Dekompozycja LU
Rodryg Jaroszewski
Kevin Wolny
Wydział Informatyki
Politechnika Pozna ´nska
11.12.2012
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
1 / 32
Zakres Zagadnie ´n
1
Co to jest dekompozycja LU
Macierze L i U
Algorytm dekompozycji
2
Dla macierzy dwuwymiarowej
Dla macierzy trójwymiarowej
3
Dlaczego odwrotno´sci?
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
4
Obliczanie układów równa ´n
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
2 / 32
Dekompozycja LU
Dekompozycja LU jest jest to najprostsza faktoryzacja macierzy,
pozwala równie˙z na szybkie wyliczenie wyznacznika macierzy A.
Polega na rozbiciu macierzy A na dwa czynniki: L i U.
A = LU
Co to jest L?
Co to jest U?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
3 / 32
Dekompozycja LU
Dekompozycja LU jest jest to najprostsza faktoryzacja macierzy,
pozwala równie˙z na szybkie wyliczenie wyznacznika macierzy A.
Polega na rozbiciu macierzy A na dwa czynniki: L i U.
A = LU
Co to jest L?
Co to jest U?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
3 / 32
Dekompozycja LU
Dekompozycja LU jest jest to najprostsza faktoryzacja macierzy,
pozwala równie˙z na szybkie wyliczenie wyznacznika macierzy A.
Polega na rozbiciu macierzy A na dwa czynniki: L i U.
A = LU
Co to jest L?
Co to jest U?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
3 / 32
Dekompozycja LU
Dekompozycja LU jest jest to najprostsza faktoryzacja macierzy,
pozwala równie˙z na szybkie wyliczenie wyznacznika macierzy A.
Polega na rozbiciu macierzy A na dwa czynniki: L i U.
A = LU
Co to jest L?
Co to jest U?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
3 / 32
Macierz górnotrójk ˛
atna U
Macierz górnotrójk ˛
atna to taka macierz, której wszystkie współczynniki
poni˙zej głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe zero.
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Przykład
U =
2 3 4
0 5 3
0 0 2
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
4 / 32
Macierz górnotrójk ˛
atna U
Macierz górnotrójk ˛
atna to taka macierz, której wszystkie współczynniki
poni˙zej głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe zero.
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Przykład
U =
2 3 4
0 5 3
0 0 2
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
4 / 32
Macierz górnotrójk ˛
atna U
Macierz górnotrójk ˛
atna to taka macierz, której wszystkie współczynniki
poni˙zej głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe zero.
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Przykład
U =
2 3 4
0 5 3
0 0 2
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
4 / 32
Macierz dolnotrójk ˛
atna L
Macierz dolnotrójk ˛
atna to taka macierz, której wszystkie współczynniki
powy˙zej głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe zero oraz wspołczynniki na
głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe jeden.
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Przykład
L =
1
0 0
−3 1 0
4
2 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
5 / 32
Macierz dolnotrójk ˛
atna L
Macierz dolnotrójk ˛
atna to taka macierz, której wszystkie współczynniki
powy˙zej głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe zero oraz wspołczynniki na
głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe jeden.
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Przykład
L =
1
0 0
−3 1 0
4
2 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
5 / 32
Macierz dolnotrójk ˛
atna L
Macierz dolnotrójk ˛
atna to taka macierz, której wszystkie współczynniki
powy˙zej głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe zero oraz wspołczynniki na
głównej przek ˛
atnej s ˛
a równe jeden.
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Przykład
L =
1
0 0
−3 1 0
4
2 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
5 / 32
Algorytm dekompozycji LU
Aby doprowadzi´c macierz do postaci A = LU nale˙zy wykona´c
nast ˛epuj ˛
ace kroki:
Eliminacja wg Gaussa macierzy A
Znalezienie macierzy eliminacji
Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji
w odwrotnej kolejno´sci
Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Zapisanie równania jako A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
6 / 32
Algorytm dekompozycji LU
Aby doprowadzi´c macierz do postaci A = LU nale˙zy wykona´c
nast ˛epuj ˛
ace kroki:
Eliminacja wg Gaussa macierzy A
Znalezienie macierzy eliminacji
Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji
w odwrotnej kolejno´sci
Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Zapisanie równania jako A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
6 / 32
Algorytm dekompozycji LU
Aby doprowadzi´c macierz do postaci A = LU nale˙zy wykona´c
nast ˛epuj ˛
ace kroki:
Eliminacja wg Gaussa macierzy A
Znalezienie macierzy eliminacji
Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji
w odwrotnej kolejno´sci
Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Zapisanie równania jako A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
6 / 32
Algorytm dekompozycji LU
Aby doprowadzi´c macierz do postaci A = LU nale˙zy wykona´c
nast ˛epuj ˛
ace kroki:
Eliminacja wg Gaussa macierzy A
Znalezienie macierzy eliminacji
Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji
w odwrotnej kolejno´sci
Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Zapisanie równania jako A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
6 / 32
Algorytm dekompozycji LU
Aby doprowadzi´c macierz do postaci A = LU nale˙zy wykona´c
nast ˛epuj ˛
ace kroki:
Eliminacja wg Gaussa macierzy A
Znalezienie macierzy eliminacji
Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji
w odwrotnej kolejno´sci
Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Zapisanie równania jako A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
6 / 32
Algorytm dekompozycji LU
Aby doprowadzi´c macierz do postaci A = LU nale˙zy wykona´c
nast ˛epuj ˛
ace kroki:
Eliminacja wg Gaussa macierzy A
Znalezienie macierzy eliminacji
Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji
w odwrotnej kolejno´sci
Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Zapisanie równania jako A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
6 / 32
Przykład
Krok 1: Eliminacja wg Gaussa
Doprowad´zmy macierz A do postaci LU
A =
1 5
2 3
Po eliminacji wg Gaussa otrzymujemy macierz
B =
1
5
0 −7
Jak wida´c, wszystkie współczynniki macierzy B poni˙zej głównej
przek ˛
atnej s ˛
a równe zero. Z tego wynika, ˙ze jest to ju˙z macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
7 / 32
Przykład
Krok 1: Eliminacja wg Gaussa
Doprowad´zmy macierz A do postaci LU
A =
1 5
2 3
Po eliminacji wg Gaussa otrzymujemy macierz
B =
1
5
0 −7
Jak wida´c, wszystkie współczynniki macierzy B poni˙zej głównej
przek ˛
atnej s ˛
a równe zero. Z tego wynika, ˙ze jest to ju˙z macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
7 / 32
Przykład
Krok 1: Eliminacja wg Gaussa
Doprowad´zmy macierz A do postaci LU
A =
1 5
2 3
Po eliminacji wg Gaussa otrzymujemy macierz
B =
1
5
0
−7
Jak wida´c, wszystkie współczynniki macierzy B poni˙zej głównej
przek ˛
atnej s ˛
a równe zero. Z tego wynika, ˙ze jest to ju˙z macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
7 / 32
Przykład
Krok 2: Znalezienie macierzy eliminacji
Eliminacj ˛e wykonuje dla nas macierz eliminacji E
21
, z indeksem 21
poniewa˙z produkuje nam zero na pozycji 21 w macierzy A.
