Zestaw 7. Równania Bernoulliego

Definicja 1. Równanie różniczkowe nazywamy równaniem Bernoulliego, gdy jest ono postaci

y

0

+ f (x)y = g(x)y

n

,

gdzie 0 6= n 6= 1.

Równanie takie sprowadza się do równania liniowego przez zastosowanie podstawienia z = y

1−n

.

Zadanie 1. Sprawdź, że podstawienie z = y

1−n

rzeczywiście sprowadza równanie Bernoulliego do równania liniowego.

Zadanie 2. Rozwiąż poniższe równania różniczkowe Bernoulliego:

(a) y

0

+ y = x

√

y,

(b) y

0

+ xy = xy

3

,

(c) y

0

− xy = −x

2

y

3

,

(d) y

0

− 2ye

x

= 2

√

ye

x

,

(e) y

0

+ y + y

2

sin x = 0,

(f) x

2

y

2

y

0

+ xy

3

= a

2

.

1