WYTĘŻENIE
Podstawowe pojęcia
Podstawowym warunkiem jaki musi spełnić każda konstrukcja jest warunek wytrzymałości.
Najpewniejszym sprawdzeniem jest doświadczenie:
naprężenie niebezpieczne/współczynnik bezpieczeństwa = naprężenie dopuszczalne.
Jest to możliwe w przypadku prostych przypadków wytrzymałości. Dla złożonych stanów
naprężenia jest to niemożliwe.
W przypadku gdy element (konstrukcja) obciążony jest złożonym stanem naprężenia
istotnym jest określenie dla jakich ich wartości wejdzie on w stan niebezpieczny czyli
należy ustalić jakie wielkości są miarą wytężenia materiału.
Wytężenie – miara osiągnięcia stanu niebezpiecznego.
Stan niebezpieczny -
takie odkształcenie trwałe które uniemożliwia prawidłową pracę elementu,
-
lub zniszczenie (złom) elementu.
Stawia się hipotezę, że można utworzyć funkcję W określającą wytężenie. Jej argumentem sa
składowe stanu naprężenia i parametry materiału:
W=W(
1
,
2
,
3
, C, .......)
-
nie można jej określić doświadczalnie
Postępuje się następująco: w prostym rozciąganiu określa się wytężenie (R
m
, R
e
) i próbuje się
wytężenie złożonego stanu (
1
,
2
,
3
,) wyrazić przez zastępcze
naprężenie rozciągające, twierdząc, że w obu przypadkach
wytężenie jest jednakowe.
red
= W (
1
,
2
,
3
,)
gdzie funkcja
W
jest pewną hipotezą wytrzymałościową (wytężeniową).
Warunek wytrzymałościowy dla złożonego stanu naprężenia:
red
≤ k
r
HIPOTEZY WYTRZYMAŁOŚCIOWE
Hipoteza największego naprężenia normalnego.
zc
≤
1
≤
zr
Powierzchnia graniczna wg tej hipotezy w płaskim
zc
≤
2
≤
zr
stanie naprężenia (
3
=0) jest kwadratem.
zc
≤
3
≤
zr
Żadne z naprężeń głównych
nie może być większe od granicy
wytrzymałości przy jednoosiowym
rozciąganiu
zr
i mniejsze od
zc
.
Dopuszcza się stosowanie tej hipotezy
w zakresie złomu rozdzielczego
1
zc
zr
zc
zr
2
Hipoteza największego wydłużenia (de Saint-Venanta) - miarą wytężenia jest największe
wydłużenia właściwe.
Warunek zachowania wytrzymałości
wyraża się w postaci:
1
zr
zr
– wydłużenie przy R
m
dla
2
zr
jednoosiowego rozciągania
3
zr
1
=
1/E
[
1
-
(
2
+
3
)]
itp.
Ponieważ określenie
red
wymaga uwzględnienia prawa Hooke’a, ogranicza to stosowanie tej
hipotezy do materiałów sprężysto-kruchych.
Hipoteza największych naprężeń stycznych (Culomb, Tresca, Guest) – zakłada, że miarą
wytężenia materiału jest największe naprężenie styczne.
W dowolnym stanie:
w prostym rozciąganiu:
2
min
max
max
2
0
max
przyrównując
min
max
0
Naprężenie zredukowane:
r
red
k
min
max
równanie to rozpiszemy na
-
zr
≤
1
-
2
≤
zr
6 równań, niezbędnych do
-
zr
≤
2
-
3
≤
zr
wyznaczenia powierzchni
-
zr
≤
3
-
1
≤
zr
granicznych.
Dla płaskiego stanu
3
=0
i kontur graniczny wygląda:
Wyrażając naprężenia główne przez składowe dowolne
x
,
y
,
xy
:
to
2
2
2
,
1
4
2
1
2
1
xy
y
x
y
x
i
2
2
4
xy
y
x
red
a gdy
y
=0
2
2
4
red
dla prostego ścinania:
x
=0,
y
=0,
xy
=
red
= 2
Hipoteza opiera się na założeniu, że
zr
=-
zc
, można stosować ją tylko dla materiałów
spełniających ten warunek(czyli dla materiałów w stanie sprężysto-plastycznym).
