WYTĘŻENIE

Podstawowe pojęcia

Podstawowym warunkiem jaki musi spełnić każda konstrukcja jest warunek wytrzymałości.
Najpewniejszym sprawdzeniem jest doświadczenie:

naprężenie niebezpieczne/współczynnik bezpieczeństwa = naprężenie dopuszczalne.

Jest to możliwe w przypadku prostych przypadków wytrzymałości. Dla złożonych stanów
naprężenia jest to niemożliwe.

W przypadku gdy element (konstrukcja) obciążony jest złożonym stanem naprężenia
istotnym jest określenie dla jakich ich wartości wejdzie on w stan niebezpieczny czyli
należy ustalić jakie wielkości są miarą wytężenia materiału.

Wytężenie – miara osiągnięcia stanu niebezpiecznego.

Stan niebezpieczny -

takie odkształcenie trwałe które uniemożliwia prawidłową pracę elementu,

-

lub zniszczenie (złom) elementu.

Stawia się hipotezę, że można utworzyć funkcję W określającą wytężenie. Jej argumentem sa
składowe stanu naprężenia i parametry materiału:

W=W(



1

,



2

,



3

, C, .......)

-

nie można jej określić doświadczalnie

Postępuje się następująco: w prostym rozciąganiu określa się wytężenie (R

m

, R

e

) i próbuje się

wytężenie złożonego stanu (



1

,



2

,



3

,) wyrazić przez zastępcze

naprężenie rozciągające, twierdząc, że w obu przypadkach
wytężenie jest jednakowe.



red

= W (



1

,



2

,



3

,)

gdzie funkcja

W

jest pewną hipotezą wytrzymałościową (wytężeniową).

Warunek wytrzymałościowy dla złożonego stanu naprężenia:



red

≤ k

r

HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE

Hipoteza największego naprężenia normalnego.



zc

≤



1

≤



zr

Powierzchnia graniczna wg tej hipotezy w płaskim



zc

≤



2

≤



zr

stanie naprężenia (



3

=0) jest kwadratem.



zc

≤



3

≤



zr

Żadne z naprężeń głównych
nie może być większe od granicy
wytrzymałości przy jednoosiowym
rozciąganiu



zr

i mniejsze od



zc

.

Dopuszcza się stosowanie tej hipotezy
w zakresie złomu rozdzielczego



1



zc



zr



zc



zr



2

Hipoteza największego wydłużenia (de Saint-Venanta) - miarą wytężenia jest największe

wydłużenia właściwe.

Warunek zachowania wytrzymałości
wyraża się w postaci:



1





zr



zr

– wydłużenie przy R

m

dla



2





zr

jednoosiowego rozciągania



3





zr



1

=

1/E

[



1

-



(



2

+



3

)]

itp.

Ponieważ określenie



red

wymaga uwzględnienia prawa Hooke’a, ogranicza to stosowanie tej

hipotezy do materiałów sprężysto-kruchych.

Hipoteza największych naprężeń stycznych (Culomb, Tresca, Guest) – zakłada, że miarą

wytężenia materiału jest największe naprężenie styczne.

W dowolnym stanie:

w prostym rozciąganiu:

2

min

max

max











2

0

max







przyrównując

min

max

0











Naprężenie zredukowane:

r

red

k







min

max







równanie to rozpiszemy na

-



zr

≤



1

-



2

≤



zr

6 równań, niezbędnych do

-



zr

≤



2

-



3

≤



zr

wyznaczenia powierzchni

-



zr

≤



3

-



1

≤



zr

granicznych.


Dla płaskiego stanu



3

=0

i kontur graniczny wygląda:

Wyrażając naprężenia główne przez składowe dowolne



x

,



y

,



xy

:

to









2

2

2

,

1

4

2

1

2

1

xy

y

x

y

x























i





2

2

4

xy

y

x

red















a gdy



y

=0

2

2

4











red

dla prostego ścinania:



x

=0,



y

=0,



xy

=





red

= 2



Hipoteza opiera się na założeniu, że



zr

=-



zc

, można stosować ją tylko dla materiałów

spełniających ten warunek(czyli dla materiałów w stanie sprężysto-plastycznym).



