p może przyjmować
wyłącznie wartości dodatnie, tzn. że rezystor może tylko pobierać energię elektryczną, która
natychmiast zostaje przemieniona w ciepło. Moc czynna (wartość średnia mocy chwilowej)
związana z rezystorem:
P = UI
Dla rezystora idealnego Q = 0, ponieważ sin 0 = 0, stąd P = S.
Wykorzystując wcześniej podane zależności i podstawiając je do wzoru na moc P można
napisać równoważne zależności na moc:
P = RI2 = GU2 = U2 / R
MOC W IDEALNEJ CEWCE
Ą
W cewce idealnej napięcie sinusoidalne wyprzedza prąd o kąt fazowy Ć = . Po
2
podstawieniu zależności na wartości chwilowe prądu i napięcia, otrzymujemy: P = 0.
Wartość średnia mocy chwilowej ( moc czynna ) dla idealnej cewki jest równa zeru. Moc
ta oscyluje pomiędzy zródłem zasilającym, a cewką, przyjmując na przemian wartości
dodatnie i ujemne.
Dla idealnej cewki określamy moc bierną indukcyjną:
Ą
QL = UIsin = UI
2
Jest ona równa mocy pozornej S = Q. Korzystając z prawa Ohma dla idealnej cewki
otrzymujemy wzory równoważne na moc bierną:
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
32
QL = XLI2 = BLU2
MOC W IDEALNYM KONDENSATORZE
W kondensatorze idealnym napięcie sinusoidalne opóznia się względem prądu o kąt
Ą
fazowy Ć = . Po podstawieniu zależności na wartości chwilowe prądu i napięcia,
2
otrzymujemy: P = 0.
Wartość średnia mocy chwilowej (moc czynna) dla idealnego kondensatora jest równa
zeru. Moc ta oscyluje pomiędzy zródłem zasilającym, a kondensatorem przyjmując na
przemian wartości dodatnie i ujemne.
Dla idealnego kondensatora określamy moc bierną pojemnościową:
Ą
QC = UIsin( ) = UI
2
Jest ona równa co do bezwzględnej wartości mocy pozornej S = Q . Korzystając z prawa
Ohma dla idealnego kondensatora otrzymujemy wzory równoważne na moc bierną:
QC = XCI2 = BCU2
MOC SZEREGOWO POACZONYCH R i L
Połączenie szeregowe dwóch idealnych elementów o parametrach skupionych R i L
odpowiada schematowi zastępczemu cewki rzeczywistej. W rzeczywistej cewce (tak jak
w dwójniku szeregowym RL) napięcie wyprzedza prąd o kąt fazowy Ć, przy czym:
R X X
L L
cos Ć = ; sin Ć = ; tg Ć = .
Z Z R
Z rzeczywistą cewką jest związana moc czynna P oraz moc bierna Q:
P = UIcos Ć = RI2,
Q = UIsinĆ = XLI2,
S = UI = Z I2.
Powyższe zależności są słuszne dla każdego dowolnego połączenia szeregowego R i L.
MOC SZEREGOWO POACZONYNYCH RLC
Przy połączeniu elementów R, L i C o mocy czynnej decyduje tylko moc pobrana przez
rezystor R, bowiem dla cewki i kondensatora moc średnia (czynna) jest równa zeru. Zatem
słuszne są zależności ogólne:
P = UIcos Ć = RI2,
Q = UIsinĆ = XI2,
S = UI = Z I2.
Przy czym należy pamiętać, że:
2
X = XL XC; Z = R2 + (X - X )2 = R2 + X .
L C
Ponadto, jeżeli:
X > 0 ( gdy XL > XC ) to kąt Ć jest dodatni obwód ma charakter indukcyjny i QL > QC,
X < 0 ( gdy XL < XC ) to kąt Ć jest ujemny obwód ma charakter pojemnościowy i QL < QC.
Połączenia szeregowe elementów R i L, to przypadek, gdy XC = 0.
Połączenia szeregowe elementów R i C, to przypadek, gdy XL = 0.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
33
MOC RÓWNOLEGLE POACZONYNYCH R i C
Moc czynna w dwójniku równoległym RC związana jest z rezystancją R i obliczamy ją
następująco:
P = UIcos Ć = UIR = RI2 = GU2 = U2 / R
Moc bierna: Q = UIsinĆ = ICU = BCU2
Moc pozorna: S = P2 + Q2 = YU2
Schemat zastępczy rzeczywistego kondensatora jest równoważny dwójnikowi
równoległemu RC, zatem moc kondensatora o skończonej rezystancji dielektryka obliczamy
tak, jak dla dwójnika RC.
MOC RÓWNOLEGLE POACZONYNYCH RLC
Zależności występujące przy obliczaniu mocy pobranej przez równolegle połączone
elementy RLC jest analogiczne jak dla dwójników RL i RC.
Moc czynna jest związana z rezystancją R:
P = UIcos Ć = UIR = RI2 = GU2 = U2 / R
Moc bierna jest związana z elementami biernymi, tzn. z cewką i z kondensatorem. Przy
obliczaniu mocy biernej należy uwzględnić wypadkową susceptancję obwodu.
Q = UIsinĆ = IbU = BU2,
gdzie:
IR składowa czynna prądu
Ib = IL + IC składowa bierna prądu
B = BC BL susceptancja dwójnika RLC (przewodność bierna)
Y = G2 + B2 admitancja dwójnika RLC (przewodność pozorna)
Moduły prądów w poszczególnych gałęziach można obliczyć następująco:
U U U
I = = UG IL = = UBL IC = = UBC
R
R X X
L C
U napięcie doprowadzone do równoległego połączenia RLC,
I prąd pobierany przez układ równolegle połączonych R, L i C,
I = IR + Ib,
Ć przesunięcie fazowe pomiędzy napięciem a prądem wypadkowym I.
Moc pozorna układu:
S = P2 + Q2 = YU2.
Dla wielu połączonych równolegle elementów R, L, i C można sumować algebraicznie
składowe czynne prądu (są w fazie z napięciem) oraz składowe bierne, uwzględniając, że
prądy IL i IC są w przeciwfazie (mają przeciwne zwroty).
ZNACZENIE WSPÓACZYNNIKA MOCY I JEGO POPRAWA
Współczynnik mocy (cosĆ) odgrywa ważną rolę z punktu widzenia efektywności
wykorzystania urządzeń elektrycznych.
W praktyce najczęściej do sieci są przyłączane równolegle odbiorniki o różnym
charakterze. Odbiorniki te: silniki, urządzenia grzejne, oświetlenie są dobierane pod kątem
mocy czynnej, której odpowiada energia użyteczna pobrana przez te urządzenia
i przekształcana w inny rodzaj energii (mechaniczną, cieplną, świetlną). Prąd niezbędny do
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
34
doprowadzenia tej energii zależy od współczynnika mocy (cosĆ), ponieważ: P = UIcosĆ,
stąd:
P
I = .
U cos�
Z podanej zależności wynika, że jeżeli cosĆ jest mały, to dostarczenie mocy P przy
określonym napięciu U wymaga przepływu prądu o większej wartości Dostarczanie energii
przy małym cosĆ jest zatem niekorzystne, ponieważ:
- zwiększona wartość prądu wymaga stosowania przez zakład energetyczny przewodów
zasilających o większych przekrojach,
- większa wartość prądu powoduje większe straty mocy czynnej (zamienianej w ciepło
oddawane do atmosfery) w liniach przesyłowych łączących zródło energii z odbiornikiem:
P2
2
"P = Rl I = Rl 2 , gdzie: Rl rezystancja przewodów,
U cos2 �
- zwiększenie poboru prądu wymaga zastosowania większych prądnic i transformatorów.
Z wymienionych powodów dąży się do tego, aby współczynnik mocy był bliski jedności.
W tym celu stosuje się poprawę współczynnika mocy, której istotą jest kompensacja mocy
biernej indukcyjnej mocą bierną pojemnościową. Realizuje się to poprzez dołączenie
równolegle do odbiornika o charakterze indukcyjnym (np. silnika indukcyjnego),
kondensatora (baterii kondensatorów) o odpowiednio dobranej pojemności. Schemat układu
i wykres ilustrujący to zjawisko przedstawia rys. 24.
Rys. 24. Wyjaśnienie zasady kompensacji mocy biernej: a) schemat obwodu, b) wykres wektorowy dla
przypadku kondensatora odłączonego, c) wykres wektorowy dla przypadku kondensatora dołączonego [1]
Przed dołączeniem kondensatorów o mocy biernej QC silnik pobierał prąd IS i prąd o tej
wartości płynął w linii doprowadzającej energię. Po dołączeniu kondensatorów prąd w linii
I jest mniejszy od prądu IS , kąt Ć2 < Ć1, cos Ć2 > cos Ć1.
P
Prąd w gałęzi z kondensatorem: IC = IR tg Ć1 IR tg Ć2 = (tg�1 - tg�2 ) .
U
Moc bierna baterii kondensatorów: QC = U IC = P (tg�1 - tg�2 ) .
QC
Pojemność C kondensatorów obliczamy z zależności: C = .
2
�U
Należy podkreślić, że moc czynna układu nie zmienia się.
Aby uzyskać kompensację całkowitą mocy biernej indukcyjnej mocą bierną
pojemnościową należy tak dobrać pojemność C, aby IC = IL = IS sin Ć1, wówczas QC = U
IC = U IS sin Ć1, prąd I dopływający do obwodu jest równy prądowi IR, a współczynnik mocy
jest równy jedności [1, 2].
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
35
4.5.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania
przebiegu ćwiczeń i ich wykonania.
1. Jaką zależnością określamy moc chwilową, czynną, bierną i pozorną obwodu w obwodzie
zasilanym napięciem sinusoidalnym? Jakie są ich jednostki?
2. Czy moc czynna zależy od częstotliwości napięcia zasilającego?
3. Jaka jest wartość mocy czynnej związana z idealną cewką, idealnym kondensatorem?
4. Jaką zależnością określamy moc bierną idealnej cewki, idealnego kondensatora?
5. Jaką zależnością określamy moc czynną, a jaką zależnością moc bierną rzeczywistej
cewki, rzeczywistego kondensatora?
6. Jak obliczamy moc szeregowych i równoległych dwójników RLC?
7. Jaki związek zachodzi pomiędzy mocami czynną, bierną i pozorną w dwójnikach RLC?
8. Jak zmienia się moc bierna indukcyjna, a jak pojemnościowa wraz ze wzrostem
częstotliwości napięcia zasilającego elementów idealnych R,L,C oraz ich połączeń?
9. Co to jest współczynnik mocy?
10. Dlaczego warto poprawiać współczynnik mocy i jakie są metody jego poprawy?
11. Jaką zależnością określamy energię elektryczną?
4.5.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Oblicz moc rzeczywistej cewki (schemat zastępczy szeregowy), której rezystancja
wynosi 40 &!, a indukcyjność L = 20 mH. Cewka jest zasilana ze zródła napięcia
sinusoidalnego U = 15V, f = 50 Hz. Przeprowadz analizę mocy związanej z tą cewką, jeżeli
wzrasta częstotliwość napięcia zasilającego.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować schemat cewki,
2) obliczyć moc czynną bierną i pozorną, narysować trójkąt mocy w przyjętej skali,
3) zanalizować wpływ zmiany częstotliwości na poszczególne składowe mocy,
4) sformułować i zapisać wnioski.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
Ćwiczenie 2
Oblicz moc dwójnika RC równoległe połączenie elementów R = 800 &!, C = 4 �F.
Dwójnik jest zasilany ze zródła napięcia sinusoidalnego U = 150 V, f = 50 Hz. Przeprowadz
analizę mocy związanej z tym dwójnikiem, jeżeli wzrasta częstotliwość napięcia zasilającego.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować schemat dwójnika,
2) obliczyć moc czynną bierną i pozorną, narysować trójkąt mocy w przyjętej skali,
3) zanalizować wpływ zmiany częstotliwości na poszczególne składowe mocy,
4) sformułować i zapisać wnioski.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
36
Wyposażenie stanowiska pracy:
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
Ćwiczenie 3
Oblicz moc dwójnika RLC dla szeregowego, a następnie równoległego połączenia
elementów R = 800 &!, L = 20 mH, C = 4 �F Dwójnik jest zasilany ze zródła napięcia
sinusoidalnego U = 50 V, f = 50 Hz. Dokonaj porównania mocy związanej z tym dwójnikiem,
dla obydwu układów połączeń.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować schematy dwójnika,
2) obliczyć moc czynną bierną i pozorną w obu układach, narysować trójkąt mocy,
3) sformułować i zapisać wnioski.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
Ćwiczenie 4
Oblicz, jaką pojemność powinien mieć kondensator, dołączony równolegle do silnika
o danych: P = 200 W, U = 230 V, f = 50 Hz, cos� = 0,6 aby współczynnik mocy układu
wyniósł 0,9.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować schematy układu bez kondensatora i z kondensatorem,
2) dobrać kondensator do założonego cos� układu,
3) obliczyć prąd pobierany przez układ ze zródła dla obu przypadków,
4) obliczyć moc czynną bierną i pozorną w obu układach, narysować wykresy wektorowe,
trójkąty mocy w przyjętej skali dla obu układów,
5) sformułować i zapisać wnioski dotyczące celu poprawy współczynnika mocy.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
37
4.5.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz: Tak Nie

1) obliczyć moc idealnych elementów R, L i C?

