Politechnika Cz stochowska

Wydział In ynierii Mechanicznej i Informatyki

Kierunek Informatyka

Specjalno In ynieria Oprogramowania

PRACA MAGISTERSKA

OPRACOWANIE METODY I OPROGRAMOWANIA

DO WIELOKRYTERIALNEJ I WIELOPOZIOMOWEJ

OCENY ALTERNATYW W ZAGADNIENIACH

PODEJMOWANIA DECYZJI

PAWEŁ FIGAT

Nr albumu: 24727
Rok akademicki: 2001/2002
Promotor:

Prof. Dr hab. in . Paweł Sewastianow

Recenzent:

Prof. Dr hab. in . Roman Wyrzykowski

Data oddania pracy:
Ocena promotora:................................... Podpis......................................
Ocena recenzenta:..................................

Podpis......................................

2

Spis tre ci

Wst p…. .......................................................................................................................3
1.

Cel i zakres pracy...............................................................................................4

2.

Problemy oceny alternatyw w warunkach wielokryterialno ci i niepewno ci......6

3.

Problem

budowania

systemu

hierarchicznego

(wielopoziomowego)

wielokryterialnej oceny alternatyw...................................................................28

4.

Opracowanie metody i oprogramowania wspomagaj cego wielokryterialn
i wielopoziomow ocen alternatyw.................................................................36

4.1. Metoda budowania funkcji przynale no ci kryteriów lokalnych........................36
4.2. Metoda i algorytm wyliczenia współczynników wzgl dnej wa no ci kryteriów
lokalnych na podstawie macierzy parzystych porówna ...........................................40
4.3. Metoda agregowania kryteriów lokalnych.........................................................44
4.4. Budowanie hierarchicznego sytemu kryteriów agregowanych...........................46
4.5. Struktura oprogramowania realizuj cego opracowane metody. .........................50

5.

Metoda oszacowania alternatyw przy rozmytych współczynnikach wzgl dnej
wa no ci kryteriów w warunkach ich oceny przez zespół ekspertów. ...............51

5.1. Opracowanie metody oszacowania alternatyw na podstawie lokalnych rozmytych
kryteriów subiektywnych i obiektywnych (cena) oraz ich rozmytych rang. ..............51
5.2. Przykład zastosowania opracowanej metody i oprogramowania dla zagadnienia
optymalizowanego wyboru gatunku stali konstrukcyjnej .........................................53

Stopnie spójno ci z ocenami lingwistycznymi..................................................63

5.3. Opisanie struktury klas realizuj cych metod oszacowania alternatyw. .............69

6.

Podsumowanie i kierunki rozwoju....................................................................74

7.

Literatura .........................................................................................................75

Dodatek A - Skrócona dokumentacja programu...........................................................81
Dodatek B - Najwa niejsze funkcje programu .............................................................83

3

Wst p

Wiadomo, e kwestia oszacowania alternatyw podczas podejmowania

do skomplikowanych decyzji jest nieodzownie zwi zana z ocenami
subiektywnymi.

Podejmowanie

decyzji

jest

wszak e

procesem

wielokryterialnym, wi c oczywistym staje si fakt, e potrzebuje odpowiednich
narz dzi matematycznych, gdy niepewno subiektywna nie mo e by
adekwatnie przedstawiona tylko za pomoc podej cia probabilistycznego.
Takiego rodzaju wieloaspektowy problem zawiera w sobie przecie takie
problemy jak formalizacja matematyczna kryteriów lokalnych w warunkach
niepewno ci, oceny współczynników ich wzgl dnych wa no ci, agregowanie
kryteriów

lokalnych

oraz

budowanie

systemów

hierarchicznych

(wielopoziomowych) kryteriów agregowanych.

Nale y podkre li fakt, e ka dy z tych aspektów, jest opisany odr bnie

w literaturze naukowej. Jednak cała zło ono problemu jest w tym,

e niezb dne jest zbudowanie systemu do uzasadnionego z punktu widzenia

naukowego, syntetyzuj cego wszystkie omówione aspekty w zintegrowany
system wspomagaj cy podejmowanie decyzji. W trakcie budowania systemu
niezb dne jest u ycie nowoczesnych narz dzi matematycznych w tym
elementów teorii zbiorów rozmytych, teorii mo liwo ci oraz metod optymalizacji
wielokryterialnej. Oczywi cie system powinien dostarcza u ytkownikowi
mo liwo w sposób elastyczny formułowa problemy w j zyku konkretnej
dziedziny za pomoc rozwini tego interfejsu.

4

1.

Cel i zakres pracy

Celem poni szej pracy jest opracowanie metody oraz stworzenie aplikacji

pomagaj cej w procesach podejmowania decyzji w warunkach niepewno ci
rozmytej. Na etapie analizy dziedziny przyj to nast puj ce zało enia w
zgodno ci, z którymi metoda i oprogramowanie powinny zapewnia :

1.

Elastyczno i uniwersalno metody. Metoda powinna by
skuteczna dla dowolnego typu zadania podejmowania decyzji.
Metoda powinna dawa mo liwo wiernego odzwierciedlenia
rzeczywisto ci i pozwala na wprowadzenie wszystkich
warunków i przesłanek pojawiaj cych si podczas oceny
alternatyw.

2.

Jak najmniejsza utrata informacji. Podczas pierwotnej obróbki
danych w zło onych problemach metoda powinna zapewnia
jak najmniejsz strat informacji, aby wiarygodno
do otrzymywanych rezultatów była mo liwie najwi ksza.

3.

Prostot w obsłudze aplikacja z intuicyjnym interfejsem
u ytkownika. Sposób wprowadzania danych w programie
powinien by jak najprostszy, posiada mo liwo dokonania
szybkich zmian w analizie danego problemu, a wyniki łatwe
do interpretacji przy wykorzystaniu rozszerzonych graficznych
mo liwo ci komputera.

W nast pnym 2 rozdziale pracy omówiono podstawy teorii, a tak e

najwa niejsze kierunki i metody, które były rozwijane na przestrzeni lat.

5

W punkcie 3 przedstawiono główne problemy pojawiaj ce si podczas

podejmowania zło onych decyzji.

W rozdziale 4 zaprezentowano sposoby rozwi zywania tych problemów

na podstawie opracowanej metody przy u yciu stworzonej w tym celu aplikacji.

W punkcie 5 przedstawiono bazow struktur aplikacji opracowanej na

podstawie grupy metod opisanych w rozdziale 4. Wszystkie rozwa anie
teoretyczne s ilustrowane odpowiednimi przykładami praktycznymi z
ró norakich dziedzin.

W ostatnim punkcie 6 przedstawi mo liwe kierunki dalszego rozwoju

pracy.

6

2.

Problemy

oceny

alternatyw

w

warunkach

wielokryterialno ci i niepewno ci.

Jako dowolnego do skomplikowanego realnego obiektu lub procesu

zwi zanego z działalno ci człowieka z reguły charakteryzuje si zbiorem
kryteriów lokalnych cz sto znajduj cych si w stosunkach antagonistycznych
miedzy sob , kiedy ulepszenie wzgl dnie

jednego z nich powoduje pogorszenie

innego i na odwrót. Oprócz tego kryteria lub ograniczenie cz sto formalizuje
si na poziomie werbalnym w postaci stwierdze raczej o charakterze ogólnym
na przykład stwierdze o dominowaniu jakiego parametru w pewnym zakresie.
Przy zwi kszaniu zło ono ci zadania rola takiego rodzaju informacji jako ciowej
wzrasta i w wielu przypadkach mo e sta si dominuj ca [1]. Jak pokazano w [2]
je eli mamy tylko dwa kryteria w zadaniu optymalizacji niezb dnie istniej
faktory subiektywne zwi zane na przykład z ocen wzgl dnej wa no ci
rozpatrywanych kryteriów. Nie ma w tpliwo ci, e takiego rodzaju trudno ci
mog by łatwo wyeliminowane za pomoc uproszczenia formułowania zadania.
Na przykład mo na sztucznie wyodr bni jakie jedno główne kryterium jako ci
przy tym ostatnie rozpatrywa jako ograniczenia [2]. Inny sposób to u ywanie
metody kolejnych upustów [2]. Jednak wszystko to powoduje odej cie od istoty
zadania i wcale nie eliminuje jako ciowo - subiektywne elementy przenosz c je
z etapu formułowania zadania do etapu analizy rezultatów. Dlatego mo na
powiedzie , e ródłami niepewno ci w zagadnieniach oceny wielokryterialnych
jest niezb dno rangowania kryteriów lokalnych oraz niepewno zwi zana
z faktorami subiektywnymi na etapie ich formalizacji(opisanie na podstawie
opinii ekspertów). Wa no uwzgl dnienia informacji o charakterze
jako ciowym

podkre lana

jest

przez

wielu

uczonych,

7

co odzwierciedlone jest w aktywnych poszukiwaniach narz dzi dla jej
formalizacji.

Jak to cz sto zdarza si w takich sytuacjach sukces był osi gni ty prawie

jednocze nie przez dwóch autorów. W 1963 roku wydrukowano artykuł
Harringtona, w którym dla opisania kryteriów lokalnych i ograniczenia
zaproponowano funkcje u yteczno ci. Przyjmuje ona warto ci ci gle wzrastaj ce
od 0 do 1 przy zmianie odpowiedniego wska nika jako ci z zakresu najgorszych
warto ci do strefy najlepszych. Konkretne formy funkcji u yteczno ci
formułowane s przez osob podejmuj c decyzje na podstawie
jej do wiadczenia i subiektywnych opinii. Dalej na podstawnie budowania
lokalnych funkcji u yteczno ci budowane s kryteria jako ci globalnej,
maksymalizacja, którego zgodnie z metod Harringtona dostarczała optimum.
Metoda Harringtona była najbardziej popularna w dziedzinie planowania
eksperymentów dla poszukiwania warunków optymalnych [3]. Najwi kszym
sukcesem zostały optymalizacja procesów technologii chemicznej [4], obróbki
materiałów [5], w hutnictwie [6], i w całym szeregu innych dziedzin. Warto
podkre li , e funkcje u yteczno ci Harringtona zarówno z punktu widzenia
formy matematycznej oraz sensu merytorycznego s prawie ekwiwalentne
funkcjom

przynale no ci

w

teorii

zbiorów

rozmytych.

Jednak

w skutek nieco ograniczonej interpretacji wprowadzonej przez Harringtona, jego
metoda nie stała si do popularna i nie była dalej rozwijana. Dzisiaj metoda
Harringtona jest wykorzystywana raczej jak pewien praktyczny sposób
w optymalizowanym planowaniu eksperymentów.

Zupełnie inny los spotkał metody formalizacji rozmytych charakterystyk

proponowanych przez L.A.Zadeha [25] w dwa lata po artykule Harringtona.
Teoria zbiorów rozmytych zwłaszcza jej podstawa konceptualna oraz narz dzie
matematyczne dla operowania z obiektami natury lingwistycznej stały si
najbardziej efektywnymi rodkami formułowania zada oceny wielokryterialnej

8

w warunkach niepewno ci o charakterze nie statystycznym. Zadania
wielokryterialne s wyj tkowo rozmaite pod wzgl dem ilo ci i jako ci
dost pnych informacji, co powoduje ró norako proponowanych wariantów
w poj ciu optymalno ci rezultatów oszacowania. Dlatego te jak podkre laj
autorzy pracy [7] poszukiwanie uniwersalnych, niezale nych od dodatkowych
informacji, „rozumnych” decyzji jest działaniem bezowocnym i dlatego dowolne
z heurystycznych podej rozwi zania kompromisowego, które mo na spotka
w literaturze mo e by przydatne tylko dla ci le okre lonego, w skiego grona
zada . Główne osi gni cia i problemy z zakresu rozmytej, wielokryterialnej
optymalizacji i podejmowania decyzji opisane s w literaturze o charakterze
uogólniaj cym [8 -10] i zasadniczym [11-13]. W artykułach [14-17] dla
kreowania modelu podejmowania decyzji w warunkach niepewno ci u ywano
podej cie lingwistyczne pozwalaj ce na formalizowanie zadania w warunkach
kryteriów lokalnych oraz preferencji przedstawionych w j zyku naturalnym.
W pracach [18-21] zagadnienia rozmytej optymalizacji wielokryterialnej
rozpatrywane s przy u yciu współczynników wzgl dnej wa no ci kryteriów
lokalnych. W [22,23] rozwini to podej cie na podstawie teorii mo liwo ci
zbudowanej przez L.Zadeha u ywaj c teorii zbiorów rozmytych,
w [24] rozpatrywano zagadnienie wielokryterialnego podj cia decyzji
w warunkach niepewno ci jednocze nie rozmytych oraz probabilistycznych.

Przeanalizujemy zasadnicze osobliwo ci zada wielokryterialnych

warunkach lokalnych kryteriach rozmytych. W ramach ogólnie przyj tego
podej cia [7] głównymi elementami formułowania zada s :

a.

Zbiór alternatyw;

b.

Zbiór ogranicze , które nie zb dnie jest uwzgl dni w trakcie

szacowania alternatyw;

9

c.

Funkcje przynale no ci – przypisuj ce ka dej alternatywie

odpowiednie warto ci wynikowe (pozytywne lub negatywne),
odpowiadaj ce danej alternatywy.

Cech specyficzn zada rozmytych jest pewna symetria mi dzy

kryteriami lokalnymi i ograniczeniami, które wyeliminuj ró nice mi dzy nimi
z punktu widzenia ich wpływu na wybór alternatyw [26].

Dokładniej:
Niech G – cel rozmyty, C- ograniczenie rozmyte w przestrzeni X, wtedy

zbiór rozmyty D = G

∩

nazywa si rozwi zaniem kompromisowym

i charakteryzuje si funkcj przynale no ci

µ

D

(x) =

µ

G

(x)

∧

µ

C

(x), x

∈

X.( gdzie

∧

to operacja minimum).
W przypadku n celów i m ogranicze mamy:

D = G

1

∩

…

∩

G

n

∩

C

1

∩

…

∩

C

m

. (2.1)

µ

D

(x) =

µ

G1

(x)

∧

…

∧

µ

C1

(x)

∧

…

∧

µ

Cm

(x)

(2.2)

Definicja i przykład rozpatrywany powy ej pozwalaj wnioskowa ,

e w odró nieniu od metod tradycyjnych podej cie na podstawie zbiorów

rozmytych nie przewiduje zasadniczej ró nicy mi dzy celami i ograniczeniami
w ocenach wielokryterialnych a najcz ciej spotykamy sytuacje, kiedy cele
przedstawione s w przestrzeni Y w odró nieniu od przestrzeni alternatyw X.

Jednak istnieje odzwierciedlenie f: X

→

Y, t.j. Y = f(X). U ywanie reguły

rozszerzenia L.Zadeha pozwala na rozpatrywanie zadania w przestrzeni X

u ywaj c nast puj cych wzorów

µ

G

(y) =

µ

G

(f(x)),

µ

C

(z) =

µ

C

(g(x)).

Wzór (2.1) mo na rozpatrywa jak instrukcj rozmyto sformułowan

u ywanie której powoduje dostrze enie celu rozmytego. Ale i w tym przypadku

10

mamy niepewno zwi zan ze sposobem realizacji takiego rodzaju instrukcji
rozmytej. To znaczy mamy problem wyboru alternatyw. Pewne sposoby
rozwi zania tego rodzaju problemów proponowane s w artykule [27].
Najłatwiejszym i powszechnym sposobem jest poszukiwanie alternatyw

maksymalizuj cych

µ

d

i dlatego realizuj cych

{

}

,

(x)

(x),

min

max

(x)

max

C

G

X

x

D

X

x

∈

∈

=

(2.3)

gdzie

µ

G

( ) –koniunkcje wszystkich celów,

µ

( ) – wszystkich ogranicze

W przypadkach, kiedy cele i ograniczenia maj ró n wa no

w [27] zaproponowano sformułowa kryterium uogólniaj ce jak addytywne
kombinacje z wagami charakteryzuj cymi wa no rozpatrywanych kryteriów
lokalnych.

