Jakub Grabowski
jakub.grabowski@poczta.fm
1.1. Podpunkt dotyczy propozycji budowy i zapisu aktualnych wartości dwóch rent.
(i) Nieskończona renta malejąca z góry, w której płatności następują m razy w roku, ale nie
są stałe, tylko maleją q razy w roku (zakładamy, że q dzieli m dając liczbę całkowitą, i że m ,
q są liczbami całkowitymi ).
Oznaczmy daną rentę przez
)
(
)
(
m
q
a
D
∞
••
.
Wysokość płatności i ich czas przedstawmy w tabeli:
Tabela 1.
Czas
Płatności
0 1/m … 1/q-1/m
1/q 1/q+1/m … 2/q-1/m
2/q 2/q+1/m … 3/q-1/m
Itd.
1/mq
1/kmq
1/
2
k
mq
Gdzie k>1.
Potraktujmy tą rentę jako ciąg rent stałych, gdzie pierwsza płatność 1/mq jest dokonywana w
okresie od 0 do 1/q-1/m . druga Płatność 1/kmq w okresie 1/q do 2/q-1/m itd.
Kolejne wartości aktualne (ozn.WA) rent stałych, płatnych po 1/mq, 1/kmq …wynoszą:
(1)
=
−
−
⋅
=
+
+
+
=
⋅
+
+
⋅
+
=
⋅
−
−
m
q
m
m
m
q
m
m
q
m
v
v
mq
v
v
mq
v
mq
v
mq
mq
WA
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
1
1
1
...
1
1
m
q
v
v
mq
1
1
1
1
1
−
−
⋅
=
,
(2)
m
q
q
m
q
m
q
q
v
v
v
kmq
v
kmq
v
kmq
v
kmq
WA
1
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
...
1
1
−
−
⋅
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
=
−
+
,
(3)
m
q
q
m
q
m
q
q
v
v
v
mq
k
v
mq
k
v
mq
k
v
mq
k
WA
1
1
2
2
1
3
2
1
2
2
2
2
3
1
1
1
1
...
1
1
−
−
⋅
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
=
−
+
,
(4)
m
q
q
m
q
m
q
q
v
v
v
mq
k
v
mq
k
v
mq
k
v
mq
k
WA
1
1
3
3
1
4
3
1
3
3
3
3
4
1
1
1
1
...
1
1
−
−
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
=
−
+
,
Itd.
Widać, że:
...
3
2
1
)
(
)
(
+
+
+
=
∞
•
•
WA
WA
WA
a
D
m
q
.
Podstawiając, za
k
WA (k =1,2,...) wartości obliczone wyżej, otrzymujemy:
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
−
=
∞
••
...
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
)
(
)
(
q
q
m
q
m
q
v
mq
k
v
kmq
mq
v
v
a
D
k
v
mq
v
v
v
k
v
k
mq
v
v
q
m
q
q
q
m
q
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
...
1
1
1
1
1
1
−
⋅
⋅
−
−
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
−
=
.
Podsumowując, wzór na nieskończoną rentę malejącą z góry, w której płatności następują m
razy w roku, ale nie są stałe , tylko maleją q razy w roku (zakładamy, że q dzieli m dając
liczbę całkowitą, i że m , q są liczbami całkowitymi ), wynosi:
=
∞
••
)
(
)
(
m
q
a
D
k
v
mq
v
v
q
m
q
1
1
1
1
1
1
1
1
−
⋅
⋅
−
−
.
Dla q=1 i m=1 otrzymujemy:
=
∞
•
•
a
D
v
k
k
k
v
k
v
v
v
−
=
−
=
−
⋅
⋅
⋅
−
−
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.
Jest to nieskończona renta malejąca z góry, w której płatności maleją liniowo rokrocznie o k.
(ii)
Nieskończona renta malejąca z dołu, w której płatności następują m razy w roku, ale nie są
stałe , tylko maleją q razy w roku (zakładamy, że q dzieli m dając liczbę całkowitą, i że m , q
są liczbami całkowitymi ).
Oznaczmy daną rentę przez
(
)
)
(
)
(
m
q
a
D
∞
.
Wysokość płatności i ich czas przedstawmy w tabeli:
Tabela 1.
Czas
Płatności
1/m … 1/q-1/m 1/q
1/q+1/m … 2/q-1/m 2/q
2/q+1/m … 3/q-1/m 3/q
Itd.
1/mq
1/kmq
1/
2
k
mq
Gdzie k>1.
Potraktujmy tą rentę jako ciąg rent stałych, gdzie pierwsza płatność 1/mq jest dokonywana w
okresie od 1/m do 1/q . druga Płatność 1/kmq w okresie 1/q+1/m do 2/q itd.