2) nazwać składowe mocy i podać ich jednostki?

3) obliczyć moc szeregowo połączonych elementów RL, RC?

4) obliczyć moc równolegle połączonych elementów RL, RC ?

5) obliczyć moc szeregowo połączonych elementów RLC?

6) obliczyć moc równolegle połączonych elementów RLC?

7) narysować trójkąt mocy dla dwójnika RLC szeregowego?

8) narysować trójkąt mocy dla dwójnika RLC równoległego?

9) określić wpływ częstotliwości na moc poszczególnych elementów R,
L, C i ich połączeń?

10) uzasadnić cel poprawy współczynnika mocy (kompensację mocy
biernej)?

11) dobrać kondensator w celu osiągnięcia założonej poprawy cos�?
4.6. Zjawisko rezonansu w obwodach elektrycznych
4.6.1. Materiał nauczania
Obwód, w którym reaktancja wypadkowa lub susceptancja wypadkowa obwodu równe są
zeru nazywamy obwodem w stanie rezonansu (obwodem rezonansowym). W stanie
rezonansu napięcie i prąd w obwodzie są zgodne w fazie. Częstotliwość, przy której
w obwodzie reaktancja (susceptancja) wypadkowa jest równa zeru, nazywamy
częstotliwością rezonansową fr. Obwód w stanie rezonansu nie pobiera ze zródła mocy biernej
(moc bierna wypadkowa jest równa zeru) występuje pełna kompensacja mocy biernej,
ponieważ w stanie rezonansu moc bierna indukcyjna jest równa mocy biernej
pojemnościowej.
REZONANS NAPIĆ
W obwodzie szeregowo połączonych R, L, C (rys. 25) rezonans zachodzi, gdy:
1
X = XL XC = 0 XL = XC �L = Z = R2 + (X - X )2 = R
L C
�C
Rys. 25. Rezonans napięć w dwójniku szeregowym: a) schemat obwodu, b) wykres wektorowy w stanie
rezonansu [1]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
38
Rezonans w tym obwodzie nazywamy rezonansem napięć lub rezonansem szeregowym.
Częstotliwość oraz pulsację, przy której zachodzi rezonans w obwodzie nazywamy
rezonansową:
1 1
fr = ; �r = .
2Ą LC LC
W stanie rezonansu:
U
UL = UC; U = UR; I = ; Ć = 0
R
- reaktancja pojemnościowa jest równa reaktancji indukcyjnej
- impedancja obwodu jest równa rezystancji, przesunięcie fazowe jest równe zeru
- napięcie na indukcyjności jest równe napięciu na pojemności, a suma wektorów tych
napięć jest równa zeru (całkowita kompensacja napięć)
- prąd w obwodzie osiąga największą wartość
- wypadkowa moc bierna układu jest równa zeru
W stanie rezonansu napięć prąd w obwodzie może osiągać bardzo duże wartości przy
małej rezystancji R zródło pracuje w warunkach zbliżonych do zwarcia.
Napięcia na elementach L i C mogą osiągać znaczne wartości, dużo większe od napięcia
zasilającego. Zjawisko to nazywamy przepięciem. Przepięcia są zjawiskiem niekorzystnym
w obwodach elektroenergetycznych.
Obwód rezonansowy szeregowy charakteryzują następujące wielkości:
1 L
impedancja falowa �: � = �r L = =
�rC C
UL UC �
dobroć obwodu rezonansowego Q: Q = = =
UR UR R
1
�L -
X
�C
rozstrojenie bezwzględne �: � = = = tg�
R R
X f fr
rozstrojenie względne �: � = = -
� fr f
Ilustracja zjawisk zachodzących w obwodzie przy zmianie częstotliwości napięcia
zasilającego jest przedstawiona na rys. 26.
Rys. 26. Charakterystyki częstotliwościowe XL, XC, �, I [1]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
39
REZONANS PRDÓW
W obwodzie równolegle połączonych R, L, C (rys. 27) rezonans zachodzi, gdy:
1
B = BC BL = 0 BL = BC �C = Y = G2 + (BC - BL )2 = G
�L
Rys. 27. Rezonans prądów w dwójniku równoległym: a) schemat obwodu, b) wykres wektorowy w stanie
rezonansu [1]
Rezonans w tym obwodzie nazywamy rezonansem prądów lub rezonansem
równoległym.
Częstotliwość oraz pulsację, przy której zachodzi rezonans w obwodzie nazywamy
rezonansową:
1 1
fr = ; �r = .
2Ą LC LC
W stanie rezonansu równoległego:
U
IL = IC; I = IR; I = = UG ; Ć = 0
R
- susceptancja pojemnościowa jest równa susceptancji indukcyjnej,
- admitancja obwodu jest równa konduktancji, przesunięcie fazowe jest równe zeru,
- wypadkowa moc bierna układu jest równa zeru,
- prąd w gałęzi z indukcyjnością jest równy prądowi w gałęzi z pojemnością, a suma
wektorów tych prądów jest równa zeru (całkowita kompensacja prądów),
- prąd całkowity w obwodzie osiąga najmniejszą wartość,
W stanie rezonansu prądów prąd w obwodzie osiąga bardzo małe wartości przy małej
konduktancji G zródło pracuje w warunkach zbliżonych do stanu jałowego.
Prądy w gałęziach z L i C mogą osiągać znaczne wartości, dużo większe od prądu
pobieranego przez układ ze zródła. Zjawisko to nazywamy przetężeniem.
Rezonans prądów jest wykorzystywany w obwodach radiotechnicznych, a także
w grzejnictwie indukcyjnym wielkiej częstotliwości oraz w grzejnictwie pojemnościowym.
Zjawiska zachodzące w obwodzie rezonansowym są wykorzystywane przy kompensacji
mocy biernej.
Obwód rezonansowy równoległy charakteryzują następujące wielkości:
1 L
- impedancja falowa �: � = �r L = =
�rC C
I IC �rC R
L
- dobroć obwodu rezonansowego Q: Q = = = =
I I G �
R R
BL
B - BC
- rozstrojenie bezwzględne�: � = - =
G G
B f fr
rozstrojenie względne �: � = = -
1
fr f
�
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
40
Ilustracja zjawisk zachodzących w obwodzie przy zmianie częstotliwości napięcia
zasilającego jest przedstawiona na rys. 28.
Rys. 28. Charakterystyki częstotliwościowe BL, BC, Y [1]
Zjawisko rezonansu można osiągnąć w układach składających się z elementów R, L, C
realizowanych w różnych połączeniach. W tabeli 1 przedstawiono obwody rezonansowe
o różnych schematach [1].
Tabela 1. Obwody rezonansowe i ich parametry [1]
4.6.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania
przebiegu ćwiczeń i ich wykonania.
1. Jakie warunki muszą być spełnione, aby w obwodzie mógł wystąpić rezonans napięć?
2. Jakimi cechami charakteryzuję się obwód, w którym zachodzi rezonans napięć?
3. Jak wyznaczysz częstotliwość rezonansową w dwójniku szeregowym RLC?
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
41
4. Które z parametrów obwodu można zmieniać, aby w obwodzie uzyskać stan rezonansu
napięć?
5. Co nazywamy dobrocią obwodu rezonansowego? Jaką zależnością określamy dobroć
układu przy rezonansie szeregowym?
6. Jakie warunki muszą być spełnione, aby w obwodzie mógł wystąpić rezonans prądów?
Jakimi cechami charakteryzuję się obwód, w którym zachodzi rezonans prądów?
7. Jak wyznaczysz częstotliwość rezonansową w dwójniku równoległym RLC?
8. Co nazywamy dobrocią obwodu rezonansowego? Jaką zależnością określamy dobroć
układu przy rezonansie prądów?
9. Co rozumiesz przez rozstrojenie względne i bezwzględne obwodu rezonansowego?
4.6.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1.
Rezystor o rezystancji R = 46 &! i cewkę o indukcyjności L = 70 mH oraz kondensator
o pojemności C = 2 �F połączono szeregowo i zasilano napięciem sinusoidalnym o wartości
U = 230 V i częstotliwości f = 50 Hz. Jaka powinna być częstotliwość napięcia zasilającego,
aby w obwodzie wystąpił rezonans napięć? Jaki prąd zostanie pobrany przez obwód w stanie
rezonansu?
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować schemat ideowy dwójnika szeregowego RLC, oznaczyć napięcia,
2) podać warunki rezonansu,
3) obliczyć częstotliwość rezonansową,
4) obliczyć prąd w obwodzie,
5) obliczyć dobroć obwodu,
6) sporządzić wykres wektorowy,
7) określić napięcia na elementach obwodu i sformułować wnioski dotyczące skutków
rezonansu napięć,
8) określić charakter obwodu dla ffr .
Wyposażenie stanowiska pracy:
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
Ćwiczenie 2
Rezystor o rezystancji R = 100 &! i cewkę o indukcyjności L = 0,35 H połączono
równolegle i zasilano napięciem sinusoidalnym o wartości U = 230 V i częstotliwości f = 50 Hz.
Jaka powinna być pojemność dołączonego równolegle kondensatora, aby w obwodzie
wystąpił rezonans prądów? Jaki prąd zostanie pobrany przez obwód w stanie rezonansu?
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować schemat ideowy dwójnika równoległego RLC, oznaczyć prądy,
2) podać warunki rezonansu,
3) obliczyć pojemność kondensatora,
4) obliczyć prąd w obwodzie,
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
42
5) obliczyć dobroć obwodu rezonansowego,
6) sporządzić wykres wektorowy,
7) sformułować wnioski dotyczące wartości prądów w obwodzie i skutków rezonansu
prądów.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
4.6.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz: Tak Nie

1) określić warunki rezonansu w dwójniku szeregowo połączonych RLC?

2) obliczyć częstotliwość rezonansową?

3) narysować wykres wektorowy dla obwodu, w którym wystąpił rezonans
napięć?

4) obliczyć dobroć obwodu rezonansowego?

5) zanalizować wpływ zmian częstotliwości na wartość impedancji i prądu
w obwodzie?

6) określić skutki rezonansu napięć?

7) na podstawie wykresu wektorowego określić, czy obwód szeregowy
znajduje się w stanie rezonansu?

8) określić warunki rezonansu w obwodzie równoległym RLC?

9) obliczyć częstotliwość rezonansową obwodu równoległego?

10) narysować wykres wektorowy dla obwodu, w którym wystąpił rezonans
prądów?

11) obliczyć dobroć obwodu rezonansowego?