(x),

)

x

(

b

(x)

)

x

(

a

(x)

j

i

C

m

1

j

j

G

n

1

i

i

D

=

=

+

=

(2.4)

gdzie

.

)

x

(

b

)

x

(

a

m

1

j

j

n

1

i

i

1

=

+

=

=

Analogiczne podej cie rozwini to w pracy [19]. Wzór (2.4) w istocie

przekształca pewne kryterium wektorowe w kryterium skalarne za pomoc
kombinacji liniowej komponentu wektorowego funkcji celu. W monografii [28]
odpowiednie funkcje przynale no ci proponuje si formułowa w nast puj cy
sposób

11

(x)}.

)

x

(

b

(x),...,

)

x

(

b

(x),

)

x

(

a

(x),...,

)

x

(

a

min{

(x)

Cm

m

C

G

n

G

D

1

n1

1

1

1

=

(2.5)

Na najbardziej naturalne i kompletnie odzwierciedlaj ce jako ciowy

charakter formułowania preferencji wygl da podej cie proponowane przez
R.Yagera w artykule [21]. Podstaw tego podej cia s tak zwane operacje
koncentrowania i rozci gania

W rezultacie kryterium globalne przyjmuje kształt:

m

1

n

2

1

b

m

b

1

a

n

a

2

a

1

C

...

C

G

...

G

G

D

=

(2.6)

Odpowiednie funkcje przynale no ci b d miały posta :

0.

b

,...,

b

,

a

,...,

a

(x)},

(x),

(x),

(x),...,

min{

(x)

m

1

n

1

b

m

C

b

C

a

n

G

a

G

D

m

1

1

n

1

1

>

=

(2.7)

.

b

a

m

n

1

n

i

m

j

j

i

1

1

1

=

+

+

=

=

(2.8)

W [21] pokazano, e pot gowanie w stopniu wi kszym od jedno ci

wzmacnia zapotrzebowanie realizacji kryterium lokalnego, innymi słowy
zwi ksza jego wa no . Pot gowanie w stopniu mniejszym od jedno ci
przeciwnie zmniejsza wa no kryterium lokalnego. Przy tym zachowywane jest
skalowanie wszystkich funkcji przynale no ci kryteriów lokalnych i ogranicze .
Podej cie Yagera pozwala na rangowanie lokalnych celów i ogranicze
w zgodno ci z intuicyjnymi pogl dami na przedmiot zadania tych lub innych
zapotrzebowa , co dotyczy stopnia dostrze enia ró nych celów. Z innej strony

12

podej cie to pozwala w sposób naturalny u ywa operacje koniunkcji dla
agregowania kryteriów lokalnych razem z współczynnikami ich wzgl dnej
wa no ci.

Dla oceny współczynników wzgl dnej wa no ci R.Yager [21] proponuje

u ywanie metody T.Saaty [29]. Metoda ta polega na otrzymaniu wektora rang

W na podstawie równania typu AW =

λ

max

W, gdzie

λ

max

– maksymalne własna

warto macierzy kryteriów parzystych porówna kryteriów lokalnych.

W [30] udowodniono, e zadanie znalezienia wektora W mo na

zredukowa do problemu minimalizacji funkcjonału

(

)

2

N

1

i

N

1

j

i

j

ij

A

S

= =

−

=

przy ograniczeniu

=

=

N

1

j

j

1

.

U ywaj c du ej ilo ci realnych danych autorzy [30] udowodnili, e ich

podej cie ma cały szereg zalet w porównaniu z metod proponowan wcze niej
przez T.Saaty’ego.

Przedstawiona powy ej analiza pozwala s dzi o tym, e dla ka dego

zadania mo na u ywa kilku wariantów agregowania kryteriów lokalnych
w kryterium globalne. W artykule [31] przedstawiono opini ,

e w rzeczywisto ci mo e istnie rozmyta skala ocen takiego rodzaju wariantów

odzwierciedlaj ca pogl dy osoby podejmuj cej decyzje o najlepszym, idealnym
sposobie formułowania kryterium globalnego.

Niech istnieje X – przestrze alternatyw i D

j

(x), j = 1,…,M – ró ne

sposoby agregowania kryteriów lokalnych (na przykład, (2.1), (2.3), (2.5). Dalej

niech

ν

(D

j

) – stopie , w którym D

j

odpowiada zapotrzebowaniem

13

charakteryzuj cym kryterium idealne. Wtedy w zgodno ci z [31] kryterium
idealne mo na przedstawi w formie pewnego zbioru rozmytego.

( )

=

j

j

D

D

D

(2.9)

W gruncie rzeczy w taki sposób abstrakcyjne poj cie idealnego kryterium

globalnego okre lone jest przez jego cechy w terminach rzeczywistych
dost pnych do zrozumienia. W [31] pokazano, w jaki sposób za pomoc zbiorów
rozmytych typu 2 mo na przedstawi D w terminach przestrzeni alternatyw X
a tak e, e dla znalezienia najlepszej alternatywy mo na stosowa wyra enie
(2.9).

Podsumowuj c warto podkre li ,

e teoria zbiorów rozmytych

nie rozwi zuje w cało ci takich problemów w teorii podejmowania decyzji
jak istnienie du ej ilo ci mo liwych sformułowa zada , istnienie niepewno ci
zwi zanej z subiektywnym charakterem preferencji osób odpowiedzialnych
za podejmowanie decyzji itd.

Zastosowanie teorii zbiorów rozmytych pozwala konstruowa bardziej

nasycone informacj , sensowne sformułowania zada podejmowania decyzji,
gdy w jawnej formie uwzgl dnia informacj jako ciowe przedstawione
w sposób rozmyty. Jak wskazuje N.Mojsiejew we wst pie do ksi ki [28],
do prac L.Zadeha takiego rodzaju jako ciowe informacje po prostu były
odrzucane bo było nie jasne w jaki sposób mo na je stosowa w formalnych
schematach analizy alternatyw. Jednak ju najprostsze zadanie zawieraj ce co
najmniej 2 kryteria niezb dnie zawiera w sobie elementy subiektywizmu.

Dlatego jednym z wa niejszych problemów okazało si formułowanie

globalnego kryterium jako ci dla równowa nych (równoznacznych)

14

i nierównowa nych kryteriów lokalnych i ogranicze . Charakterystyczn cech
wi kszo ci rzeczywistych procesów jest ci gło zmiany parametrów,
okre laj cych kryterium optymalizacji.

W takich warunkach przestrze alternatyw jest ju niesko czona,

co z kolei powoduje niemo liwo stosowania metod teorii podejmowania
decyzji bazuj cych na analizie lokalnych wska ników jako ci przy dyskretnym
zbiorze mo liwych alternatyw [32].

Takie zadanie zwykle rozpatruje si za pomoc formułowania w ten lub

inny sposób pewnych agregacji kryterium lokalnych oraz ogranicze
w kryterium globalne, ekstremum którego dostarcza poszukiwane optimum.

W zgodno ci z wynikami pracy [33], procedura agregacji nie mo e by

do ko ca formalizowana i zawsze zale y od specyfiki zadania, celów,
do wiadczenia i intuicji.

W artykule [6] wykazano, e odmienne warianty agregacji kryteriów

powoduj bardzo ró ne ko cowe rezultaty, co wiadczy o dominuj cej wa no ci
etapu formułowania kryterium globalnego.

Dlatego, niezale nie od braku uogólniaj cej teorii, warto rozpatrzy

pewne najwa niejsze w tki procesu formułowania agregowanych kryteriów,
przeprowadzi analiz najcz ciej stosowanych sposobów budowania
uogólniaj cego wska nika jako ci przy opisywaniu lokalnych kryteriów
za pomoc funkcji przynale no ci.

Bior c pod uwag fakt, e funkcje przynale no ci i funkcje u yteczno ci

Harringtona, w niektórych zastosowaniach s ekwiwalentne w dalszym ci gu
b dziemy u ywa terminu funkcji u yteczno ci jako najprostszy
i najwygodniejszy w kontek cie zada optymalizacji i oceny alternatyw.

W [7] przedstawiono, e przy formułowaniu zada wielokryterialnych

najwa niejsze s problemy porównywania kryteriów lokalnych i wzgl dnej

15

ocenie ich warto ci w optimum. Inaczej mówi c najwa niejsze s wymagania
dotycz ce optymalno ci na podstawie, których formułuje si kryterium globalne.

W [34] rozpatrywano problem porównania w niezale no ci od ró nicy

mi dzy kryteriami i ograniczeniami, które jak to było pokazane powy ej,
jednakowo uczestnicz w formułowaniu kryterium globalnego.

W ramach tego sposobu opisanie kryteriów, problemy ich porównywania

rozszerzaj si do prosto i naturalnie, bo stopie realizacji wymaga kryterium
ilo ciowo charakteryzuje si warto ciami odpowiednich funkcji u yteczno ci.

Dlatego, je eli A i B – s kryteriami, okre lonymi przez własne funkcje

u yteczno ci

µ

( ),

µ

( ),

∈

, wtedy punkt

1

w równym stopniu realizuje

wymagania kryteriów i je eli

µ

(

1

) =

µ

(

1

) i punkt

2

spełnia kryterium

w wi kszym stopniu ni , je li

µ

(

2

)

>

µ

(

2

).

Sformułowany sposób porównywania kryteriów lokalnych jest podstaw

do ich agregacji.

Jako podstawowe wymaganie optymalizacji w [34] wprowadzono

warunek obowi zkowego spełnienia wszystkich kryteriów i ogranicze
tj. w punkcie optimum wszystkie funkcje u yteczno ci powinny by powy ej
zera.

Dodatkowo istniała potrzeba eby w punkcie optimum wszystkie kryteria

ograniczenia były spełnione w mo liwie maksymalnym stopniu.

Innymi słowy niepo dane jest eby warto ci kryterium globalnego

wzrastały przy jednoczesnym ulepszeniu pewnych wska ników jako ci kosztem
ostatnich (co wygl da dosy naturalne zwłaszcza je eli wszystkie kryteria
lokalne i ograniczenia s równowa ne).

W terminologii teorii podejmowania decyzji jest to ekwiwalentne

wymaganie przynale no ci punktu optimum do przestrzeni Pareto [35]

Analiza sposobów formułowania globalnego kryterium na podstawie

przedstawionych powy ej zasad w [34] przeprowadzono rozpoczynaj c

16

od najprostszego przypadku dwóch równowa nych kryteriów lokalnych. Dla tej
sytuacji w [34] udowodniono nast puj cy teoremat 1.

Niech na zbiorze alternatyw X zadane s równowa ne lokalne kryteria A

i B przedstawione odpowiednimi funkcjami u yteczno ci

µ

( ),

µ

( ),

∈

maj cymi maksima w odpowiednich punktach i . Przy tym spełnione
s warunki

µ

( )

>

µ

( ),

µ

( )

>

µ

( )

(2.10)

Wtedy w punkcie optimum b dzie otrzymane maksimum funkcji

µ ( ) = min (µ ( ), µ ( )), ∈

(2.11)

Interpretacja graficzna otrzymanych wyników przedstawiono na

Rys. 2.1

Na rysunku jest widoczne, e funkcja

µ

( ) w postaci (2.11) mo e by

traktowana jako funkcja przynale no ci zbioru C, kreowanego przeci ciem
zbiorów A i B przedstawionych funkcjami przynale no ci (u yteczno ci)

µ

( ),

µ

( ), t.j. =

∩

.

Przy tym w punkcie optimum realizuje si maksimum przeci cia

kryteriów lokalnych.

W zgodno ci z warunkami teorematy 1 obowi zkowe jest spełnienie

obu nierówno ci (2.10). Jednak funkcje u yteczno ci nie powinny by wcale
skalowane do jednostki.

Niespełnienie warunków (2.10) mo e prowadzi do sytuacji kiedy

maksimum funkcji

µ

( ) nie znajduje si w adnym punkcie przeci cia

krzywych

µ

( ),

µ

( ) co pokazane jest na rys 2.2

17

Rys. 2.1.

Sposoby agregowania lokalnych kryteriów równowa nych

I -

µ

( ); II -

µ

( ); 1 -

µ

( ) =

µ

( )

⋅

µ

( );

2 -

µ

( ) = 0.5

µ

( ) +0.5

µ

( );

3 -

µ

( ) = max (0,

µ

( ) +

µ

( ) – 1);

x

1

–punkt optimum dla wariantów 1, 2, 3;

x

2

– punkt optimum dla przeci cia

µ

( ) = min (

µ

( ),

µ

( )).

µ ( )

18

Rys. 2.2. Przeci cie kryteriów lokalnych przy niespełnieniu warunków

(2.10): I -

µ

( ); II -

µ

( ).

W ostatnim przypadku spełnione jest tylko zapotrzebowanie

maksymalnego spełnienia wymaga kryteriów lokalnych bez ich równowarto ci
w punkcie optimum. Takiego rodzaju sytuacje s typowe dla wielu zada ,

w których funkcje u yteczno ci otrzymane niebezpo rednie np.

µ

( ) =

µ

(f( )),

mog zachowywa si nie monotonicznie, mie kilka ekstremów.

Z udowodnionego w [34] teorematu 1 wynika, e agregowanie kryteriów

lokalnych typu (2.11) gwarantuje spełnienie wszystkich sformułowanych
wymaga co do optymalno ci rezultatów.

Warto podkre li , e w rozpatrywanym najprostszym przypadku tylko

agregowanie (2.11) zapewnia otrzymanie optimum odpowiadaj cego tym
zapotrzebowaniom. Ostatnie stwierdzenie ilustrowane jest na rys 2.1, gdzie
widoczne jest, e najcz ciej u ywane sposoby agregowania kryteriów lokalnych
dostarczaj punkty ekstremum w du ej odległo ci od rzeczywistego optimum.

Rozpatrzmy jeszcze jedn wa n cech agregacji typu (2.11). Je eli

interpretowa funkcj

µ

( ) jako funkcje przynale no ci zbioru =

∩

, t.j.

przeci cia zbiorów A i B i traktowa optimum jako punkt posiadaj cy

19

najwi kszy stopie przynale no ci do przestrzeni przeci cia kryteriów lokalnych
wtedy jedynym tylko uzasadnionym sposobem formułowania przeci cia zbiorów
A i B nale y uzna wyra enie (2.11). Rzeczywi cie w przypadku

asymptotycznym = naturalne jest wymaganie

∩

= co jest

równoznaczne z

µ

( ) =

µ

( ), t.j. powinna by spełniona zasada

idempotentno ci

.

Łatwo udowodni , e ani addytywny ani multiplikatywny lub jaki inny

sposób przeci cia zbiorów rozmytych zawieraj cy operacje arytmetyczne
nie zachowuje idempotentno ci w zwi zku, z czym sens ich u ywania dla
agregowani kryteriów lokalnych jest problematyczny w tym samym stopniu jak
problematyczna jest mo liwo naturalnej interpretacji nierówno ci

∩

≠

.

Wszystko to pozwala wnioskowa , e sposób agregowania (2.11) mo e

by przyj ty jako najlogiczniejszy i uzasadniony w przypadku równowa nych
kryteriów lokalnych.

Dalej w [34] rozpatrywany jest przypadek nierównowa nych kryteriów.

Przypuszczano, e do nierównowa nych kryteriów lokalnych A i B mo na

przypisa odpowiednie współczynniki wzgl dnej wa no ci

α

i

α

.

Łatwo sprawdzi , e najcz ciej u ywane addytywne

µ

( ) =

α

µ

( ) +

α

µ

( ) oraz multiplikatywne

( )

( )

( )

(

)

x

*

x

x

B

A

B

A

C

=

sposoby formułowania

kryterium globalnego nie gwarantuj poprawnych rezultatów zada

optymalizacji. Rzeczywi cie w przypadku asymptotycznym

α

=

α

oba

warianty jak to wynika z rys 2.1 dostarczaj maksima w odległo ci od
rzeczywistego optimum. Sposób agregacji proponowany w [36], w naszym
przypadku ma kształt

µ

( ) = min (

α

µ

( ),

α

µ

( ))

(2.12)

,

20

i przy

α

=

α

= 1 jest równoznaczny ze sposobem (2.11). Jednak taki sposób

uwzgl dnienia nierównowa no ci kryteriów lokalnych w praktyce mo e
powodowa rezultaty absurdalne.