Kolejne wartości aktualne (WA) rent stałych, płatnych po 1/mq, 1/kmq …wynoszą:
(1)
=
−
−
⋅
⋅
=
+
+
+
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
⋅
−
m
q
m
m
m
q
m
m
m
q
m
m
v
v
v
mq
v
v
v
v
mq
v
mq
v
mq
v
mq
WA
1
1
,
1
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
1
...
1
1
1
...
1
1
m
q
m
v
v
v
mq
1
1
1
1
1
1
−
−
⋅
⋅
=
,
(2)
m
q
m
q
q
m
q
m
q
v
v
v
kmq
v
kmq
v
kmq
v
kmq
WA
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
1
1
1
1
...
1
1
−
−
⋅
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
=
+
+
+
,
(3)
m
q
m
q
q
m
q
m
q
v
v
v
mq
k
v
mq
k
v
mq
k
v
mq
k
WA
1
1
1
2
2
3
2
2
2
2
1
2
2
3
1
1
1
1
...
1
1
−
−
⋅
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
=
+
+
+
,
(4)
m
q
m
q
q
m
q
m
q
v
v
v
mq
k
v
mq
k
v
mq
k
v
mq
k
WA
1
1
1
3
3
4
3
2
3
3
1
3
3
4
1
1
1
1
...
1
1
−
−
⋅
⋅
=
⋅
+
+
⋅
+
=
+
+
+
,
Itd.
Widać, że:
(
)
...
3
2
1
)
(
)
(
+
+
+
=
∞
WA
WA
WA
a
D
m
q
.
Podstawiając, za
k
WA (k =1,2,...) wartości obliczone wyżej, otrzymujemy:
(
)
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
−
⋅
=
∞
...
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
)
(
)
(
q
q
m
q
m
m
q
v
mq
k
v
kmq
mq
v
v
v
a
D
k
v
mq
v
v
v
v
k
v
k
mq
v
v
v
q
m
q
m
q
q
m
q
m
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
1
1
1
1
1
1
−
⋅
⋅
−
−
⋅
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
−
−
⋅
=
.
Podsumowując, wzór na nieskończoną rentę malejącą z dołu, w której płatności następują m
razy w roku, ale nie są stałe , tylko maleją q razy w roku (zakładamy, że q dzieli m dając
liczbę całkowitą, i że m , q są liczbami całkowitymi ), wynosi:
(
)
=
∞
)
(
)
(
m
q
a
D
k
v
mq
v
v
v
q
m
q
m
1
1
1
1
1
1
1
1
1
−
⋅
⋅
−
−
⋅
.
Dla q=1 i m=1 otrzymujemy:
( )
=
∞
Da
v
k
k
v
k
v
v
k
v
v
v
v
−
⋅
=
−
=
−
⋅
⋅
⋅
−
−
⋅
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
.
Jest to nieskończona renta malejąca z dołu, w której płatności maleją liniowo rokrocznie o k.
Wniosek: Zapiszemy zależność między dwoma opisanymi rentami:
(
)
)
(
)
(
m
q
a
D
∞
)
(
)
(
1
m
q
m
a
D
v
∞
••
⋅
=
.
Dla q=1 i m=1 otrzymujemy:
( )
=
∞
Da
∞
••
⋅
a
D
v
.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Do nabycia prawa do renty na podstawie art 444 § 2 KC
11 Renty pewne cz2
umowa renty AT6B3TQX6TMMILPBTTNOMOI2YIOV7UOZSOIVIEA
emeryt i renty
RENTY I ZASI KI, Inne
pojęcie renty dożywotniej, finanse
ZUS OKRESY UWZGLĘDNIANE PRZY USTALANIU PRAWA DO EMERYTURY I RENTY I OBLICZANIU WYSOKOŚCI TYCH ŚWIAD
Emerytury i renty (jednolity 2010 styczeń)
Emerytury i renty
emerytury i renty w 2013
D19210503 Rozporządzenie Ministra Skarbu z dnia 27 lipca 1921 r o wypuszczeniu 3% renty państwowej
10 Renty pewne cz1
Najniższe emerytury i renty, Polityka społeczno - gospodarcza
Najniższe emerytury i renty, Rynek pracy i bezrobocie
ubezpieczenia, Emerytury i renty, EMERYTURY I RENTY W NOWYM SYSTEMIE ŚWIADCZEŃ
Renty
Umowa renty 2
renty krotka sciaga, Medycyna, Zdrowie Publiczne & Organizacja i ekonomika w ochronie zdrowia
ILE MOŻNA DOROBIĆ DO RENTY, WTZ
więcej podobnych podstron