12) określić skutki rezonansu prądów?

13) na podstawie wykresu wektorowego określić, czy obwód równoległy
znajduje się w stanie rezonansu?

14) zanalizować wpływ zmian częstotliwości na wartość admitancji i prądu
w obwodzie?

15) wskazać wykorzystanie zjawiska rezonansu
4.7. Obliczanie obwodów prądu sinusoidalnego
4.7.1. Materiał nauczania
Obwody szeregowe prądu sinusoidalnego zawierające n połączonych elementów R, L i C
(rys. 29) można obliczać stosując poznane dotychczas prawa i zależności.
Rys. 29. Zastępowanie obwodu zawierającego n impedancji połączonych szeregowo obwodem równoważnym,
o impedancji zastępczej Z: a) obwód wyjściowy, b) obwód równoważny [1]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
43
Zgodnie z II prawem Kirchhoffa napięcie doprowadzone do układu jest sumą napięć na
poszczególnych elementach obwodu ( sumą wartości chwilowych lub wektorów). Kolejność
dodawania nie ma znaczenia, wobec tego można obliczyć rezystancję zastępczą układu,
indukcyjność zastępczą oraz pojemność zastępczą a następnie moduł impedancji zastępczej.
Wykonując wykres wektorowy należy pamiętać o przesunięciu fazowym dla elementów
idealnych R, L i C. Kolejność dodawania wektorów nie ma znaczenia, więc w obwodzie
szeregowym można dodawać spadki napięć na wszystkich elementach rezystancyjnych (mają
to samo przesunięcie fazowe), następnie spadki napięć na wszystkich indukcyjnościach (mają
to samo przesunięcie fazowe) i analogicznie na elementach pojemnościowych. W ogólnym
przypadku dowolnej ilości szeregowo połączonych elementów R, L i C parametry zastępcze
obwodu obliczamy następująco:
R = R1 + R2 + R3 + .......+ Rn
L = L1 + L2 + L3 + .......+ Ln
1 1 1 1 1
= + + + ...... +
C C1 C2 C3 Cn
Dla obwodu przedstawionego na rys.30 obliczenia są następujące:
C1 �" C2
2
R = R1 + R2; L = L1 + L2; C = ; X = XL XC; Z = R2 + X
C1 + C2
U
Moduł prądu w obwodzie można obliczyć z prawa Ohma dla tego obwodu: I = .
Z
Rys. 30. Gałąz obwodu elektrycznego zawierająca elementy R, L, C [1]
Dla obwodów równoległych składających się z n połączonych elementów admitancji
(rys. 31) obliczamy konduktancję zastępczą G i susceptancję zastępczą B oraz admitancję
zastępczą Y:
G = G1 + G2 + G3 + .......+ Gn
B = B1 + B2 + B3 + ........+ Bn
Y = G2 + B2
Rys. 31. Zastępowanie obwodu zawierającego n admitancji połączonych równolegle obwodem równoważnym
o admitancji zastępczej Y: a) obwód wyjściowy, b) obwód równoważny [1]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
44
Wykonując wykres wektorowy dla obwodu równoległego można dodawać składowe
czynne prądów we wszystkich gałęziach z rezystancją (mają to samo przesunięcie fazowe),
następnie składowe bierne indukcyjne we wszystkich gałęziach zawierających indukcyjność
(mają to samo przesunięcie fazowe) i analogicznie bierne pojemnościowe we wszystkich
gałęziach zawierających pojemność (mają to samo przesunięcie fazowe) Moduły prądów
w poszczególnych gałęziach obliczamy z prawa Ohma:
I1 = UY1, I2 = UY2, In = UYn,
Moduł prądu w obwodzie można obliczyć z prawa Ohma dla tego obwodu: I = UY
4.7.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania
przebiegu ćwiczeń i ich wykonania.
1. Jak obliczamy impedancję obwodu złożonego z n połączonych szeregowo elementów?
2. Jak obliczamy admitancję obwodu złożonego z n połączonych równolegle elementów?
3. Dla jakich wartości możemy stosować prawa Kirchhoffa w dowolnych obwodach prądu
sinusoidalnego?
4. Jak sporządzamy wykresy wektorowe dla obwodów składających się z wielu elementów?
4.7.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Rezystory o rezystancjach R1 = 40 &! i R2 = 60 &!, cewki o indukcyjności L1 = 70 mH,
L2 = 100 mH oraz kondensator o pojemności C = 1�F połączono szeregowo i zasilano
napięciem sinusoidalnym o wartości U = 230 V i częstotliwości f = 50 Hz. Jaki prąd zostanie
pobrany przez ten obwód ze zródła? Jaka jest moc tego układu?
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować schemat ideowy dwójnika szeregowego RLC, oznaczyć napięcia,
2) obliczyć impedancję obwodu,
3) obliczyć prąd w obwodzie,
4) obliczyć moc czynną, bierną i pozorną układu,
5) sporządzić wykres wektorowy oraz trójkąty impedancji i mocy,
6) porównać spadki napięć na obu cewkach i sformułować wniosek dotyczący wielkości tych
napięć,
7) na podstawie wykresu określić charakter obwodu.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
Ćwiczenie 2
Rezystory o rezystancjach R1 = 40 &! i R2 = 60 &!, cewki o indukcyjnościach L1 = 70 mH,
L2 = 100 mH oraz kondensator o pojemności C = 1 �F połączono równolegle i zasilano
napięciem sinusoidalnym o wartości U = 230 V i częstotliwości f = 50 Hz. Jaki prąd zostanie
pobrany przez ten obwód ze zródła? Jaka jest moc tego układu?
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
45
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować schemat ideowy dwójnika równoległego RLC, oznaczyć napięcia,
2) obliczyć admitancję obwodu,
3) obliczyć prąd pobierany przez ten dwójnik ze zródła,
4) obliczyć moc czynną, bierną i pozorną układu,
5) sporządzić wykres wektorowy oraz trójkąty admitancji i mocy,
6) porównać prądy płynące przez cewki i sformułować wniosek dotyczący wielkości tych
prądów,
7) na podstawie wykresu określić charakter obwodu.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
4.7.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz: Tak Nie

1) zapisać II prawo Kirchhoffa w postaci wektorowej dla dowolnego obwodu
szeregowego?

2) obliczyć impedancję dowolnego obwodu szeregowego?

3) obliczyć prąd płynący w tym obwodzie i napięcia na poszczególnych
elementach?

4) oszacować napięcia na elementach biernych w zależności od wartości
indukcyjności i pojemności elementu?

5) narysować wykres wektorowy dla obwodu składającego się z dowolnej
ilości elementów połączonych szeregowo?

6) określić charakter tego obwodu?

7) zapisać I prawo Kirchhoffa w postaci wektorowej dla dowolnego obwodu
równoległego?

8) obliczyć prąd pobierany przez ten obwód i prądy w poszczególnych
gałęziach?

9) oszacować prądy płynące przez elementy bierne w zależności od wartości
indukcyjności i pojemności elementu?