1
2
R
m
R
m
Hipoteza Mohra
Wprowadzając współczynnik
zr
zc
min
max
1
red
Mohr umożliwił zastosowanie hipotezy
max
do materiałów o różnej wytrzymałości
na rozciąganie i ściskanie.
Kontur graniczny w tej hipotezie:
Hipoteza energii właściwej odkształcenia czysto postaciowego (Hipoteza H-M-H)
Energia odkształcenia postaciowego w ogólnym stanie naprężenia:
2
2
2
2
2
2
6
6
1
zx
yz
xy
x
z
z
y
y
x
E
i w stanie jednoosiowym
– (
x
=
0
, pozostałe składowe są równe zeru):
2
0
2
6
1
E
porównując otrzymamy:
2
2
2
2
2
2
6
2
1
zx
yz
xy
x
z
z
y
y
x
red
lub
2
2
2
2
2
2
3
zx
yz
xy
x
z
z
y
y
x
z
y
x
red
lub
r
red
k
2
1
3
2
3
2
2
2
1
2
2
dla płaskiego stanu naprężenia:
2
2
2
3
xy
y
x
y
x
red
lub gdy
xy
y
x
,
0
,
r
red
k
2
2
3
a dla ścinania
3
red
Dla płaskiego stanu naprężenia
konturem granicznym wg tej hipotezy
jest elipsa opisana na konturze
granicznym hipotezy
max
.
nr
(R
e
lub R
m
)
1
2
zc
zr
1
2
nr
wg hipotezy
max
wg hipotezy Hubera
ścinanie
UWAGI O STOSOWANIU HIPOTEZ WYTĘŻENIOWYCH
Głównym kryterium stosowalności hipotez jest stan materiału.
Z hipotez dla materiałów w stanie sprężysto-plastycznym najlepszą zgodność z
doświadczeniem wykazują hipoteza
max
i hipoteza Hubera, natomiast dla materiałów w
stanie sprężysto-kruchym trudniej jest jednoznacznie wskazać hipotezę dającą najlepsze
wyniki, bowiem wytężenie łączy się tu bezpośrednio z mechanizmem dekohezji. Próbuje się
dla tych materiałów wykorzystywać hipotezę największego naprężenia normalnego czy też
hipotezę największego wydłużenia, oraz zastosować elementy mechaniki pękania w której
mechanizm dekohezji oparty jest na modelu Griffitha.
Stany elastoplastyczny i elastokruchy
są funkcję wielu parametrów
fizycznych, w tym również i stanu
naprężenia. Przedstawia ten problem
wykres Friedmana (1940)
Linie:
a
– granica plastyczności
war.plast. wg hip.
max
b
– warunek złomu wg
hip. max. wydłużenia
c
– warunek złomu w stanie
sprężysto-plastycznym
R
– wytrzymałość na 3-osiowe równomierne rozciąganie
dla 1) płaskie rozciąganie
2) proste rozciąganie
tg
=
/2
=1/2
3
2
1
3
1
2
tg
3) skręcanie
tg
=1/(1+
)
Przykłady stosowania hipotez
rozciąganie ze skręcaniem
wg hipotezy Hubera
2
0
2
2
2
3
3
W
M
A
N
s
red
zginanie ze skręcaniem
dla koła
W
W
d
W
d
W
2
,
32
,
16
0
3
3
0
W
M
W
M
M
W
M
W
M
red
s
g
s
g
red
2
2
2
0
2
2
2
75
,
0
3
3
gdzie
2
2
75
,
0
s
g
red
M
M
M
KRUCHE PĘKANIE
Praktyka techniczna wskazuje na niedostatki kryteriów wytrzymałości opartych na hipotezach
wytężenia – spektakularne katastrofy mostów, okrętów, rurociągów.
Wspólne cechy:
1.
Pęknięcia powstałe przy naprężeniach < R
e
występowały nagle i prowadziły do całkowitego
2.
Obiekty miały duże rozmiary.
zniszczenia
3.
Wykorzystywana była w nich technologia spawania.
4.
Katastrofy zachodziły w temperaturach obniżonych.
Stwierdzono, że warunkiem powstania złomu jest obecność szczeliny działającej jako
koncentrator stanu
naprężenia. W pewnych warunkach stanu materiału (temperatura) i energii
sprężystej całego obiektu, równowaga w sąsiedztwie szczeliny staje się niestateczna, następuje
gwałtowne rozszerzanie się szczeliny, prowadzące do całkowitej utraty spójności i zniszczenia.
