Autor: Martin Slota
Zdroj: http://www.zones.sk
Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú
č
ely a akéko
ľ
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.
1/4
MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
M
ATURITNÝ OKRUH
12:
G
ONIOMETRICKÉ FUNKCIE
x
y
x
y
0
π
4
l
3
π
4
5
π
4
l
7
π
4
2
π
l
2
-
- 2
-
1. príklad (129/7)
Zadanie: Vyšetrite priebeh funkcie
x
x
y
f
cos
sin
:
+
=
na intervale
π
2
,
0
. Na
č
rtnite jej graf.
Riešenie:
1. nulové body:
π
π
4
7
4
3
cos
sin
0
cos
sin
=
∨
=
⇒
−
=
⇒
=
+
x
x
x
x
x
x
2. prvá derivácia:
( )
( )
π
π
4
5
4
1
sin
cos
0
sin
cos
=
∨
=
⇔
=
⇔
=
′
−
=
′
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
klesajúca na
π
π
4
5
,
4
1
, rastúca na
π
4
1
,
0
a na
π
π
2
,
4
5
lokálne maximum:
2
,
4
1
π
, lokálne minimum:
−
2
,
4
5
π
3. druhá derivácia:
( )
( )
π
π
4
7
4
3
cos
sin
0
cos
sin
=
∨
=
⇔
−
=
⇔
=
′′
−
−
=
′′
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
konvexná na
π
π
4
7
,
4
3
, konkávna na
π
4
3
,
0
a na
π
π
2
,
4
7
inflexné body:
0
,
4
7
,
0
,
4
3
π
π
4. graf:
( )
2
,
2
−
=
f
H
0
π
4
1
π
4
5
π
π
2
+
–
+
–
0
π
4
3
π
4
7
π
π
2
+
–
+
–
1
Autor: Martin Slota
Zdroj: http://www.zones.sk
Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú
č
ely a akéko
ľ
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.
2/4
MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
M
ATURITNÝ OKRUH
12:
G
ONIOMETRICKÉ FUNKCIE
2. príklad (130/13 e) + 14 e))
Zadanie: Na intervale
π
2
,
0
riešte:
a)
0
2
sin
cos
=
+
v
v
b)
0
3
sin
4
tg
2
2
=
−
+
x
x
Riešenie:
(
)
0
sin
2
1
cos
0
cos
sin
2
cos
0
2
sin
cos
=
+
⋅
=
+
=
+
v
v
v
v
v
v
v
=
=
∨
=
∨
=
∨
=
−
=
∨
=
6
11
,
6
7
,
2
3
,
2
6
11
6
7
2
3
2
2
1
sin
0
cos
π
π
π
π
π
π
π
π
K
v
v
v
v
v
v
(
) (
)
2
1
1
8
4
8
8
48
64
8
sin
0
3
sin
8
sin
4
0
3
sin
8
sin
4
0
sin
1
sin
1
3
sin
1
sin
4
sin
0
3
sin
4
cos
sin
0
3
sin
4
tg
2
,
1
2
2
4
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
±
=
±
=
−
±
=
=
+
−
=
−
+
−
=
−
−
⋅
−
−
⋅
+
=
−
+
=
−
+
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
=
⇒
±
=
⇒
=
⇒
±
=
∧
∈
4
7
,
4
5
,
4
3
,
4
2
2
sin
2
1
sin
2
1
1
sin
1
,
0
sin
2
2
2
π
π
π
π
K
x
x
x
x
3. príklad (130/10)
Zadanie: Kruhový výsek má dvojnásobný obsah ako príslušný odsek. Ur
č
te približne ve
ľ
kos
ť
stredového uhla.
Riešenie:
a)
b)
ϕ
r
2
sin
ϕ
⋅
r
2
cos
ϕ
⋅
r
Autor: Martin Slota
Zdroj: http://www.zones.sk
Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú
č
ely a akéko
ľ
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.
3/4
MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
M
ATURITNÝ OKRUH
12:
G
ONIOMETRICKÉ FUNKCIE
Približnú hodnotu stredového uhla
ϕ
by sme teraz dopo
č
ítali itera
č
nou
metódou, a to takto:
(
)
M
3
4
2
3
1
2
1
sin
2
sin
2
sin
2
napr.
