Komputerowe modelowanie

wielkości losowych

Zmienna losowa o rozkładzie jednostajnym (równomiernym)

Podstawowym pytaniem przed rozpoczęciem losowania jest z jakim rozkładem chcemy

otrzymywad wyniki. Dwa najpopularniejsze to rozkład normalny N(0,1) oraz jednostajny U(0,1).

U(0,1)

Uniform - Rozkład równomierny na odcinku od 0 do 1

N(0,1)

Rozkład normalny o wartości oczekiwanej równej 0 oraz wariancji równej 1

Rozkład normalny jest ważny, ponieważ wyjątkowo często występuje w przyrodzie:

„Jeśli jakaś wielkośd jest sumą lub średnią bardzo wielu drobnych losowych czynników, to niezależnie od rozkładu

każdego z tych czynników, jej rozkład będzie zbliżony do normalnego”

Rozkład jednostajny natomiast jest bardzo prosty do uzyskania, często wykorzystywany,

a ponadto pozwala na odtworzenie praktycznie dowolnego innego rozkładu.

W typowym środowisku programistycznym dostępny się generator jednostajny. Jeżeli jednak

by nie było lub chcielibyśmy poznad zasadę działania takiego generatora, oto przykład:

Algorytm tworzenia ciągu liczb pseudolosowych:

1. Pierwsza liczba jest wybierana zewnętrznie (Np. za pomocą polecenia cputime).

2. Kolejne liczby obliczane są jako x

i+1

=f(x

i

)



Aby wygenerowad w ten sposób liczby z przedziału 0 do k wykorzystywany jest LCG
(Linear Congruential Generator), dla którego:

X

n+1

= (a

×

X

n

+ c) mod m

a – mnożnik; c- przyrost; m - moduł



Aby wygenerowad w ten sposób liczby z przedziału (0,1) to stosujemy piłę (tak jak na
pierwszych laboratoriach, które prowadził dr Wachel).

Ponieważ liczby generowane w ten sposób są jedynie pseudolosowe, tak naprawdę tworzą one
powtarzalny ciąg. Sztuka polega na tym, aby tak dobrad współczynniki, aby nie dało się
przewidzied kolejnej liczby. Nie warto zagłębiad się w sposób doboru współczynników - istotne
jest tutaj, czy liczby są względnie pierwsze.

A Symulacja dyskretnych zmiennych losowych

Ustalamy liczby x

1

, x

2

, … , x

i

, … , x

n

które przyjmą wartości wylosowane

Ustalamy przedziały p

1

, p

2

, … , p

i

, … p

n

odpowiadają one prawdopodobieostwom (p

n

=1)

Losujemy liczbę z rozkładem U(0,1)

Jeżeli wpadnie ona do przedziału *p

i

, p

i+1

], to przyjmujemy wartośd x

i

Komputerowe modelowanie wielkości losowych

2

Przykład:

Wartośd X

-1

0

1

Prawdopodobieostwo 0.3 0.6 0.1
Czyli przedziały są takie: p

0

=0; p

1

=0.3; p

2

=0.9; p

3

=1

Losujemy: 0.800 0.141 0.849 0.035 0.655 0.959 0.792 0.115 0.421 0.433
Wynik:

0

-1

0

-1

0

+1

0

-1

0

0

B Symulacja ciągłych zmiennych losowych

B1 Metoda odwracania dystrybuanty (inwersyjna)

Algorytm:

1) Wyznaczenie analitycznej postaci dystrybuanty

2) Zbadanie, czy F(x) jest ściśle rosnąca. (Warunek niezbędny)

3) Wyznaczenie funkcji odwrotnej. Jeżeli F(x)=u, to szukamy funkcji, dla której x=F

-1

(u)

4) Uruchomienie generatora zmiennej losowej U(0,1)

5) Wyznaczenie wartości F

-1

(U)=X

Przykłady:

a) Rozkład wykładniczy (z parametrem λ > 0)



Gęstośd: f(x)=λe

-λx

(x jest nieujemny)



Dystrybuanta: F(x)=𝐹 𝑥 =

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 1 − 𝑒

−λx

𝑥

0



Inwersja dystrybuanty: 𝐹 𝑥 = 𝑢 => 𝑥 = 𝐹

−1

𝑢 = −

1
λ

ln⁡(−𝑢 + 1)



Losujemy liczbę rozkładem jednostajnym i podstawiamy za u.