A. Griffith
jako pierwszy podał w 1921 r. model opisujący mechanizm dekohezji badając
mechanizm pękania szkła. W nieograniczonej tarczy, o grubości jednostkowej, obciążonej
naprężeniem jednoosiowym
występuje pęknięcie o długości 2l.
Powstanie szczeliny powoduje spadek energii
odkształcenia sprężystego w tarczy:
E
l
V
S
2
2
Do powstania szczeliny konieczna jest energia
powierzchniowa:
l
S
4
- jednostkowa energia powierzchniowa
Różnica energii:
E
l
l
V
S
V
S
2
2
4
długość szczeliny
l
kr
przy której następuje jej
rozprzestrzenianie wyznacza się z warunku:
E
l
l
V
2
2
4
kr
kr
l
E
2
-
wzór Griffitha na naprężenie
krytyczne wyprowadzone dla
ciał o strukturze amorficznej
Irwin (1958) w
prowadził wielkość
G
- jednostkową energię propagacji szczeliny
G
=
E
l
2
wprowadzając
2
3
m
N
l
K
-
intensywność naprężeń,
wówczas
G
=
E
K
2
K
– osiąga w chwili nieustalonego, samoistnego wzrostu pęknięcia wartość krytyczną K
C
zwaną wytrzymałością na pękanie. K
C
jest stałą materiałową podobną do R
e
, R
m
.
W zależności od sposobu obciążenia rozróżnia się trzy schematy zniszczenia:
I
II
III
l
l
V
2l
kr
l
l
kr
gdy wzrostowi
długości szczeliny
odpowiada spadek
V, następuje
pęknięcie
T
T
K
IIIC
P
P
K
IC
T
T
K
IIC
WYTRZYMAŁOŚĆ ZŁOŻONA - PRZYKŁADY
Skręcanie z rozciąganiem
Przykład Wał śruby okrętowej o długości l=12 [m] i średnicy d=0,1 [m], przenosi moc N=1000
[kM], przy n=1790 [obr.min]. Ciąg śruby okrętowej wynosi P=200 [kN]. Określić
red
wg hipotez mających zastosowanie do stali jako materiału wału.
N
aprężenia wywołane siłą osiową P:
]
[
10
85
,
7
4
1
,
0
4
2
3
2
2
m
d
F
]
[
5
,
25
10
85
,
7
10
200
3
3
MPa
F
P
N
Moment skręcający:
]
[
3925
81
,
9
1790
1000
2
,
716
2
,
716
Nm
n
N
M
s
Naprężenie wywołane momentem skręcającym:
]
[
10
196
,
0
16
1
,
0
16
3
3
3
3
0
m
d
W
]
[
20
10
196
,
0
3925
3
0
MPa
W
M
s
Naprężenia zredukowane:
wg Hubera
]
[
43
20
3
2
,
25
3
2
2
2
2
MPa
N
red
wg
max
]
[
4
,
47
20
4
2
,
25
4
2
2
2
2
MPa
N
red
Przykład Określić maksymalne naprężenia w punktach B i C pręta stalowego ABC o przekroju
kwadratowym, wykorzystując hipotezę
max
.
