Algebra liniowa z geometrią

Studia internetowe

Zadania domowe #8

1. Dla jakich wartości parametru

p

podany układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, określić

liczby rozwiązań tego układu w pozostałych przypadkach:

{

x

4y−2z=− p

3x

5y− pz=3

px

3pyz= p

A

=

∣

1

4

−2

3

5

− p

p 3p

1

∣

,

B

=

∣

− p

3

p

∣

∣

1

4

−2

3

5

− p

p 3p

1

∣

=− p

2

−8p−7

− p

2

−8p−7=0

=36,



=6

p

1

=

8

−6

−2

=−1

p

1

=

8

6

−2

=−7

Dla

p

≠−1∧ p≠−7

układ ma jedno rozwiązanie.

Dla

p

=−1

:

rzA

=2

rzA| B

=2

⇒ rzA=rz A| Bn ⇒ nieskończenie wiele rozwiązańukład nieoznaczony

Dla

p

=−7

:

rzA

=2

rzA| B

=3

⇒ rzArzA| B ⇒ brak rozwiązańukład sprzeczny

2. Stosując metodę eliminacji Gaussa rozwiązać podany układ równań:

{

x

2y3zt=1

2x

4y−z2t=2

3x

6y10z3t=3

x

 yzt=0

A | B

=

[

1 2

3

1

2 4

−1 2

3 6 10 3

1 1

1

1

∣

1
2
3
0

]

w

2

−2⋅w

1

w

3

−3⋅w

1

w

4

−w

1

[

1 2

3

1

0 0

−7 0

0 0

1

0

0

−1 −2 0

∣

1
0
0

−1

]

w

2

=−7⋅w

3

[

1 2

3

1

0 0

1

0

0

−1 −2 0

∣

1
0

−1

]

−1⋅w

3

[

1 2 3 1

0 0 1 0
0 1 2 0

∣

1
0
1

]

w

2

⇔w

3

[

1 2 3 1
0 1 2 0
0 0 1 0

∣

1
1
0

]

w

1

−2⋅w

2

w

2

−2⋅w

3

[

1 0

−1 1

0 1 0

0

0 0 1

0

∣

−1

1
0

]

w

1

w

3

[

1 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0

∣

−1

1
0

]

{

x

t=−1

y

=1

z

=0

t

− parametr

⇒

{

x

=−1−t

y

=1

z

=0

t

− parametr

3. W podanym układzie równań określić (nie rozwiązując go) liczbę rozwiązań oraz liczbę parametrów:

{

5x

−3y−z=3

2x

 y−z=1

3x

−2y2z=−4

x

− y−2z=−2

A

=

[

5

−3 −1

2

1

−1

3

−2

2

1

−1 −2

]

B

=

[

3
1

−4
−2

]

∣

5

−3 −1

2

1

−1

3

−2

2

∣

=23 ⇒ rzA=3

∣

5

−3 −1

3

2

1

−1

1

3

−2

2

−4

1

−1 −2 −2

∣

=−196 ⇒ rz A| B=4

Wniosek : rzA

rzA| B ⇒ układ jest sprzeczny

4. Znaleźć rząd podanej macierzy w zależności od parametru

p

[

1 p

2

1

−2

7

 p

1 2

2p −3− p

]

∣

1 p

2

1

−2

7

 p

1 2

2p −3− p

∣

=0 ⇒ rzA jest zawsze3

Sprawdzamy minory macierzy:

∣

1

p

1

−2

∣

=− p−2=− p2 ⇒ miejsce zerowe : p=−2

∣

1

p

1 2

2p

∣

= p2 ⇒ miejsce zerowe : p=−2

∣

1

−2

1 2

2p

∣

=2p4=2 p2 ⇒ miejsce zerowe : p=−2

∣

p

2

−2 7 p

∣

= p

2

7p4 ⇒ miejsce zerowe : p=−

7

−



33

2

∧ p=−

7





33

2

∣

p

2

2

2p −3− p

∣

=− p

2

−7p−4=− p

2

7p4 ⇒ miejsce zerowe : p=−

7

−



33

2

∧ p=−

7





33

2

∣

−2

7

 p

2

2p −3− p

∣

=−2p

2

−14p−8=−2 p

2

7p4 ⇒ miejsce zerowe: p=−

7

−



33

2

∧ p=−

7





33

2

∣

1

2

1 7

 p

∣

= p5 ⇒ miejsce zerowe : p=−5

∣

1

2

1

−3− p

∣

=− p−5 ⇒ miejsce zerowe : p=−5

∣

1

7

 p

1

−3− p

∣

=−2p−10=−2 p5 ⇒ miejsce zerowe : p=−5

Z powyższych obliczeń wynika, że rząd macierzy będzie równy 2 dla każdej wartości parametru

p