1



2

R

m

R

m

Hipoteza Mohra

Wprowadzając współczynnik

zr

zc









min

max

1













red

Mohr umożliwił zastosowanie hipotezy



max

do materiałów o różnej wytrzymałości
na rozciąganie i ściskanie.

Kontur graniczny w tej hipotezie:

Hipoteza energii właściwej odkształcenia czysto postaciowego (Hipoteza H-M-H)

Energia odkształcenia postaciowego w ogólnym stanie naprężenia:



 















2

2

2

2

2

2

6

6

1

zx

yz

xy

x

z

z

y

y

x

E











































i w stanie jednoosiowym

– (



x

=



0

, pozostałe składowe są równe zeru):

2

0

2

6

1





E







porównując otrzymamy:



 











2

2

2

2

2

2

6

2

1

zx

yz

xy

x

z

z

y

y

x

red







































lub





2

2

2

2

2

2

3

zx

yz

xy

x

z

z

y

y

x

z

y

x

red













































lub



 

 



r

red

k















2

1

3

2

3

2

2

2

1

2

2















dla płaskiego stanu naprężenia:

2

2

2

3

xy

y

x

y

x

red





















lub gdy

















xy

y

x

,

0

,

r

red

k







2

2

3







a dla ścinania





3



red

Dla płaskiego stanu naprężenia
konturem granicznym wg tej hipotezy
jest elipsa opisana na konturze
granicznym hipotezy



max

.



nr

(R

e

lub R

m

)



1



2



zc



zr



1



2



nr

wg hipotezy



max

wg hipotezy Hubera

ścinanie

UWAGI O STOSOWANIU HIPOTEZ WYTĘŻENIOWYCH

Głównym kryterium stosowalności hipotez jest stan materiału.
Z hipotez dla materiałów w stanie sprężysto-plastycznym najlepszą zgodność z
doświadczeniem wykazują hipoteza



max

i hipoteza Hubera, natomiast dla materiałów w

stanie sprężysto-kruchym trudniej jest jednoznacznie wskazać hipotezę dającą najlepsze
wyniki, bowiem wytężenie łączy się tu bezpośrednio z mechanizmem dekohezji. Próbuje się
dla tych materiałów wykorzystywać hipotezę największego naprężenia normalnego czy też
hipotezę największego wydłużenia, oraz zastosować elementy mechaniki pękania w której
mechanizm dekohezji oparty jest na modelu Griffitha.

Stany elastoplastyczny i elastokruchy
są funkcję wielu parametrów
fizycznych, w tym również i stanu
naprężenia. Przedstawia ten problem
wykres Friedmana (1940)

Linie:
a

– granica plastyczności

war.plast. wg hip.



max

b

– warunek złomu wg

hip. max. wydłużenia

c

– warunek złomu w stanie

sprężysto-plastycznym

R

– wytrzymałość na 3-osiowe równomierne rozciąganie

dla 1) płaskie rozciąganie

2) proste rozciąganie

tg



=



/2



=1/2









3

2

1

3

1

2























tg

3) skręcanie

tg



=1/(1+



)

Przykłady stosowania hipotez



rozciąganie ze skręcaniem

wg hipotezy Hubera

2

0

2

2

2

3

3

































W

M

A

N

s

red









zginanie ze skręcaniem

dla koła

W

W

d

W

d

W

2

,

32

,

16

0

3

3

0











W

M

W

M

M

W

M

W

M

red

s

g

s

g

red







































2

2

2

0

2

2

2

75

,

0

3

3







gdzie

2

2

75

,

0

s

g

red

M

M

M





KRUCHE PĘKANIE

Praktyka techniczna wskazuje na niedostatki kryteriów wytrzymałości opartych na hipotezach
wytężenia – spektakularne katastrofy mostów, okrętów, rurociągów.
Wspólne cechy:
1.

Pęknięcia powstałe przy naprężeniach < R

e

występowały nagle i prowadziły do całkowitego

2.

Obiekty miały duże rozmiary.

zniszczenia

3.

Wykorzystywana była w nich technologia spawania.

4.

Katastrofy zachodziły w temperaturach obniżonych.

Stwierdzono, że warunkiem powstania złomu jest obecność szczeliny działającej jako
koncentrator stanu

naprężenia. W pewnych warunkach stanu materiału (temperatura) i energii

sprężystej całego obiektu, równowaga w sąsiedztwie szczeliny staje się niestateczna, następuje
gwałtowne rozszerzanie się szczeliny, prowadzące do całkowitej utraty spójności i zniszczenia.

