Autor: Martin Slota
Zdroj: http://www.zones.sk
Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú
č
ely a akéko
ľ
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.
1/3
MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
M
ATURITNÝ OKRUH
9:
F
UNKCIE
1. príklad (103/3)
Zadanie: Ur
č
te intervaly monotónnosti a obor funk
č
ných hodnôt funkcie
2
2
:
x
e
y
f
−
=
.
Riešenie:
( )
2
2
2
2
2
2
'
x
x
e
x
e
x
x
f
−
−
⋅
−
=
−
=
Ke
ď
že
2
2
x
e
−
je vždy kladné, funkcia
f
je rastúca, ke
ď
je
0
<
x
(vtedy je
0
>
−
x
a
'
f
je teda
kladná), a klesajúca, ke
ď
je
0
>
x
(vtedy je
0
<
−
x
a
'
f
je teda záporná).
Funkcia
f
je rastúca na intervale
(
0
,
∞
−
a klesajúca na intervale
)
∞
,
0
.
Funkcia
f
má lokálne (aj globálne) maximum v bode
[ ]
1
,
0
. Preto jej funk
č
ná hodnota nestúpa nad
bod
1
a neklesá pod bod
0
, pretože
0
2
2
>
−
x
e
.
Obor funk
č
ných hodnôt funkcie
f
je teda
( ) (
1
,
0
=
f
H
.
2. príklad (103/8)
Zadanie: Nájdite intervaly monotónnosti funkcie
x
x
y
f
ln
2
:
2
−
=
.
Riešenie:
( )
+
=
R
f
D
( )
(
) (
)
x
x
x
x
x
x
x
x
f
1
2
1
2
1
4
1
4
'
2
+
⋅
−
=
−
=
−
=
Ke
ď
že berieme do úvahy iba kladné hodnoty, je funkcia rastúca na intervale
∞
,
2
1
a klesajúca na
intervale
2
1
,
0
.
3. príklad (103/10)
Zadanie: Je daná funkcia
(
)
5
2
:
2
−
⋅
−
=
x
x
y
f
. Na základe grafu
f
rozhodnite, pre ktoré reálne
p
má
rovnica
(
)
p
x
x
=
−
⋅
−
5
2
2
práve štyri korene.
Riešenie:
Nulové body má funkcia
f
v bodoch
2
a
5
.
(
5
,
∞
−
∈
x
:
(
)
(
)
20
24
9
4
4
20
20
5
5
4
4
:
2
3
2
3
2
2
+
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
−
⋅
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
f
( )
(
)
(
) (
)
2
4
3
8
6
3
24
18
3
'
2
2
−
⋅
−
⋅
−
=
+
−
⋅
−
=
−
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
f
Funkcia
f
je rastúca na intervale
4
,
2
a klesajúca na intervaloch
(
2
,
∞
−
a
5
,
4
.
2
+
–
4
5
–
2
1
+
–
0
Autor: Martin Slota
Zdroj: http://www.zones.sk
Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú
č
ely a akéko
ľ
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.
2/3
MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
M
ATURITNÝ OKRUH
9:
F
UNKCIE
)
∞
∈
,
5
x
:
(
)
(
)
20
24
9
20
20
5
4
4
5
4
4
:
2
3
2
2
3
2
−
+
−
=
−
+
−
+
−
=
−
⋅
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
f
( )
(
)
(
) (
)
2
4
3
8
6
3
24
18
3
'
2
2
−
⋅
−
⋅
=
+
−
⋅
=
+
−
=
x
x
x
x
x
x
x
f
Funkcia
f
je rastúca na intervale
)
∞
,
5
.
Funkcia
f
má v bodoch
[ ]
0
,
2
a
[ ]
0
,
5
lokálne minimá a v bode
[ ]
4
,
4
lokálne maximum.
Približný graf funkcie
f
(bez konvexnosti a konkávnosti):
Z grafu môžeme vy
č
íta
ť
, že rovnica
(
)
p
x
x
=
−
⋅
−
5
2
2
má práve štyri korene pre
( )
4
,
0
∈
p
.
4. príklad (103/11)
Zadanie: Z trojuholníka, ktorého základ
ň
a je
c
, výška na základ
ň
u je
v
a uhly pri základni sú ostré, má
by
ť
vystrihnutý obd
ĺ
žnik, pri
č
om jedna strana obd
ĺ
žnika je
č
as
ť
ou základne. Ur
č
te rozmery obd
ĺ
žnika
tak, aby mal maximálny obsah.
Riešenie:
Rozmery obd
ĺ
žnika:
x
KL
=
,
y
LM
=
(
)
β
α
β
α
cotg
cotg
cotg
cotg
1
1
+
⋅
=
⋅
+
⋅
=
+
=
=
v
v
v
BC
AC
c
AB
(
)
v
c
y
c
x
v
c
y
x
y
x
y
x
y
LB
KL
AK
c
AB
−
=
⇒
+
=
+
⋅
+
=
⋅
+
+
⋅
=
+
+
=
=
β
α
β
α
cotg
cotg
cotg
cotg
( )
v
y
y
v
c
cy
xy
S
,
0
2
∈
−
=
=
( )
y
v
c
c
y
S
2
'
−
=
( )
2
0
'
v
y
y
S
=
⇔
=
+
5
α
β
A
B
C
K
L
M
N
1
C
v
x
y
0
5
10
15
20
0
1
2
3
4
5
6
x
y
Autor: Martin Slota
Zdroj: http://www.zones.sk
Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú
č
ely a akéko
ľ
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.
3/3
MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
M
ATURITNÝ OKRUH
9:
F
UNKCIE
( )
⇒
<
−
=
0
2
''
v
c
y
S
v bode
2
v
y
=
je lokálne (a na danom intervale aj globálne) maximum.
2
2
c
v
v
c
c
x
=
−
=
Rozmery obd
ĺ
žnika s najvä
č
ším obsahom vystrihnutého z trojuholníka sú
2
c
a
2
v
.
5. príklad (104/18)
Zadanie: Nájdite body nespojitosti funkcie
2
3
2
:
2
2
+
−
−
−
=
x
x
x
x
y
f
a pokúste sa dodefinova
ť
v týchto bodoch
funkciu
f
tak, aby v nich bola spojitá.
Riešenie:
(
) (
)
(
) (
)
1
2
1
2
:
−
⋅
−
+
⋅
−
=
x
x
x
x
y
f
Body nespojitosti funkcie
f
:
2
a
1
.
( )
3
1
1
lim
lim
2
2
=
−
+
=
→
→
x
x
x
f
x
x
( )
( )
2
lim
2
2
⇒
∃
∧
∉
→
x
f
f
D
x
je odstránite
ľ
ný bod nespojitosti funkcie
f
a funk
č
nú hodnotu v bode
2
by
sme mohli dodefinova
ť
hodnotou
3
.
( )
( )
( )
⇒
∃
⇒
−∞
=
−
+
=
∞
=
−
+
=
→
→
→
→
→
−
−
+
+
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
x
1
1
1
1
1
lim
1
1
lim
lim
1
1
lim
lim
bod
1
nie je odstránite
ľ
ným bodom nespojitosti funkcie
f
.