2009-11-27
© Lesław ŁADNIAK
1. M
ETODA POTENCJAŁÓW WĘZŁOWYCH
Istotą metody potencjałów węzłowych jest fakt, iż wartość
prądu płynącego w rozpatrywanej gałęzi zależy tylko od napięcia
na zaciskach tej gałęzi oraz od wartości elementów tworzących
gałąź. Metoda potencjałów węzłowych została opublikowana przez
Carlo Coltri’ego w roku 1893.
1.1 Metoda potencjałów węzłowych
Rozpatrzmy fragment obwodu elektrycznego przedstawiony na
Rys. 1. Przyjmujmy, że znane są wartości potencjałów węzłów A,
B oraz C. Znane są także parametry gałęzi łączących węzeł „k” z
węzłami A, B oraz C. Należy znaleźć równanie umożliwiające
wyznaczenie wartości potencjału węzła „k”.
Rozwiązanie:
1. Przyjmijmy kierunki prądów w gałęziach.
2. Korzystając z prądowego prawa Kirchhoffa dla węzła „k”
możemy napisać:
i
A
- i
B
- i
C
= 0
3. Zaznaczmy kierunki napięć na elementach pasywnych
w poszczególnych gałęziach i napiszmy równania na potencjały
wezłów sąsiadujących z węzłem „k”:
V
A
= V
k
+ E
A
– u
A
V
B
= V
k
+ u
B
Stąd prądy płynące w poszczególnych gałęziach wynoszą:
i
A
=
u
A
R
A
=
(V
k
+ E
A
) - V
A
R
A
i
B
=
u
B
R
B
=
V
B
- V
k
R
B
i
C
= I
ź
k
I
ź
C
A
B
R
B
R
A
E
A
D
Rys. 1. Fragment obwodu elektrycznego
V
k
I
ź
V
C
V
A
V
B
R
B
R
A
E
A
i
B
i
A
i
C
u
B
u
A
V
D
Rys. 2. Fragment obwodu elektrycznego
zaznaczonymi kierunkami prądów
2
© Lesław ŁADNIAK
Po podstawieniu wartości prądów gałęziowych do równania
wynikającego z prądowego prawa Kirchhoffa dla węzła „k”,
otrzymujemy:
V
k
+ E
A
- V
A
R
A
-
V
B
- V
k
R
B
- I
ź
= 0
V
k
R
A
+
E
A
R
A
-
V
A
R
A
-
V
B
R
B
+
V
k
R
B
- I
ź
= 0
(
1
R
A
+
1
R
B
)V
k
-
1
R
A
V
A
-
1
R
B
V
B
= I
ź
-
E
A
R
A
Jeżeli w powyższym równaniu zamiast rezystancji gałęzi
wykorzystamy przewodność tych gałęzi, to możemy napisać:
(G
A
+ G
B
) V
k
- G
A
V
A
- G
B
V
B
= I
ź
- G
A
E
A
lub
G
k
V
k
- G
A
V
A
- G
B
V
B
= I
źk
(*)
gdzie:
G
k
- suma przewodności gałęzi przyłączonych do węzła „k”,
G
A
- przewodność gałęzi łączącej węzeł „k” z węzłem A,
G
B
- przewodność gałęzi łączącej węzeł „k” z węzłem B,
I
źk
- algebraiczna suma źródeł prądowych dopływających do
węzła „k”.
Jak wynika z równania (*) potencjał węzła „k” zależy tylko od
potencjałów węzłów bezpośrednio przyłączonych do tego węzła,
źródeł prądowych przyłączonych do węzła „k” oraz parametrów
gałęzi łączących węzeł „k” z sąsiednimi węzłami.
W celu rozwiązania obwodu elektrycznego złożonego z „g”
gałęzi oraz „w” węzłów metodą potencjałów węzłowych, należy
ułożyć dla każdego węzła niezależnego równanie zgodnie z
prądowym prawem Kirchhoffa:
G
1
V
1
– G
2
V
2
– G
3
V
3
... – G
w-1
V
w-1
= I
ź1
:
G
k
V
k
– G
1
V
1
– G
2
V
2
... – G
w-1
V
w-1
= I
źk
:
G
w-1
V
w-1
– G
1
V
1
– G
2
V
2
... – G
w-2
V
w-2
= I
ź w-1
Otrzymamy układ „w-1” równań umożliwia wyznaczenie
wartości potencjałów wszystkich węzłów niezależnych w
odniesieniu do wartości potencjału węzła odniesienia.
V
k
I
ź
V
C
V
A
V
B
R
B
R
A
E
A
i
B
i
A
i
C
u
B
u
A
V
D
3
© Lesław ŁADNIAK
1.2 Metoda potencjałów węzłowych –
algorytm
1. Ponumerować węzły i przyjąć węzeł odniesienia. Za węzeł
odniesienia najlepiej jest przyjąć taki węzeł do którego
przyłączonych jest najwięcej gałęzi.
2. Przyjąć orientację prądów płynących w poszczególnych
gałęziach. Dla prądów gałęzi przyłączonych do węzła odniesienia
przyjąć orientację do tego węzła.
3. Wyznaczyć parametry zastępcze gałęzi dla gałęzi złożonych z
szeregowo połączonych elementów.
4. Dla każdego węzła niezależnego napisać równanie
wynikające z prądowego prawa Kirchhoffa. Prądy źródłowe
wpływające do węzła przyjmujemy ze znakiem dodatnim, gdy
dopływają do węzła. Dla prądów źródłowych odpływających od
węzła przyjmujemy znak ujemny.
W celu ujednolicenia zapisu można zamienić wszystkie źródła
napięciowe na źródła prądowe.
5. Wyznaczyć wartości potencjałów w poszczególnych węzłach
niezależnych
równań
wynikających z prądowego prawa
Kirchhoffa korzystając na przykład z metody wyznaczników.
Uwagi:
Jeżeli obwód zawiera gałęzie, w których występują idealne
źródła napięcia, to w metodzie węzłowej, korzystnie jest wybrać
za węzeł odniesienia ten węzeł, do którego dołączone jest idealne
źródło napięcia. W takim przypadku liczba równań maleje, gdyż
liczba nieznanych napięć między węzłowych jest pomniejszona
o liczbę idealnych źródeł napięcia.
V
K
I
ź
V
C
V
A
V
B
R
B
R
A
E
A
i
B
i
A
i
C
u
B
u
A
V
D