Algebra liniowa z geometrią

Studia internetowe

Zadania domowe #7

1. Rozwiązać układy równań liniowych stosując wzory Cramera:

a)

{

x

1

−2x

2

−x

3

=0

2x

1

 x

2

3x

3

=5

3x

1

−x

2

x

3

=5

A

=

[

1

−2 −1

2

1

3

3

−1

1

]

∣A∣=−5

D

x

1

=

∣

0

−2 −1

5

1

3

5

−1

1

∣

=−10

D

x

2

=

∣

1 0

−1

2 5

3

3 5

1

∣

=−5

D

x

3

=

∣

1

−2 0

2

1

5

3

−1 5

∣

=0

x

1

=2

x

2

=1

x

3

=0

b)

{

x

2

−x

3

=2

x

1

−x

2

=1

x

1

x

3

=1

A

=

[

0

1

−1

1

−1 0

1

0

1

]

∣A∣=−2

D

x

1

=

∣

2

1

−1

1

−1

0

1

0

1

∣

=−4

D

x

2

=

∣

0 2

−1

1 1

0

1 1

1

∣

=−2

D

x

3

=

∣

0

1

2

1

−1 1

1

0

1

∣

=2

x

1

=2

x

2

=1

x

3

=−1

2. Znaleźć rząd macierzy 

A

a)

A

=

[

2

0

2

1

2

3

3

−1 2

]

∣A∣=0 ⇒ rzA3

A

=

[

2

0

2

1

2

3

3

−1 2

]

∣

2 0
1 2

∣

=4 ⇒ rzA=2

b)

A

=

[

2

0

2 3

1

2

3 4

3

−1 2 5

]

∣

0

2 3

2

3 4

−1 2 5

∣

=−7 ⇒ rzA=3

3. Stosując metodę kolumn jednostkowych rozwiązać podany układ Cramera:

{

x

−2yz−t=−4

2x

− y− zt =1

x

 y2z−t=5

x

 y−zt=4

[

1

−2

1

−1

2

−1 −1

1

1

1

2

−1

1

1

−1

1

∣

−4

1
5
4

]

w

2

−2⋅w

1

:3

w

3

−w

1

w

4

−w

1

⇒

[

1

−2

1

−1

0

1

−1

1

0

3

1

0

0

3

−2

2

∣

−4

3
9
8

]

w

1

2⋅w

2

w

3

−3⋅w

2

w

4

−3⋅w

2

⇒

[

1 0

−1

1

0 1

−1

1

0 0

4

−3

0 0

1

−1

∣

2

3
0

−1

]

w

1

2⋅w

2

w

3

−3⋅w

2

w

4

−3⋅w

2

⇒

[

1 0 0

0

0 1 0

0

0 0 0

1

0 0 1

−1

∣

1
2
4

−1

]

w

4

w

3

⇒

[

1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0

∣

1
2
4
3

]

x

=1

y

=2

z

=3

t

=4

4.   Dla jakich wartości parametru 

p

∈R

podany układ równań jest układem Cramera:

{

px

3y pz=0

− px2z=3

x

2y pz= p

∣

p

3 p

−1 0 2

1

2 p

∣

= p

2

−4p6

p

2

−4p6=0

=16−24=−8

0 ⇒ dla każdego p∈Rukład jest układemCramera