Rozpatrzmy sytuacj szczegółowiej. Niech kryteria A i B spełniaj

wszystkie warunki teorematu 1 z wyj tkiem równowa no ci kryteriów

lokalnych, na przykład A wa niejsze ni B sk d naturalnie wynika, e

α

>

α

.

I niech

0

punkt optimum w wypadku równowa no ci A i B. To znaczy

0

maksymalizuje funkcj

µ

( ) = min (

µ

( ),

µ

( )) i niech

0

′

- punkt optimum

dla nierównowa nych A i B maksymalizuj cy

µ ′

( ) = min (

µ ′

( ),

µ ′

( )) =

min (

α

µ

( ),

α

µ

( )). Wtedy

0

′

- jest jednym z pierwiastków równania:

α

µ

( ) =

α

µ

( ),

Ostatnie wyra enie mo na przedstawi w formie:

β

µ

( ) =

µ

( ),

β

=

α

⁄

α

>

1

(2.13)

Przypu my, e

<

, gdzie

,

- punkty

maksimum funkcji

µ

( ) i

µ

( ). Wtedy pod warunkiem

µ

( ) =

µ

( ),

∈

, (2.13), a tak e

uwzgl dniaj c monotoniczne zmniejszenie

µ

( ) i wzrost

µ

( ) na odcinku

[ ,

], mo na wnioskowa , e

0

′

>

0

. St d wynika, e

µ

(

0

′

)

<

µ

(

0

′

),

inaczej mówi c kryterium A spełnia si w mniejszym stopniu ni B, co jest
sprzeczne z pocz tkowym zało eniem o wi kszym znaczeniu kryterium A.
Udowodnienie teorematu 1 jest ilustrowane na rys 2.3.

Oczywistym jest, e dla otrzymania zrozumiałego, nie kontrowersyjnego

rezultatu za pomoc agregacji typu (2.12) nale y wa niejsze kryterium
pomno y przez mniejsz rang . Jednak jest to sprzeczne z intuicyjnymi
pogl dami o rangowaniu kryteriów i bardzo utrudnia formalizacj zadania
optymalizacji lub oceny alternatyw przy du ej ilo ci kryteriów lokalnych. Inn

wad agregacji (2.12) jest nie skalowalno funkcji

µ

( ) na jednostk

21

co uniemo liwia ocen ekstremów lokalnych z punktu widzenia ich odległo ci
od ekstremum globalnego. Warto podkre li , e w praktyce wi kszo zada
wielokryterialnych jest jednocze nie zadaniami wieloekstremalnymi.

Rys. 2.3. Agregacja kryteriów rangowanych zgodnie z wyra eniem

µ

( ) = min (

µ ′

( ),

µ ′

( )):

I -

µ

( ); II -

µ

( ); 1 -

µ ′

( ) = 0.8

µ

( );

2 -

µ ′

( ) = 0.2

µ

( );

Na podstawie, powy szych udowodnie mo na stwierdzi , e naturalnym

uogólnieniem wyra enia (2.11) w przypadku nierównowa nych kryteriów
najwi kszym stopniu odzwierciedlaj cym jako ciowy charakter zadania
preferencji przy formułowaniu globalnego wska nika jako ci jest agregacja
proponowana w [37]:

( )

( )

( )

(

)

x

,

x

min

x

B

A

B

A

'

C

=

(2.14)

,

gdzie (

α

+

α

)

⁄ 2 = 1.

Oczywiste jest, e w przypadku asymptotycznym tj. przy

α

=

α

= 1

agregacja (2.14) jest równoznaczna z (2.11). Przypu my, e kryterium A jest

22

wa niejsze od B, tj.

α

>α

. W [37] pokazano, e w tej sytuacji mamy wi ksze

wymagania dla spełnienia kryterium A ni dla B. Przy tym maksymalne warto ci

kryterium globalnego b d lokalizowane w punkcie bli szym maksimum

µ

( ),

ni maksimum

µ

( ) i je li

0

– punkt maksimum

µ

( ) = min (

µ

( ),

µ

( )), a

0

′

- punkt maksimum

µ ′

( ), wtedy

µ

(

0

′

)

>

µ

(

0

).

Wyra enie (2.14) w sposób naturalny uogólnia si dla przypadku

n lokalnych kryteriów

( )

( )

( )

( )

1,

n

1

0,

,...,

,

,

x

...

x

x

x

n

1

i

i

n

2

1

n

2

1

'

C

n

2

1

=

>

∧

∧

∧

=

=

(2.15)

gdzie

∧ - jest operacj minimum;

α

1

,…,

α

n

– współczynnikami wzgl dnej

wa no ci które mo na otrzyma na przykład u ywaj c metody [38] na podstawie
macierzy parzystych porówna . Wa n po yteczn cech agregacji (2.15) jest

fakt zachowania skalowania

µ ′

( ) na jednostk dlatego e wszystkie

µ

1

,…,

µ

n

te s przeskalowane na jednostk .

Na postawie przeprowadzonej analizy mo na stwierdzi , e u ywanie

strategii opieraj cej si na wyra eniu (2.15) w zadaniach oceny alternatyw oraz
optymalizacji w przypadku opisania kryteriów lokalnych za pomoc funkcji
u yteczno ci (przynale no ci) jest najlepszym rozwi zaniem. Jak udowodniono
jeszcze w pracy [39] strategia optymalizacji, na podstawie operacji minimum tj.
strategii najpesymistyczniejszej polegaj cej na znalezieniu najlepszej alternatywy
w ród najgorszych jest podej ciem jedynie gwarantuj cym niezawodne rezultaty
zgodne z nasz intuicj .

W naszej sytuacji znaczy to, e stopnie spełnienia kryteriów lokalnych

w punkcie optimum s nie mniejsze ni stopie spełnienia najmniej wa nego

23

kryterium, przy tym rozwi zanie zadania optymalizacji jest Pareto – optymalne.
Jednak w praktyce warunki udowodnionego w [34] teorematu 1 nie s zawsze
spełnione. Oprócz tego udowodniony teoremat jest prawidłowy wył cznie
w przypadku dwóch lokalnych kryteriów. Zupełnie inna sytuacj mo emy

spotka ju w sytuacji trzech kryteriów lokalnych

(

µ

A

(x),

µ

B

(x),

µ

C

(x))

.

Rys.2.4 Agregacja trzech kryteriów za pomoc kryteriów:

addytywnego(1) , maksymalnego pesymizmu(2) i multiplikatywnego(3).

µ

(x)

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

x

4

µ

B

(x)

1/3(

µ

A

(x)+

µ

B

(x)+

µ

C

(x)) (1)

µ

A

(x)

µ

B

(x)

µ

C

(x) (3)

Pareto region

x

3

x

2

x

µ

A

(x)

µ

(x)

m in(

µ

A

(x),

µ

B

(x),

µ

C

(x)) (2 )

x

1

24

Jak mo na zauwa y na rysunku 2.4, przy równowa nych trzech

kryteriach nie mo emy z cał pewno ci przypuszcza , e punkt x2 jest
optymalny. Dzieje si tak gdy w całym Pareto - regionie nie mamy takiego
punktu, w którym przecinaj si wszystkie 3 kryteria. W takiej sytuacji mo emy
stosowa agregacje typy addytywnego. Nale y przy tym jednak, zachowa
pewn ostro no , poniewa na przykład w sytuacji, kiedy oba kryteria s do
siebie symetryczne, agregacja tego typu mo e prowadzi do otrzymania
niejednoznacznych wyników. Sytuacj tak bardzo dobrze odzwierciedla rys 2.5.

Rys 2.5 Porównywanie sposobów agregacji kryteriów

µ

(x)

1.0

0.9

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

x

1

µ

A

(x

)

µ

B

(x)

µ

A

(x)

µ

B

(x)

Pareto region

x

4

x

2

,x

3

x

0.5(

µ

A

(x)+

µ

B

(x))

addytywny

max(0,

µ

A

(x)+

µ

B

(x)-1)

min(

µ

A

(x),

µ

B

(x))

25

Jednak nale y podkre li , e w wielu sytuacjach najbardziej uzasadniona

agregacja typu (2.15) po prostu nie odpowiada do wiadczeniu i intuicji osób
podejmuj cych decyzj przy ocenie alternatyw lub optymalizacji[40].

Dlatego w przypadku skomplikowanych zada przy du ej ilo ci lokalnych

kryteriów i ogranicze po otrzymaniu gwarantowanych ocen na podstawie
agregacji (2.15) jest sens zastosowa i inne addytywne i multiplikatywne
warianty budowania kryterium globalnego. W przypadku, gdy rezultaty
otrzymane za pomoc wszystkich u ywanych sposobów agregacji s podobne, co
najmniej na poziomie jako ciowym utwierdza nas to w przekonaniu
o adekwatno ci otrzymanych wyników.

Osoby

podejmuj ce

decyzj

mog

mie

ró ne

pogl dy,

co do efektywno ci ró nych sposobów agregacji. Dlatego powstaje dodatkowy
problem agregowania wła nie kryteriów ju agregowanych [41].
Na przykład w [40] u ywane s do tego elementy teorii mo liwo ci, w [42]
proponowana jest tak zwana operacja wa onego u rednienia, w [43] rozwija si
podej cie na podstawie t-skal Yagera, w [44, 45] metod hierarchicznego

agregowania. Jednak najbardziej popularny jest dzisiaj tak zwany

γ- operator

[46, 47]:

( )

1

0

n;

1,2,...,

i

,

i

i

1

1

1

i

i

≤

≤

=

∏ −

−

−

∏

=

(2.16)

gdzie

µ

i

– funkcja przydatno ci lokalnych kryteriów jako ci.

Jasne,

e wyra enie (2.16) jest tylko agregacj addytywn

i multiplikatywn uogólnionych kryteriów. W [48] proponowane s podobne
γ- agregacje na podstawie minimum, maksimum oraz kryterium addytywnego:

26

( ) (

)

n

max

i

i

i

i

or

−

+

=

µ

γ

µ

γ

η

1

(2.17)

( ) (

)

n

min

i

i

i

i

and

−

+

=

µ

γ

µ

γ

η

1

(2.18)

Ostatnie wyra enie były u ywane w pracy [50] w zagadnieniach

wielopoziomowego podejmowania decyzji. Jako najwa niejszy problem

stwierdzono brak cisłych reguł wyboru parametru

γ. W [49] proponowana jest

metoda w pewnym stopniu formalizuj ca wybór parametru

γ, jednak

wymagaj ca od eksperta wielkiej ilo ci dodatkowych informacji przy tym,
co wa niejsze o charakterze ilo ciowym. Warto podkre li , e w wyra eniach
(2.16)-(2.18) kryteria lokalne rozpatrywane s jak równowa ne. Istotne jest,

e ich, rangowanie za pomoc np. metody parzystych porówna przedstawia si

jako zadanie bardziej skomplikowane i wa niejsze ni wybór parametru

γ.

Oprócz tego omówione powy ej podej cia nie pozwalaj jednocze nie

agregowa wszystkich trzech głównych typów kryteriów uogólnionych
za pomoc operatorów min oraz addytywnego i multiplikatywnego.

W wielu przypadkach mo e by po yteczna nast puj ca procedura

otrzymania rezultatu kompromisowego [34]. Niech

µ

1

( ),

µ

2

( ),

µ

3

( ) – pewne

warianty agregacji kryteriów lokalnych np. addytywne, multiplikatywne oraz na
podstawie operatora minimum. Przypu my, e w rezultacie maksymalizacji

ka dej z funkcji

µ

1

,

µ

2

µ

3

otrzymano odpowiednie punkty optimum

1

,

2

i

3

.

W wyniku bada warto ci kryteriów lokalnych u osoby podejmuj cej decyzj
formułuje si pewne preferencje, które mo na scharakteryzowa za pomoc
rangowania wzgl dnego stopnia adekwatno ci otrzymanych

1

,

2

i

3

, co do

27

wymaga optymalizacji.. Niech to rangowanie zadano przez pewne

współczynniki wzgl dnej wa no ci

α

1

,

α

2

,

α

3

(które mog by jednakowe, kiedy

przeprowadzenie rangowania

1

,

2

i

3

jest niemo liwe). Wtedy wprowadzaj c

skalowane

na

1

funkcje

µ

1

( )

=

µ

1

( )

⁄

µ

1

(

1

);

µ

2

( ) =

µ

2

( )

⁄

µ

2

(

2

);

µ

3

( ) =

µ

3

( )

⁄

µ

3

(

3

) mo na zbudowa nowe kryterium

globalne, które b dziemy nazywa uogólnionym kompromisowym wska nikiem
jako ci.

( )

( )

( )

( )

=

x

,

x

,

x

min

x

3

2

1

3

2

1

η

(2.19)

Oczywi cie punkt globalnego maksimum

η

( ) b dzie przedstawia pewne

kompromisowe rozwi zanie zagadnienia optymalizacji uwzgl dniaj ce
mo liwo ci dostrze enia warunków optymalnych za pomoc ró nych sposobów
agregacji kryteriów lokalnych.

28

3.

Problem

budowania

systemu

hierarchicznego

(wielopoziomowego)

wielokryterialnej

oceny

alternatyw.

Wa nym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest cz sto

wyst puj ca hierarchiczno zagadnie . Istnieje wiele heurystycznych podej
do rozwi zania tego problemu jednak dzisiaj faktycznie standardow została
metoda analizy hierarchii (MAH) T.Saat’ego [54] bardzo popularna dzi
w Stanach Zjednoczonych, lecz maj ca problemy wewn trzne, przez co jest
w stanie ci głego rozwoju [55,56].

Istota metody polega na hierarchicznym przedstawieniu elementów

okre laj cych sens rozwi zywanego problemu. Metoda składa si
z dekompozycji problemu na coraz prostsze składniki i cz ci a nast pnie
obróbce szeregu opinii osoby podejmuj cej decyzje za pomoc rozpatrzonej
w punkcie pierwszym metody opartej na macierzy parzystych porówna .
W rezultacie wylicze na podstawie macierzy oszacuje si wzgl dne stopnie
wzajemnych relacji elementów rozpatrywanych hierarchii oraz zostanie
wybierana najlepsza z punktu widzenia sformułowanego celu alternatywa.

Metoda hierarchii stała si powszechnie u ywana dla szerokiego zakresu

problemów w tym dla planowania perspektywicznego oraz oceny jako ci
produkcji. Mo liwo ci metody nie ograniczaj si jedynie do analizy sytuacji na
poziomie jednego zakładu lub organizacji, istniej przykłady jej skutecznego
u ywania
do rozwi zywania problemów na skale całych pa stw [54]. W skutek osobliwej
wa no ci metody oraz faktycznego braku literatury w j zyku polskim dotycz cej
MAH jest sensowne dokładniej opisa jej podstawowe poj cia.

29

U yjemy do tego do prostego przykładu. Niech rednio zamo na

rodzina podejmuje decyzje o zakupie domu. W wyniku dyskusji udało si
wyodr bni osiem lokalnych kryteriów jako ci dla oceny potrzebnego rodzinie
domu. Zadanie polega na wyborze jednego z trzech kandyduj cych domów.
Pierwszym krokiem jest dekompozycja zadnia w form hierarchiczn (rys 3.1).

Dom

W

yg

od

a

do

ja

zd

u

K

ra

jo

br

az

W

ie

k

do

m

u

Po

dw

ór

ko

N

ow

oc

ze

sn

o

w

yp

os

a

en

ia

St

an

o

gó

ln

y

W

ar

un

ki

f

in

an

so

w

e

W

ym

ia

ry

d

om

u

Dom

Dom B

Dom

Poziom 1.