Macierz ta wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
E
21
=
1
0
−2 1
Dlaczego tak? Poniewa˙z (zgodnie z eliminacj ˛
a wg Gaussa) odj ˛eli´smy
dwa razy pierwszy wiersz od drugiego wiersza.
E
21
A = U
1
0
−2 1
1 5
2 3
=
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
8 / 32
Przykład
Krok 2: Znalezienie macierzy eliminacji
Eliminacj ˛e wykonuje dla nas macierz eliminacji E
21
, z indeksem 21
poniewa˙z produkuje nam zero na pozycji 21 w macierzy A.
Macierz ta wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
E
21
=
1
0
−2 1
Dlaczego tak? Poniewa˙z (zgodnie z eliminacj ˛
a wg Gaussa) odj ˛eli´smy
dwa razy pierwszy wiersz od drugiego wiersza.
E
21
A = U
1
0
−2 1
1 5
2 3
=
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
8 / 32
Przykład
Krok 2: Znalezienie macierzy eliminacji
Eliminacj ˛e wykonuje dla nas macierz eliminacji E
21
, z indeksem 21
poniewa˙z produkuje nam zero na pozycji 21 w macierzy A.
Macierz ta wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
E
21
=
1
0
−2 1
Dlaczego tak? Poniewa˙z (zgodnie z eliminacj ˛
a wg Gaussa) odj ˛eli´smy
dwa razy pierwszy wiersz od drugiego wiersza.
E
21
A = U
1
0
−2 1
1 5
2 3
=
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
8 / 32
Przykład
Krok 2: Znalezienie macierzy eliminacji
Eliminacj ˛e wykonuje dla nas macierz eliminacji E
21
, z indeksem 21
poniewa˙z produkuje nam zero na pozycji 21 w macierzy A.
Macierz ta wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
E
21
=
1
0
−2 1
Dlaczego tak? Poniewa˙z (zgodnie z eliminacj ˛
a wg Gaussa) odj ˛eli´smy
dwa razy pierwszy wiersz od drugiego wiersza.
E
21
A = U
1
0
−2 1
1 5
2 3
=
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
8 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez macierze odwrotne w odwrotnej kolejno´sci
Macierz odwrotna do E
21
to
E
−1
21
=
1 0
2 1
Skoro przy eliminacji odejmujemy dwa razy pierwszy wiersz to
operacj ˛
a odwrotn ˛
a b ˛edzie dodanie dwa razy pierwszego wiersza.
Poprzez mno˙zenie obu stron przez macierz odwrotn ˛
a do E
21
doprowadzamy do równania
E
−1
21
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
U
Wniosek
Aby znale´z´c macierz odwrotn ˛
a do macierzy eliminacji, zmieniamy
znaki współczynników poni˙zej głównej przek ˛
atnej na przeciwne.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
9 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez macierze odwrotne w odwrotnej kolejno´sci
Macierz odwrotna do E
21
to
E
−1
21
=
1 0
2 1
Skoro przy eliminacji odejmujemy dwa razy pierwszy wiersz to
operacj ˛
a odwrotn ˛
a b ˛edzie dodanie dwa razy pierwszego wiersza.
Poprzez mno˙zenie obu stron przez macierz odwrotn ˛
a do E
21
doprowadzamy do równania
E
−1
21
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
U
Wniosek
Aby znale´z´c macierz odwrotn ˛
a do macierzy eliminacji, zmieniamy
znaki współczynników poni˙zej głównej przek ˛
atnej na przeciwne.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
9 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez macierze odwrotne w odwrotnej kolejno´sci
Macierz odwrotna do E
21
to
E
−1
21
=
1 0
2 1
Skoro przy eliminacji odejmujemy dwa razy pierwszy wiersz to
operacj ˛
a odwrotn ˛
a b ˛edzie dodanie dwa razy pierwszego wiersza.
Poprzez mno˙zenie obu stron przez macierz odwrotn ˛
a do E
21
doprowadzamy do równania
E
−1
21
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
U
Wniosek
Aby znale´z´c macierz odwrotn ˛
a do macierzy eliminacji, zmieniamy
znaki współczynników poni˙zej głównej przek ˛
atnej na przeciwne.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
9 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez macierze odwrotne w odwrotnej kolejno´sci
Macierz odwrotna do E
21
to
E
−1
21
=
1 0
2 1
Skoro przy eliminacji odejmujemy dwa razy pierwszy wiersz to
operacj ˛
a odwrotn ˛
a b ˛edzie dodanie dwa razy pierwszego wiersza.
Poprzez mno˙zenie obu stron przez macierz odwrotn ˛
a do E
21
doprowadzamy do równania
E
−1
21
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
U
Wniosek
Aby znale´z´c macierz odwrotn ˛
a do macierzy eliminacji, zmieniamy
znaki współczynników poni˙zej głównej przek ˛
atnej na przeciwne.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
9 / 32
Przykład
Kroki 4 i 5: Wymno˙zenie macierzy i zapisanie równania jako A = LU
Wszystkie macierze z lewej strony macierzy U
A = E
−1
21
U
wymna˙zamy (w tym przypadku jest to tylko jedna macierz), w ten
sposób powstaje macierz L.
L = E
−1
21
=
1 0
2 1
Tak powstaje równanie A = LU
1 5
2 3
=
1 0
2 1
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
10 / 32
Przykład
Kroki 4 i 5: Wymno˙zenie macierzy i zapisanie równania jako A = LU
Wszystkie macierze z lewej strony macierzy U
A = E
−1
21
U
wymna˙zamy (w tym przypadku jest to tylko jedna macierz), w ten
sposób powstaje macierz L.