A. Griffith

jako pierwszy podał w 1921 r. model opisujący mechanizm dekohezji badając

mechanizm pękania szkła. W nieograniczonej tarczy, o grubości jednostkowej, obciążonej
naprężeniem jednoosiowym



występuje pęknięcie o długości 2l.

Powstanie szczeliny powoduje spadek energii
odkształcenia sprężystego w tarczy:

E

l

V

S

2

2













Do powstania szczeliny konieczna jest energia
powierzchniowa:











l

S

4



- jednostkowa energia powierzchniowa

Różnica energii:

E

l

l

V

S

V

S

2

2

4





















długość szczeliny

l

kr

przy której następuje jej

rozprzestrzenianie wyznacza się z warunku:

 

E

l

l

V

2

2

4

















kr

kr

l

E







2



-

wzór Griffitha na naprężenie

krytyczne wyprowadzone dla
ciał o strukturze amorficznej

Irwin (1958) w

prowadził wielkość

G

- jednostkową energię propagacji szczeliny

G

=

E

l

2





wprowadzając















2

3

m

N

l

K





-

intensywność naprężeń,

wówczas

G

=

E

K

2

K

– osiąga w chwili nieustalonego, samoistnego wzrostu pęknięcia wartość krytyczną K

C

zwaną wytrzymałością na pękanie. K

C

jest stałą materiałową podobną do R

e

, R

m

.

W zależności od sposobu obciążenia rozróżnia się trzy schematy zniszczenia:

I

II

III

l

l





V

2l

kr



l

l

kr

gdy wzrostowi
długości szczeliny
odpowiada spadek



V, następuje

pęknięcie

T

T

K

IIIC

P

P

K

IC

T

T

K

IIC

WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA - PRZYKŁADY

Skręcanie z rozciąganiem
Przykład Wał śruby okrętowej o długości l=12 [m] i średnicy d=0,1 [m], przenosi moc N=1000

[kM], przy n=1790 [obr.min]. Ciąg śruby okrętowej wynosi P=200 [kN]. Określić



red

wg hipotez mających zastosowanie do stali jako materiału wału.

N

aprężenia wywołane siłą osiową P:

]

[

10

85

,

7

4

1

,

0

4

2

3

2

2

m

d

F















]

[

5

,

25

10

85

,

7

10

200

3

3

MPa

F

P

N















Moment skręcający:

]

[

3925

81

,

9

1790

1000

2

,

716

2

,

716

Nm

n

N

M

s







Naprężenie wywołane momentem skręcającym:

]

[

10

196

,

0

16

1

,

0

16

3

3

3

3

0

m

d

W















]

[

20

10

196

,

0

3925

3

0

MPa

W

M

s













Naprężenia zredukowane:

wg Hubera

]

[

43

20

3

2

,

25

3

2

2

2

2

MPa

N

red



















wg



max

]

[

4

,

47

20

4

2

,

25

4

2

2

2

2

MPa

N

red



















Przykład Określić maksymalne naprężenia w punktach B i C pręta stalowego ABC o przekroju

kwadratowym, wykorzystując hipotezę



max

.

Dane: P = 1 [kN], R = 20 [cm], a = 3 [cm]

W dowolnym przekroju m-

n pręta:

M

g

= P

·HA = PR sin



M

s

= P

·HK = P(R-Rcos



)=PR(1- cos



)

w przekroju B



=90



M

g

= P

·R;

M

s

= P

·R





MPa

a

R

P

W

M

g

g

4

,

44

03

,

0

2

,

0

1000

6

6

3

3

max





















MPa

a

R

P

W

M

k

s

6

,

35

03

,

0

208

,

0

2

,

0

1000

3

3

max



















z tablic znajdujemy



=0,208





MPa

g

red

9

,

83

6

,

35

4

4

,

44

4

2

2

2

2



















w przekroju C



=180



M

g

= 0; M

s

= 2 P

·R



g

= 0;



max

= 2

·35,6=71,2 [MPa]