Cel

Poziom 2.
Kryteria

Poziom 3.
Altrernatywy

Rys.3.1. Hierarchiczna dekompozycja zadania wyboru domu.

Na pierwszym (najwy szym) poziomie znajduje si ogólny cel - «Dom».

Na drugim poziomie mamy osiem faktorów (kryteriów lokalnych), u ci laj cych
cel i na trzecim najni szym poziomie s trzy mo liwe alternatywy – domy
A,B,C, które powinny by ocenione najpierw pod wzgl dem kryteriów poziomu

30

nr 2, a nast pnie z punktu widzenia ogólnego agregowanego celu. Dalej
w zgodno ci z MAH, nast puje kreowanie zbiorów macierzy parzystych
porówna dla ka dego ni szego poziomu – po jednej macierzy dla ka dego
kryterium. Przy tym elementy ni szego poziomu porównuj si nawzajem
z punktu widzenia spełnienia kryterium na poziomie wy szym.

W rezultacie otrzymuje si zbiór kwadratowych macierzy ocen. Parzyste

porównania wykonuj si w terminach dominowania jednego elementu
wzgl dem innego.

W podanym przykładzie powinno by zbudowane dziewi macierzy:

jedna dla drugiego poziomu hierarchii oraz osiem dla poziomu trzeciego

W tabeli 1.4 przedstawione jest wypełniona macierz elementów drugiego

poziomu pod wzgl dem kryterium poziomu pierwszego tzn. pod wzgl dem celu.
Na przykład przy odpowiedzi na proste pytanie: „Jaka jest wa no wymiarów
domu wzgl dem wygody dojazdu w odniesieniu do celu ogólnego” członkowie
rodziny doszli do wniosku, e wymiary s wyra nie wa niejsze i dlatego oni
wpisali warto 5 w odpowiedni kratk macierzy. Przy tym warto 1/5
automatycznie wpisuje si w symetryczn wzgl dem głównej przek tnej kratk .
Osiem macierzy parzystych porówna dla trzeciego poziomu hierarchii tzn. dla
alternatyw w stosunku do elementów 2-go poziomu zawieraj parzyste
porównania mo liwych wariantów wyboru domu. Porównuje si , w jakim
stopniu jest dobry ten lub inny dom z punktu widzenia spełnienia ka dego
z kryteriów drugiego poziomu.

W wyniku otrzymamy osiem macierzy ocen o wymiarach, 3 na 3,

bo mamy osiem kryteriów na drugim poziomie i 3 domy, które w sposób
parzysty porównuj si wzgl dem ka dego z kryteriów lokalnych.

31

Tabela 1.4 Kupno domu: macierz parzystych porówna dla drugiego

poziomu

W

ym

ia

ry

d

om

u

W

yg

od

a

do

ja

zd

u

Kr

aj

ob

ra

z

W

ie

k

do

m

u

Po

dw

ór

ko

N

ow

oc

ze

sn

o

w

yp

os

a

en

ia

St

an

o

gó

ln

y

W

ar

un

ki

fi

na

ns

ow

e

Wymiary domu

1

5

3

7

6

6

1/3

1/4

Wygoda dojazdu

1/5

1

1/3

5

3

3

1/5

1/7

Krajobraz

1/3

3

1

6

3

4

6

1/5

Wiek domu

1/7

1/5

1/6

1

1/3

1/4

1/7

1/8

Podwórko

1/6

1/3

1/3

3

1

1/2

1/5

1/6

Nowoczesno

wyposa enia

1/6

1/3

1/4

4

2

1

1/5

1/6

Stan ogólny

3

5

1/6

7

5

5

1

1/2

Warunki finansowe

4

7

5

8

6

6

2

1

Na nast pnym etapie MAH na podstawie ka dej macierzy parzystych

porówna formuje si zbiór lokalnych priorytetów lub rang, które wyra aj
stosunkowe wpływy zbioru elementów poziomu ni szego na odpowiadaj ce
elementy przylegaj cego wy szego poziomu.

Dla oszacowania priorytetów stosuje si nast puj c metodyk : niech

α

i

> 0, i = 1,…, n –s priorytetami elementów, wtedy parzyste porównanie

mo na przedstawi za pomoc macierzy parzystych porówna = {aij},
aij =

α

i

/

α

j

.

Rzeczywi cie, mno c A z prawej strony przez wektor priorytetów

W = (

α

1

,

α

2

,…,

α

n

), otrzymamy AW= nW. St d wynika, e je eli znana jest

32

macierz A wtedy znalezienie wektora W b dzie si sprowadzało do rozwi zania
systemu liniowych równa algebraicznych.

Jednak w praktyce elementy macierzy s ocenami wzgl dnej wa no ci

alternatyw, które wybierane s ze skali wzgl dnej wa no ci na podstawie
priorytetów subiektywnych przyjmuj ce, dlatego tylko warto ci całkowite lub ich
odwrotne warto ci. Jasne jest, e takiego rodzaju macierze ogólnie nie
s spójne dlatego rozwi zanie otrzymaj na podstawie równania typu

AW=

λ

max

W, gdzie

λ

max

– jest maksymaln własn warto ci macierzy A.

Dosy po ytecznym ubocznym produktem teorii jest tak zwany indeks

spójno ci (IS) macierzy A, który daje informacj o stopniu naruszenia liczbowej

( kardynalnej aij =

α

i

/

α

j

) i tranzytywnej (porz dkowej) spójno ci.

Dla ulepszenia

spójno ci mo na proponowa poszukiwanie dodatkowej informacji i przegl d
danych u ywanych przy tworzeniu skali. Indeks spójno ci w ka dej macierzy
i dla hierarchii ogólnej mo e by otrzymany w przybli ony sposób za pomoc
nast puj cego algorytmu: pierwszym krokiem jest zsumowanie ka dej kolumny,
nast pnie sum pierwszej kolumny mno y si przez warto pierwszego
elementu normalizowanego wektora priorytetów, sum nast pnej kolumny przez
warto drugiego elementu normalizowanego wektora priorytetów itd.

W nast pnym kroku otrzymane liczby sumuje si . Dzi ki temu mo na

otrzyma warto oznaczan przez

λ

max

.

Dla indeksu spójno ci otrzymamy nast puj cy wzór IS = (

λ

max

- n)/(n—1),

gdzie n – Ilo elementów porównywanych. Przy tym dla macierzy odwrotnej

symetrycznie zawsze spełnia si nierówno

λ

max

≥

n.

Rozwa my warto ci IS, które były otrzymane za pomoc losowego

wyboru ilo ciowych ocen elementów macierzy ze skali 1/9, 1/8, 1/7,...,1,2,...,9 i
tworzenie macierzy odwrotnie symetrycznej.

33

Poni ej przedstawione s u rednione warto ci IS dla losowych macierzy ró nych
wymiarów.

Je li, podzieli IS konkretnej rozpatrywanej macierzy parzystych

porówna przez u rednion warto IS odpowiadaj cej losowej macierzy
parzystych porówna takiego samego wymiaru to otrzymamy wzgl dn spójno
(WS). Warto WS powinna by około 10% lub mniej, aby by wystarczaj ca
dla u ywania rozpatrywanej macierzy parzystych porówna w praktyce.

W niektórych przypadkach dopuszczalna górna granica WS wynosi, około

20%, ale nie wi cej. Je eli WS przekracza okre lon granic to uczestnicy
projektu oraz eksperci powinni sprawdzi swoje oceny oraz priorytety.
W stosunkowo du ych macierzach (np. 7-9 elementów) cz sto trudno od razu
dostrzec wystarczaj co wysoki poziom spójno ci.

Jednak stopie spójno ci powinien odpowiada temu ryzyku, który mamy

pracuj c (podejmuj c decyzj ) u ywaj c niespójnych rezultatów. Np. przy
porównywaniu efektywno ci leków potrzebny jest bardzo wysoki poziom
spójno ci.

Rozwa my uogólnienie otrzymanych rezultatów.
Priorytety syntezuj si rozpoczynaj c z drugiego poziomu w dół.

Priorytety lokalne

α

k,i,j

(indeks k – numer poziomu, i – numer elementu na k-tym

poziomie
j – numer elementu na (k+1)-ym poziomie) mno si przez priorytet
odpowiadaj cego kryterium na powy szym, (k+1)-ym poziomie i sumuj si dla
ka dego elementu. Innymi słowy wylicza si priorytet globalny dla ka dego
elementu hierarchii w zgodno ci z zasad addytywno ci:

Wymiary macierzy

1 2

3

4

5

6 7

8

9

10

U rednione warto ci IS

0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49

34

,

j

,

k

J

j

j

,

i,

k

i,

k

1

1

+

=

=

α

α

α

k

= 1,..., K - 1; i = 1,...,N; (3.1)

gdzie K – ilo poziomów hierarchii; N – ilo elementów na k-tym poziomie; J
– ilo elementów na k+1-ym poziomie wyst puj cych jako kryteria dla I
elementów k-tego poziomu.

Otrzymany za pomoc wzoru (3.1) priorytet globalny elementu nast pnie

u ywa si dla wa enia lokalnych priorytetów elementów, porównywanych z nim
jako z kryterium i lokalizowanych na ni szym poziomie. Procedura ta ci gnie si
do najni szego poziomu, który przedstawia wła nie wektor porównywanych
alternatyw. Otrzymuj c w taki sposób wektor globalnych priorytetów alternatyw
mo na podejmowa ko cow decyzj .

Rozpatrzona MAH posiada dwie powa ne wady:

1.

Przy zmianie ilo ci alternatyw niezb dne jest tworzenie wszystkich

macierzy dla poziomu alternatyw od nowa. Niestety przy tym nie jest
mo liwe skorzystanie z informacji otrzymanej wcze niej, co z kolei zmusza
do kompletnego przeliczenia wszystkich kryteriów dla wyboru alternatyw
od nowa. W przypadku konieczno ci pracy z du i szybko zmieniaj cym
si zbiorem alternatyw (n.p. analiza zaproponowanych ofert do du ej
handlowej firmy) ta wada MAH staje si krytyczn .

2.

Przy stosowaniu pierwotnej informacji o alternatywach w niezale no ci

od tego czy miała ona charakter ilo ciowy czy jako ciowy dla tworzenia
macierzy parzystych porówna cała informacja musi by przekształcona
w typ jako ciowe, wyra aj cy jako ciowe oceny jednej alternatywy
w stosunku do drugiej. Strata informacji ilo ciowej w tym wypadku mo e
powodowa bł dne, nawet fatalne rezultaty podczas podejmowanej decyzji.

Na przykład, je eli jeden dom kosztuje $10 ty a inny $10 mln wtedy

w macierzy parzystych porówna w kratce odpowiadaj cej kryterium kosztu
najprawdopodobniej pojawi si cyfra 9, odzwierciedlaj ca siln przewag

35

pierwszego domu nad drugim pod wzgl dem ceny. Z innej strony cena domu $10
mln dla przeci tnie zamo nej rodziny jest nie tylko mało przyjemna,
ale po prostu nie do rozwa enia.

Jednak przy u ywaniu MAH, przy mniej wi cej po danych warto ciach

innych czynników charakteryzuj cych jako domu (w praktyce tak powinno
by , bo dom o cenie $10 mln musi by po ka dym z kryteriów oprócz
finansowego, lepszym od domu kosztuj cego $10 ty ) mo e okaza si ,

e drugi dom, na który rodzin w ogóle nie sta jest lepszy pod wzgl dem

kryterium globalnego. Jasne, e takie wyniki analizy s po prostu absurdalne.

36

4.

Opracowanie

metody

i

oprogramowania

wspomagaj cego wielokryterialn i wielopoziomow
ocen alternatyw

4.1. Metoda budowania funkcji przynale no ci kryteriów
lokalnych

Do oceniania projektów trzeba dysponowa aparatem matematycznym
pozwalaj cym doprowadzi wszystkie charakteryzuj ce je ró norakie kryteria
lokalne do uniwersalnej skali porównawczej.

Dlatego wykorzystujemy narz dzie matematyczne teorii zbiorów rozmytych
[25].

Dla przejrzysto ci opisania opracowanej metody b dziemy opiera si na do
prostym, ale konkretnym przykładzie porównywania 4 projektów
inwestycyjnych,
z których ka dy jest ucharakteryzowany przez pi tk kryteriów lokalnych. Przy
tym w trakcie opisania metody rezultaty po rednie b dziemy ilustrowa zrzutami
ekranowymi oprogramowania realizuj cego opracowan metod .

Rozpatrzmy przykład takiego wa nego wska nika ilo ciowego jak wewn trzna
stopa zwrotu (IRR). Oczywi cie istnieje jaka dolna dopuszczalna granica IRR,
zwykle mniej wi cej równa redniej bankowej stopie procentowej (r) w pa stwie.
Jasne te , e istnieje do szeroki zakres r< IRR< IRRm, w którym efektywno
projektu ro nie i jednocze nie wzrasta prawdopodobie stwo inwestowania.
Przypuszczamy, e przy IRR>IRRm efektywno projektu pod wzgl dem
parametru IRR jest w takim stopniu wysoka, e bez wzgl du na inne

37

okoliczno ci inwestowanie jest gwarantowane. Dla formalizacji tego rodzaju
opisa w ramach teorii zbiorów rozmytych wykorzystuje si aparat funkcji
przynale no ci, który w kontek cie naszego zadania wygodniej nazywa jako
funkcje przydatno ci (mo liwe s i inne okre lenie na przykład po yteczno ,
u yteczno gdy nie ma sztywnie ustalonego terminu). Funkcje przydatno ci
zmieniaj si od zera w zakresie niedopuszczalnych warto ci parametru do
maksymalnej warto ci 1 w przedziałach najlepszych warto ci analizowanego
wska nika jako ci. Ogólny kształt funkcji u yteczno ci dla naszego przykładu
jest przedstawiony na rys. 4.1 (typ 5). Podkre lamy, e liniowy charakter
wzrostu funkcji u yteczno ci nie jest dogmatem i najcz ciej wykorzystuje si w
wypadkach, kiedy dla ró nych warto ci wska nika jako ci mo na powiedzie
tylko, e jeden z nich jest lepszy, mo liwie przydatniejszy od drugiego (ocena
wył cznie werbalna, jako ciowa).

W ten sam sposób mo na zbudowa funkcje u yteczno ci dla innych
wska ników jako ci. Najcz ciej funkcje te maj kształt rozmytych lub zwykłych
przedziałów.

Rys 4.1.Typy funkcji przynale no ci

38

Formalizacja kryteriów jako ci przedstawionych na poziomie werbalnym tak e
mo e zosta wykonana za pomoc funkcji u yteczno ci. Wygodnie jest przy tym
korzysta z werbalnych ocen stopni ostro ci lingwistycznych okre le parametru
jako ci. Przykładem mo e by stopie ostro ci wska nika jako ci ”wpływ na
ekologi regionu”, który mo e by oszacowany w skali werbalnej: „nie
wyra ny”, „słabo wyra ny”, „zdecydowanie wyra ny” itd.(ale nie wi cej ni 9
poziomów o czym wspominałem ju powy ej). Sposób tworzenia odpowiedniej
funkcji u yteczno ci przedstawiono na rys. 4.2..

Rys 4.2 Formalizacja kryterium lokalnego przedstawionego za pomoc opisów

słownych

W rezultacie wszystkie ilo ciowe oraz jako ciowe kryteria przedstawiaj si
w jednej bez pomiarowej skali funkcji u yteczno ci. Mo emy ju przej
do rozpatrzenia przykładu. Przeprowad my ocen porównawcz 4 projektów pod
wzgl dem parametrów przedstawionych na rys 4.3. W sytuacji realnej mo e by
znacznie wi cej parametrów. Jednak bez wewn trznej stopy zwrotu (IRR),
warto ci zaktualizowanej netto przedsi wzi cia (NPV),rentowno ci (PI),okresu
zwrotu (PB) projekty z reguły nie mog by oszacowane, gdy s to parametry
najwa niejsze. Ryzyko projektu (R) jest powiedzmy bardzo skomplikowanie
agregowane charakterystyk w okre leniu, której mog by stosowane tak
ilo ciowe

jak

i jako ciowe oceny ekspertów. Szczegóły w [59].