10) narysować wykres wektorowy dla obwodu składającego się z dowolnej
ilości elementów połączonych równolegle?
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
46
4.8. Pomiary w obwodach prądu przemiennego jednofazowego
4.8.1. Materiał nauczania
Aby pomiar był wykonany poprawnie, należy dobrać miernik o właściwym ustroju
pomiarowym i odpowiednim zakresie W tabeli 2 przedstawiono oznaczenia ustrojów
pomiarowych typowych mierników.
Tabela 2. Ustroje mierników elektrycznych i ich symbole [2]
Parametry obwodów R, L, C można wyznaczyć pośrednio, mierząc prąd, napięcie, moc
i wykorzystując zależności zachodzące w tych obwodach.
POMIAR PRDU, NAPICIA I CZSTOTLIWOŚCI
Do pomiaru napięć i prądów w obwodach prądu przemiennego powszechnie są
stosowane mierniki o ustroju elektromagnetycznym. Istotne elementy jego budowy to cewka,
przez którą płynie prąd i ruchomy rdzeń ze stali magnetycznie miękkiej, osadzony na osi do
której przymocowana jest wskazówka Miernik elektromagnetyczny działa prawidłowo bez
względu na zwrot płynącego prądu. Tak jak przy pomiarach w obwodzie prądu stałego
amperomierz włączamy szeregowo w obwód, a woltomierz równolegle.
Pomiaru częstotliwości można dokonać włączając równolegle do zródła
częstotliwościomierz. Są to na ogół mierniki wibracyjne.
Do obserwacji i pomiaru napięcia, prądu (pośrednio), częstotliwości, amplitudy oraz
przesunięcia fazowego przebiegów przemiennych bardzo dogodnym przyrządem jest
oscyloskop. Jego budowę i zasadę działania oraz sposób pomiarów przedstawiono bardzo
dokładnie w pozycji 5 literatury. Przed przystąpieniem do pomiarów oscyloskopem należy
zapoznać się z instrukcją producenta oraz instrukcją wykonania ćwiczenia.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
47
POMIAR MOCY I ENERGII
Do pomiaru mocy w obwodach prądu przemiennego stosowane są najczęściej
watomierze o ustroju elektrodynamicznym lub ferrodynamicznym. Są to mierniki o dwóch
cewkach: cewce prądowej i napięciowej. Początki cewek są oznaczone na obudowie kropką
(gwiazdką). Cewkę prądową zawsze włączamy w obwód szeregowo (jak amperomierz),
a cewkę napięciową równolegle (jak woltomierz). Sposób włączenia watomierza w obwodzie
jednofazowym przedstawia rys. 32.
Rys. 32. Sposoby włączenia watomierza: a) schemat elektryczny i symbol watomierza, gdzie: 1 cewka
prądowa, 2 cewka napięciowa, Rd rezystor poszerzający zakres napięciowy, b) pomiar mocy odbiornika
i cewki prądowej, c) pomiar mocy odbiornika i cewki napięciowej [2]
Watomierze mają zwykle kilka zakresów prądowych i kilka napięciowych. Dla
watomierzy wyskalowanych w działkach należy obliczyć stałą dla wybranych zakresów.
U Imax cos�W
max
Stała watomierza: CW = ,
ąn
gdzie: Umax, Imax wartości maksymalne wybranych zakresów watomierza,
ąn znamionowa liczba działek,
cos�w cos kąta pomiędzy prądami w cewkach prądowej i napięciowej; na ogół
watomierze są tak budowane, aby cos �w = 1, jeżeli ma inną wartość producent podaje ją na
tarczy podziałkowej watomierza.
Moc wskazana przez watomierz:
P = CW ą,
gdzie ą oznacza odczytaną liczbę działek.
Do pomiaru energii służą liczniki indukcyjne. Liczniki zliczają moc pobraną w jednostce
czasu. Na każdym liczniku umieszczona jest tabliczka znamionowa, na której podane są m.in.
znamionowe napięcie i jego częstotliwość, prąd oraz stała licznika CL. Stała licznika określa
ilość obrotów tarczy licznika przy poborze energii równej 1 kWh. Na jej podstawie można
określić pośrednio moc odbiorników przyłączonych do licznika:
n
P = [kW], gdzie n liczba obrotów tarczy w ciągu godziny.
CL
Sposób włączenia licznika ilustruje rys. 33. Cewki licznika włącza się w obwód jak
cewki watomierza: prądową (zaciski 1, 2) szeregowo z odbiornikiem energii, napięciową,
która jest dzielona (zaciski 1, 3, 4) równolegle do odbiornika. Przed włączeniem licznika
należy zapoznać się z jego kartą katalogową oraz instrukcją producenta.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
48
Rys. 33. Schemat włączenia licznika jednofazowego [2]
POMIAR INDUKCYJNOŚCI CEWKI
Indukcyjność cewki można zmierzyć za pomocą mostka RLC. Jest to mostek
zmiennoprądowy Zasadę działania takiego mostka oraz sposób obsługi zawiera instrukcja
producenta.
Dogodnym i powszechnie dostępnym sposobem jest metoda techniczna pomiaru
indukcyjności. Sposób postępowania przy tej metodzie jest następujący:
- włączamy cewkę w obwód napięcia stałego, mierzymy prąd i napięcie i z prawa Ohma
U
wyznaczamy rezystancję cewki: R = lub wykorzystując wskazania watomierza
I
i amperomierza włączonych w obwód cewki korzystamy z zależności: P = RI2,
- włączamy cewkę w obwód napięcia przemiennego o znanej częstotliwości, mierzymy
U
prąd, napięcie i z prawa Ohma wyznaczamy impedancję cewki: Z = ,
I
2
2
- z zależności: Z = R2 + X wyznaczamy reaktancję cewki: X = Z - R2 ,
L L
X
L
- wykorzystujemy zależność: XL = 2ĄfL i obliczamy indukcyjność cewki L = .
2Ąf
Dla rzeczywistej cewki możemy sporządzić wykresy wektorowe oraz trójkąty impedancji
i mocy jak dla dwójnika składającego się z idealnych elementów R i L.
POMIAR POJEMNOŚCI METOD TECHNICZN
Pojemność kondensatora można zmierzyć za pomocą mostka RLC. Jest to mostek
zmiennoprądowy Zasadę działania takiego mostka oraz sposób obsługi zawiera instrukcja
producenta.
Dogodnym i powszechnie dostępnym sposobem jest metoda techniczna pomiaru
pojemności. Przy założeniu, że rezystancja dielektryka kondensatora jest nieskończenie duża
(kondensator idealny), sposób postępowania przy tej metodzie jest następujący:
- włączamy kondensator w obwód napięcia przemiennego o znanej częstotliwości,
U
mierzymy prąd, napięcie, i z prawa Ohma wyznaczamy reaktancję kondensatora: X =
C
I
1 1
- wykorzystujemy zależność: X = i obliczamy pojemność C =
C
2ĄfC 2ĄfX
C
Postępując w sposób opisany wyżej można wyznaczyć pojemność zastępczą kilku
kondensatorów połączonych w dowolny sposób.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
49
BADANIE OBWODÓW RLC
Badając obwody RLC możemy na podstawie pomiarów określić rozkład napięć na
poszczególnych elementach połączonych szeregowo lub rozpływ prądów w połączeniach
równoległych. Za pomocą pomiarów można również wyznaczyć częstotliwość rezonansową
obwodu. Jest to szczególnie przydatne w obwodach o połączeniach mieszanych, dla których
obliczenie częstotliwości rezonansowej jest skomplikowane. Można ją wyznaczyć
doświadczalnie zasilając obwód RLC z generatora napięć sinusoidalnych. W trakcie badania
należy utrzymywać stałą wartość napięcia zasilania, zmieniając jego częstotliwość. Na
podstawie znajomości omówionych wcześniej zjawisk zachodzących w obwodach RLC oraz
pomiaru prądu pobieranego przez obwód oraz prądów w gałęziach równoległych i napięć na
elementach szeregowych można określić zmianę parametrów obwodu w funkcji
częstotliwości i wyznaczyć parametry obwodu dla częstotliwości rezonansowej. W przypadku
braku prądu po podaniu napięcia na obwód należy przypuszczać, że w obwodzie wystąpiła
przerwa. Należy wówczas w stanie beznapięciowym zlokalizować przerwę za pomocą
omomierza lub zachowując środki ostrożności sprawdzać układ woltomierzem przy
włączonym napięciu [1, 2, 5].
4.8.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania
przebiegu ćwiczeń i ich wykonania.
1. Jakie mierniki służą do pomiaru prądów i napięć i mocy w obwodach napięć
przemiennych? Jakimi symbolami są oznaczone ich ustroje?
2. Jakie wielkości można zmierzyć za pomocą oscyloskopu?
3. Jak włączamy w obwód watomierz?
4. Jak wyznaczamy stałą watomierza?
5. Jakie mierniki służą do pomiaru energii elektrycznej?
6. Jakie wielkości znamionowe charakteryzują licznik energii?
7. Na czym polega pomiar indukcyjności metodą techniczną?
8. Na czym polega pomiar pojemności metodą techniczną?
9. Jak można doświadczalnie wyznaczyć częstotliwość rezonansową obwodu?
4.8.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Dokonaj pomiaru indukcyjności własnej cewki rzeczywistej metodą techniczną. Pomiary
przeprowadz dla trzech różnych wartości napięcia zasilającego, przy stałej częstotliwości tego
napięcia. Wiadomo, że L > 50 mH, R > 100 &!.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) zestawić układ pomiarowy jak na rysunku,
2) dobrać zakresy mierników, wiedząc, że napięcie będzie się zmieniać od 0 do 50 V,
3) zaproponować tabelę do zanotowania pomiarów i obliczeń,
4) określić rezystancję cewki na podstawie wskazań mierników z zależności: P = RI2 ,
5) wyznaczyć na podstawie pomiarów cos� cewki,
6) sporządzić wykres wektorowy na podstawie pomiarów oraz trójkąty mocy i impedancji.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
50
Wyposażenie stanowiska pracy:
- schemat obwodu pomiarowego
Rysunek do ćwiczenia [5]
- cewka rzeczywista,
- autotransformator,
- mierniki wskazane przez ucznia,
- częstotliwościomierz,
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
Ćwiczenie 2
Zaproponuj sposób pomiaru pojemności kondensatora metodą techniczną. Wiadomo, że
pojemność wynosi około 5 �F.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) zaproponować (narysować) układ pomiarowy,
2) dobrać mierniki do pomiarów przy założeniu, że napięcie zasilania będzie się zmieniać
od 0 do 150 V,
3) zestawić układ pomiarowy według zaproponowanego schematu,
4) zaproponować tabelę do zanotowania niezbędnych pomiarów i obliczeń,
5) wykonać pomiary dla trzech różnych wartości napięcia,
6) zanalizować jak zmieniłyby się wskazania mierników po dołączeniu drugiego,
identycznego kondensatora: a) szeregowo, b) równolegle.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- schemat obwodu pomiarowego zaproponowany przez ucznia,
- mierniki wskazane przez ucznia,
- częstotliwościomierz,
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
Ćwiczenie 3
Na postawie pomiarów określ dla dwójnika RC: rezystancję rezystora, pojemność
kondensatora, moc układu, współczynnik mocy. Pomiarów dokonaj dla dwójnika
szeregowego i równoległego przy jednej i jednakowej wartości napięcia w obu układach.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) zestawić układ pomiarowy jak na rysunku 1,
2) określić wielkości, które musisz zmierzyć i obliczyć,
3) zaproponować tabelę do zanotowania niezbędnych pomiarów i obliczeń,
4) wykonać pomiary i obliczenia,
5) wykonać wykres wektorowy, narysować trójkąt mocy i impedancji dla tego dwójnika,
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
51
6) zestawić układ pomiarowy jak na rysunku 2,
7) wykonać czynności 1 4 dla układu 2,
8) wykonać wykres wektorowy, narysować trójkąt mocy i admitancji dla tego dwójnika,
9) porównać wyniki pomiarów i sformułować wnioski.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- schematy obwodu pomiarowego rys. 1 i 2,
Rysunek 1 do ćwiczenia [5] rysunek 2 do ćwiczenia [5]
- amperomierze, woltomierze,
- częstotliwościomierz,
- autotransformator,
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
Ćwiczenie 4
Na podstawie przeprowadzonych pomiarów określ częstotliwość rezonansową obwodu.
Określ dla jakich częstotliwości obwód ma charakter pojemnościowy.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) zestawić układ pomiarowy jak na rysunku,
2) zaproponować tabelę do zanotowania niezbędnych pomiarów i oblicze,
3) dokonać pomiarów przy napięciu zasilania U = const, zmieniając częstotliwość tego
napięcia,
4) określić dobroć układu dla f = fr,
5) na podstawie pomiarów i obliczeń wykonać wykresy I = f(f), U = f(f), Z = f(f),
6) przeprowadzić analizę pracy obwodu na podstawie wykresów,
7) sformułować wnioski.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- schemat obwodu pomiarowego,
Rysunek do ćwiczenia pomiarowego [5]
- elementy R, L, C,
- woltomierz, amperomierz,
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
52
- generator napięć sinusoidalnych,
- wyłącznik, przełącznik,
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
Ćwiczenie 5
Wybierz spośród przedstawionych propozycji właściwy sposób włączenia licznika do
pomiaru energii. Wykaż błędy w pozostałych układach.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) wybrać właściwy schemat, przerysować go do zeszytu,
2) uzasadnić wybór,
3) wyjaśnić na czym polegają błędy w pozostałych układach,
4) zanalizować skutki błędnego włączenia licznika.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- karty katalogowe liczników,
- rysunek do ćwiczenia.
Rysunek do ćwiczenia [zródło własne].
Ćwiczenie 6
Pomiar mocy czynnej prądu jednofazowego i poprawa współczynnika mocy.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) zrealizować wszystkie zalecenia zawarte w tekście przewodnim.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- tekst przewodni do ćwiczenia,
- odbiornik indukcyjny,
- mierniki i urządzenia wskazane przez ucznia.
4.8.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz: Tak Nie

1) dobrać właściwy miernik do pomiarów w obwodzie prądu przemiennego?

2) oszacować właściwy zakres miernika?

3) zmierzyć prąd, napięcie i moc w obwodzie prądu przemiennego?

4) zmierzyć indukcyjność własną cewki metodą techniczną?
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
53

5) zmierzyć pojemność kondensatora metodą techniczną?

6) przeprowadzić pomiary dwójników RLC szeregowych i równoległych?

7) wyznaczyć na podstawie pomiarów częstotliwość rezonansową w obwodach
RLC?

8) włączyć prawidłowo licznik do pomiaru energii?

