2009-11-27

© Lesław ŁADNIAK

1. M

ETODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH

Istotą metody potencjałów węzłowych jest fakt, iż wartość

prądu płynącego w rozpatrywanej gałęzi zależy tylko od napięcia
na zaciskach tej gałęzi oraz od wartości elementów tworzących
gałąź. Metoda potencjałów węzłowych została opublikowana przez
Carlo Coltri’ego w roku 1893.

1.1 Metoda potencjałów węzłowych

Rozpatrzmy fragment obwodu elektrycznego przedstawiony na

Rys. 1. Przyjmujmy, że znane są wartości potencjałów węzłów A,
B oraz C. Znane są także parametry gałęzi łączących węzeł „k” z
węzłami A, B oraz C. Należy znaleźć równanie umożliwiające
wyznaczenie wartości potencjału węzła „k”.

Rozwiązanie:

1. Przyjmijmy kierunki prądów w gałęziach.

2. Korzystając z prądowego prawa Kirchhoffa dla węzła „k”
możemy napisać:

i

A

- i

B

- i

C

= 0

3. Zaznaczmy kierunki napięć na elementach pasywnych
w poszczególnych gałęziach i napiszmy równania na potencjały
wezłów sąsiadujących z węzłem „k”:

V

A

= V

k

+ E

A

– u

A

V

B

= V

k

+ u

B

Stąd prądy płynące w poszczególnych gałęziach wynoszą:

i

A

=

u

A

R

A

=

(V

k

+ E

A

) - V

A

R

A

i

B

=

u

B

R

B

=

V

B

- V

k

R

B

i

C

= I

ź

k

I

ź

C

A

B

R

B

R

A

E

A

D

Rys. 1. Fragment obwodu elektrycznego

V

k

I

ź

V

C

V

A

V

B

R

B

R

A

E

A

i

B

i

A

i

C

u

B

u

A

V

D

Rys. 2. Fragment obwodu elektrycznego

zaznaczonymi kierunkami prądów

2

© Lesław ŁADNIAK

Po podstawieniu wartości prądów gałęziowych do równania

wynikającego z prądowego prawa Kirchhoffa dla węzła „k”,
otrzymujemy:

V

k

+ E

A

- V

A

R

A

-

V

B

- V

k

R

B

- I

ź

= 0

V

k

R

A

+

E

A

R

A

-

V

A

R

A

-

V

B

R

B

+

V

k

R

B

- I

ź

= 0

(

1

R

A

+

1

R

B

)V

k

-

1

R

A

V

A

-

1

R

B

V

B

= I

ź

-

E

A

R

A

Jeżeli w powyższym równaniu zamiast rezystancji gałęzi

wykorzystamy przewodność tych gałęzi, to możemy napisać:

(G

A

+ G

B

) V

k

- G

A

V

A

- G

B

V

B

= I

ź

- G

A

E

A

lub

G

k

V

k

- G

A

V

A

- G

B

V

B

= I

źk

(*)

gdzie:
G

k

- suma przewodności gałęzi przyłączonych do węzła „k”,

G

A

- przewodność gałęzi łączącej węzeł „k” z węzłem A,

G

B

- przewodność gałęzi łączącej węzeł „k” z węzłem B,

I

źk

- algebraiczna suma źródeł prądowych dopływających do

węzła „k”.

Jak wynika z równania (*) potencjał węzła „k” zależy tylko od

potencjałów węzłów bezpośrednio przyłączonych do tego węzła,
źródeł prądowych przyłączonych do węzła „k” oraz parametrów
gałęzi łączących węzeł „k” z sąsiednimi węzłami.

W celu rozwiązania obwodu elektrycznego złożonego z „g”

gałęzi oraz „w” węzłów metodą potencjałów węzłowych, należy
ułożyć dla każdego węzła niezależnego równanie zgodnie z
prądowym prawem Kirchhoffa:

G

1

V

1

– G

2

V

2

– G

3

V

3

... – G

w-1

V

w-1

= I

ź1

:

G

k

V

k

– G

1

V

1

– G

2

V

2

... – G

w-1

V

w-1

= I

źk

:
G

w-1

V

w-1

– G

1

V

1

– G

2

V

2

... – G

w-2

V

w-2

= I

ź w-1

Otrzymamy układ „w-1” równań umożliwia wyznaczenie

wartości potencjałów wszystkich węzłów niezależnych w
odniesieniu do wartości potencjału węzła odniesienia.

V

k

I

ź

V

C

V

A

V

B

R

B

R

A

E

A

i

B

i

A

i

C

u

B

u

A

V

D

3

© Lesław ŁADNIAK

1.2 Metoda potencjałów węzłowych –
algorytm

1. Ponumerować węzły i przyjąć węzeł odniesienia. Za węzeł
odniesienia najlepiej jest przyjąć taki węzeł do którego
przyłączonych jest najwięcej gałęzi.

2. Przyjąć orientację prądów płynących w poszczególnych
gałęziach. Dla prądów gałęzi przyłączonych do węzła odniesienia
przyjąć orientację do tego węzła.

3. Wyznaczyć parametry zastępcze gałęzi dla gałęzi złożonych z
szeregowo połączonych elementów.

4. Dla każdego węzła niezależnego napisać równanie
wynikające z prądowego prawa Kirchhoffa. Prądy źródłowe
wpływające do węzła przyjmujemy ze znakiem dodatnim, gdy
dopływają do węzła. Dla prądów źródłowych odpływających od
węzła przyjmujemy znak ujemny.

W celu ujednolicenia zapisu można zamienić wszystkie źródła

napięciowe na źródła prądowe.

5. Wyznaczyć wartości potencjałów w poszczególnych węzłach
niezależnych

równań

wynikających z prądowego prawa

Kirchhoffa korzystając na przykład z metody wyznaczników.


Uwagi:

Jeżeli obwód zawiera gałęzie, w których występują idealne

źródła napięcia, to w metodzie węzłowej, korzystnie jest wybrać
za węzeł odniesienia ten węzeł, do którego dołączone jest idealne
źródło napięcia. W takim przypadku liczba równań maleje, gdyż
liczba nieznanych napięć między węzłowych jest pomniejszona
o liczbę idealnych źródeł napięcia.

V

K

I

ź

V

C

V

A

V

B

R

B

R

A

E

A

i

B

i

A

i

C

u

B

u

A

V

D