Algebra liniowa z geometrią
Studia internetowe
Zadania domowe #7
1. Rozwiązać układy równań liniowych stosując wzory Cramera:
a)
{
x
1
−2x
2
−x
3
=0
2x
1
x
2
3x
3
=5
3x
1
−x
2
x
3
=5
A
=
[
1
−2 −1
2
1
3
3
−1
1
]
∣A∣=−5
D
x
1
=
∣
0
−2 −1
5
1
3
5
−1
1
∣
=−10
D
x
2
=
∣
1 0
−1
2 5
3
3 5
1
∣
=−5
D
x
3
=
∣
1
−2 0
2
1
5
3
−1 5
∣
=0
x
1
=2
x
2
=1
x
3
=0
b)
{
x
2
−x
3
=2
x
1
−x
2
=1
x
1
x
3
=1
A
=
[
0
1
−1
1
−1 0
1
0
1
]
∣A∣=−2
D
x
1
=
∣
2
1
−1
1
−1
0
1
0
1
∣
=−4
D
x
2
=
∣
0 2
−1
1 1
0
1 1
1
∣
=−2
D
x
3
=
∣
0
1
2
1
−1 1
1
0
1
∣
=2
x
1
=2
x
2
=1
x
3
=−1
2. Znaleźć rząd macierzy
A
a)
A
=
[
2
0
2
1
2
3
3
−1 2
]
∣A∣=0 ⇒ rzA3
A
=
[
2
0
2
1
2
3
3
−1 2
]
∣
2 0
1 2
∣
=4 ⇒ rzA=2
b)
A
=
[
2
0
2 3
1
2
3 4
3
−1 2 5
]
∣
0
2 3
2
3 4
−1 2 5
∣
=−7 ⇒ rzA=3
3. Stosując metodę kolumn jednostkowych rozwiązać podany układ Cramera:
{
x
−2yz−t=−4
2x
− y− zt =1
x
y2z−t=5
x
y−zt=4
[
1
−2
1
−1
2
−1 −1
1
1
1
2
−1
1
1
−1
1
∣
−4
1
5
4
]
w
2
−2⋅w
1
:3
w
3
−w
1
w
4
−w
1
⇒
[
1
−2
1
−1
0
1
−1
1
0
3
1
0
0
3
−2
2
∣
−4
3
9
8
]
w
1
2⋅w
2
w
3
−3⋅w
2
w
4
−3⋅w
2
⇒
[
1 0
−1
1
0 1
−1
1
0 0
4
−3
0 0
1
−1
∣
2
3
0
−1
]
w
1
2⋅w
2
w
3
−3⋅w
2
w
4
−3⋅w
2
⇒
[
1 0 0
0
0 1 0
0
0 0 0
1
0 0 1
−1
∣
1
2
4
−1
]
w
4
w
3
⇒
[
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
∣
1
2
4
3
]
x
=1
y
=2
z
=3
t
=4
4. Dla jakich wartości parametru
p
∈R
podany układ równań jest układem Cramera:
{
px
3y pz=0
− px2z=3
x
2y pz= p
∣
p
3 p
−1 0 2
1
2 p
∣
= p
2
−4p6
p
2
−4p6=0
=16−24=−8
0 ⇒ dla każdego p∈Rukład jest układemCramera