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.5

1

0

39

rys. 4.3 Dane o czterech projektach, które b dziemy porównywa .

W naszym pro ciutkim przykładzie przypu my, e w wyniku ryzyko jest w jaki
sposób ocenione i mo e waha si w przedziale od 0 do 1. Warto ci parametrów
dla naszego przykładu s przedstawione w tabeli 1. Nast pnym krokiem jest
stworzenie funkcji u yteczno ci.

W menu (rys.4.1) nale y wybra pasuj cy typ funkcji i zada warto ci
odpowiadaj cych punktów kluczowych (x1 – x4). Punkty kluczowe z kolei mog
by zadane na podstawie ocen ekspertów, analizy stanu dziedziny, na podstawie
sztywnych (na przykład bankowych, pa stwowych) przepisów itd. Poniewa
w naszym przykładzie nale y wybra tylko lepszy spo ród 4 projektów, wi c
zrobimy to pro ciej. Przykład najgorsza warto NPV przy porównaniu
wszystkich 4 projektów jest równa - 2500, najlepsza – 4000. Dlatego (rys. 4.4)
definiujemy x1=2000 (mniej ni 2500 dlatego e nie chcemy od pocz tku
wyrzuca projekt nr.1), x2= 4000 i tylko dla pewno ci x3=6000. Podobnie w
sposób interaktywny budujemy pozostałe funkcje u yteczno ci (rys.4.4).

40

rys. 4.4 Budowanie funkcji u yteczno ci

4.2.Metoda i algorytm wyliczenia współczynników wzgl dnej
wa no ci kryteriów lokalnych na podstawie macierzy parzystych
porówna .

Bardzo ci kim problemem metodycznym jest rangowanie du ej ilo ci kryteriów
na

podstawie

opinii

ekspertów.

Powy ej

ju

wspomniano

o ograniczonych mo liwo ciach człowieka do ocen sytuacji wielokryterialnych.
Jednak przy porównaniu dwóch alternatyw jest on zwykle w stanie w sposób
adekwatny ustali , u której z nich rozpatrywany wska nik (wa no ) jest
silniejszy (lepszy),nawet w niektórych wypadkach w sposób przybli ony oceni
(werbalnie), stopie wyra no ci tej ró nicy. Dlatego opracowana metoda
rangowania

kryteriów

zapewnia

otrzymanie

ilo ciowych

warto ci

41

współczynników wzgl dnej wa no ci (rang) na podstawie ich parzystych
porówna w formie słownej. Podstaw metody jest macierz parzystych
lingwistycznych porówna , proponowana przez T.Saaty [29].

Rys 4.5. Wypełnienie macierzy parzystych porówna i wyliczenie rang.

Sposób wypełnienia tej macierzy dla naszego przykładu przedstawiono na
rys. 4.5. Jak wida na nim, wykorzystuje si tylko 9 podstawowych ocen
słownych. Jest to nie przypadkowe i zwi zane z faktem, e w j zykach
naturalnych wi kszo ci narodów tak e wykorzystuje si nie wi cej ni 9
lingwistycznych ocen wzgl dnej wa no ci. Słowne sformułowania ocen mog
by inne, ale ich ilo w praktyce jest stała. Takie s cechy ludzkiego umysłu
[29]. Ocenom werbalnym wzgl dnej wa no ci odpowiadaj liczby naturalne. Jest
to oczywiste, gdy w innym przypadku jakiekolwiek wyliczenie rang byłoby po
prostu

nie

mo liwe.

Warto

podkre li ,

e liczby na rys. 4.5 pokazuje si wył cznie w celu dydaktycznym. W praktyce

nie radzimy wprost pokazywa ekspertom jakichkolwiek liczb. Niech oceniaj

42

wył cznie na podstawie skali lingwistycznej. Chodzi o to, e je li proponowa
grupie specjalistów oceni dobrze znane przez nich obiekty, to wtedy oceny
werbalne zwykle b d prawie takie same. Inaczej by nie mo e: ludzie
studiowali na podstawie tych samych podr czników, czytaj te same artykuły,
pracuj w tej samej dziedzinie. Jednak, je li uda si zmusi ich do wykorzystania
przy ocenianiu liczb (zwykle za do grube pieni dze: liczb nikt nie lubi) wtedy

adnego konsensusu ju nie b dzie [60].

Rzecz w tym, e na „pocz tku było słowo”. Liczby pojawiły si znacznie pó niej
przez mikroskopijny w skali historyczny zakres czasu (kilka tysi cleci), ludzie po
prostu jeszcze nie nauczyli si dobrze z nich korzysta . I dzi ki BOGU!!! Na
razie, my limy za pomoc słów a nie liczb i nawet uparcie staramy si nauczy
tej sztuki nasze komputery.

Ko cowe rangi kryteriów na podstawie macierzy parzystych porówna
w sposób najlepszy mo na otrzyma za pomoc metod programowania
nieliniowego [38].

Nale y zauwa y tak e, e proponowane porównywanie wa no ci kryteriów jest
du o bardziej elastyczne od stosowanego w przeszło ci bezpo redniego
porównywania projektów. Wymagało ono całkowitej zmiany macierzy
parzystych porówna przy powi kszeniu grupy ocenianych projektów. W
naszym przypadku rozmiar macierzy nie jest zale ny od ilo ci ocenianych
projektów, ale od ilo ci parametrów je opisuj cych. Dlatego w praktyce przy
wyra nie okre lonej polityce firmy dotycz cej parametrów oceny inwestycji nie
zachodzi potrzeba cz stej zmiany macierzy parzystych porówna a co za tym
idzie – nie trzeba cz sto wykorzystywa drogiego czasu ekspertów a sama
metoda jest łatwiejsza do komputeryzacji i automatyzacji.
Porównanie

n

kryteriów prowadzi do powstania macierzy kwadratowej o

rozmiarze

n

, której ka dy element okre la wzgl dn wa no dwóch kryteriów.

Porównania dokonywane s , wi c parami, st d nazwa macierzy – macierz
parzystych porówna . Nale y zaznaczy , e ekspert okre la jedynie warto ci

43

powy ej głównej przek tnej – na niej samej znajduj si jednostki
(odpowiadaj ce porównaniu kryterium z samym sob ). Pozostałe warto ci
(poni ej przek tnej) okre la si zgodnie ze wzorem:

i

j

j

i

a

a

1

=

.

(4.1)

Je li przez

ij

a

oznaczymy dowolny element macierzy parzystych porówna a

przez

i

α

współczynnik wa no ci

i

-tego kryterium, przy czym

n

j

i

1

,

=

, to

j

i

ij

a

α

α

=

.

(4.2)

Problem polega na obliczeniu współczynników na podstawie macierzy
parzystych porówna .
Dokonywane jest to według nast puj cej metody:
Niech A - macierz porówna parami, a

ij

- element macierzy porówna parami,

α

1

,

α

2

,

α

3

,

α

4

- szukane warto ci współczynników wzgl dnej wa no ci, W==

(

α

1

,

α

2

,

α

3

,

α

4

) - wektor współczynników wzgl dnej wa no ci.

Dla ka dego elementu macierzy porówna parami prawdziwe jest:

ij

=

α

i

/

α

j

,

(4.3)

Po pomno eniu wektora A przez wektor W otrzymamy:
AW=NW,

(4.4)

gdzie N - warto charakterystyczna macierzy A, wg której mo na wyprowadzi
wektor W współczynników wzgl dnej wa no ci

i

a

z uwzgl dnieniem warunku

normalizacji:

=

=

n

i

i

k

a

1

1

/

)

(

(4.5)

gdzie: k - liczba kryteriów szczegółowych).
Poniewa elementy macierzy porówna parami nie s dokładne, jako e
odzwierciedlaj subiektywny pogl d eksperta, warto W obliczana jest jako
wektor, funkcjonał minimalizuj cy:

44

min

)

(

2

1

1

→

−

=

=

=

j

i

ij

n

j

n

i

a

S

α

α

(4.6)

tzn. warto ci szukane otrzymuje si przez rozwi zanie zadania optymalizacji:

min;

)

(

2

1

1

→

−

=

=

=

i

j

ij

n

j

n

i

a

S

α

α

j

i

n

n

i

i

=

=

=

;

1

α

(4.7)

Klasyczn metod rozwi zania zadania minimalizacji funkcji wielu zmiennych f
(x) = f (x

1

, x

2

,… x

n

) przy istnieniu ogranicze , zadanych w formie równo ci g

i

(x) = 0, i=1, … k, jest metoda nieokre lonych czynników Lagrange'a.
Przy jej pomocy powstaje funkcja n+k zmiennych, nazywana funkcj
Lagrange'a:

=

+

=

k

1

i

i

i

(x)

g

f(x)

)

L(x,

λ

λ

(4.8)

gdzie: i = 1, … k - czynniki nieokre lone
Tym sposobem wyj ciowe zadanie umownej optymalizacji sprowadza si do
zadania bezwarunkowej minimalizacji funkcji Lagrange'a. I wła nie w ten sposób
w ramach opracowanej metody jest zrealizowane wyliczenie współczynników
wzgl dnej wa no ci kryteriów lokalnych.

4.3. Metoda agregowania kryteriów lokalnych.

Mamy ju kryteria szczegółowe i ich rangi. Dobrze, e w naszym przykładzie
mamy tylko 5 kryteriów, a nie 55 jak mo e by w yciu.. Dla rozstrzygni cia
problemu niezb dne b dzie opracowanie sposobów agregowania wszystkich
ró norodnych informacji w pewne ko cowe ilo ciowe oceny. W wyniku musimy
otrzyma jedn liczb – warto globalnego wska nika (kryterium) jako ci
projektów.

Niech:
µ

1

(x

1

),

µ

2

(x

2

), ....,

µ

N

(x

N

) s funkcjami u yteczno ci (preferencji);

{x

i

}, i = 1, ..., N s jako ciowymi i ilo ciowymi parametrami jako ci;

a

1

, ..., a

N

s współczynnikami wzgl dnej wa no ci kryteriów;

45

Najcz stszymi wariantami formułowania kryteriów globalnych na podstawie
kryteriów lokalnych i ich rang s [3]:

);

)

(

,...

)

(

,

)

(

,

)

(

min(

3

2

1

3

2

1

1

n

n

x

x

x

x

DD

α

α

α

α

µ

µ

µ

µ

=

∏

=

=

N

i

i

i

i

x

DD

1

2

)

(

α

µ

=

=

N

i

i

i

i

N

x

DD

1

3

)

(

*

µ

α

W wyniku otrzymujemy warto ci kryteriów zawieraj ce si w przedziale [0,1]

1

,

,

0

3

2

1

≤

≤

DD

DD

DD

Istniej ró ne opinie w odniesieniu do porównawczej skuteczno ci metod
w formułowaniu globalnych kryteriów. Warianty DD

2

i DD

3

posiadaj własno ci

wyrównywania małych warto ci jednego lokalnego kryterium za pomoc
zwi kszania innych, co nie jest zawsze po dane.
Wariant DD

1

jest wolny od tych wad, ale prowadzi do bardzo ostrej oceny

sytuacji. Dlatego jest czasami nazywany kryterium maksymalnego pesymizmu.
Udowodnione jest [34], e w wypadkach zada wielokryterialnej optymalizacji
najbardziej racjonalnym jest u ycie wariantu DD

1

Jednak praktyka jest zawsze bogatsza ni teoria. Dlatego w zadaniach oceny
jako ci projektów sensownym jest wykorzystywa razem trzy wy ej wymienione
sposoby formułowania kryterium globalnego rys. 4.6.
Wszystkie one gwarantuj otrzymanie ilo ciowych globalnych ocen projektów
w zakresie od 0 (zdecydowanie niekorzystny projekt) do 1 (projekt – marzenie
inwestora). Zgodno rezultatów otrzymanych za pomoc kryteriów DD

1

– DD

3

zwi ksza zaufanie do wyników bada ; niezgodno mo e powodowa bardzo
po yteczne dodatkowe rozwa ania. Jasne, e im wy sza warto kryterium

46

globalnego tym lepiej projekt analizowany. Z rys. 4.6 wynika, e w naszym
przykładzie najlepszy jest projekt 3. Wła nie dla tego projektu otrzymano
maksymalne warto ci kryteriów globalnych dla 2 ró nych sposobów ich
formułowania.

rys. 4.6 Wyliczenie kryteriów globalnych

Opracowana metoda pozwala nie tylko za pomoc jednej liczby (ale na do
porz dnej podstawie naukowej) oceni jako projektów, ale jak wida na rys.
4.6 ujawni jaki wpływ do oceny globalnej ma ka de kryterium szczegółowe
razem ze swoj rang .

4.4.Budowanie hierarchicznego sytemu kryteriów agregowanych

Nale y jednak podkre li , e w praktyce zadania oceny jako ci projektów
inwestycyjnych (i innych), s nie tylko zadaniami wielokryterialnymi, ale
i wielopoziomowymi (hierarchicznymi).

47

Opracowana metoda pozwala w sposób naturalny budowa struktury
wieloszczeblowe i hierarchiczne, których schemat jest pokazany poni ej.
Ka de kryterium wy szego rz du buduje si na podstawie kryteriów
szczegółowych rz du ni szego za pomoc jednego ze sposobów ich
agregowania. Ogólne wyra enie matematyczne do wyliczenia kryteriów na
poziomach po rednich hierarchii mo e by przedstawione w nast puj cej formie:

(

)

1

1

1

1

1

1

1

1

,

,

2

1

,

,

1

,

,

2

1

,

,

1

,

1

,

1

,...,

,

,...,

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

n

i

n

n

n

i

n

n

n

n

m

i

n

i

n

m

i

n

i

n

i

n

i

n

D

D

f

D

α

α

gdzie

1

1

−

−

n

i,

n

f

jest operatorem agregowania kryteriów.

1

1

,

,

2

−

−

−

n

i

n

m

i

n

D

- to poszczególne kryteria agregowania na odpowiednich poziomach

hierarchii, a

1

,

,

1

1

−

−

n

i

n

α

- odpowiadaj ce im rangi

Jak to wynika ze sposobu budowania,

1

1

−

−

n

i,

n

D

przyjmuj warto ci zawsze

mi dzy

0 a 1 .

Na najni szym poziomie hierarchii wykorzystane s bezpo rednie funkcje
przynale no ci

(u yteczno ci)

pierwotnych

kryteriów

szczegółowych

okre lanych przez bazowe parametry jako ci.

{ }{ }

(

)

j

j

i

i

i

i

i

i

n

n

n

n

f

D

α

µ

,

2

2

1

2

2

1

,...,

,

,

1

,...

,

,

1

−

−

−

−

=

48

1

,

1

−

n

D

D

n

2

1 ,

n

D

−

1

1

−

−

n

i,

n

D

1

1

−

−

n

m

,

n

D

1

2

1

,

i,

n

n

D

−

−

2

2

1

,

i,

n

n

D

−

−

2

1

2

−

−

−

n

n

i

,

i,

n

D

1

1

2

−

−

−

n

i

n

m

,

i,

n

D

1

2

1

3

,

n

n

i

,

i

,

n

D

−

−

−

2

1

2

1

3

−

−

−

−

−

n

i,

n

i

n

n

m

,

i,

i,

n

D

Schemat1.Ogólny schemat budowania struktury hierarchicznej

Rozwi zanie tych problemów w programie przedstawia si w nast puj cy
sposób. Wystarczy najpierw stworzy „drzewiast struktur ” dla rozpatrywanego
przez nas problemy. Nast pnie na ka dym poziomie albo sformalizowa funkcje
przynale no ci (je eli one nie formułuj si automatycznie) i wypełni
odpowiednio tablice parzystych porówna .

49

Poni ej przedstawiony jest zrzut ekranowy przedstawiaj cy budowanie struktury
hierarchicznej, gdzie

def

i,j

s kryteriami podrz dnymi w formułowanym zadaniu.