L = E
−1
21
=
1 0
2 1
Tak powstaje równanie A = LU
1 5
2 3
=
1 0
2 1
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
10 / 32
Przykład
Kroki 4 i 5: Wymno˙zenie macierzy i zapisanie równania jako A = LU
Wszystkie macierze z lewej strony macierzy U
A = E
−1
21
U
wymna˙zamy (w tym przypadku jest to tylko jedna macierz), w ten
sposób powstaje macierz L.
L = E
−1
21
=
1 0
2 1
Tak powstaje równanie A = LU
1 5
2 3
=
1 0
2 1
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
10 / 32
Przykład
Kroki 4 i 5: Wymno˙zenie macierzy i zapisanie równania jako A = LU
Wszystkie macierze z lewej strony macierzy U
A = E
−1
21
U
wymna˙zamy (w tym przypadku jest to tylko jedna macierz), w ten
sposób powstaje macierz L.
L = E
−1
21
=
1 0
2 1
Tak powstaje równanie A = LU
1 5
2 3
=
1 0
2 1
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
10 / 32
Przykład
Kroki 4 i 5: Wymno˙zenie macierzy i zapisanie równania jako A = LU
Wszystkie macierze z lewej strony macierzy U
A = E
−1
21
U
wymna˙zamy (w tym przypadku jest to tylko jedna macierz), w ten
sposób powstaje macierz L.
L = E
−1
21
=
1 0
2 1
Tak powstaje równanie A = LU
1 5
2 3
=
1 0
2 1
1
5
0 −7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
10 / 32
Kolejny przykład
Dla macierzy trójwymiarowej
Dla macierzy dwuwymiarowej dekompozycja nie wymaga wi ˛ekszego
wysiłku, poniewa˙z wykonywana jest tylko jedna eliminacja i dlatego
powstaje tylko jedna macierz eliminacji (E
21
).
Sprawa komplikuje si ˛e dla macierzy trójwymiarowych. . .
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
11 / 32
Kolejny przykład
Dla macierzy trójwymiarowej
Dla macierzy dwuwymiarowej dekompozycja nie wymaga wi ˛ekszego
wysiłku, poniewa˙z wykonywana jest tylko jedna eliminacja i dlatego
powstaje tylko jedna macierz eliminacji (E
21
).
Sprawa komplikuje si ˛e dla macierzy trójwymiarowych. . .
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
11 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Przeprowad´zmy teraz dekompozycj ˛e dla macierzy trójwymiarowej A:
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Dla macierzy trójwymiarowych eliminacja wg Gaussa zajmuje trzy
kroki, zamiast jednego. Dlatego te˙z, powstan ˛
a trzy macierze eliminacji.
Krok pierwszy
E
21
A =
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
2
4
−2
0
1
1
−2 −3
7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
12 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Przeprowad´zmy teraz dekompozycj ˛e dla macierzy trójwymiarowej A:
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Dla macierzy trójwymiarowych eliminacja wg Gaussa zajmuje trzy
kroki, zamiast jednego. Dlatego te˙z, powstan ˛
a trzy macierze eliminacji.
Krok pierwszy
E
21
A =
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
2
4
−2
0
1
1
−2 −3
7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
12 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Przeprowad´zmy teraz dekompozycj ˛e dla macierzy trójwymiarowej A:
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Dla macierzy trójwymiarowych eliminacja wg Gaussa zajmuje trzy
kroki, zamiast jednego. Dlatego te˙z, powstan ˛
a trzy macierze eliminacji.
Krok pierwszy
E
21
A =
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
2
4
−2
0
1
1
−2 −3
7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
12 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Przeprowad´zmy teraz dekompozycj ˛e dla macierzy trójwymiarowej A:
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Dla macierzy trójwymiarowych eliminacja wg Gaussa zajmuje trzy
kroki, zamiast jednego. Dlatego te˙z, powstan ˛
a trzy macierze eliminacji.
Krok pierwszy
E
21
A =
1
0 0
−2
1 0
0
0 1
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
2
4
−2
0
1
1
−2 −3
7
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
12 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Krok drugi
E
31
(
E
21
A) =
1 0 0
0 1 0
1 0 1
2
4
−2
0
1
1
−2 −3
7
=
2 4 −2
0 1
1
0 1
5
Krok trzeci
E
32
(
E
31
E
21
A) =
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
2 4 −2
0 1
1
0 1
5
=
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
W ostatniej macierzy wszystkie elementy poni˙zej głównej przek ˛
atnej
równe s ˛
a zero. Wniosek: jest to macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
13 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Krok drugi
E
31
(
E
21
A) =
1 0 0
0 1 0
1
0 1
2
4
−2
0
1
1
−2
−3
7
=
2 4 −2
0 1
1
0
1
5
Krok trzeci
E
32
(
E
31
E
21
A) =
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
2 4 −2
0 1
1
0 1
5
=
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
W ostatniej macierzy wszystkie elementy poni˙zej głównej przek ˛
atnej
równe s ˛
a zero. Wniosek: jest to macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
13 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Krok drugi
E
31
(
E
21
A) =
1 0 0
0 1 0
1
0 1
2
4
−2
0
1
1
−2
−3
7
=
2 4 −2
0 1
1
0
1
5
Krok trzeci
E
32
(
E
31
E
21
A) =
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
2 4 −2
0 1
1
0 1
5
=
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
W ostatniej macierzy wszystkie elementy poni˙zej głównej przek ˛
atnej
równe s ˛
a zero. Wniosek: jest to macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
13 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Krok drugi
E
31
(
E
21
A) =
1 0 0
0 1 0
1
0 1
2
4
−2
0
1
1
−2
−3
7
=
2 4 −2
0 1
1
0
1
5
Krok trzeci
E
32
(
E
31
E
21
A) =
1
0
0
0
1
0
0
−1
1
2 4 −2
0
1
1
0
1
5
=
2 4 −2
0 1
1
0
0
4
W ostatniej macierzy wszystkie elementy poni˙zej głównej przek ˛
atnej
równe s ˛
a zero. Wniosek: jest to macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
13 / 32
Przykład
Kroki 1 i 2: Eliminacja wg Gaussa i znajdowanie macierzy eliminacji
Krok drugi
E
31
(
E
21
A) =
1 0 0
0 1 0
1
0 1
2
4
−2
0
1
1
−2
−3
7
=
2 4 −2
0 1
1
0
1
5
Krok trzeci
E
32
(
E
31
E
21
A) =
1
0
0
0
1
0
0
−1
1
2 4 −2
0
1
1
0
1
5
=
2 4 −2
0
1
1
0 0
4
W ostatniej macierzy wszystkie elementy poni˙zej głównej przek ˛
atnej
równe s ˛
a zero. Wniosek: jest to macierz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
13 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w odwrotnej kolejno´sci
Powstaje równanie:
E
32
E
31
E
21
A = U
Mno˙zymy obustronnie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w
odwrotnej kolejno´sci
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
E
31
E
21
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze po lewej stronie sprowadzaj ˛
a si ˛e do macierzy jednostkowych:
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
|
{z
}
I
E
31
|