9) uzasadnić poprzez pomiary cel poprawy współczynnika mocy ?
4.9. Obwody nieliniowe
4.9.1. Materiał nauczania
CHARAKTERYSTYKA OBWODÓW NIELINIOWYCH
Elementy obwodu elektrycznego, których parametry zmieniają się w zależności od prądu
przepływającego przez nie lub od napięcia na zaciskach elementu, nazywamy elementami
nieliniowymi. Jeżeli w obwodzie składającym się z wielu elementów jest jeden element
nieliniowy, to obwód nazywamy nieliniowym. Rzeczywiste elementy R, L, C są w istocie
elementami nieliniowymi. Na rys. 34 przedstawiono charakterystyki: napięcia w funkcji
prądu dla rezystora, strumienia magnetycznego skojarzonego w funkcji prądu dla cewki
i ładunku na okładzinach w funkcji napięcia dla kondensatora.
Rys. 34. Charakterystyki elementów nieliniowych: a) rezystora, b) cewki, c) kondensatora [1]
Obwody nieliniowe wykorzystywane są w technice do budowy układów prostowniczych,
stabilizatorów napięć i prądów, układów wytwarzających sygnały o różnych kształtach,
modulacji i detekcji sygnałów. Z uwagi na trudność opisania za pomocą równań
charakterystyk elementów nieliniowych do analizy obwodów nieliniowych wykorzystuje się
metodę graficzną. W obwodach prądu zmiennego ważną rolę pełnią cewki z rdzeniem
ferromagnetycznym.
OBWODY NIELINIOWE Z ELEMENTAMI FERROMAGNETYCZNYMI
1. Cewka z rdzeniem ferromagnetycznym.
N rysunku 35 przedstawiono cewkę z rdzeniem ferromagnetycznym (dławik) oraz
charakterystykę magnesowania rdzenia ferromagnetycznego z pominięciem zjawiska
histerezy.
Strumień skojarzony � jest proporcjonalny do indukcji magnetycznej B, a prąd płynący
przez cewkę i jest proporcjonalny do natężenia pola magnetycznego H. Jeżeli napięcie
sinusoidalne przyłożone do cewki u = Umsin(�t + Ą/2), to strumień magnetyczny
Ś = Śmsin�t. Strumień magnetyczny jest opózniony względem napięcia o kąt Ą/2. Ze
względu na nieliniowość charakterystyki Ś = f(i) charakterystyka i = f(t) nie jest sinusoidą
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
54
(jest odkształcona). Sposób wyznaczenia prądu I w funkcji czasu metodą graficzną
przedstawiono na rysunku 36.
Rys. 35. Cewka z rdzeniem ferromagnetycznym: a) schemat, b) charakterystyka magnesowania rdzenia
ferromagnetycznego, c) symbol graficzny [1]
Rys. 36. Konstrukcja krzywej prądu w cewce z rdzeniem ferromagnetycznym [1]
Stopień odkształcenia napięcia zależy od amplitudy strumienia magnetycznego w rdzeniu
cewki dla małych amplitud wpływ nieliniowości jest mały. Gdyby cewka była zasilona ze
zródła prądu sinusoidalnego (wymuszenie sinusoidalne), to napięcie na jej zaciskach byłoby
odkształcone.
2. Zjawisko ferrorezonansu.
Zjawisko ferrorezonansu powstaje w obwodzie, w którym połączona jest cewka
z rdzeniem ferromagnetycznym i kondensator. Do badania zjawiska ferrorezonansu przyjęto
założenie, że cewka jest bezrezystancyjna i pominięto zjawisko histerezy.
W układzie szeregowego połączenia cewki z rdzeniem ferromagnetycznym
i kondensatora liniowego (rys. 37) zachodzi zjawisko ferrorezonansu napięć.
Rys. 37. Ferrorezonans napięć: a) schemat obwodu, b) charakterystyka idealnej cewki nieliniowej, kondensatora
liniowego i charakterystyka wypadkowa, c) charakterystyka rzeczywista.[1]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
55
Ferrorezonans napięć wystąpi dla takiej wartości prądu, przy której napięcie na cewce
jest równe napięciu na kondensatorze, a napięcie wypadkowe osiąga minimum.
Gwałtowna zmiana prądu przy niewielkiej zmianie napięcia i jednoczesna zmiana charakteru
obwodu nosi nazwę przewrotu. Na rysunku 9.4.c przedstawiona jest charakterystyka
rzeczywista, uwzględniająca występowanie strat w cewce i kondensatorze.
W układzie równoległego połączenia cewki z rdzeniem ferromagnetycznym
i kondensatora liniowego (rys. 38) zachodzi zjawisko ferrorezonansu prądów.
Rys. 38. Ferrorezonans prądów: a) schemat obwodu, b) charakterystyka idealnej cewki nieliniowej kondensatora
liniowego i charakterystyka wypadkowa, c) charakterystyka rzeczywista [1]
Ferrorezonans prądów wystąpi dla takiej wartości napięcia U, przy której prąd IL
w cewce jest równy prądowi IC w gałęzi z kondensatorem, a prąd wypadkowy I osiąga
minimum.
Gwałtowna zmiana napięcia przy niewielkiej zmianie prądu i jednoczesna zmiana
charakteru obwodu nosi nazwę przewrotu. Na rysunku 38c przedstawiona jest charakterystyka
rzeczywista, uwzględniająca występowanie strat w cewce i kondensatorze [1].
4.9.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania
przebiegu ćwiczeń i ich wykonania.
1. Jak można scharakteryzować elementy nieliniowe?
2. Czy możesz wskazać, które ze znanych elementów są nieliniowe?
3. Czy w cewce z rdzeniem ferromagnetycznym, do której przyłożono napięcie sinusoidalne
płynie prąd sinusoidalny?
4. Jakie parametry cewki powietrznej ulegną zmianie, jeżeli włożymy do niej rdzeń
ferromagnetyczny?
5. W jakim obwodzie może wystąpić ferroezonans napięć?
6. W jakim obwodzie może wystąpić ferroezonans prądów?
4.9.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Zbadaj doświadczalnie wpływ rdzenia ferromagnetycznego na parametry cewki
włączonej w obwód napięcia sinusoidalnego.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) włączyć cewkę powietrzną o znanej rezystancji w obwód napięcia sinusoidalnego,
2) dla kilku wartości napięć zmierzyć prąd, wyznaczyć impedancję, reaktancję,
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
56
3) powtórzyć pomiary przy tych samych wartościach napięcia po włożeniu do cewki rdzenia
ferromagnetycznego,
4) wykreślić zależność I = f(U) dla cewki bez rdzenia i z rdzeniem w jednym układzie
współrzędnych,
5) wykreślić trójkąt impedancji dla cewki bez rdzenia i z rdzeniem,
6) sformułować wnioski.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- cewka z wyjmowalnym rdzeniem,
- amperomierz, woltomierz
- częstotliwościomierz,
- autotransformator,
- papier milimetrowy,
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
4.9.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz: Tak Nie

1) wskazać na podstawie charakterystyki element nieliniowy?

2) wykreślić na podstawie pomiarów charakterystykę elementu nieliniowego?

3) określić wpływ rdzenia ferromagnetycznego na indukcyjność cewki?

4) wskazać przykład obwodu, w którym zachodzi ferrorezonans napięć?

5) wskazać przykład obwodu, w którym zachodzi ferrorezonans prądów?

6) podać własność charakteryzującą ferrorezonans napięć?

