Iloczyn kartezjański zbiorów

Ze słowem para spotykamy się w życiu codziennym; np. mówimy para skarpetek, para

rękawiczek, dzieci ustawcie się parami. W matematyce mówi się o nieuporządkowanych oraz

uporządkowanych parach elementów. Nas interesują głównie te drugie.

Definicje

Parę uporządkowaną elementów a, b zapisujemy następująco (a, b) wskazując w ten

sposób, że a traktujemy jako element pierwszy, b – jako drugi tej pary.

Pary porządkowane (a, b) i (c, d) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b = d.

Z tej definicji wynika, że pary (1, 2) i (2, 1) są różne. Wiem już, że {1, 2} = {2, 1}.

Zatem zbiór {1, 2} i para (1, 2) to różne obiekty.

Parę (a, b) graficznie przestawiamy rysując strzałkę od a do b.

a b

Przykład

Rozważmy dwa zbiory A = { 1, 2, 3} i B = {a, b}. Tworzymy zbiór wszystkich par, w któ-

rych pierwszym elementem jest liczba ze rozbioru A i drugim elementem obiekt ze zbioru B.

a) Pary te można wypisywać kojarząc odpowiednie elementy zbiorów:

(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b).

b) Można to uczynić posługując się tabelką:

B

a

b

1

(1, a)

(1, b)

2

(2, a)

(2, b)

A

3

(3, a)

(3, b)

Otrzymujemy zbiór par Z = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}.

Zbiór Z możemy przedstawić grafem strzałkowym:

Przyjmując oznaczenia: 1 – ser żółty, 2 – szynka, 3 – kiełbasa, a- pieczywo białe, b- pieczy-

wo ciemne, wtedy zbiór Z reprezentuje (jest modelem teoretycznym) możliwych rodzajów

kanapek, które można zrobić dysponując dwoma rodzajami pieczywa i trzema rodzajami do-

datków.

Definicja

Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B (symbol A

×

B) nazywamy zbiór wszystkich

par uporządkowanych, których pierwszy element należy do zbioru A i drugi element na-

leży do zbioru B.

Czyli

A

×

B = {(a, b): a

∈

A i b

∈

B} .

Wiemy, że w danym prostokątnym układzie współrzędnych każdy punkt płaszczyzny

ma dwie współrzędne x, y. Każdemu punktowi odpowiada więc para liczb (x, y), a także od-

wrotnie każdej parze liczb (x, y) odpowiada dokładnie jeden punkt płaszczyzny.

Wykorzystując tę własność układu współrzędnych możemy otrzymać wykres kartezjań-

ski iloczynu A

×

B, gdzie A = { 1, 2, 3, 4}, B = {b: 1

≤

b

≤

3 } . Przedstawia go poniższy

rysunek.

a

b

1
2

3

Z

1

2

1

2

3

3

4

Twierdzenie

Dla dowolnych zbiorów A, B i C zachodzi:

a) (A

∪

B )

×

C = (A

×

C)

∪

(B

×

C),

b)

(A

∩

B)

×

C = (A

×

C)

∩

(B

×

C).

Odniesienia do nauczania

W nauczaniu szkolnym spotkamy się z omawianymi treściami w sytuacjach dydaktycz-

nych związanych z mnożeniem liczb naturalnych. W szczególności, jeżeli mamy dwa skoń-

czone zbiory A i B liczące odpowiednio n i m elementów, to liczba elementów iloczynu kar-

tezjańskiego A

×

B wynosi n • m. Uzasadniamy to wyobrażając sobie elementy zbioru A

×

B

ułożone w prostokątnej tabelce.

Podobnie zbiór B

×

A ma liczebność równą m • n.

Na ogół zbiory A

×

B, B

×

A nie są równe, natomiast są one tak samo liczne (równo-

liczne). Zwykle sytuacja konkretna związana z wyznaczeniem iloczynu liczb n • m jest różna

od sytuacji wymagającej wyznaczenia iloczynu m • n. Np. rozważmy: 2 koszyczki jabłek po 5

sztuk oraz 5 koszyczków po 2 jabłka; to odmienne sytuacje, chociaż w obu przypadkach jest

tyle samo jabłek. Ta różnica między sytuacjami a liczebnością iloczynu bywa źródłem wielu

nieporozumień i trudności posługiwania się mnożeniem liczb przez dzieci.

Nieprzemienność iloczynu kartezjańskiego jest ściśle związana z różną rolą mnożnej i

mnożnika w iloczynie n • m, zaś równoliczność zbiorów A

×

B, B

×

A odpowiada przemien-

ności mnożenia liczb.

Literatura

Nauczanie początkowe matematyki (red. Z. Semadeni), t. 3, WSiP. Warszawa 1984; s.

258 – 276.

T. Sawicki, R. Reclik, J. Nowik, Matematyka, Wydawnictwo Nowik, Opole 1997;

s. 41 - 46.

Ćwiczenia

1.

Dane są zbiory A = { 1, 3, 5}, B = { 2, 4, 5}.

a) Wyznacz oba iloczyny A

×

B, B

×

A ,

b) Narysuj grafy strzałkowe tych iloczynów.

c) Wyznacz wykresy kartezjańskie obu iloczynów kartezjańskich.

2.

Dany jest iloczyn kartezjański zbiorów A i B. Określ zbiory A, B.

3.

Zapisz swój tygodniowy rozkład zajęć w postaci iloczynu kartezjańskiego odpowied-

nio dobranych zbiorów.

4.

Niech A = {n

∈

N: 3 < n < 10}. Wyznacz iloczyny:

a)

∅

×

A, A

×

∅

,

b) {0}

×

A, A

×

{0} ,

1

2

1

2

3

3

4

0