{z
}
I
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
14 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w odwrotnej kolejno´sci
Powstaje równanie:
E
32
E
31
E
21
A = U
Mno˙zymy obustronnie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w
odwrotnej kolejno´sci
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
E
31
E
21
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze po lewej stronie sprowadzaj ˛
a si ˛e do macierzy jednostkowych:
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
|
{z
}
I
E
31
|
{z
}
I
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
14 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w odwrotnej kolejno´sci
Powstaje równanie:
E
32
E
31
E
21
A = U
Mno˙zymy obustronnie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w
odwrotnej kolejno´sci
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
E
31
E
21
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze po lewej stronie sprowadzaj ˛
a si ˛e do macierzy jednostkowych:
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
|
{z
}
I
E
31
|
{z
}
I
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
14 / 32
Przykład
Krok 3: Pomno˙zenie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w odwrotnej kolejno´sci
Powstaje równanie:
E
32
E
31
E
21
A = U
Mno˙zymy obustronnie przez odwrotno´sci macierzy eliminacji w
odwrotnej kolejno´sci
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
E
31
E
21
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze po lewej stronie sprowadzaj ˛
a si ˛e do macierzy jednostkowych:
E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
E
32
|
{z
}
I
E
31
|
{z
}
I
E
21
|
{z
}
I
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
14 / 32
Przykład
Krok 4: Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Z tego skomplikowanego równania zostaje
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
wymna˙zamy od lewej strony
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
15 / 32
Przykład
Krok 4: Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Z tego skomplikowanego równania zostaje
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
wymna˙zamy od lewej strony
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
15 / 32
Przykład
Krok 4: Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Z tego skomplikowanego równania zostaje
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
wymna˙zamy od lewej strony
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
15 / 32
Przykład
Krok 4: Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Z tego skomplikowanego równania zostaje
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
wymna˙zamy od lewej strony
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
15 / 32
Przykład
Krok 4: Wymno˙zenie macierzy po lewej stronie macierzy U
Z tego skomplikowanego równania zostaje
A = E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
U
Macierze E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
wymna˙zamy od lewej strony
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
15 / 32
Przykład
Krok 5: Zapisanie równania jako A = LU
W ten sposób doprowadzamy do równania
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
16 / 32
Przykład
Krok 5: Zapisanie równania jako A = LU
W ten sposób doprowadzamy do równania
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
16 / 32
Przykład
Krok 5: Zapisanie równania jako A = LU
W ten sposób doprowadzamy do równania
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
A = LU
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
16 / 32
Dlaczego odwrotno´sci?
Wielu z was zapewne zastanawia si ˛e, dlaczego przerzucali´smy cał ˛
a
"grupk˛e" macierzy eliminacji, zamiast na pocz ˛
atku wymno˙zy´c je i
dopiero przerzuci´c. W tej cz ˛e´sci wykładu zostanie to wyja´snione.
Porównajmy dwie mo˙zliwo´sci:
Wymno˙zenie macierzy E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
Wymno˙zenie macierzy E
32
E
31
E
21
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
17 / 32
Dlaczego odwrotno´sci?
Wielu z was zapewne zastanawia si ˛e, dlaczego przerzucali´smy cał ˛
a
"grupk˛e" macierzy eliminacji, zamiast na pocz ˛
atku wymno˙zy´c je i
dopiero przerzuci´c. W tej cz ˛e´sci wykładu zostanie to wyja´snione.
Porównajmy dwie mo˙zliwo´sci:
Wymno˙zenie macierzy E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
Wymno˙zenie macierzy E
32
E
31
E
21
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
17 / 32
Dlaczego odwrotno´sci?
Wielu z was zapewne zastanawia si ˛e, dlaczego przerzucali´smy cał ˛
a
"grupk˛e" macierzy eliminacji, zamiast na pocz ˛
atku wymno˙zy´c je i
dopiero przerzuci´c. W tej cz ˛e´sci wykładu zostanie to wyja´snione.
Porównajmy dwie mo˙zliwo´sci:
Wymno˙zenie macierzy E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
Wymno˙zenie macierzy E
32
E
31
E
21
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
17 / 32
Dlaczego odwrotno´sci?
Wielu z was zapewne zastanawia si ˛e, dlaczego przerzucali´smy cał ˛
a
"grupk˛e" macierzy eliminacji, zamiast na pocz ˛
atku wymno˙zy´c je i
dopiero przerzuci´c. W tej cz ˛e´sci wykładu zostanie to wyja´snione.
Porównajmy dwie mo˙zliwo´sci:
Wymno˙zenie macierzy E
−1
21
E
−1
31
E
−1
32
Wymno˙zenie macierzy E
32
E
31
E
21
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
17 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji ´cwiczyli´smy ju˙z przy
samej dekompozycji LU, zróbmy to jednak jeszcze raz.
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Jak wiemy, jest to ju˙z macierz L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
18 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji ´cwiczyli´smy ju˙z przy
samej dekompozycji LU, zróbmy to jednak jeszcze raz.
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Jak wiemy, jest to ju˙z macierz L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
18 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji ´cwiczyli´smy ju˙z przy
samej dekompozycji LU, zróbmy to jednak jeszcze raz.
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Jak wiemy, jest to ju˙z macierz L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
18 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji ´cwiczyli´smy ju˙z przy
samej dekompozycji LU, zróbmy to jednak jeszcze raz.
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Jak wiemy, jest to ju˙z macierz L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
18 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji ´cwiczyli´smy ju˙z przy
samej dekompozycji LU, zróbmy to jednak jeszcze raz.
