Zestaw 7. Równania Bernoulliego

Definicja 1. Równanie różniczkowe nazywamy równaniem Bernoulliego, gdy jest ono postaci y0 + f ( x) y = g( x) yn, gdzie 0 6= n 6= 1 .

Równanie takie sprowadza się do równania liniowego przez zastosowanie podstawienia z = y 1 −n.

Zadanie 1. Sprawdź, że podstawienie z = y 1 −n rzeczywiście sprowadza równanie Bernoulliego do równania liniowego.

Zadanie 2. Rozwiąż poniższe równania różniczkowe Bernoulliego:

√

(a) y0 + y = x y,

(b) y0 + xy = xy 3,

(c) y0 − xy = −x 2 y 3,

√

(d) y0 − 2 yex = 2 yex,

(e) y0 + y + y 2 sin x = 0,

(f) x 2 y 2 y0 + xy 3 = a 2.

1