7) podać własność charakteryzującą ferrorezonans prądów?
4.10. Obwody ze sprzężeniem magnetycznym
4.10.1. Materiał nauczania
W przypadku umieszczenia dwóch cewek na wspólnym rdzeniu i zasileniu ich napięciem
sinusoidalnym zachodzi sprzężenie magnetyczne między cewkami. Na rys. 39 przedstawiono
dwie cewki o liczbie zwojów Z1 i Z2 nawinięte na rdzeń z materiału nieferromagnetycznego.
Rys. 39. Dwie cewki sprężone magnetycznie, nawinięte na wspólnym rdzeniu: a) obwody sprężone, b) schemat
zastępczy [1]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
57
Obie cewki przy przepływie przez nie prądu znajdują się pod wpływem strumieni
magnetycznych własnych jak i wzajemnych. Oznaczymy:
Ś11 strumień magnetyczny wytworzony w cewce 1,
Ś22 strumień magnetyczny wytworzony w cewce 2,
Śg1 strumień magnetyczny wytworzony w cewce 1 i obejmujący cewkę 2,
Śg2 strumień magnetyczny wytworzony w cewce 2 i obejmujący cewkę 1,
Całkowity strumień własny skojarzony z cewką 1: �1 = Z1(Ś11 + Śg2) = �11 + �21,
Całkowity strumień własny skojarzony z cewką 2: �1 = Z2(Ś22 + Śg1) = �22 + �12.
�11 �22
Indukcyjności własne cewek: L1 = , L2 = .
i1 i2
�12 �21
Indukcyjność wzajemna: M = = .
i1 i2
Dla obwodu przedstawionego na rys.39 można napisać układ równań:
e1 = uR1 + uL1 + uM 2
.
e2 = uR2 + uL2 + uM 1
Dla napięć sinusoidalnych można obliczyć wartości skuteczne.
U = R1I1
R1
Wartości skuteczne spadków napięć na rezystancji cewek: .
U = R2I2
R2
U = �L1I1
L1
Wartości skuteczne napięć indukcji własnej: .
U = �L2I2
L2
U = �MI1
M 1
Wartości skuteczne napięć indukcji wzajemnej: .
U = �MI2
M 2
W rozpatrywanym przykładzie przyjęto, że zwroty strumieni od prądów w cewce własnej
i sprzężonej są zgodne. O wzajemnym zwrocie strumieni decyduje kierunek nawinięcia
każdej z cewek oraz zwroty prądów w cewkach. Dwa zaciski należące do dwóch różnych
cewek sprzężonych magnetycznie nazywamy jednoimiennymi i oznaczamy jednakowymi
wskaznikami, jeżeli przy jednakowym zwrocie prądów względem tych zacisków, strumienie
magnetyczne indukcji własnej i wzajemnej w każdej cewce mają jednakowe zwroty. Do
oznaczenia zacisków jednoimiennych przyjęto stosować kropki lub gwiazdki.
Przy zgodnych zwrotach strumieni indukcji własnej lub wzajemnej indukowane przez te
strumienie napięcia mają zwroty zgodne, natomiast przy przeciwnych zwrotach strumieni
znaki indukowanych napięć są przeciwne.
Na rys. 40 przedstawiono zwroty strumieni dla cewek nawiniętych zgodnie i przeciwnie,
przy różnych zwrotach prądów.
Rys. 40. Zwroty strumieni magnetycznych w cewkach: a) nawiniętych zgodnie; 1 przy zgodnym zwrocie
prądów względem początków uzwojeń, 2 przy przeciwnym zwrocie prądów względem początków uzwojeń;
b) nawiniętych przeciwnie; 1 przy zgodnym zwrocie prądów względem początków uzwojeń; 2 przy
przeciwnym zwrocie prądów względem początków uzwojeń [1]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
58
Zaciski jednoimienne można wyznaczyć doświadczalnie włączając jedną z cewek
sprzężonych magnetycznie w obwód napięcia stałego poprzez rezystor (rys. 41). Jeżeli
w chwili zamknięcia wyłącznika wskazówka woltomierza wychyli się w kierunku wskazań
dodatnich, to zaciskami jednoimiennymi uzwojeń jest zacisk połączony z dodatnim biegunem
zródła napięcia i zacisk dołączony do dodatniego zacisku woltomierza.
Rys. 41. Wyznaczanie zacisków jednoimiennych drogą pomiarową [1]
Cewki sprzężone magnetycznie mogą być połączone również elektrycznie. Na rys. 42
przedstawiono dwie cewki sprzężone magnetycznie, połączone szeregowo.
Rys. 42. Dwie cewki sprzężone połączone szeregowo: a) zgodnie, b) przeciwnie [1]
Przy połączeniu zgodnym (rys. 42a) prąd w obu cewkach ma jednakowy zwrot względem
zacisków jednoimiennych, a moduł impedancji w tym przypadku wynosi:
Z = (R1 + R2 )2 + (�L1 + �L2 + 2�M )2
zg
Przy połączeniu przeciwnym (rys.42b) w cewce pierwszej prąd dopływa do zacisku
oznaczonego kropką, a w cewce drugiej odpływa od zacisku oznaczonego kropką, a więc prąd
w obu cewkach ma inny zwrot względem zacisków jednoimiennych. Moduł impedancji
w tym przypadku połączenia przeciwnego cewek wynosi:
Z = (R1 + R2 )2 + (�L1 + �L2 - 2�M )2 .
p
Rezystancja układu w obu układach wynosi: R = R1 + R2 .
Reaktancja indukcyjna odpowiednio dla połączenia zgodnego i przeciwnego:
X = �(L1 + L2 + 2M ) , X = �(L1 + L2 - 2M ) .
zg p
Należy zwrócić uwagę, że przy połączeniu przeciwnym cewek występowanie
indukcyjności wzajemnej zmniejsza reaktancję indukcyjną wypadkową układu.
TRANSFORMATOR
Najpowszechniejszym urządzeniem, w którym wykorzystano zjawiska występujące
w obwodach sprzężonych magnetycznie jest transformator. Transformator służy do
przekazywania energii elektrycznej z jednego obwodu do drugiego za pośrednictwem pola
elektromagnetycznego. Uzwojenia transformatora mogą być nawinięte na rdzeń z materiału
nieferromagnetycznego lub ferromagnetycznego W drugim przypadku mniejsza jest
reluktancja (opór magnetyczny) obwodu magnetycznego.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
59
Transformatory z rdzeniem ferromagnetycznym znalazły szerokie zastosowanie
w energetyce. Transformator energetyczny służy do przetwarzania energii elektrycznej
o jednym napięciu na energię elektryczną o innym (lub takim samym) napięciu, przy tej samej
częstotliwości.
Istota działania transformatora polega na wytworzeniu przemiennego strumienia
magnetycznego przez jedno z dwóch (lub wielu) sprzężonych magnetycznie uzwojeń
zasilonym ze zródła napięcia przemiennego i na indukowaniu się siły elektromotorycznej
w innym uzwojeniu. Transformować można tylko napięcia przemienne.
Dla transformatorów określa się między innymi:
- napięcia znamionowe,
- moc znamionową, tj. moc pozorną na którą transformator został zbudowany,
- prąd znamionowy, tj. wartość skuteczną prądu płynącego przez zacisk liniowy przy
zasileniu napięciem znamionowym i obciążeniu mocą znamionową,
- przekładnię znamionową, tj. stosunek napięcia znamionowego uzwojenia górnego napięcia
(GN) do i uzwojenia dolnego napięcia (DN),
- straty stanu jałowego,
- straty zwarcia.
Na rys. 43 przedstawiono szkic transformatora dwuuzwojeniowego.
Rys. 43. Szkic objaśniający zasadę działania transformatora [2]
Na rdzeniu z blach elektrotechnicznych nawinięte są dwa uzwojenia odizolowane od
rdzenia i nie połączone ze sobą galwanicznie. Uzwojenie, do którego doprowadzone jest
zródło energii, nazywamy uzwojeniem pierwotnym. Jego liczbę zwojów oznaczamy jako N1.
Uzwojenie, do którego dołączone są odbiorniki, nazywamy uzwojeniem wtórnym. Jego liczbę
zwojów oznaczamy jako N2.
Jeżeli uzwojenie pierwotne jest zasilane napięciem sinusoidalnym, to strumień w rdzeniu
zmienia się sinusoidalnie. Przy założeniu, że faza początkowa jest równa zeru: Ś = Śm sin�t
w uzwojeniach pierwotnym i wtórnym indukują się siły elektromotoryczne o wartościach
chwilowych:
"Ś "Ś
e1 = -N1 = -N1�Śm cos�t, e2 = -N2 = -N2�Śm cos�t,
"t "t
Wartości skuteczne sił elektromotorycznych:
E1 = 4,44N1 fŚm ,
E2 = 4,44N2 fŚm ,
Stosunek liczby zwojów uzwojenia pierwotnego N1 do liczby zwojów uzwojenia
N1 E1
wtórnego N2 nazywamy przekładnią zwojową: .
nz = =
N E2
2
Przekładnia napięciowa transformatora jest równa stosunkowi napięcia pierwotnego do
U1
napięcia wtórnego: .
K =
U
2
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
60
Ponieważ U1 H" E1 oraz U H" E2 można przyjąć, że przekładnia zwojowa jest
2
w przybliżeniu równa przekładni napięciowej.
Moc transformatora S = U1I1 = U I2 , stąd wynikają zależności pomiędzy prądami
2
U1 I2
i napięciami strony pierwotnej i wtórnej: = .
U I1
2
Wyższe napięcie nazywa się napięciem górnym, a niższe napięciem dolnym.
Moc czynna P1 dostarczona przez zródło energii do transformatora jest większa od mocy
czynnej P2 pobieranej przez odbiorniki. Różnica wynika ze strat mocy w rdzeniu
transformatora i w uzwojeniach.
P1 = P2 + "PFe + "PCu ,
gdzie: "PFe straty w rdzeniu transformatora, "PCu straty w uzwojeniach
P2 P2
Sprawność transformatora:� = = .
P1 P2 + "PFe + "PCu
Straty w rdzeniu transformatora spowodowane są zjawiskiem histerezy magnetycznej
oraz powstawania prądów wirowych w rdzeniu transformatora.
Straty histerezowe są proporcjonalne do częstotliwości i do pola powierzchni pętli
histerezy. W celu ograniczenia tych strat rdzenie transformatorów wykonuje się materiałów
magnetycznie miękkich (mają wąską pętlę histerezy).
Zmiany strumienia magnetycznego powodują indukowanie się siły elektromotorycznej
we wszystkich przewodzących elementach transformatora, a więc także w masywnych
elementach konstrukcyjnych urządzeń. Pod wpływem tej siły powstają prądy, które ze
względu na kołowy kształt ich drogi nazywamy prądami wirowymi. Zwrot prądów wirowych
określa reguła Lenza. Ilustrację prądu wirowego przedstawia rysunek 44 i 45.
Rys. 44. Powstawanie prądów wirowych w rdzeniu o przekroju: a) kołowym, b) prostokątnym [2]
W celu zmniejszenia prądów wirowych w rdzeniach transformatorów wykonuje się je
z cienkich blach izolowanych i tak spakietowanych, aby zwiększyć opór na drodze prądu
wirowego, a przez to zmniejszyć jego wartość (rys. 45).
Rys. 45. Prądy wirowe w rdzeniu wykonanym z blach [2]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
61
Zjawisko prądów wirowych wykorzystuje się m.in. do budowy liczników indukcyjnych
energii elektrycznej.
Uzwojenie wtórne transformatora można uważać za zródło napięcia, tzn. że do zacisków
uzwojenia wtórnego można przyłączać odbiorniki.
Ze względu na wartość prądu pobieranego z transformatora można wyróżnić trzy stany
pracy: jałowy, obciążenia i zwarcia.
STAN JAAOWY TRANSFORMATORA
Stan, w którym uzwojenie pierwotne jest połączone z siecią zasilającą, a uzwojenie
wtórne jest rozwarte, nazywamy stanem jałowym transformatora.
Na rys. 46 przedstawiono szkic transformatora w stanie jałowym z układem
pomiarowym.
Rys. 46. Transformator w stanie jałowym: a) szkic z układem pomiarowym, b) wykres wektorowy [2]
Siła elektromotoryczna indukowana w uzwojeniu pierwotnym opóznia się o Ą/2
względem strumienia magnetycznego. Prąd stanu jałowego I0 zawiera dwie składowe:
składową magnesującą I� oraz składową histerezową (wraz z wiroprądową) IFe
Prąd stanu jałowego: I0 = I� + IFe i jest dużo mniejszy od prądu przy znamionowym
obciążeniu.
Dla dużych transformatorów stanowi kilka procent prądu znamionowego. W małych
transformatorach może wynosić kilkadziesiąt procent prądu pobieranego przy znamionowym
obciążeniu.
Przy próbie stanu jałowego doprowadzamy napięcie znamionowe do strony pierwotnej:
U1 = U1N ; U2 H" U2 N ; I1)#I1N ; I2 = 0; P2 = 0; P1 H" "PFe )#P1N ; "PCu H" 0.
Podczas próby stanu jałowego można wyznaczyć doświadczalnie straty mocy w żelazie
jest to z dużym przybliżeniem moc wskazywana przez watomierz.
Ponadto w stanie jałowym na podstawie wskazań woltomierzy wyznacza się przekładnię
U1
transformatora: K = .
U
2
ZWARCIA POMIAROWE TRANSFORMATORA
Zwarciem pomiarowym transformatora nazywamy taki stan, w którym zaciski wtórne są
zwarte, a do uzwojenia pierwotnego doprowadzone jest obniżone napięcie o takiej wartości,
która wywoła przepływ prądu znamionowego. Układ pomiarowy do przeprowadzenia próby
zwarcia przedstawia rys. 47.
Napięcie zwarcia jest to napięcie mierzone na zaciskach pierwotnych transformatora,
przy którym osiągamy prąd znamionowy (przy zwartych zaciskach wtórnych). Napięcie
zwarcia jest ważnym parametrem, szczególnie dla dużych transformatorów energetycznych.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
62
U
Z
Wyraża się je zwykle w procentach napięcia znamionowego: uZ % = �"100% . W dużych
U
N
transformatorach napięcie zwarcia wynosi kilka procent napięcia znamionowego. W stanie
zwarcia moc wskazywana przez watomierz jest w przybliżeniu równa stratom mocy
w uzwojeniach transformatora:
Oprócz napięcia zwarcia i strat mocy w uzwojeniach podczas tej próby można
wyznaczyć:
U PZ
Z
impedancję zwarcia: ZZ = , rezystancję zwarcia: RZ = oraz reaktancję zwarcia:
2
I I
N
2 2
X = ZZ - RZ .
Z
Można przyjąć, że w stanie zwarcia pomiarowego:
U1 = U )#)#U1N ; U = 0; I1 = I1N ; I2 = I2 N ; P2 = 0; P1 H" "PCU )#)#P1N ; "PFe H" 0;
Z 2
Rys. 47. Transformator w stanie zwarcia [2]
Należy pamiętać, że zwarcie strony wtórnej transformatora przy zasilaniu strony
pierwotnej napięciem znamionowym jest bardzo niebezpieczne. Jest to zwarcie udarowe,
które spowodowałoby przepływ bardzo dużego prądu, wielokrotnie przewyższającego prąd
znamionowy.
OBCIŻENIE TRANSFORMATORA
Jeżeli do strony pierwotnej doprowadzimy napięcie znamionowe, a do zacisków
wtórnych dołączymy odbiornik, to transformator pracuje w stanie obciążenia. W układzie, jak
na rys.48. możemy przeprowadzić badanie transformatora w funkcji obciążenia.
Jeżeli uzwojenie wtórne jest obciążone, to płynie w nim prąd I2. Zgodnie z regułą Lenza
prąd ten ma taki zwrot, aby strumień magnetyczny wytworzony przez ten prąd osłabiał
strumień główny. Osłabienie strumienia głównego przez przeciwnie do niego skierowany
strumień od prądu obciążenia wywołuje w uzwojeniu pierwotnym reakcję w postaci
zwiększenia prądu I1. Zwiększenie prądu w uzwojeniu pierwotnym równoważy
oddziaływanie prądu w uzwojeniu wtórnym i w efekcie strumień główny pozostaje bez
zmian. Tak więc zmiana obciążenia (zmiana prądu I2) powoduje zmianę prądu I1. Zmieniając
obciążenie można zaobserwować, jak zmieniają się sprawność transformatora, współczynnik
mocy cos� w funkcji obciążenia. Transformator niedociążony ma małą sprawność.
Rys. 48. Transformator obciążony odbiornikiem [2]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
63
P2 P2
W tej próbie wyznaczamy sprawność z zależności: � = = .
P1 P2 + "PFe + "PCu
TRANSFORMATORY SPECJALNE
Transformator z jednym uzwojeniem, pozwalający regulować napięcie nazywa się
autotransformatorem. W autotransformatorze uzwojenie dolnego napięcia stanowi część
uzwojenia górnego napięcia. Na rys 49 przedstawiono sposób doprowadzenia napięcia
pozwalający na jego podwyższanie lub obniżanie.
Rys. 49. Schemat autotransformatora: a) do obniżania napięcia, b) do podwyższania napięcia [2]
W układach pomiarowych, w których zachodzi potrzeba rozszerzenia zakresu
pomiarowego miernika lub elektryczne odizolowanie obwodu pomiarowego od obwodu
wysokiego napięcia stosuje się specjalne transformatory nazywane przekładnikami (rys. 50).
Rys. 50. Przekładniki: a) prądowy, b) napięciowy [2]
Przekładniki napięciowe są transformatorami o małej mocy. Ich uzwojenia pierwotne
włącza się na badane napięcie, a do uzwojeń wtórnych dołącza się woltomierze, cewki
napięciowe watomierzy i liczników. Pracę przekładników napięciowych można porównać ze
stanem jałowym transformatora. Przy włączaniu uzwojenia pierwotnego w obwód wysokiego
napięcia należy uziemić jeden zacisk uzwojenia wtórnego i rdzeń przekładnika.
Przekładniki prądowe są transformatorami o małej liczbie zwojów. Uzwojenia pierwotne
włącz się szeregowo w gałąz, w której chcemy zmierzyć prąd, a do zacisków strony wtórnej
przyłącza się amperomierze, cewki prądowe watomierzy, liczników energii. Ich pracę można
porównać do stanu zwarcia transformatora. Przy włączaniu przekładnika prądowego w obwód
należy pamiętać, aby strona wtórna była obciążona małą impedancją (cewka amperomierza,
cewka prądowa watomierza) lub zwarta. Pozostawienie strony wtórnej rozwartej (przy
znamionowym prądzie w uzwojeniu pierwotnym) powoduje indukowanie się
niebezpiecznych napięć na zaciskach uzwojenia wtórnego.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
64
4.10.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania
przebiegu ćwiczeń i ich wykonania.
1. Co to oznacza pojęcie sprzężenie magnetyczne ?
2. Czym charakteryzują się obwody sprzężone magnetycznie? Jakie wielkości je określają?
3. Od czego zależy wartość strumienia magnetycznego sprzęgającego dwie cewki?
4. Od czego zależy indukcyjność wzajemna dwóch cewek?
5. Jak ustalić początki i końce uzwojeń cewek sprzęgniętych magnetycznie?
6. Jakie znasz urządzenia, w których występują obwody sprzężone magnetycznie?
7. Na jakiej zasadzie działa transformator? Czy można transformować napięcia stałe?
8. Jakie są istotne dla działania transformatora elementy jego budowy?
9. Jakie dane znamionowe podaje się dla transformatora jednofazowego?
10. Jakie stany pracy transformatora rozróżniamy? Co je charakteryzuje?
11. Jaką zależnością określamy: przekładnię transformatora, sprawność?
12. Jakie znasz transformatory specjalne? Wskaż ich zastosowanie.
4.10.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Zaproponuj sposób wyznaczenia indukcyjności wzajemnej dwóch cewek transformatora
metodą techniczną.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) zaproponować układ (układy) pomiarowe,
2) wymienić wielkości, które trzeba zmierzyć,
3) wymienić mierniki niezbędne do tych pomiarów,
4) wymienić wielkości, które trzeba obliczyć i podać zależności określające te wielkości,
5) rozważyć znaczenie właściwego ustalenia początków cewek dla parametrów obwodów
sprzężonych magnetycznie.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- komputer z programem graficznym,
- literatura pozycja 3.
Ćwiczenie 2
W transformatorze po przyłożeniu do wyprowadzeń cewki oznaczonej 1.1 i 1.2 napięcia
220V w uzwojeniu wtórnym indukowały się napięcia: na cewce oznaczonej 2.1 i 2.3 3V, na
cewce oznaczonej 2.3. i 2.2. -5V. Pomiędzy zaciskami 2.1 i 2.2 8V. Transformator uległ
uszkodzeniu i został przezwojony, przy czym zachowano tę samą liczbę zwojów, jak w
wykonaniu producenta. Przy próbie po naprawie, po przyłożeniu do uzwojenia pierwotnego
(zaciski 1.1 i 1.2) napięcia 220V na uzwojeniu wtórnym (zaciski 2.1 i 2.2) wyidukowało się
napięcie 2V. Ustal przyczynę wadliwej pracy transformatora i zaproponuj sposób jej
usunięcia.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
65
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) wymienić możliwe przyczyny wadliwej pracy urządzenia,
2) zaproponować sposób postępowania przy lokalizacji usterki,
3) ustalić przyczynę,
4) zaplanować tok postępowania przy usuwaniu usterki,
5) wymienić narzędzia potrzebne do usunięcia usterki,
6) zaplanować pomiary kontrolne po naprawie,
7) sporządzić wykaz mierników niezbędnych do sprawdzenia właściwej pracy
transformatora po usunięciu usterki,
8) wyjaśnić zjawiska fizyczne zachodzące w obwodach magnetycznie sprzężonych,
9) które wystąpiły przy niewłaściwej naprawie transformatora, ocenić jakość wykonania
ćwiczenia.
Rysunek do ćwiczenia [zródło własne]
Wyposażenie stanowiska pracy:
- rysunek do ćwiczenia,
- katalog transformatorów małej mocy,
- literatura pozycja 1.
4.10.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz: Tak Nie