Rys 4.7. Budowa hierarchicznej struktury w zbudowanej aplikacji

50

4.5.Struktura oprogramowania realizuj cego opracowane metody.

Poni ej przedstawione ogóln struktur oprogramowania realizuj cego opracowana i
opisan powy ej metod .

Budowanie struktury hierarchicznej kryteriów jako ci

szczegółowych (interfejs)

Budowanie funkcji

u yteczno ci

kryteriów jako ci

szczegółowych

(interfejs)

Budowanie macierzy

parzystych porówna

kryteriów jako ci

szczegółowych

(interfejs)

Wybór sposobu

budowania

kryterium

jako ci

globalnego

(interfejs)

Budowanie bazy

danych do

wyliczenia warto ci

kryteriów jako ci

szczegółowych

Wyliczenie

współczynników

wzgl dnej

wa no ci

kryteriów jako ci

szczegółowych

Wyliczenie kryteriów jako ci globalnych na

poziomach po rednich hierarchii.

Wyliczenie uogólniaj cej oceny ilo ciowej po

wszystkich poziomach hierarchii jako ci

Schemat 4.2 Schemat oprogramowania

51

5.

Metoda oszacowania alternatyw przy rozmytych

współczynnikach wzgl dnej wa no ci kryteriów w
warunkach ich oceny przez zespół ekspertów.

5.1.Opracowanie metody oszacowania alternatyw na podstawie
lokalnych rozmytych kryteriów subiektywnych i obiektywnych
(cena) oraz ich rozmytych rang.

W pewnych pracach [61,62,63] mo na zauwa y problem szacowania
alternatyw, gdy cze kryteriów jest subiektywne, a cz

obiektywne. Ró nica

pomi dzy nimi jest dosy znaczna i nie mo na ich porównywa bezpo rednio.
Kryteria subiektywne (rozmyte) s kryteriami w wi kszo ci przypadków
kształtowanymi przez osob podejmuj c decyzj zale y od jego wiedzy i
preferencji w danej dziedzinie. Kryteria obiektywne s kształtowane przez
rzeczywisto i osoba podejmuj ca decyzj ma nikły lub wcale nie ma na niego
wpływu. Przykładowo takim kryterium najcz ciej widocznym w literaturze jest
koszt danego produkty lub usługi, która kształtowana jest w wi kszo ci
rozpatrywanych przypadków przez wolny rynek.
W pracy [63] rozpatrywany jest problem lokalizacji siedziby głównej firmy pod
wzgl dem mi dzy innymi kosztu inwestycji, warunków klimatycznych, stanu i
kwalifikacji siły roboczej, zdolno ci transportowych, mo liwo ci rozwoju,
dost pno ci potrzebnych materiałów, blisko ci do rynku zbytu do kryterium
obiektywnych zaliczono wła nie kryterium kosztu inwestycji.
Zaproponowana przez autorów pracy [63] metoda zamiany kryterium
obiektywnego na subiektywne opiera si na nast puj cym podej ciu:

52

Najpierw wprowadzono podział wszystkich kryteriw lokalnych na kryteria
korzy ci (B- benfit) i kosztu (C-cost). Dalej autorzy [63] u ywali metod
normalizacji tych kryteriów. Przy tym rozpatrywano wył cznie kryteria lokalne
opisane przez trójk ty. Tak, je li a,b,c to punkty kluczowe trójk tów
proponowana normalizacja ma nast puj c posta :

B

j

c

c

c

b

c

a

r

j

ij

j

ij

j

ij

∈

=

),

,

,

(

*

*

*

~

C

j

c

c

c

b

c

a

r

j

ij

j

ij

j

ij

∈

=

−

−

−

),

,

,

(

~

B

j

if

c

c

ij

i

j

∈

=

),

(

max

*

C

j

if

a

a

ij

i

j

∈

=

−

),

(

min

Taka metoda normalizacji zapewnia nas, e zakres powstałego w ten sposób
kryterium ma zakres od zera do jedynki.
Jednak takie podej cie mimo pewnych korzy ci prowadzi do powstania pewnych
bł dów. Widoczne jest to na poni szym wykresie (wykres 5.1) przedstawiaj cym
normalizowan funkcje kosztu z przykładu wzi tego [63], ze zale no funkcji
u yteczno ci od konkretnych kosztów jest wyra nie nieliniowa. Mo na
udowodni , e przy u ywaniu podej cia [63] takiego rodzaju nieliniowo ci b d
powtarza si w niezale no ci o konkretnych danych. Dlatego w wi kszo ci
przypadków takiego rodzaju nieliniowo c jest nie mo liwa do uzasadnienia
nawet na poziomie merytorycznym, wi c proponowana w [63] metoda ma
wyra n wad silnie ograniczaj c mo liwo ci stosowania jej w praktyce.

53

0

1

1

0.9

1

2

0.8

0.8

3

0.7

0.64

4

0.6

0.512

5

0.5

0.4096

6

0.4

0.32768

7

0.3 0.262144

8

0.2 0.209715

9

0.1 0.167772

10

0 0.134218

normalizowna funkcja kosztu

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Wykres 5.1 Kształt funkcji kosztu po normalizacji według metody z pracy [61]

5.2.Przykład

zastosowania

opracowanej

metody

i oprogramowania dla zagadnienia optymalizowanego wyboru
gatunku stali konstrukcyjnej

W pracach [61,62] rozpatrywano problem doboru stali w zale no ci od potrzeb i
warunków, w których b d u ywane produkowane z niej wyroby. Oczywiste jest
przecie , e innej stali u yjemy buduj c most kolejowy a innej platform
wiertnicz czy pancerz czołgu. Opieraj c si na Ameryka ski Instytut elaza i
Stali (AISI) wyró nijmy kilka podstawowych rodzajów stali u ytkowej V

1

, A

2

,

D

2

,

1

,

1

, Taki wybór gatunków stali dla oceny jest spowodowany wył cznie

tym, e w nowoczesnej literaturze rozpatrywany poni ej przykład faktycznie
został ju testem dla porównywania efektywno ci metod optymalizowanego
wyboru gatunku stali dla tych lub innych celów.

Aby mie mo liwo skutecznej oceny stopnia przydatno ci gatunków stali do
wyrobów b dziemy potrzebowa oczywi cie pewnego zestawu kryteriów

54

jako ci. Oczywistym b dzie fakt, e kryteria te b d przedstawione w rozmytej
postaci.
Chc c skutecznie ocenia stopie przydatno ci, u yteczno ci pewnych kryteriów
jako ci stali b dziemy potrzebowa odpowiednich zestawów ocen
lingwistycznych, na których b dziemy si opierali

. Jak ju wcze niej

wspomniano taki zestaw słów powinien składa si maksymalnie z 9 opisów.
W pracy [62] pokazano, e oceny lingwistyczne kryteriów jako ci stali mo na
przedstawi za pomoc ich rozmytych odpowiedników (Tabela 5.1
i Tabela 5.2).

Tabela 5.1

Tabela 5.2

Liczby w tabelach 5.1 i 5.2 s punktami kluczowymi u ywanych trapezoidalnych
funkcji przynale no ci. Zrozumiałe jest, e ró ne kryteria jako ci stali b d dla
osób podejmuj cych decyzje doboru stali w ró nym stopniu wa ne. W takim
wypadku korzystaj c z tablicy parzystych porówna mo emy wyliczy stopnie
wa no ci – rangi. Cz sto bywa jednak tak, e nie trzeba wylicza wag dla
pewnych kryteriów gdy s one ju ogólnie przyj te. Do takich sytuacji dochodzi
zwykle, gdy problem nie jest nowy, ale był ju nie jednokrotnie rozpatrywany.
Najcz ciej jednak wiarygodne oceny wag nie s przedstawiane za pomoc
jednej liczby, ale wła nie za pomoc rozmytych opisów. Co jest zreszt zgodne
z intuicyjnym podej ciem, gdy jak wiadomo ekspertom rzadko udaje si doj
do porozumienia wiec najłatwiej jest przedstawi wagi wła nie za pomoc
słownych opisów. Jednak do oblicze potrzebne s ju konkretne liczby. Musimy
wiec dokona konwersji słownych opisów na ich liczbowe warto ci

Warto słowna Warto ci liczbowe
Najgorsze (W)
Słabe (P)
W porz dku (F)
Dobre (G)
Najlepsze (B)

(0,0,0,0.3)
(0,0.3,0.3,0.5)
(0.2,0.5,0.5,0.8)
(0.5,0.7,0.7,1)
(0.7,1,1,1)

Warto słowna

Warto ci liczbowe

Bardzo niski (VL)
Niskie (L)

redni (M)

Wysoki (H)
Bardzo wysoki (VH)

(0,0,0,0.3)
(0,0.3,0.3,0.5)
(0.2,0.5,0.5,0.8)
(0.5,0.7,0.7,1)
(0.7,1,1,1)

55

Wagi wa no ci dla kryteriów wyboru stali s oznaczane w nast puj cy

sposób[62]
Tabela 5.3

Tabela 5.4

Opinie wydane przez jednego eksperta Opinie wydane przez grup 3 ekspertów

W powy szych tabelach C

1,..

C

k

s subiektywnymi i obiektywnymi kryteriami

wyboru, a W

1

…, W

k

(W

11

…,W

nk

- n – to liczba ekspertów oznaczonych liter E)

s odpowiadaj cymi im warto ciami opinii eksperta lub ekspertów. W
pierwszym przypadku (1 ekspert) opisy słowne zamieniamy na liczby rozmyte na
podstawie ich rozmytych odpowiedników podanych w tabeli 5.1 i tabeli 5.2. W
przypadku drugim (wi ksza liczba ekspertów) podobnie musimy przekształci
wszystkie słowne opisy na ich rozmyte odpowiedniki, a nast pnie u redniaj c je
otrzyma jedna konkretn opinie i dopiero je wykorzystywa do dalszych
oblicze .

n

W

W

n

j

ij

i

=

=

1

'

, gdzie

'

i

W

- oznacza warto u rednionej w rozmytym sensie wagi

dla kolejnych kryteriów jako ciowych dla i=1..k, gdzie k – to liczba wszystkich
kryteriów.W

ij

- to wagi i-tego kryterium przedstawionego przez n-tego eksperta

j=1.. n, gdzie n jest liczb wszystkich ekspertów podejmuj cych decyzje.

Opinie

Kryterium

E

1

E

2

…

E

n

C

1

W

11

W

21

…

W

n1

C

2

W

12

W

22

…

W

n2

C

3

W

13

W

23

…

W

n3

C

4

W

14

W

24

…

W

n4

C

5

W

15

W

25

…

W

n5

...

…

…

…

…

C

k-1

W

1k

W

2k

…

W

nk

C

k

W

1k-1

W

2k-1

… W

nk-1

Kryterium

Opinie

C

1

W

1

C

2

W

2

C

3

W

3

C

4

W

4

C

5

W

5

…

…

C

k-1

W

k-1

C

k

W

k

56

Przykładowo wła ciwo ci (kryteria) stali, pod którymi mo na rozpatrywa
u yteczno stali mo emy podzieli na 2 kategorie subiektywne
i obiektywne, przy tym oba typy mog by przedstawiane za pomoc liczb
rozmytych.

Subiektywne to kolejno:
1.

Wła ciwo ci anty-deformuj ce (C

1

)

2.

Bezpieczne utwardzanie (C

2

)

3.

Twardo (C

3

)

4.

Odporno na temperatur (C

4

)

5.

Odporno na cieranie ( cieralno ) (C

5

)

6.

Wła ciwo ci mechaniczne (C

6

)

Kryterium obiektywnym b dzie w naszym przypadku
7.

Koszt materiału (C

7

)

Kryteria s podzielone w ten sposób gdy kolejny raz nale y podkre li , e
kryterium kosztu jest ustalany przez rynek. Natomiast pozostałe subiektywne
kryteria zale tylko i wył cznie od osobistej opinii osoby podejmuj cej decyzj .

57

Tabela 5.5 W rozpatrywanym testowym przykładzie[62] tablica wag

zdefiniowana została przez 3 ekspertów.

Podstawiaj c pod słowne opisy wa no ci kryteriów warto ci z tabeli 5.1 i
u ywaj c metod arytmetyki liczb rozmytych u redniamy wagi i otrzymamy
odpowiednie wyniki przedstawione w tabeli 5.6.
Tabela 5.6. U rednione warto ci wag

Subiektywne kryteria 1-6 s przedstawione za pomoc słownych opisów,
a obiektywne kryterium 7 (koszt materiału) jest opisane za pomoc rozmytych
liczb. Warto jednak podkre li , e bezpo rednie porównywanie ze sob
kryteriów subiektywnych i obiektywnych mo e prowadzi do pewnych bł dów
w wyliczeniach. W tym celu dokonujemy zamiany kryterium obiektywnego
na subiektywne. Aby nie prowadzi do utraty cennych informacji

Opinie

Kryterium

E

1

E

2

E

3

C

1

H

H

VH

C

2

M

H

M

C

3

VH

VH

H

C

4

H

H

M

C

5

M

M

M

C

6

H

H

VH

C

7

VH

VH

VH

Kryterium

Opinie liczbowe

Opinie słowne

C

1

W

1

’=(0.567,0.8,0.8,1)

H

C

2

W

2

’=(0.3,0.567,0.567,0.867)

M

C

3

W

3

’=(0.633,0.8,0.8,1)

H

C

4

W

4

’=(0.4,0.633,0.633,0.933)

M

C

5

W

5

’=(0.2,0.5,0.5,0.8)

M

C

6

W

6

’=(0.567,0.8,0.8,1)

H

C

7

W

7

’=(0.7,1,1,1)

VH

58

spowodowanych defuzzyfikacj danych, czyli zamian liczb rozmytych
na rzeczywiste, b dziemy korzysta wsz dzie z rozmytych przedziałów.
W naszym przykładzie skorzystamy z gatunków stali proponowanych przez
AISI. S to kolejno: V

1

, A

2

, D

2

,

1

,

1

,

Tabela 5.7 Koszt materiału przedstawiony za pomoc rozmytych przedziałów

Numery stali wg AISI

Koszt materiału za sztuk

V

1

(1.5,1.6,1.6,1.7)

A

2

(1.8,2.0,2.0,2.2)

D

2

(1.0,2.0,2.0,2.2)

1

(1.0,1.0,1.0,1.0)

1

(2.5,3.0,3.0,3.5)

Nieco ciekawym mo e wygl da wprowadzona rozmyto kosztów materiałów.
Jednak w rzeczywisto ci takiego rodzaju rozmyte oceny s rezultatami zwykłych
bada marketingowych na podstawie ofert proponowanych przez ró ne firmy.
Okre lamy zakres przydatno ci parametru. Jak widzimy w tabeli 5.7 parametr
zawiera b dzie si w granicach od 1 do 3.5 . Nale y tylko ustali , jaki kształt
funkcji u yteczno ci tego parametru jest dla nas zadowalaj cy. Poniewa
parametrem jest koszt jednostki stali, wi c oczywistym jest, e im ni sza warto
tym lepiej, mo emy tak e przyj , e ka da cena powy ej 3,5 jest dla nas nie
opłacalna, wi c przyjmuje warto 0, a ka da cena poni ej 1 jest dla nas zawsze
korzystna, wi c przyjmuje warto 1.
Nast pnie pod tak zdefiniowan funkcje u yteczno ci (przykładowo na Rys 5.1
dla parametru C

7

) dokonujemy podstawienia warto ci kosztu (z tabeli 5.6)

do funkcji przydatno ci, w ten sposób okre laj c ju subiektywn warto
parametru. Na ko cu nale y tylko oceni , do jakiego rozmytego opisu z tabeli
5.1 nasz parametr b dzie si kwalifikował. Na rysunku 5.1 widzimy,

e parametr ten zwiera si w granicach opisu rozmytego DOBRE (G) .

59

¯ ¯ ¯

0.