E
−1
21
E
−1
31
=
1 0 0
2 1 0
0 0 1
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
−1
32
1
0 0
2
1 0
−1 0 1
1 0 0
0 1 0
0 1 1
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Jak wiemy, jest to ju˙z macierz L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
18 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
1 0 0
2 1 0
0 0 1
|
{z
}
E
−1
21
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
|
{z
}
E
−1
31
1 0 0
0 1 0
0 1 1
|
{z
}
E
−1
32
Jak wida´c, współczynniki poszczególnych macierzy po prostu
"wskoczyły" do wyniku.
L =
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Cały czas s ˛
a na swoich miejscach!
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
19 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
1 0 0
2 1 0
0 0 1
|
{z
}
E
−1
21
1
0 0
0
1 0
−1 0 1
|
{z
}
E
−1
31
1 0 0
0 1 0
0 1 1
|
{z
}
E
−1
32
Jak wida´c, współczynniki poszczególnych macierzy po prostu
"wskoczyły" do wyniku.
L =
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
Cały czas s ˛
a na swoich miejscach!
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
19 / 32
Opcja 1.
Wymna˙zanie odwrotno´sci macierzy eliminacji
1 0 0
2
1 0
0 0 1
|
{z
}
E
−1
21
1
0 0
0
1 0
−1
0 1
|
{z
}
E
−1
31
1 0 0
0 1 0
0
1
1
|
{z
}
E
−1
32
Jak wida´c, współczynniki poszczególnych macierzy po prostu
"wskoczyły" do wyniku.
L =
1
0 0
2
1 0
−1
1
1
Cały czas s ˛
a na swoich miejscach!
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
19 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
Zobaczmy co si ˛e stanie, gdy przemno˙zymy od lewej strony macierze
eliminacji E
32
E
31
E
21
.
E
32
E
31
=
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
=
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
21
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
=
1
0
0
−2
1
0
3
−1 1
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
20 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
Zobaczmy co si ˛e stanie, gdy przemno˙zymy od lewej strony macierze
eliminacji E
32
E
31
E
21
.
E
32
E
31
=
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
=
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
21
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
=
1
0
0
−2
1
0
3
−1 1
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
20 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
Zobaczmy co si ˛e stanie, gdy przemno˙zymy od lewej strony macierze
eliminacji E
32
E
31
E
21
.
E
32
E
31
=
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
=
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
21
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
=
1
0
0
−2
1
0
3
−1 1
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
20 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
Zobaczmy co si ˛e stanie, gdy przemno˙zymy od lewej strony macierze
eliminacji E
32
E
31
E
21
.
E
32
E
31
=
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
=
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
21
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
=
1
0
0
−2
1
0
3
−1 1
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
20 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
Zobaczmy co si ˛e stanie, gdy przemno˙zymy od lewej strony macierze
eliminacji E
32
E
31
E
21
.
E
32
E
31
=
1
0
0
0
1
0
0 −1 1
1 0 0
0 1 0
1 0 1
=
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
Wynik jeszcze pomno˙zymy przez E
21
1
0
0
0
1
0
1 −1 1
1
0 0
−2 1 0
0
0 1
=
1
0
0
−2
1
0
3
−1 1
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
20 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
E
32
E
31
E
21
=
1
0
0
−2
1
0
3
−1 1
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
Aby odpowiedzie´c na to pytanie, prze´sled´zmy etapy eliminacji wg
Gaussa macierzy A:
odj ˛eli´smy dwa razy wiersz pierwszy od wiersza drugiego
dodali´smy wiersz pierwszy do wiersza trzeciego
odj ˛eli´smy wiersz drugi od wiersza trzeciego
Uwaga!
Nie zapominajmy, ˙ze w wierszu drugim jest ju˙z dwa razy
ujemny
wiersz pierwszy
! Oprócz odj ˛ecia drugiego wiersza dodali´smy równie˙z
dwa razy wiersz pierwszy, co daje w sumie trzy wiersze.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
21 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
A =
−
2
−
4 −2
−
4
−
9 −3
−2 −3
−
7
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
Aby odpowiedzie´c na to pytanie, prze´sled´zmy etapy eliminacji wg
Gaussa macierzy A:
odj ˛eli´smy dwa razy wiersz pierwszy od wiersza drugiego
dodali´smy wiersz pierwszy do wiersza trzeciego
odj ˛eli´smy wiersz drugi od wiersza trzeciego
Uwaga!
Nie zapominajmy, ˙ze w wierszu drugim jest ju˙z dwa razy
ujemny
wiersz pierwszy
! Oprócz odj ˛ecia drugiego wiersza dodali´smy równie˙z
dwa razy wiersz pierwszy, co daje w sumie trzy wiersze.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
21 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
A =
−
2
−
4 −2
−
0
−
1
−
1
−2 −3
−
7
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
Aby odpowiedzie´c na to pytanie, prze´sled´zmy etapy eliminacji wg
Gaussa macierzy A:
odj ˛eli´smy dwa razy wiersz pierwszy od wiersza drugiego
dodali´smy wiersz pierwszy do wiersza trzeciego
odj ˛eli´smy wiersz drugi od wiersza trzeciego
Uwaga!
Nie zapominajmy, ˙ze w wierszu drugim jest ju˙z dwa razy
ujemny
wiersz pierwszy
! Oprócz odj ˛ecia drugiego wiersza dodali´smy równie˙z
dwa razy wiersz pierwszy, co daje w sumie trzy wiersze.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
21 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
A =
−
2
−
4 −2
−
0
−
1
−
1
−
0
−
1
−
5
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
Aby odpowiedzie´c na to pytanie, prze´sled´zmy etapy eliminacji wg
Gaussa macierzy A:
odj ˛eli´smy dwa razy wiersz pierwszy od wiersza drugiego
dodali´smy wiersz pierwszy do wiersza trzeciego
odj ˛eli´smy wiersz drugi od wiersza trzeciego
Uwaga!
Nie zapominajmy, ˙ze w wierszu drugim jest ju˙z dwa razy
ujemny
wiersz pierwszy
! Oprócz odj ˛ecia drugiego wiersza dodali´smy równie˙z
dwa razy wiersz pierwszy, co daje w sumie trzy wiersze.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
21 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
A =
−
2
−
4 −2
−
0
−
1
−
1
−
0
−
0
−
4
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
Aby odpowiedzie´c na to pytanie, prze´sled´zmy etapy eliminacji wg
Gaussa macierzy A:
odj ˛eli´smy dwa razy wiersz pierwszy od wiersza drugiego
dodali´smy wiersz pierwszy do wiersza trzeciego
odj ˛eli´smy wiersz drugi od wiersza trzeciego
Uwaga!