1) ustalić zaciski jednoimienne dwóch cewek sprzężonych magnetycznie?

2) ustalić dane znamionowe transformatora na podstawie tabliczki ?

3) ustalić uzwojenie górnego i dolnego napięcia na podstawie pomiarów?

4) przedstawić cel i sposób przeprowadzenia próby stanu jałowego
transformatora?

5) przedstawić cel i sposób przeprowadzenia próby zwarcia transformatora?
4.11. Czwórniki i filtry
4.11.1. Materiał nauczania
Czwórnikiem nazywamy układ mający cztery zaciski, to znaczy: parę zacisków
wejściowych i parę zacisków wyjściowych. Symbol graficzny czwórnika przedstawia rys. 51.
Dla czwórnika musi być spełniony warunek: I1 = I1 ; I2 = I2 .
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
66
Rys. 51. Symbol graficzny czwórnika w postaci blokowej [1]
Czwórnikiem jest np. transformator, tranzystor.
KLASYFIKACJA CZWÓRNIKÓW
Jeżeli przynajmniej jeden z elementów czwórnika jest nieliniowy, to czwórnik jest
nieliniowy.
Klasyfikując czwórniki można dokonać podziału ze względu na ich budowę, działanie.
Czwórnik nazywamy symetrycznym, jeżeli przy zamianie miejscami wejścia z wyjściem
nie zmienieni się rozkład napięć i rozpływ prądów poza czwórnikiem.
Czwórniki dzielimy na odwracalne i nieodwracalne. Jeżeli do zacisków wejściowych
czwórnika odwracalnego doprowadzimy idealne zródło napięcia E, które w zwartym
obwodzie wyjścia wywoła prąd I, to po przeniesieniu tego zródła do wyjścia w zwartym
obwodzie wejścia też popłynie prąd I. Czwórnik spełniający ten warunek nazywamy
odwracalnym.
Czwórniki dzielimy na pasywne i aktywne. Czwórnik nazywamy pasywnym, jeżeli
całkowita energia pobrana przez jego elementy przy dołączeniu czwórnika do zródła energii
jest dodatnia lub równa zeru ( jest nieujemna). Przed dołączeniem czwórnika pasywnego do
zródła prąd w nim nie płynie. Czwórnik pasywny zbudowany jest z cewek, rezystorów
i kondensatorów (rys. 52). Czwórnik aktywny ma w swoim schemacie zastępczym zródło.
Rys. 52. Przykładowy schemat czwórnika pasywnego [1]
Czwórniki opisuje się za pomocą równań. Równania czwórników określają związki
między prądami i napięciami na wejściu i na wyjściu czwórnika. Jedną z postaci równań jest
postać łańcuchowa prosta, w której napięcie i prąd na wejściu są wyrażone w zależności od
napięcia i prądu na wyjściu. Równania czwórnika można zapisać posługując się rachunkiem
wektorowym. Wygodne jest korzystanie z postaci zespolonej liczb. Ogólnie można napisać:
U1 = A U2 + B I2
I1 = C U2 + D I2
A, B, C i D nazywamy parametrami łańcuchowymi czwórnika. Parametry A i D są
bezwymiarowe, parametr B ma wymiar impedancji, a parametr C admitancji.
Schematy zastępcze czwórników można przedstawić zawsze za pomocą trzech
impedancji. Ze względu na sposób połączenia tych impedancji rozróżniamy czwórniki
o kształcie T mówimy czwórnik typu T lub typu (mówimy: typu pi) rys. 53.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
67
Rys. 53. Czwórniki o schemacie: a) typu T, b) typu [1]
Stosunek napięcia wejściowego do prądu wejściowego nazywamy impedancją wejściową
czwórnika.
Dla czwórników symetrycznych parametry A i D są sobie równe, wobec tego czwórnik
typu T jest symetryczny, gdy Z1 = Z2, a czwórnik typu jest symetryczny, gdy Y1 = Y2.
Impedancją charakterystyczną lub falową czwórnika symetrycznego nazywamy taką
impedancję ZC, która dołączona do zacisków wyjściowych powoduje, że impedancja wejściowa
czwórnika też jest równa ZC. Jeżeli czwórnik symetryczny jest obciążony impedancją falową, to
mówimy, że czwórnik znajduje się w warunkach dopasowania falowego.
Dla czwórników określamy parametry:
a współczynnik tłumienia, b współczynnik fazowy.
Współczynnikiem tłumienia czwórnika a nazywamy parametr opisany zależnością:
U1
a = ln .
U
2
Jednostką współczynnika tłumienia jest decybel (1 dB). W celu wyrażenia współczynnika
U1 I1
tłumienia w decybelach korzystamy ze wzoru: a = 20log lub a = 20log .
U I2
2
W czwórniku symetrycznym obciążonym impedancją charakterystyczną (falową)
współczynnik tłumienia napięć jest równy współczynnikowi tłumienia prądów.
Współczynnikiem fazowym czwórnika określa kąt przesunięcia napięcia na wyjściu
czwórnika względem napięcia na wejściu:
b = �1 -� , gdzie �1,� - fazy początkowe napięć U1 i U2.
2 2
Jednostką współczynnika tłumienia jest radian (1 rad).
Szczególnym rodzajem czwórników są filtry częstotliwościowe.
Filtrem nazywamy układ o strukturze czwórnika, który przepuszcza bez tłumienia lub
z małym tłumieniem napięcia i prądy o określonym paśmie częstotliwości (pasmo
przepustowe), a tłumi napięcia i prądy poza tym pasmem (pasmo tłumienia). Częstotliwość,
która oddziela oba pasma nazywamy częstotliwością graniczną filtra. Filtry elektryczne są
stosowane w telekomunikacji, radiotechnice, sprzęcie gospodarstwa domowego.
W zależności od położenia pasma przepustowego ( rys. 54) filtry można podzielić na:
- dolnoprzepustowe,
- górnoprzepustowe,
- pasmowe,
- zaporowe.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
68
Rys. 54. Położenie pasma przepustowego i tłumieniowego w filtrze: a) dolnoprzepustowym, b) górnoprzepustowym,
c) pasmowym, d) zaporowym [1]
W paśmie przepustowym współczynnik tłumienia powinien być równy zeru, a w paśmie
tłumieniowym powinien być duży.
Filtry reaktancyjne są to filtry zawierające cewki i kondensatory. Wykorzystywana
w nich jest zależność reaktancji tych elementów od częstotliwości. Powinny one pracować
w warunkach dopasowania falowego, tzn. przy obciążeniu filtra impedancją
charakterystyczną (falową). Dla tych filtrów podaje się również charakterystyki
częstotliwościowe impedancji charakterystycznej (rys. 57).
Filtr dolnoprzepustowy (rys. 55) ma pasmo przenoszenia zawarte w granicach od 0 do
�0, gdzie �0 jest pulsacją graniczną (rys. 56).
Rys. 55. Schemat filtra dolnoprzepustowego: a) typu T, b) typu [1]
2
Pulsacja graniczna, taka sama dla filtru typu T i typu wynosi:�0 =
LC
Rys. 56. Charakterystyki częstotliwościowe współczynnika a i współczynnika fazowego b filtra dolnoprzepustowego
[1]
Rys. 57. Charakterystyki częstotliwościowe impedancji charakterystycznej filtra dolnoprzepustowego: a) o schemacie
typu T, b) o schemacie typu [1]
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
69
Filtr górnoprzepustowy ma pasmo przepustowe (rys. 59) zawarte w granicach od �0 do ".
Filtr można wykonać jako czwórnik symetryczny typu T lub typu (rys. 58).
Rys. 58. Schemat filtra górnoprzepustowego: a) typu T, b) typu [1]
1
Pulsacja graniczna (taka sama dla filtru typu T i typu wynosi:�0 =
2 LC
Rys. 59. Charakterystyki częstotliwościowe współczynnika a i współczynnika fazowego b filtra górnoprzepustowego
[1]
Współczynnik tłumienia dla małych częstotliwości jest duży i maleje w miarę zbliżania
się do częstotliwości granicznej. Powyżej częstotliwości granicznej wynosi zero.
Rys. 60. Charakterystyki częstotliwościowe impedancji charakterystycznej filtra górnoprzepustowego: a) o schemacie
typu T, b) o schemacie typu [1]
Filtr pasmowy ma pasmo przepustowe zawarte w granicach od �01 do �02 .Filtr można
wykonać jako czwórnik typu T lub typu (rys. 61). Charakterystyczne dla filtrów
pasmowych jest występowanie w gałęziach wzdłużnych obwodów rezonansu napięć,
a w gałęziach poprzecznych obwodu rezonansu prądów.
Rys. 61. Schemat filtra pasmowego: a) typu T, b) typu . [1]
Filtr zaporowy ma pasmo przepustowe zawarte w granicach od 0 do �01 i od �02 do ".
Filtr można wykonać jako czwórnik typu T lub typu (rys. 62.). Charakterystyczne dla
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
70
filtrów zaporowych jest występowanie w gałęziach wzdłużnych obwodów rezonansu prądów,
a w gałęziach poprzecznych obwodów rezonansu napięć.
Rys. 62. Schemat filtra zaporowego: a) typu T, b) typu [1]
Na rys. 63. przedstawiono filtr dolnoprzepustowy RC zrealizowany jako czwórnik typu T
oraz jego charakterystykę.
Rys. 63. Filtr dolnoprzepustowy R,C: a) schemat, b) charakterystyka częstotliwościowa współczynnika tłumienia [1]
4
Jako pulsację graniczną przyjmuje się umownie wartość: �0 =
RC
Na rys. 64 przedstawiono filtr górnoprzepustowy RC zrealizowany jako czwórnik typu T
oraz jego charakterystykę.
Rys. 64. Filtr górnoprzepustowy R, C: a) schemat, b) charakterystyka częstotliwościowa współczynnika tłumienia[1]
1
Jako pulsację graniczną przyjmuje się umownie wartość: �0 = [1].
4RC
4.11.2. Pytania sprawdzające
Odpowiadając na pytania, sprawdzisz, czy jesteś przygotowany do zaplanowania
przebiegu ćwiczeń i ich wykonania.
1. Co to jest czwórnik?
2. Jak można sklasyfikować czwórniki?
3. Jak definiujemy impedancję wejściową czwórnika?
4. Co to jest impedancja charakterystyczna czwórnika?
5. Jak można sklasyfikować filtry?
6. Czy potrafisz wyjaśnić sens współczynnika tłumienia i współczynnika fazowego?
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
71
4.11.3. Ćwiczenia
Ćwiczenie 1
Zapisz równania czwórnika w postaci łańcuchowej i wyznacz jego parametry
łańcuchowe.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) narysować schemat ideowy czwórnika wskazanego przez nauczyciela,
2) oznaczyć napięcia i prądy,
3) zapisać równania łańcuchowe stosując I i II prawo Kirchhoffa,
4) wyznaczyć parametry łańcuchowe.
Wyposażenie stanowiska pracy:
- układy różnych typów czwórników.
Ćwiczenie 2
Określ rodzaj badanego filtra na podstawie charakterystyki częstotliwościowej
sporządzonej w oparciu o przeprowadzone pomiary.
Sposób wykonania ćwiczenia
Aby wykonać ćwiczenie, powinieneś:
1) zmontować układ pomiarowy na podstawie schematu,
2) przeprowadzić pomiary (dla każdego typu filtru) i zanotować wyniki (przesunięcie fazowe
napięcia wejściowego i wyjściowego obserwować na oscyloskopie),
3) wykreślić charakterystyki,
4) wyznaczyć pulsację (częstotliwość) graniczną filtra, współczynnik tłumienia na podstawie
pomiarów,
5) na podstawie analizy charakterystyk określić rodzaj badanego filtru.
Rysunek do ćwiczenia [zródło własne]
Wyposażenie stanowiska pracy:
- układy różnych typów filtrów,
- generator,
- oscyloskop dwukanałowy,
- komputer z programem graficznym i arkuszem kalkulacyjnym.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
72
4.11.4. Sprawdzian postępów
Czy potrafisz: Tak Nie