b) Rozkład trójkątny na odcinku *0, a+

Takie trzy były jeszcze na wykładzie

c) Rozkład Laplace’a

d) Przybliżony rozkład normalny

Aproksymacja

B2 Metoda odrzucania

Warunki:

Znana jest analityczna postad gęstości f(x)

Dostępna jest pomocnicza zmienna losowa g(x), która będzie ograniczad gęstośd f(x), tj

𝑓 𝑥 ≤ 𝑐 ∙ 𝑔(𝑥)

1) Uruchomid generator zmiennej pomocniczej o gęstości g(x)

2) Wyznaczyd f(x), g(x), c g(x)

3) Uruchomid generator U(0,1)

4) Dla otrzymanego U wynaczyd iloczyn c g(x) U

5) a) jeżeli c g(x) U=< f(x) akceptujemy

b) jeżeli c g(x) U> f(x) odrzucamy

Komputerowe modelowanie wielkości losowych

3

Estymacje

plik A1 Estymatory

Modelowanie (rekonstrukcje) rozkładów zmiennych losowych

Dyskretna (binarna) zmienna losowa

𝐼 𝑋

𝐾

≤ 𝑥 =

1 𝑔𝑑𝑦 𝑋

𝐾

≤ 𝑥 𝑧𝑎𝑐𝑕𝑜𝑑𝑧𝑖

0 𝑔𝑑𝑦 𝑋

𝐾

≤ 𝑥 𝑛𝑖𝑒 𝑧𝑎𝑐𝑕𝑜𝑑𝑧𝑖

A Rekonstrukcja dystrybuanty – empiryczna dystrybuanta

𝐹

𝑁

𝑥 =

#{𝑋

𝐾

≤ 𝑥}

𝑁

=

1

𝑁

#{𝑋

𝐾

≤ 𝑥} =

1

𝑁

𝐼{𝑋

𝐾

≤ 𝑥}

𝑁

𝑘=1

B Rekonstrukcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa –

empiryczna gęstość

B1 Histogram

𝑓

𝑁

𝑥 =

𝐹

𝑁

𝑥 + 𝑕 − 𝐹

𝑁

(𝑥)

𝑕

=

#{𝑋

𝐾

≤ 𝑥 + 𝑕} − #{𝑋

𝐾

≤ 𝑥}

𝑁𝑕

=

#{𝑥 < 𝑋

𝐾

≤ 𝑥 + 𝑕}

𝑁𝑕

=

1

𝑁𝑕

𝐼{𝑥 < 𝑋

𝐾

≤ 𝑥 + 𝑕}

𝑁

𝑘=1

𝑕 − 𝑚𝑎ł𝑒; 𝑕 > 0; # − 𝑖𝑙𝑜ść

B3 Estymator ortogonalny

O tym nawet nie ma co wspominad – ewentualnie że istnieje.

B3A Reprezentacja wektora w bazie ortogonalnej
B3B Reprezentacja funkcji w przestrzeni funkcyjnej

B2 Estymator jądrowy (uogólnienie histogramu)

Przekształcając

histogram

otrzymujemy:

𝑓

𝑁

𝑥 =

1

𝑁𝑕

𝐼 𝑥 < 𝑋

𝐾

≤ 𝑥 + 𝑕

𝑁

𝑘=1

=

1

𝑁𝑕

𝐼 0 < 𝑋

𝐾

− 𝑥 ≤ 𝑕 =

𝑁

𝑘=1

1

𝑁𝑕

𝐼 0 <

𝑋

𝐾

−𝑥

𝑕

≤ 1 =

𝑁

𝑘=1

1

𝑁𝑕

𝐼 −1 ≤

𝑥−𝑋

𝐾

𝑕

< 0

𝑁

𝑘=1

Po symetryzacji: 𝑓

𝑁

(𝑥) =

1

𝑁𝑕

𝐼 −

1
2

≤

𝑥−𝑋

𝐾

𝑕

<

1
2

𝑁

𝑘=1

=

1

𝑁𝑕

𝐾(

𝑥−𝑋

𝐾

𝑕

)

𝑁

𝑘=1

K - funkcja jądra. Przypisuje ona jednakowe „wagi” wszystkim obserwacjom z h-otoczenia

punktu „x”. Przykładowe funkcje jądra:

Komputerowe modelowanie wielkości losowych

4

Jądro prostokątne (okno Parzena)

Jądro trójkątne

Jądro kwadratowe

Jądro Gaussa



Jądro Cauchy’ego



Dowolna parzysta funkcja gęstości prawdopodobieostwa, całkowalna z kwadratem