52

C

7

(D

2

) =(0.52;0.8;0.8;1)= G

1

3,5

2

C

7

(D

2

)

0

3,5

2 2,2

1

0

1

0

1

1

(C

7

)

0,

6

Rysunek 5.1 Przekształcenie kryterium jako ci obiektywnego na subiektywny dla

C

7

(D

2

)

¯ ¯ ¯

0.

2

C

7

(

1

) = (0;0.2;0.2;0.4)=P

3,5

C

7

(

1

)

0

3,5

0.

4

3

2.5

0

1

0

1

1

(C

7

)

Rysunek 5.2 Przekształcenie kryterium jako ci obiektywnego na subiektywny

dla C

7

(D

2

)

60

¯ ¯ ¯

1

0.

8

0.

72

0.

76

C

7

(V

1

) =(0.72;0.76;0.76;0.8)= G

3,5

C

7

(V

1

)

0

3,5

1.6

1.7

1.5

0

1

0

1

(C

7

)

Rysunek 5.3 Przekształcenie kryterium jako ci obiektywnego na subiektywny

dla C

7

(D

2

)

Jednak nie zawsze jednoznacznie wiadomo, do jakiej oceny ma zosta
zakwalifikowany. Dobrze widoczne jest to w ostatnim przypadku (Rysunek 5.3)
gdzie powstaje zasadnicze pytanie czy otrzymany przedział (0.72;0.76;0.76;0.8)
jest równy słownemu ocenie DOBRY(G) czy W PORZ DKU (F), gdy
otrzymany przedział pasuje zarówno do jednego jak i drugiego opisu. Z pomoc
przychodzi nam tu opracowana [64] metoda porównywania przedziałów
rozmytych z u yciem -poziomów. Dzi ki niej mo emy porówna otrzymany
przedział z rozmytymi odpowiednikami słownych opisów z tabeli 5.1 i w ten
sposób policzy prawdopodobie stwo, e dany zbiór jest równy któremu
z opisów. Oczywistym jest, e b dziemy u ywa dalej tego z opisów, którego
prawdopodobie stwo równo ci z naszym otrzymanym przedziałem jest
najwi ksze.
I tak prawdopodobie stwo to b dziemy wylicza za pomoc nast puj cego
wyra enia:

(

)

(

)

−

=

=

=

=

1

0

n

i

i

i

i

B

A

P

B

A

P

α

α

α

, gdzie n – ilo -poziomów.

61

Przykładowo prawdopodobie stwo, e przedział (0.72;0.76;0.76;0.8) otrzymany
w wyniku przekształcenia pokazanego na Rys 5.5, b dzie równy opisowi
DOBRY wynosi:
P( C

7

(D

2

)=DOBRY) = 9.27%

P( C

7

(V

1

)=DOBRY) = 6.31%

P( C

7

(D

2

)=W PORZ DKU) =0.39%

P( C

7

(V

1

)=W PORZ DKU) =10.63%

Rys.5.5 Porównanie przedziałów C

7

(D

2

) (kolor czerwony) = DOBRY (kolor niebieski)

St d mo na by wysnu wniosek,

e otrzymany rezultat mo emy

z wi ksz pewno ci zdefiniowa jako DOBRY, i u ywa wła nie jego
w dalszych obliczeniach.

Tabela 5.8 Koszt materiału przedstawiony za pomoc subiektywnych opisów
przy zastosowaniu metody obliczania prawdopodobie stwa równo ci zbiorów

Numery stali

wg AISI

Koszt materiału za

sztuk

Koszt po przekształceniu

Prawdopodobie stwo

równo ci z opisem

Koszt według opisów

słownych

V

1

(1.5,1.6,1.6,1.7) (0.72;0.76;0.76;0.8)

10,63%

F

A

2

(1.8,2.0,2.0,2.2) (0,52;0,6;0,6;0.68)

10,63%

F

D

2

(1.0,2.0,2.0,2.2)

(0,52;0,8;0,8;1)

9.27%

G

1

(1.0,1.0,1.0,1.0)

(1.0,1.0,1.0,1.0)

16.67%

VG

1

(2.5,3.0,3.0,3.5)

(0;0,2;0,2;0,4)

23.86%

P

62

Poniewa jak to mo na zauwa y w tabeli 5.8 prawdopodobie stwa równo ci
zbiorów s przewa nie bardzo małe (przeci tnie nie przekraczaj 20-30%), wi c
aby zwi kszy wiarygodno do wyników opracowana została tak e inna
metoda.
Polega ona na podstawieniu otrzymanego zbioru pod zbiór okre laj cy dana
ocen lingwistyczn . W wyniku takiego podstawienia otrzymamy nast pny zbiór
rozmyty, który b dzie charakteryzował nam stopie spójno ci z dan ocen
lingwistyczn . Takie przekształcenie wykonujemy dla ka dej oceny
lingwistycznej, co da nam w wyniku pewn ilo zbiorów, które porównujemy
ju w zdefuzzyfikowanej postaci. Defuzzyfikacji (wyostrzanie) zbioru
dokonujemy korzystaj c z prostego przekształcenia:

4

4

3

2

1

x

x

x

x

xdef

+

+

+

=

, gdzie xdef oznacza warto zdefuzzyfikowan , a x

i

- s

kolejnymi punktami kluczowymi danej funkcji rozmytej [61].

Nale y zwróci uwag , e defuzzyfikacja przeprowadzona na tym poziomie nie
spowoduje nam utraty informacji, a jedynie w naturalny sposób okre la nam
stopie spójno ci z dan ocen lingwistyczn , gdy w ostatnim etapie wybieramy
t ocen , której warto po zdefuzzyfikowaniu b dzie najwi ksza.

63

Rys 5.9 Podstawienie zbioru rozmytego pod ocen lingwistyczn

Dokonuj c takiego przekształcenia porówna dla wszystkich gatunków stali
otrzymamy nast puj ce rezultaty( Tabela 5.8)

Tabela 5.8 Stopnie spójno ci z ocenami ligwistycznymi

Stopnie spójno ci z ocenami lingwistycznymi

Numery stali

wg AISI

Najgorsze (W)

(0,0,0,0.3)

Słabe (P)

(0,0.3,0.3,0.5)

W porz dku (F)
(0.2,0.5,0.5,0.8)

Dobre (G)

(0.5,0.7,0.7,1)

Najlepsze(B)

(0.7,1,1,1)

V

1

0

0

(0.266,0,133,0.133,0)

(0.93,0.8,0.8,0,67)

(0.02,0.06,0.06,0.1)

A

2

0

0

(0.93,0.66,0.66,0.4)

( 0.2,0.1,0.1,0.18)

0

D

2

0

0

(0.93,0,0,-0.66)

(0.2,0.67,0.67,0)

(-0.18,0.1,0.1,1 )

1

0

0

0

(0,0,0,0)

(1,1,1,1)

1

(1,0.33,0.33,-0.33)

(0,0.2,0.2,0.5)

(-0.2,0,0,0.2)

0

0

Jak wida stopnie spójno ci z ocenami lingwistycznymi mog by
przedstawione przez zwykłe liczby oraz rozmyte. Dla unifikacji rezultatów
u ywamy defuzzyfikacji Po defuzyfikacji polegaj cej na u rednieniu warto ci,
otrzymamy nast puj ce wyniki

64

Tabela 5.9 Zdeffuzyfikowane stopnie spójno ci z ocenami ligwistycznymi

Stopnie spójno ci z ocenami lingwistycznymi

Numery stali wg AISI oraz w

nawisach podane otrzymane

subiektywne przedstawienie

u ywanych obiektywnych kryteriów

Najgorsze

(W)

Słabe

(P)

W porz dku (F) Dobre (G) Najlepsze(B)

V

1

(0.72;0.76;0.76;0.8)

0

0

0.133

0.8

0.06

A

2

(0,52;0,6;0,6;0.68)

0

0

0.86

0.445

0

D

2

(0,52;0,8;0,8;1)

0

0

0.23

0.33

0.26

1

(1.0,1.0,1.0,1.0)

0

0

0

0

1

1

(0;0,2;0,2;0,4)

0.3325

0.225

0

0

0

Tabela 5.10 Porównanie metod oraz ko cowe rezultaty oceny spójno ci z
lingwistycznymi ocenami

Numery stali

wg AISI

Koszt materiału za

sztuk

Koszt po przekształceniu

Koszt według opisów

słownych (metoda I)

Koszt według opisów

słownych (metoda II)

V

1

(1.5,1.6,1.6,1.7) (0.72;0.76;0.76;0.8)

F

G

A

2

(1.8,2.0,2.0,2.2) (0,52;0,6;0,6;0.68)

F

F

D

2

(1.0,2.0,2.0,2.2)

(0,52;0,8;0,8;1)

G

G

1

(1.0,1.0,1.0,1.0)

(1.0,1.0,1.0,1.0)

B

B

1

(2.5,3.0,3.0,3.5)

(0;0,2;0,2;0,4)

P

W

Pozostałe stopnie przydatno ci kolejnych gatunków stali dla poszczególnych
subiektywnych kryteriów zostały oszacowane nast puj co (Tabela 5.9)

Tabela 5.11 Pozostałe stopnie przydatno ci kryteriów jako ci stali konstrukcyjnej

Numery stali wg AISI

C

1

C

2

C

3

C

4

C

5

C

6

C

7

V

1

P

F

G

P

F

B

G

A

2

B

B

F

F

G

F

F

D

2

B

B

F

F

G

P

G

1

F

G

G

F

F

F

B

1

G

G

F

B

G

F

W

65

Nast pnym krokiem jest przekształcenie opisów słownych na rozmyte warto ci z
tabel 5.1, 5.2 co zostało przedstawione w tabeli 5.12. Nasuwa si tu oczywiste
pytanie, po co przekształca przekształcane opisy kryteriów obiektywnych na
subiektywne i dopasowywa (tylko z pewnym prawdopodobie stwem)do ich
słownych opisów, a nast pnie je znowu przekształca na ich rozmyte
odpowiedniki. Dzieje si tak, gdy w wielu problemach wyboru i podejmowania
zło onych decyzji nie warto jest powi ksza podstawowej bazy ocen
lingwistycznej o kolejne oceny, które cz sto by nam było pó niej rozró nia .

Tabela 5.12 Warto ci kryteriów jako ci stali konstrukcyjnej według ich słownych
odpowiedników.

Numery stali wg

AISI

C

1

C

2

C

3

V

1

(0,0.3,0.3,0.5) (0.2,0.5,0.5,0.8) (0.5,0.7,0.7,1)

A

2

(0.7,1,1,1)

(0.7,1,1,1)

(0.2,0.5,0.5,0.8)

D

2

(0.7,1,1,1)

(0.7,1,1,1)

(0.2,0.5,0.5,0.8)

1

(0.2,0.5,0.5,0.8) (0.5,0.7,0.7,1)

(0.5,0.7,0.7,1)

1

(0.5,0.7,0.7,1)

(0.5,0.7,0.7,1) (0.2,0.5,0.5,0.8)

Numery stali

wg AISI

C

4

C

5

C

6

C

7

V

1

(0,0.3,0.3,0.5)

(0.2,0.5,0.5,0.8)

(0.7,1,1,1)

(0.5,0.7,0.7,1)

A

2

(0.2,0.5,0.5,0.8)

(0.5,0.7,0.7,1)

(0.2,0.5,0.5,0.8)

(0.2,0.5,0.5,0.8)

D

2

(0.2,0.5,0.5,0.8)

(0.5,0.7,0.7,1)

(0,0.3,0.3,0.5)

(0.5,0.7,0.7,1)

1

(0.2,0.5,0.5,0.8)

(0.2,0.5,0.5,0.8)

(0.2,0.5,0.5,0.8)

(0.7,1,1,1)

1

(0.7,1,1,1)

(0.5,0.7,0.7,1)

(0.2,0.5,0.5,0.8)

(0,0.3,0.3,0.5)

B d c w posiadaniu wag oraz stopni przydatno ci mo emy przej
do agregacji kryteriów. Korzystamy tu z metod agregacji, przedstawionych w
rozdziale 4.3. Po obliczeniu warto ci wystarczy tylko porówna je i wybra
to najlepsze, z najwi ksz warto ci .

66

Dla przypomnienia nasze metody agregacji dla gatunku stali V

1

b d wygl dały

nast puj co:
•

Maksymalnego pesymizmu:

}

,...,

,

min{

2

1

1

2

1

1

i

w

i

w

w

V

C

C

C

D

=

• Addytywny

N

C

W

D

N

i

i

i

V

=

=

1

2

1

• Multiplikatywny:

∏

=

=

N

i

W

i

V

i

C

D

1

3

1

Korzystaj c z opracowanych i zaimplementowanych operacjach matematycznych
na

zbiorach

rozmytych

obliczono

zagregowane

kryteria.

Na przykład dla metody maksymalnego pesymizmu powinni my wykona
nast puj c operacje:

;

.7,1)

(0.5,0.7,0

,

)

(0.7,1,1,1

,

.5,0.8)

(0.2,0.5,0

,

,0.5)

(0,0.3,0.3

,

.7,1)

(0.5,0.7,0

,

.5,0.8)

(0.2,0.5,0

,

,0.3,0.5)

min((0,0.3

)

(0.7,1,1,1

,0.8,1

(0.567,0.8

.5,0.8)

(0.2,0.5,0

33)

,0.633,0.9

(0.4,0.633

,0.8,1)

(0.633,0.8

67)

,0.567,0,8

(0.3,0.567

0.8,1

0.567,0.8,

1

1

)

==

)

)

(

V

D

Jasne, e pot gowanie przedziału rozmytego w stopniu przedziału rozmytego
daje rezultat tak e w postaci przedziału rozmytego. St d wynika niezb dno
wykonania operacji znalezienia minimalnego przedziału rozmytego z
powy szego wyra enia. Do tego u ywano metody porównywania liczb
rozmytych [64] .

Poni ej przedstawiono rezultaty otrzymane za pomoc metody

maksymalnego pesymizmu

67

Tabela 5.13 Przykład wyliczenia kryterium maksymalnego pesymizmu dla V

1

W tabeli 5.14 i 5.15 przedstawiono ko cowe rezultaty oceny gatunków

stali otrzymane na podstawie wszystkich trzech sposobów agregowania
kryteriów lokalnych.

Tabela 5.14 Rezultaty zagregowanych kryteriów dla kolejnych gatunków stali
konstrukcyjnej.

DD

1

DD

2

DD

3

V

1

(0.000,0.382,0.382,0.675) (0.020,0.106,0.106,0.186) (0.000,0.191,0.191,0.577)

A

2

(0.200,0.500,0.500,0.855) (0.077,0.186,0.186,0.257) (0.140,0.500,0.500,0.855)

D

2

(0.000,0.382,0.382,0.675) (0.107,0.214,0.214,0.286) (0.350,0.700,0.700,1.000)

1

(0.200,0.574,0.574,0.881) (0.086,0.200,0.200,0.257) (0.140,0.574,0.574,0.881)

1

(0.000,0.300,0.300,0.616) (0.040,0.123,0.123,0.214) (0.000,0.226,0.226,0.616)

Tabela 5.15 Rezultaty zagregowanych kryteriów dla kolejnych gatunków stali
konstrukcyjnej przedstawione za pomoc ocen lingwistycznych.

DD

1

DD

2

DD

3

V

1

P

W

P

A

2

F

W

F

D

2

P

W

G

1

F

W

F

1

P

W

P

68

rys 5.6 Porównanie ko cowe

2

2

A

D

(A)oraz

2

y

1

D

(B), których rezultaty były bliskie

według agregacji maksymalnego pesymizmu

Jak widzimy najwi ksz ocen osi gn ła stal

1

gdy dla DD

1

i dla DD

3

osi gn ła najwi ksz warto , ale z punktu widzenia agregacji DD

2

najlepsza jest

stal D

2

. Jednak w rozdziale pokazano e rezultatom agregacji DD

2

(sposób

addytywny) nie mo na zawsze ufa . Dlatego w naszym wypadku stal

1

mo na

uzna za najlepsz . Dla zilustrowania procedury wyboru (podejmowania decyzji)
na rysunku 5.6 pokazane zostało z jakim prawdopodobie stwem (z jakim
prawdopodobie stwem) stal A

2

(która tak e ma wysokie noty) jest mniejsza od

1.