Nie zapominajmy, ˙ze w wierszu drugim jest ju˙z dwa razy
ujemny
wiersz pierwszy
! Oprócz odj ˛ecia drugiego wiersza dodali´smy równie˙z
dwa razy wiersz pierwszy, co daje w sumie
trzy
wiersze.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
21 / 32
Opcja 2.
Wymna˙zanie macierzy eliminacji
A =
−
2
−
4 −2
−
0
−
1
−
1
−
0
−
0
−
4
Sk ˛
ad wzi ˛eła si ˛e ta trójka?
Aby odpowiedzie´c na to pytanie, prze´sled´zmy etapy eliminacji wg
Gaussa macierzy A:
odj ˛eli´smy dwa razy wiersz pierwszy od wiersza drugiego
dodali´smy wiersz pierwszy do wiersza trzeciego
odj ˛eli´smy wiersz drugi od wiersza trzeciego
Uwaga!
Nie zapominajmy, ˙ze w wierszu drugim jest ju˙z dwa razy
ujemny
wiersz pierwszy
! Oprócz odj ˛ecia drugiego wiersza dodali´smy równie˙z
dwa razy wiersz pierwszy, co daje w sumie trzy wiersze.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
21 / 32
Wnioski
Gdy mno˙zyli´smy macierze eliminacji, pojawiała si ˛e tajemnicza trójka,
której nie przewidzieli´smy. Przy mno˙zeniu odwrotno´sci macierzy
eliminacji problem ten znikn ˛
ał. Wniosek jest prosty:
Twierdzenie
Gdy mno˙zymy macierze odwrotne, wystarczy przepisa´c współczynniki
na odpowiadaj ˛
ace im miejsca bezpo´srednio do macierzy L.
Współczynniki te mo˙zna zapisywa´c od razu podczas eliminacji wg
Gaussa macierzy A, by nast ˛epnie zmieni´c ich znak i wpisa´c do
macierzy L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
22 / 32
Wnioski
Gdy mno˙zyli´smy macierze eliminacji, pojawiała si ˛e tajemnicza trójka,
której nie przewidzieli´smy. Przy mno˙zeniu odwrotno´sci macierzy
eliminacji problem ten znikn ˛
ał. Wniosek jest prosty:
Twierdzenie
Gdy mno˙zymy macierze odwrotne, wystarczy przepisa´c współczynniki
na odpowiadaj ˛
ace im miejsca bezpo´srednio do macierzy L.
Współczynniki te mo˙zna zapisywa´c od razu podczas eliminacji wg
Gaussa macierzy A, by nast ˛epnie zmieni´c ich znak i wpisa´c do
macierzy L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
22 / 32
Wnioski
Gdy mno˙zyli´smy macierze eliminacji, pojawiała si ˛e tajemnicza trójka,
której nie przewidzieli´smy. Przy mno˙zeniu odwrotno´sci macierzy
eliminacji problem ten znikn ˛
ał. Wniosek jest prosty:
Twierdzenie
Gdy mno˙zymy macierze odwrotne, wystarczy przepisa´c współczynniki
na odpowiadaj ˛
ace im miejsca bezpo´srednio do macierzy L.
Współczynniki te mo˙zna zapisywa´c od razu podczas eliminacji wg
Gaussa macierzy A, by nast ˛epnie zmieni´c ich znak i wpisa´c do
macierzy L.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
22 / 32
Zastosowania
Macierz w postaci A = LU pozwala mi ˛edzy innymi na:
Szybkie obliczanie układów równa ´n
Wyliczenie wyznacznika macierzy A
O to w zasadzie nam chodzi. Dekompozycja LU pozwala na
zmniejszenie liczby operacji potrzebnych do rozwi ˛
azywania układów
równa ´n.
Dlaczego? Spójrzmy.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
23 / 32
Zastosowania
Macierz w postaci A = LU pozwala mi ˛edzy innymi na:
Szybkie obliczanie układów równa ´n
Wyliczenie wyznacznika macierzy A
O to w zasadzie nam chodzi. Dekompozycja LU pozwala na
zmniejszenie liczby operacji potrzebnych do rozwi ˛
azywania układów
równa ´n.
Dlaczego? Spójrzmy.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
23 / 32
Zastosowania
Macierz w postaci A = LU pozwala mi ˛edzy innymi na:
Szybkie obliczanie układów równa ´n
Wyliczenie wyznacznika macierzy A
O to w zasadzie nam chodzi. Dekompozycja LU pozwala na
zmniejszenie liczby operacji potrzebnych do rozwi ˛
azywania układów
równa ´n.
Dlaczego? Spójrzmy.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
23 / 32
Zastosowania
Macierz w postaci A = LU pozwala mi ˛edzy innymi na:
Szybkie obliczanie układów równa ´n
Wyliczenie wyznacznika macierzy A
O to w zasadzie nam chodzi. Dekompozycja LU pozwala na
zmniejszenie liczby operacji potrzebnych do rozwi ˛
azywania układów
równa ´n.
Dlaczego? Spójrzmy.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
23 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Ile operacji nale˙zy wykona´c, aby doprowadzi´c macierz A do postaci
A = LU?
Co to jest operacja?
Typow ˛
a operacj ˛
a wykonywan ˛
a w metodzie Gaussa jest mno˙zenie i
odejmowanie, wi ˛ec traktujemy te dwa działania jako jedn ˛
a operacj ˛e.
Twierdzenie
Dla macierzy o wymiarach n × n liczba operacji potrzebnych do
sprowadzenia macierzy do postaci A = LU wynosi ≈
1
3
n
3
Co to w zasadzie dla nas oznacza?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
24 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Ile operacji nale˙zy wykona´c, aby doprowadzi´c macierz A do postaci
A = LU?
Co to jest operacja?
Typow ˛
a operacj ˛
a wykonywan ˛
a w metodzie Gaussa jest mno˙zenie i
odejmowanie, wi ˛ec traktujemy te dwa działania jako jedn ˛
a operacj ˛e.
Twierdzenie
Dla macierzy o wymiarach n × n liczba operacji potrzebnych do
sprowadzenia macierzy do postaci A = LU wynosi ≈
1
3
n
3
Co to w zasadzie dla nas oznacza?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
24 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Ile operacji nale˙zy wykona´c, aby doprowadzi´c macierz A do postaci
A = LU?
Co to jest operacja?