2
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
π
ϕ
=
=
=
=
pozn.: Keby ste to náhodou mali niekde dopo
č
ítava
ť
(napr. na
maturite), nezabudnite kalkula
č
ku prestavi
ť
na radiány, alebo to
celé po
č
ítajte v stup
ň
och; približný výsledok je
rad
895
,
1
=
ϕ
.
4. príklad (131/17)
Zadanie: Dokážte, že v každom trojuholníku
ABC
platí
α
α
γ
cotg
sin
cotg
−
⋅
=
c
b
.
Dôkaz (priamy):
Nech
ABC
∆
má vnútorné uhly
=
+
⋅
−
=
+
⋅
−
⇒
α
α
α
γ
β
γ
γ
α
α
γ
γ
β
α
sin
cos
sin
1
sin
sin
sin
cos
cotg
sin
cotg
,
,
c
b
(
)
(
)
α
α
γ
α
γ
β
β
α
γ
β
γ
α
α
γ
γ
α
β
α
γ
cotg
sin
cotg
0
sin
sin
sin
180
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
sin
cos
sin
sin
cos
−
⋅
=
⇒
=
⋅
−
−
°
=
⋅
−
+
=
⋅
⋅
+
−
⋅
=
c
b
Č
BTD.
5. príklad (130/15)
Zadanie: Dokážte, že v rovnobežníku s d
ĺ
žkami strán
b
a,
, d
ĺ
žkami uhloprie
č
ok
f
e,
a ve
ľ
kos
ť
ou
vnútorného uhla
α
platí:
a)
(
)
2
2
2
2
2
b
a
f
e
+
⋅
=
+
b)
α
cos
4
2
2
ab
f
e
=
−
Dôkaz (priamy):
Kosínové vety v
:
, ABC
ABD
∆
∆
(
)
(
)
=
−
+
=
+
⇒
+
+
=
−
°
−
+
=
−
+
=
α
α
α
α
cos
4
2
cos
2
180
cos
2
cos
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ab
f
e
b
a
f
e
ab
b
a
ab
b
a
e
ab
b
a
f
Č
BTD.
6. príklad (129/4)
Zadanie: Nech
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
=
75
sin
65
sin
55
sin
35
sin
25
sin
15
sin
5
sin
a
. Dokážte, že
Q
a
∈
.
Dôkaz (priamy):
(
)
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
π
π
sin
2
sin
2
2
cos
2
sin
2
2
2
cos
2
sin
2
2
2
2
2
2
2
2
vys
2
ods
vys
=
−
=
−
=
⋅
⋅
⋅
−
⋅
=
−
⋅
=
⋅
=
∆
r
r
r
r
S
S
r
S
S
α
a
b
e
f
A
B
C
D
využívame sínusovú vetu
Autor: Martin Slota
Zdroj: http://www.zones.sk
Používanie materiálov zo ZONES.SK je povolené bez
obmedzení iba na osobné ú
č
ely a akéko
ľ
vek verejné
publikovanie je bez predchádzajúceho súhlasu zakázané.
4/4
MATURITNÉ PRÍKLADY Z MATEMATIKY
M
ATURITNÝ OKRUH
12:
G
ONIOMETRICKÉ FUNKCIE
Q
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
∈
⇒
=
⇒
⇒
°
°
⋅
=
⇒
⇒
°
°
⋅
°
⋅
=
⇒
⇒
°
°
⋅
°
⋅
°
⋅
=
⇒
⇒
°
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
⋅
=
⇒
⇒
°
⋅
°
⋅
°
⋅
=
⇒
⇒
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
=
⇒
⇒
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
=
⇒
⇒
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
⋅
°
=
8
8
7
6
5
5
2
1
80
sin
80
sin
2
1
80
sin
40
cos
40
sin
2
1
10
cos
20
cos
40
cos
20
sin
2
1
10
cos
20
cos
40
cos
10
cos
10
sin
2
1
70
sin
50
sin
10
sin
2
1
2
70
sin
2
50
sin
2
30
sin
2
10
sin
5
cos
15
cos
25
cos
35
cos
35
sin
25
sin
15
sin
5
sin
85
sin
75
sin
65
sin
55
sin
35
sin
25
sin
15
sin
5
sin
využívame
2
2
sin
cos
sin
x
x
x
=
⋅