MPa

red

4

,

142

2

,

71

2

2

4

2

















d

l

d

P

R



A

C

B

Skręcanie ze zginaniem
Przykład Wyznaczyć wg hipotezy Hubera średnicę wału, obciążonego jak na rysunku

n=200 obr/min

N=100 kM

Q

1

=0,8 kN

Q

2

=1,2 kN

D

1

=80 cm

D

2

=100 cm

k=80 MPa

]

[

358

81

,

9

200

100

71620

71620

kNcm

n

N

M

s







2

1

1

1

t

D

M



kN

D

M

t

s

95

,

8

80

358

2

2

1

1









kN

D

M

t

s

16

,

7

100

358

2

2

2

2









W miejscach osadzenia kół na wał działają siły:

R

1

=3t

1

=3·8,95=26,85 kN

R

2

=3t

2

=3·7,16=21,48 kN

Rozpatrujemy zginanie w płaszczyznach xy i xz:

x-

y I P’

1

=Q

1

+R

1

sin30=0,8+26,85 0,5=14,22 kN

II P’

2

=Q

2

+R

2

sin45=1,2+21,48 √2/2=16,39 kN

x-

z I P“

1

=R

1

cos30=26,85 √3/2=23,25 kN

II P”

2

= -R

2

cos45= -

21,48 √2/2= -15,19 kN

znajdujemy reakcje i budujemy wykresy Mg

A’=27,16 kN; B’=3,45; M’

A

= -

711 kNcm; M’

C

=259

A”=23,4 kN; B”=15,34; M”

A

= -

1163 kNcm; M”

C

=1150

Moment gnący wypadkowy w punktach A I C:

kNcm

M

M

M

A

A

A

1363

1163

711

"

'

2

2

2

2











kNcm

M

M

M

C

C

C

1178

1150

259

"

'

2

2

2

2











2

2

2

2

(max)

358

75

,

0

1363

75

,

0











s

g

red

M

M

M

kNcm

1398



k

d

M

W

M

red

red

red







3

32





 

m

k

M

d

red

12

,

0

10

80

13980

32

32

3

6

3













30°

x-y

x-z

M

g wyp

M

s

M

red

z

y

D

1

0,75m

B

C

A

D

2

0,75m

0,5m

1150

259

711

P

2

’

A

’

P

1

’

P

2

”

P

1

”

B

’

B

”

A

”

1163

1178

1363

358

1218

1398

x

45°

2t

1

t

1

t

2

2t

2

y

Zginanie ze ścinaniem
Przykład Belka o przekroju dwuteowym obciążona jest siłą poprzeczną T=30kN i momentem

M

g

=15 kNm. P

rzeanalizować wytężenie w poszczególnych punktach przekroju.

Moment bezwładności całego przekroju względem osi obojętnej:





 

 

4

8

4

3

3

10

2490

2490

6

,

17

2

,

9

20

10

12

1

m

cm

J

Z

















Naprężenie normalne w punktach przekroju odległych o y

1

i y

2

od osi obojętnej:





MPa

J

y

M

Z

g

3

,

60

10

2490

1

,

0

10

15

8

3

1

max

1

























MPa

J

y

M

Z

g

7

,

53

10

2490

088

,

0

10

15

8

3

2

2

















0

3





Momenty statyczne

0

1



S

 

 

3

6

3

2

10

113

113

4

,

9

2

,

1

10

m

cm

S















 

 

3

6

3

2

3

10

144

144

4

,

4

8

,

8

8

,

0

m

cm

S

S

















Naprężenia styczne

0

1









MPa

d

J

S

T

Z

Z

36

,

1

1

,

0

10

2490

10

113

10

30

8

6

3

'

2

























MPa

d

J

S

T

Z

Z

17

008

,

0

10

2490

10

113

10

30

8

6

3

"

2

























MPa

d

J

S

T

Z

Z

7

,

21

008

,

0

10

2490

10

144

10

30

8

6

3

3





















Naprężenie zredukowane – materiał sprężysto-plastyczny –stosujemy hipotezę Hubera

2

2

3











red





MPa

red

3

,

60

1

1













MPa

red

75

,

53

36

,

1

3

7

,

53

3

2

2

2

'

2

2

2

'

2























MPa

red

2

,

61

17

3

7

,

53

3

2

2

2

"

2

2

2

"

2























MPa

red

6

,

37

7

,

21

3

3

3

3















100

44

200

176

8

94



(y)

y

z



max



max



(y)

1

2

3