Typow ˛
a operacj ˛
a wykonywan ˛
a w metodzie Gaussa jest mno˙zenie i
odejmowanie, wi ˛ec traktujemy te dwa działania jako jedn ˛
a operacj ˛e.
Twierdzenie
Dla macierzy o wymiarach n × n liczba operacji potrzebnych do
sprowadzenia macierzy do postaci A = LU wynosi ≈
1
3
n
3
Co to w zasadzie dla nas oznacza?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
24 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Ile operacji nale˙zy wykona´c, aby doprowadzi´c macierz A do postaci
A = LU?
Co to jest operacja?
Typow ˛
a operacj ˛
a wykonywan ˛
a w metodzie Gaussa jest mno˙zenie i
odejmowanie, wi ˛ec traktujemy te dwa działania jako jedn ˛
a operacj ˛e.
Twierdzenie
Dla macierzy o wymiarach n × n liczba operacji potrzebnych do
sprowadzenia macierzy do postaci A = LU wynosi ≈
1
3
n
3
Co to w zasadzie dla nas oznacza?
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
24 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Jest to wa˙zny aspekt optymalizacji algorytmów rozwi ˛
azuj ˛
acych takie
układy.
Je˙zeli dodamy tylko jedn ˛
a kolumn ˛e (np. kolumn ˛e z wynikami), to ilo´s´c
oblicze ´n potrzebnych na wyliczenie potrzebnych nam wyników spada
do n
2
.
Wniosek
Przewaga rozkładu LU nad eliminacj ˛
a wg Gaussa polega na tym, i˙z
przy pomocy rozkładu LU mozna rozwi ˛
azywa´c dowolnie wiele równa ´n
z takimi samymi lewymi stronami (macierzami), przy czym “kosztown ˛
a”
cz ˛e´s´c, a wi ˛ec sam ˛
a faktoryzacj ˛e, oblicza si ˛e tylko raz.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
25 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Jest to wa˙zny aspekt optymalizacji algorytmów rozwi ˛
azuj ˛
acych takie
układy.
Je˙zeli dodamy tylko jedn ˛
a kolumn ˛e (np. kolumn ˛e z wynikami), to ilo´s´c
oblicze ´n potrzebnych na wyliczenie potrzebnych nam wyników spada
do n
2
.
Wniosek
Przewaga rozkładu LU nad eliminacj ˛
a wg Gaussa polega na tym, i˙z
przy pomocy rozkładu LU mozna rozwi ˛
azywa´c dowolnie wiele równa ´n
z takimi samymi lewymi stronami (macierzami), przy czym “kosztown ˛
a”
cz ˛e´s´c, a wi ˛ec sam ˛
a faktoryzacj ˛e, oblicza si ˛e tylko raz.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
25 / 32
Zło˙zono´s´c obliczeniowa
Jest to wa˙zny aspekt optymalizacji algorytmów rozwi ˛
azuj ˛
acych takie
układy.
Je˙zeli dodamy tylko jedn ˛
a kolumn ˛e (np. kolumn ˛e z wynikami), to ilo´s´c
oblicze ´n potrzebnych na wyliczenie potrzebnych nam wyników spada
do n
2
.
Wniosek
Przewaga rozkładu LU nad eliminacj ˛
a wg Gaussa polega na tym, i˙z
przy pomocy rozkładu LU mozna rozwi ˛
azywa´c dowolnie wiele równa ´n
z takimi samymi lewymi stronami (macierzami), przy czym “kosztown ˛
a”
cz ˛e´s´c, a wi ˛ec sam ˛
a faktoryzacj ˛e, oblicza si ˛e tylko raz.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
25 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Aby obliczy´c wyznacznik macierzy A posłu˙zymy si ˛e twierdzeniem
Cauchy’ego o wyznacznikach:
Twierdzenie Cauchy’ego
det(AB) = det A · det B
gdzie det A oznacza wyznacznik macierzy A.
St ˛
ad, aby obliczy´c wyznacznik macierzy A, wystarczy policzy´c
wyznaczniki macierzy L oraz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
26 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Aby obliczy´c wyznacznik macierzy A posłu˙zymy si ˛e twierdzeniem
Cauchy’ego o wyznacznikach:
Twierdzenie Cauchy’ego
det(AB) = det A · det B
gdzie det A oznacza wyznacznik macierzy A.
St ˛
ad, aby obliczy´c wyznacznik macierzy A, wystarczy policzy´c
wyznaczniki macierzy L oraz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
26 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Aby obliczy´c wyznacznik macierzy A posłu˙zymy si ˛e twierdzeniem
Cauchy’ego o wyznacznikach:
Twierdzenie Cauchy’ego
det(AB) = det A · det B
gdzie det A oznacza wyznacznik macierzy A.
St ˛
ad, aby obliczy´c wyznacznik macierzy A, wystarczy policzy´c
wyznaczniki macierzy L oraz U.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
26 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy L
Jak wiemy, macierz L wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
27 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy L
Jak wiemy, macierz L wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
27 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy L
Jak wiemy, macierz L wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
det L = 1 · 1 · 1 + l
21
· l
32
· 0 + l
31
· 0 · 0 − 0 · 1 · l
31
− 0 · l
32
· 1 − 1 · 0 · l
21
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
27 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy L
Jak wiemy, macierz L wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
det L = 1 · 1 · 1 + l
21
· l
32
· 0 + l
31
· 0 · 0 − 0 · 1 · l
31
− 0 · l
32
· 1 − 1 · 0 · l
21
|
{z
}
0
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
27 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy L
Jak wiemy, macierz L wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
L =
1
0
0
l
21
1
0
l
31
l
32
1
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
det L = 1 · 1 · 1 + l
21
· l
32
· 0 + l
31
· 0 · 0 − 0 · 1 · l
31
− 0 · l
32
· 1 − 1 · 0 · l
21
|
{z
}
0
Czyli po prostu 1.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
27 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy U
Natomiast macierz U wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
28 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy U
Natomiast macierz U wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
28 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy U
Natomiast macierz U wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
det U = u
11
·u
22
·u
33
+
0·0·u
13
+
0·u
12
·u
23
−u
13
·u
22
·0−u
12
·0·u
33
−u
11
·u
23
·0
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
28 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy U
Natomiast macierz U wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
Ponownie te elementy s ˛
a równe zero:
0 · 0 · u
13
+
0 · u
12
· u
23
− u
13
· u
22
· 0 − u
12
· 0 · u
33
− u
11
· u
23
· 0
|
{z
}
0
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
28 / 32
Wyliczanie wyznacznika macierzy A
Wyznacznik macierzy U
Natomiast macierz U wygl ˛
ada nast ˛epuj ˛
aco:
U =
u
11
u
12
u
13
0
u
22
u
23
0
0
u
33
Obliczmy jej wyznacznik (wg reguły Sarrusa):
Ponownie te elementy s ˛
a równe zero:
0 · 0 · u
13
+
0 · u
12
· u
23
− u
13
· u
22
· 0 − u
12
· 0 · u
33
− u
11
· u
23
· 0
|
{z
}
0
Zostaje nam
det U = u
11
· u
22
· u
33
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
28 / 32
Wnioski
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
Twierdzenie
Aby obliczy´c wyznacznik macierzy A wystarczy tylko wymno˙zy´c
elementy z głównej przek ˛
atnej macierzy U.