Dane: P = 1 [kN], R = 20 [cm], a = 3 [cm]
W dowolnym przekroju m-
n pręta:
M
g
= P
·HA = PR sin
M
s
= P
·HK = P(R-Rcos
)=PR(1- cos
)
w przekroju B
=90
M
g
= P
·R;
M
s
= P
·R
MPa
a
R
P
W
M
g
g
4
,
44
03
,
0
2
,
0
1000
6
6
3
3
max
MPa
a
R
P
W
M
k
s
6
,
35
03
,
0
208
,
0
2
,
0
1000
3
3
max
z tablic znajdujemy
=0,208
MPa
g
red
9
,
83
6
,
35
4
4
,
44
4
2
2
2
2
w przekroju C
=180
M
g
= 0; M
s
= 2 P
·R
g
= 0;
max
= 2
·35,6=71,2 [MPa]
MPa
red
4
,
142
2
,
71
2
2
4
2
d
l
d
P
R
A
C
B
Skręcanie ze zginaniem
Przykład Wyznaczyć wg hipotezy Hubera średnicę wału, obciążonego jak na rysunku
n=200 obr/min
N=100 kM
Q
1
=0,8 kN
Q
2
=1,2 kN
D
1
=80 cm
D
2
=100 cm
k=80 MPa
]
[
358
81
,
9
200
100
71620
71620
kNcm
n
N
M
s
2
1
1
1
t
D
M
kN
D
M
t
s
95
,
8
80
358
2
2
1
1
kN
D
M
t
s
16
,
7
100
358
2
2
2
2
W miejscach osadzenia kół na wał działają siły:
R
1
=3t
1
=3·8,95=26,85 kN
R
2
=3t
2
=3·7,16=21,48 kN
Rozpatrujemy zginanie w płaszczyznach xy i xz:
x-
y I P’
1
=Q
1
+R
1
sin30=0,8+26,85 0,5=14,22 kN
II P’
2
=Q
2
+R
2
sin45=1,2+21,48 √2/2=16,39 kN
x-
z I P“
1
=R
1
cos30=26,85 √3/2=23,25 kN
II P”
2
= -R
2
cos45= -
21,48 √2/2= -15,19 kN
znajdujemy reakcje i budujemy wykresy Mg
A’=27,16 kN; B’=3,45; M’
A
= -
711 kNcm; M’
C
=259
A”=23,4 kN; B”=15,34; M”
A
= -
1163 kNcm; M”
C
=1150
Moment gnący wypadkowy w punktach A I C:
kNcm
M
M
M
A
A
A
1363
1163
711
"
'
2
2
2
2
kNcm
M
M
M
C
C
C
1178
1150
259
"
'
2
2
2
2
2
2
2
2
(max)
358
75
,
0
1363
75
,
0
s
g
red
M
M
M
kNcm
1398
k
d
M
W
M
red
red
red
3
32
m
k
M
d
red
12
,
0
10
80
13980
32
32
3
6
3
30°
x-y
x-z
M
g wyp
M
s
M
red
z
y
D
1
0,75m
B
C
A
D
2
0,75m
0,5m
1150
259
711
P
2
’
A
’
P
1
’
P
2
”
P
1
”
B
’
B
”
A
”
1163
1178
1363
358
1218
1398
x
45°
2t
1
t
1
t
2
2t
2
y
Zginanie ze ścinaniem
Przykład Belka o przekroju dwuteowym obciążona jest siłą poprzeczną T=30kN i momentem
M
g
=15 kNm. P
rzeanalizować wytężenie w poszczególnych punktach przekroju.
Moment bezwładności całego przekroju względem osi obojętnej:
4
8
4
3
3
10
2490
2490
6
,
17
2
,
9
20
10
12
1
m
cm
J
Z
Naprężenie normalne w punktach przekroju odległych o y
1
i y
2
od osi obojętnej:
MPa
J
y
M
Z
g
3
,
60
10
2490
1
,
0
10
15
8
3
1
max
1
MPa
J
y
M
Z
g
7
,
53
10
2490
088
,
0
10
15
8
3
2
2
0
3
Momenty statyczne
0
1
S
3
6
3
2
10
113
113
4
,
9
2
,
1
10
m
cm
S
3
6
3
2
3
10
144
144
4
,
4
8
,
8
8
,
0
m
cm
S
S
Naprężenia styczne
0
1
MPa
d
J
S
T
Z
Z
36
,
1
1
,
0
10
2490
10
113
10
30
8
6
3
'
2
MPa
d
J
S
T
Z
Z
17
008
,
0
10
2490
10
113
10
30
8
6
3
"
2
MPa
d
J
S
T
Z
Z
7
,
21
008
,
0
10
2490
10
144
10
30
8
6
3
3
Naprężenie zredukowane – materiał sprężysto-plastyczny –stosujemy hipotezę Hubera
2
2
3
red
MPa
red
3
,
60
1
1
MPa
red
75
,
53
36
,
1
3
7
,
53
3
2
2
2
'
2
2
2
'
2
MPa
red
2
,
61
17
3
7
,
53
3
2
2
2
"
2
2
2
"
2
MPa
red
6
,
37
7
,
21
3
3
3
3
100
44
200
176
8
94
(y)
y
z
max
max
(y)
1
2
3