1) wymienić wielkości charakteryzujące czwórnik?

2) napisać równania czwórnika?

3) wyznaczyć parametry łańcuchowe czwórnika?

4) sklasyfikować filtry?

5) wyznaczyć pulsację (częstotliwość) graniczną filtra, współczynnik tłumienia
na podstawie pomiarów?

6) wykreślić charakterystyki częstotliwościowe?
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
73
5. SPRAWDZIAN OSIGNIĆ
INSTRUKCJA DLA UCZNIA
1. Przeczytaj uważnie instrukcję masz na tę czynność 5 minut; jeżeli są wątpliwości,
zapytaj nauczyciela.
2. Podpisz imieniem i nazwiskiem kartę odpowiedzi.
3. Zapoznaj się z zestawem pytań testowych.
4. Test zawiera 20 pytań. Do każdego pytania dołączone są 4 możliwości odpowiedzi. Tylko
jedna jest prawidłowa.
5. Za każdą poprawną odpowiedz otrzymasz 1 punkt, za błędną lub brak odpowiedzi 0
punktów.
6. W czasie rozwiązywania zadań możesz korzystać z kalkulatora.
7. Udzielaj odpowiedzi tylko na załączonej karcie odpowiedzi; zaznacz poprawną
odpowiedz wstawiając znak X w odpowiednie pole w karcie odpowiedzi.
8. W przypadku pomyłki otocz błędną odpowiedz kółkiem, a następnie zaznacz odpowiedz
prawidłową.
9. Pracuj samodzielnie, bo tylko wtedy będziesz miał satysfakcję z wykonanego zadania.
10. Jeśli udzielenie odpowiedzi na kolejne pytanie będzie Ci sprawiało trudność, odłóż jego
rozwiązanie na pózniej i wróć do niego, gdy zostanie Ci wolny czas.
11. Na rozwiązanie testu masz 30 minut.
12. Po zakończeniu testu podnieś rękę i zaczekaj, aż nauczyciel odbierze od Ciebie pracę.
Powodzenia!
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
74
ZESTAW ZADAC TESTOWYCH
1. Która zależność opisuje wykres czasowy napięcia przedstawiony na rysunku?
a) 20(sin314t)V
b) [10 sin(314t+Ą/6)]V
c) [20sin(314t+Ą/6)]V
d) [10 sin(314t-Ą/6)]V
2. O jakim ustroju miernik nie może być zastosowany do pomiarów w obwodzie prądu
sinusoidalnego?
a) magnetoelektryczny,
b) elektromagnetyczny,
c) elektrodynamiczny,
d) ferrodynamiczny.
3. Wskaż rysunek, na którym przedstawiono wykres czasowy dla idealnego kondensatora:
4. Wskaż wykres wektorowy dla odbiornika rezystancyjno-indukcyjnego:
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
75
5. Jaka jest reaktancja idealnej cewki o indukcyjności 100mH cewka zasilanej napięciem
sinusoidalnym U=100V, f=50Hz?
a) 628&!,
b) 157&!,
c) 31,4&!,
d) 15,7&!.
6. Jaką reaktancję ma idealny kondensator o pojemności 2�F w obwodzie napięcia
sinusoidalnego o częstotliwości 50Hz?
a) 628 &!,
b) 1592 &!,
c) 3184 &!,
d) 6280 &!.
7. Reaktancja szeregowego połączenia R, L, i C o parametrach : R=10&!, XL= 20 &!, XC=20&!
wynosi:
a) 0 &!,
b) 20 &!,
c) 40 &!,
d) 50 &!.
8. Przez cewkę płynie prąd 2A. Rezystancja cewki wynosi 10&!, reaktancja 100&!. Moc
czynna związana z tą cewką ma wartość:
a) 220W,
b) 200W,
c) 40W,
d) 20W.
9. Jaką impedancję ma rzeczywista cewka, której rezystancja R=60 &!, a reaktancja X=80&!?
a) 20 &!,
b) 100 &!,
c) 140 &!,
d) 200 &!.
10. W której gałęzi płynie najmniejszy prąd?
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
76
11. Dwójnik przedstawiony na rysunku jest zasilany napięciem sinusoidalnym. Jaka jest
wartość napięcia UR?
a) 20V,
b) 40V,
c) 60V,
d) 80V.
12. Jaka jest wartość prądu IC , jeżeli obwód jest zasilany napięciem sinusoidalnym?
a) 1A,
b) 2A,
c) 4A,
d) 8A.
13. W obwodzie przedstawionym na rysunku rezonans prądów zachodzi, gdy:
a) I = IL = IC,
b) IR = IL = IC,
c) IL = IC,
d) IR = IC .
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
77
14. Wskaż wykres dla obwodu szeregowego RLC zasilanego napięciem o f >fr
15. Wskazania mierników włączonych jak na rysunku są następujące: U = 100 V, P = 800 W,
I = 10A. Moc bierna obwodu wynosi:
a) 1000 var,
b) 600 var,
c) 800 var,
d) 500 var.
16. Jeżeli do odbiornika o charakterze indukcyjnym dołączymy równolegle kondensator, to:
a) wskazanie watomierza wzrośnie a wskazanie amperomierza nie zmieni się
b) wskazanie watomierza zmaleje a wskazanie amperomierza nie zmieni się
c) wskazanie watomierza nie zmieni się a wskazanie amperomierza wzrośnie
d) wskazanie watomierza nie zmieni się a wskazanie amperomierza zmaleje
17. Aby w obwodzie wystąpił rezonans przy U = const i f = const, należy:
a) zwiększyć C,
b) zmniejszyć C,
c) zwiększyć L,
d) zmniejszyć L.
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
78
18. W transformatorze podczas próby stanu jałowego można wyznaczyć:
a) sprawność i znamionowe straty w uzwojeniach
b) przekładnię i znamionowe straty w żelazie
c) przekładnię i znamionowe straty w uzwojeniach
d) napięcie zwarcia i znamionowe straty w żelazie
19. Która z charakterystyk jest właściwa dla obwodu ferrorezonansu równoległego
przedstawionego na rysunku?
20. Rysunek przedstawia filtry:
a) 1- dolnoprzepustowy i 2- górnoprzepustowy
b) 1- górnoprzepustowy i 2- dolnoprzepustowy
c) 1- górnoprzepustowy i 2- górnoprzepustowy
d) 1- dolnoprzepustowy i 2- dolnoprzepustowy
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
79
KARTA ODPOWIEDZI
Imię i nazwisko & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & &
Obliczanie i pomiary parametrów obwodów prądu jednofazowego
Zakreśl poprawną odpowiedz
Numer zadania Odpowiedz Punktacja
1 a b c d
2 a b c d
3 a b c d
4 a b c d
5 a b c d
6 a b c d
7 a b c d
8 a b c d
9 a b c d
10 a b c d
11 a b c d
12 a b c d
13 a b c d
14 a b c d
15 a b c d
16 a b c d
17 a b c d
18 a b c d
19 a b c d
20 a b c d
Razem
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
80
6. LITERATURA
1. Bolkowski S.: Elektrotechnika, WSiP, Warszawa 2004
2. Kurdziel R.: Podstawy elektrotechniki dla szkoły zasadniczej, WSiP, Warszawa 1997
3. Markiewicz A.: Zbiór zadań z elektrotechniki, WSiP, Warszawa 1992
4. Praca zbiorowa-Praktyczna elektrotechnika ogólna, REA rok wyd. 2003
5. Wozniak J.: Pracownia elektryczna t. 1 Pomiary elektryczne, Instytut Technologii
Eksploatacji, Radom 1997
Projekt współfinansowany ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego
81

Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Obliczanie i pomiary parametrów obwodów prądu przemiennego
Obliczanie i pomiary parametrów obwodów prądu stałego
Pomiary parametrow obwodu pradu stalego
04 Wykonywanie pomiarów parametrów procesowych
Cw 3 Pomiar mocy pradu jednofazowego
Badanie i pomiary obwodów prądu przemiennego
01 Wykonywanie badań i pomiarów obwodów prądu stałegoid013
Margit Sandemo Cykl Saga o czarnoksiężniku (04) Oblicze zła
Pomiary mocy w obwodach prądu zmiennego

więcej podobnych podstron