Dzi ˛eki dekompozycji LU ponownie zaoszcz ˛edzili´smy sporo czasu.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
29 / 32
Wnioski
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
Twierdzenie
Aby obliczy´c wyznacznik macierzy A wystarczy tylko wymno˙zy´c
elementy z głównej przek ˛
atnej macierzy U.
Dzi ˛eki dekompozycji LU ponownie zaoszcz ˛edzili´smy sporo czasu.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
29 / 32
Wnioski
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
Twierdzenie
Aby obliczy´c wyznacznik macierzy A wystarczy tylko wymno˙zy´c
elementy z głównej przek ˛
atnej macierzy U.
Dzi ˛eki dekompozycji LU ponownie zaoszcz ˛edzili´smy sporo czasu.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
29 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
Skorzystamy z macierzy A, dla której przeprowadzali´smy
dekompozycj ˛e wczesniej na tym wykładzie:
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
=
1
0 0
2
1 0
−1 1 1
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
30 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Obliczamy wyznacznik tradycyjnie (reguła Sarrusa)
det A =
=
2·9·7+4·(−3)·(−2)+(−2)·4·(−3)−(−2)·9·(−2)−(−3)·(−3)·2−7·4·4
=
126 + 24 + 24 − 36 − 18 − 112
=
8
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
31 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Obliczamy wyznacznik tradycyjnie (reguła Sarrusa)
det A =
=
2·9·7+4·(−3)·(−2)+(−2)·4·(−3)−(−2)·9·(−2)−(−3)·(−3)·2−7·4·4
=
126 + 24 + 24 − 36 − 18 − 112
=
8
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
31 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Obliczamy wyznacznik tradycyjnie (reguła Sarrusa)
det A =
=
2·9·7+4·(−3)·(−2)+(−2)·4·(−3)−(−2)·9·(−2)−(−3)·(−3)·2−7·4·4
=
126 + 24 + 24 − 36 − 18 − 112
=
8
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
31 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Obliczamy wyznacznik tradycyjnie (reguła Sarrusa)
det A =
=
2·9·7+4·(−3)·(−2)+(−2)·4·(−3)−(−2)·9·(−2)−(−3)·(−3)·2−7·4·4
=
126 + 24 + 24 − 36 − 18 − 112
=
8
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
31 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A =
2
4
−2
4
9
−3
−2 −3
7
Obliczamy wyznacznik tradycyjnie (reguła Sarrusa)
det A =
=
2·9·7+4·(−3)·(−2)+(−2)·4·(−3)−(−2)·9·(−2)−(−3)·(−3)·2−7·4·4
=
126 + 24 + 24 − 36 − 18 − 112
=
8
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
31 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A teraz korzystaj ˛
ac z dekompozycji LU wiemy, ˙ze
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
U =
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
det U = 2 · 1 · 4 = 8
Oczywi´scie, oba wyniki musz ˛
a si ˛e zgadza´c.
Dzi ˛eki dekompozycji LU obliczenia s ˛
a o wiele prostsze. Równie˙z ilo´s´c
czasu potrzebnego na wyliczenie wyznacznika spada znacz ˛
aco.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
32 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A teraz korzystaj ˛
ac z dekompozycji LU wiemy, ˙ze
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
U =
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
det U = 2 · 1 · 4 = 8
Oczywi´scie, oba wyniki musz ˛
a si ˛e zgadza´c.
Dzi ˛eki dekompozycji LU obliczenia s ˛
a o wiele prostsze. Równie˙z ilo´s´c
czasu potrzebnego na wyliczenie wyznacznika spada znacz ˛
aco.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
32 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A teraz korzystaj ˛
ac z dekompozycji LU wiemy, ˙ze
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
U =
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
det U = 2 · 1 · 4 = 8
Oczywi´scie, oba wyniki musz ˛
a si ˛e zgadza´c.
Dzi ˛eki dekompozycji LU obliczenia s ˛
a o wiele prostsze. Równie˙z ilo´s´c
czasu potrzebnego na wyliczenie wyznacznika spada znacz ˛
aco.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
32 / 32
Przykład
Szybkie wyliczanie wyznacznika macierzy A
A teraz korzystaj ˛
ac z dekompozycji LU wiemy, ˙ze
det A = det U = u
11
· u
22
· u
33
U =
2 4 −2
0 1
1
0 0
4
det U = 2 · 1 · 4 = 8
Oczywi´scie, oba wyniki musz ˛
a si ˛e zgadza´c.
Dzi ˛eki dekompozycji LU obliczenia s ˛
a o wiele prostsze. Równie˙z ilo´s´c
czasu potrzebnego na wyliczenie wyznacznika spada znacz ˛
aco.
R. Jaroszewski, K. Wolny
11.12.2012
32 / 32
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
lokalizacja Prez 04
Prez 04 09 45
04 4 Skierowanie na naukę w?lu podnoszenia kwalifikacji w formach pozaszkolnych
lu struktura ludnosci 04 tablica4
LU IV VI Chmielewska Joanna Janeczka i Pawełek 04 Dwie trzecie sukcesu
Wykład 04
04 22 PAROTITE EPIDEMICA
04 Zabezpieczenia silnikówid 5252 ppt
Prez etyka materiały1
Wyklad 04
Prez etyka materialy7
Wyklad 04 2014 2015
04 WdK
prez sek
04) Kod genetyczny i białka (wykład 4)
2009 04 08 POZ 06id 26791 ppt
2Ca 29 04 2015 WYCENA GARAŻU W KOSZTOWEJ
więcej podobnych podstron