Jak to mo na zauwa y opracowana metoda pozwala w skuteczny sposób
ocenia i wspomaga podejmowanie decyzji nie tylko w dziedzinie wyboru stali,
ale wsz dzie tam gdzie mamy do czynienia z problemem podejmowania decyzji
przez grup ekspertów

69

5.3.Opisanie struktury klas realizuj cych metod oszacowania
alternatyw.

Aby opisa struktur chce najpierw przybli y troch działanie samego
programu. Poni ej przedstawiam tabele, która opisuje kluczowe zachowania
systemu..
Etap1. Identyfikacja zachowa systemu

Kto

Działanie

Kogo ,Czego ?

Rezultat

Menu

rysuje

si

Gotowo
przyjmowania polece

U ytkownik

da

odczytywania

hierarchii

Parametry wszystkich
kryteriów zostaj
odczytane z dysku

U ytkownik

da budowania

od nowa

hierarchii

Wyczyszczona zostaje
dotychczasowa
struktura

Menu

oferuje

dialog

Budowa nowej
hierarchii

Menu

oferuje

hierarchie

Umo liwia to wybór
konkretnego
kryterium

U ytkownik wybiera

kryterium

Do tego kryterium
b dzie si od tej pory
zwracał

70

Menu

oferuje

parametry funkcji
przynale no ci, macierz
parzystych porówna
dla wybranego
kryterium

Umo liwia zmian
ilo ci, zestawu
parametrów, macierzy
parzystych porówna ,
nazw, wyliczenie
rang.

U ytkownik

da zapisu

wszystkich
parametrów

kryteriów hierarchii

Wszystkie parametry:
ich ilo , nazwy,
macierze p.p. zostaj
zapami tane na dysku.

U ytkownik

da zapisu cz ci

parametrów

Wybranego kryterium

Dla wybranego
kryterium wszystkie
parametry: ich ilo ,
nazwy, macierze p.p.
zostaj zapami tane
na dysku.

Menu

oferuje

hierarchie

Umo liwia to dodanie,
albo usuwanie
kryteriów

U ytkownik

da wyboru

pliku danych

Odczytanie danych z
pliku

Uzytkownik

da wyliczenia

Rang –
współczynników
wzgl dnej wa no ci

Na ekranie zostana
podane rangi dla
ka dego z kryteriów
na danym poziomie

U ytkownik

da wyliczenia

Warto ci kryteriów
globalnych

Na ekranie b d
podane D1,D2,D3 dla
wszystkich kryteriów

71

Etap2. Identyfikacja klas obiektów

Klasa:

Menu

Obowi zki:

1.

Pokazanie si na ekranie po starcie programu

2.

Umo liwienie odczytania struktury hierarchii z dysku

3.

Umo liwienie budowania struktury hierarchii od nowa

4.

Umo liwienie zmiany hierarchii

5.

Umo liwienie zapisu zmian na dysku

6.

Umo liwienie odczytania danych z pliku

7.

Polecenie wyliczenia warto ci rang na dowolnym poziomie

8.

Polecenie wyliczenia warto ci kryteriów globalnych na dowolnym

poziomie

9.

Przedstawienie wyników w postaci liczbowej i graficznej

Współpracownicy:
Hierarchia

Klasa:

Hierarchia

Obowi zki:

1.

Umo liwienie okre lenia, które z kryteriów chcemy zmieni albo usun

2.

Umo liwienie zmiany w konkretnym kryterium

3.

Zapis zmian w kryterium na dysk

4.

Wyliczenie warto ci rang

5.

Wyliczenie warto ci kryteriów globalnych

6.

Wy wietlenie na ekran DD

1

,DD

2

,DD

3

dla wszystkich kryteriów

globalnych

Widoczne własno ci:

-

ilo podpoziomów

-

macierz parzystych porówna (tylko dla kryteriów agreguj cych pewne

kryteria stoj ce na ni szym poziomie)

72

-

rangi

-

globalne kryteria

Klasa:

Kryterium

Obowi zki:

1.

Umo liwienie zmiany ilo ci, nazw, funkcji przynale no ci, macierzy

parzystych porówna , wyliczenie rang i globalnych kryteriów.

Współpracownicy: hierarchia

Widoczne własno ci:

-

nazwy,

-

punkty kluczowe funkcji przynale no ci

-

typ funkcji przynale no ci

Etap3. Usystematyzowanie klas obiektów









Hierarchia składa si z kryteriów,
klasa kryterium mo e by klas składow klasy hierarchia

Kryterium

Kryterium
ni szego poziomu

Kryterium
wy szego poziomu

73

Etap4.Okre lenie wzajemnych zale no ci klas

Graf współpracy



Spis relacji

Menu:

-

Zleca hierarchii narysowanie si na ekranie

-

Zleca hierarchii zapisanie jej struktury i parametrów na dysku

-

Zleca hierarchii odczytania z dysku jej struktury i parametrów

-

Zleca hierarchii wstawienie konkretnego kryterium w wybrane miejsce

w strukturze

-

Zleca hierarchii usuni cie konkretnego kryterium z jej struktury

-

Zleca hierarchii usuni cie wszystkich kryteriów

Hierarchia:

-

Dowiaduje si o zapisanej na dysku strukturze

-

Zleca kryterium by odczytał z dysku warto swoich parametrów

-

Zleca kryterium podrz dnym by zapisała na dysku warto swoich

parametrów

-

Wybranemu kryterium zleca rysowanie na ekranie funkcji przynale no ci i

je eli ma kryterium ni szego poziomu to wy wietla macierz parzystych
porówna

-

Zleca kryterium by powiedział, kim jest, zidentyfikował si

Hierarchia

Menu

Kryterium

74

6.

Podsumowanie i kierunki rozwoju

Niew tpliwie podejmowanie decyzji jest dziedzin bardzo szerok

i rozwijaj c si w obecnych czasach, która jednocze nie korzysta z rozwi za
pojawiaj cych si w innych gał ziach nauki. Chocia jest wokół nich du o
kontrowersji, zwi zanych z podstawowymi zasadami i poj ciami to jak pokazano
za pomoc praktycznych przykładów nie ma adnej w tpliwo ci nad ich u yciem
w tak sformułowanych zadaniach podejmowania decyzji, a proponowana metoda
gwarantuje wła nie du y zakres mo liwo ci w formalizowaniu i rozwi zywaniu
zada .

Lista problemów jednak nie ko czy si tylko na tych, których rozwi zanie

dokonano w niniejszej pracy. Kolejne problemy to mi dzy innymi
rozwi zywanie zada z rozmyt tablic parzystych porówna nie za pomoc
u redniania, ale przy u yciu zbiorów rozmytych typu II. Podobne zastosowanie
tych zbiorów b dzie uzasadnione w momencie wprowadzenia danych
wej ciowych o alternatywach przez grup ekspertów, którzy jak wiadomo rzadko
si ze sob zgadzaj . Inny problem pojawia si tak e przy zastosowaniu zbiorów
rozmytych drugiego stopnia w trakcie formalizowania kryteriów lokalnych.
Cz

z tych problemów zostało ju teoretycznie rozwi zane a praktyczne

rozwi zania w programie s na zaawansowanym etapie implementacji.

75

7.

Literatura

1.

. .

!"

# $ %

&

#

&

//'#.

- / ())

&

% $

*

. . 1980. +6. . 14 - 33

.

2.

, %-

.. . ) % $

# , *

: /$

,

# , &

,

$ % 0 1

. – .: ( , 1980. – 208

3.

$% # 2.3.,

#

.. ., 4#

*

2. . 3%

#

5

#

#

%- &

%

*

. – .: ( , 1976. –

279 .

4.

6 # 7

'. .

# &

/,

# # /# !

# , #&

% 0

%

1

&

%

# &

# %

:

# 8

. $ .

…

$

.

. . – . – 1969. – 20 .

5.

6 , 3.4.

$&

% $

1

# 9 : 0

#

. – .:

7

#

, 1974. – 231 .

6.

(

;. ., #/ <.=. >

/, 1

# ,

% 0

%%

$

%

#

1

5

#

. – .:

7

#

, 1980. –

304 .

7.

%

?.@.,

*

..A. B 7

1

:

# 1

,

8 # , 1

,

$ % #

. – .: B $ 1/-, 1981. – 328 .

8.

Dubois D., Prade H. Fuzzy sets and systems. Theory and applications. –

New York: Asad. Press, 1980. XVIII. – 344 p.

9.

Tanaka Hideo, Asai Kiyaii. Fuzzy linear programming based on fuzzy

functions //Bull. Univ. Osaka Prefect. – 1980. – Vol. 29. – + 2. – P. 113 –
125.

10.

( 0 *, 6. 3#

#

# !%

# %

1

. – .:

#

, 1981. – 180 .

76

11.

= #

.(.

% /

# 7

*

# 1

9

//

$&

&

# 1 1 # 7

*

.

$&

$ %

% /

# 7

*

. –

B 0

, 1981. - . 5 – 10.

12.

Negoita C. The carrent interest in fuzzy optimization //Fuzzy Sets and

Systems. – 1981. - Vol. 6. - + 3. - P. 261 – 269.

13.

Hannan E. Linear programming with multiple fuzzy goals //Fuzzy Sets and

Systems. – 1981. - Vol. 6. - + 3. - P. 235 – 489.

14.

= #

.(., 3

. . >$ % /$

0 #

# %- *

/,

# % 0

/$

# # //

$&

$ %

# %

1

# %1

. – B 0, 1979. - . 56 – 61.

15.

=% 7

.;., C

#

D.). 3# 1 # 7

*

% 0

0

# $

%

1

,

&

$

&

# #

//)/. (

B

. '

1

! #

. – 1981. - + 5. – . 212 –

217.

16.

= #

.(., 6 #

4. .

0

*

$ $

#

E

$ % *

# 1 1 # 7

*

%

1

# $ %

//

$&

# 1 1

# 7

*

%

1

# $ %

. – B 0, 1980. - + 7. -

. 4 – 11.

17.

Tong R., Bonissone P. A linguistic approach to decision-making with fuzzy

sets //IEEE Trans. Syst. Mang. and Cybern. – 1980. – Vol. 10. – + 11. – P.
716 – 723.

18.

</

. . A $

# *

/,

588 ,

9

#

#

//

$&

/,

# %

1

% 9 &

. – 6 %

, 1981. - .

38 – 51.

19.

Ramesh J. A procedure for multiple-aspect decision making using fuzzy sets

//Int. J. Syst. Sci. – 1977. – Vol. 8. – + 1. – P. 1 – 7.

20.

Yager R. Fuzzy decision making including unequal objectives //Fuzzy Sets

and Systems. 1978. - Vol. 1. - + 2. - P. 87 – 95.

21.

Yager R. Multiple objective decision-making using fuzzy sets //Int. J. Man-

Mach. Sfud. – 1979. - Vol. 9. – + 4. – P. 375 – 382.

77

22.

= #

.(., 6# ! #0 >. .

% /

# 7

*

#

&! #

% 0

!"

//

$&

# 1 1 # 7

*

%

1

# $ %

. – B 0, 1980. + 7. - . 126 – 134.

23.

Hagg C. Possibility and cost in decision analysis // Fuzzy Sets and Syst. –

1978. – Vol. 1. – + 2. – P. 81 – 86.

24.

Yager R. Fuzzy Sets, probabilistics and decision //J. Cybern. – 1980. - V.

10. - + 1 - 3. - P.1 - 18.

25.

Zadeh L.A. Fuzzy Sets //Information and Control.- 1965. V. 8. - P. 338 -

353.

26.

Bellman R., Zadeh L Decision-making in fuzzy environment //Management

Science. - 1970. - V. 17. - P. 141 - 164.

27.

Zadeh L.A. Fuzzy algorithms //Inf.Contr. - 1968. - V. 12. - P. 94 - 102

.

28.

>#%

*

. . 3# !% & # 1 1 # 7

*

#

*

$ *

8 # ,

. – .: ( , 1981. – 208 .

29.

Saaty T. Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structures //J. of

Mathematical Psychology. – 1977. – Vol. 15. – + 3. – P. 234 – 281.

30.

Chu A., Kalaba R., Springarn R. A Comparison pf Two Methods for

Determining the weights of Belonging to Fuzzy Sets //J. of Optimization
theory and applications. – 1979. – Vol. 27. – + 4. – P. 531 – 538.

31.

Yager R. Fuzzy subsets of type II in decisions //J. Cybern. - 1980 - V. 10. -

+

1 - 3. - P. 137 - 159.

32.

3 $

*

. ., ( 0 .D. 3 # -

%- &

# 7

1

0 #

# %- &

/$ . – .: ( , 1982. – 256 .

33.

(.(.

/$

0

% /

. –

.:

(

, 1981. – 488 .

34.

-1

3. ., '

(. .

0 #

# %- 1

$

8

, 1

/, 1

% 0

# ,

. –

: (

,

1990. – 224 .

35.

% ?.@.,

*

..A. B 7

1

:

# 1

,

8 # , 1

,

$ % #

. – .: B $ 1/-, 1981. – 328 .

78

36.

Zimmermann H.J. Fuzzy Sets, Decision-Making and Expert Systems. –

Dordrecht: Kluver Academic Publ., 1987. – 352 p.

37.

Yager R. Multiple objective decision-making using fuzzy sets //Int. J. Man-

Mach. Sfud. – 1979. - Vol. 9. – + 4. – P. 375 – 382.

38.

Chu A., Kalaba R., Springarn R. A Comparison pf Two Methods for

Determining the weights of Belonging to Fuzzy Sets //J. of Optimization
theory and applications. – 1979. – Vol. 27. – + 4. – P. 531 – 538.

39.

4 # * # 2.=.

$

# E

% $

1

# , *

. –

.:

(

, 1971. – 220 .

40.

Dubois D., Koenig J.L. Social choice axioms for fuzzy set aggregation

//Fuzzy Sets and Systems. – 1991. - V. 43. - P. 257 – 274.

41.

Roubens M. Fuzzy sets and decision analysis //Fuzzy Sets and Systems. –

1997. - V. 90. - P. 199-206.

42.

Yager R.R. On ordered weighted averaging aggregation operators in

multicriteria decision making //IEEE Trans. Systems Man and Cybern. –
1988. - V. 18. - + 1.- P. 183 – 190.

43.

Hauke W. Using Yager’s t-norms for aggregation of fuzzy intervals //Fuzzy

Sets and Systems. – 1999. - V. 101. - P. 59 – 65.

44.

Dyckhoff H. Basic concepts for theory of evaluation: hierarchical

aggregation via autodistributive connectives in fuzzy set theory //European
J. Operation Research. –1985. - V. 20. - B. 221-233.

45.

Migdalas A., Pardalos P.M. Editorial: hierarchical and bilevel programming

//J. Global Optimization. – 1996. - V. 8. - + 3. - P. 209 – 215.

46.

Zimmerman H.J., Zysno P. Latent connectives in human decision making

//Fuzzy Sets and Systems. – 1980. - V. 4. - P. 37 - 51.

47.

Zimmerman H.J., Zysno P. Decision and evaluations by hierarchical

aggregation of information //Fuzzy Sets and Systems. – 1983. - V.104. - P.
243 – 260.

48.

Mitra G. Mathematical Models for Decision Support. –Berlin: Springer,

1988.

79

49.

Choi D.-Y., Oh K.-W. Asa and its application to multi-criteria decision

making //Fuzzy Sets and Systems. – 2000. - V. 114. - P. 89 - 102.

50.

Shih H.-S. Lee E.S. Compensatory fuzzy multiple level decision making

//Fuzzy Sets and Systems. – 2000. - V. 114. - P. 71 – 87.

51.

Ursu V. Metode de imbunatire’a calitatii lingorior /V. Ursu, P. Murariu, T.

Popescu //Cecetari metalgice. – 1981. – Vol. – 22. – P. 32 – 41.

52.

Fisher K.M. The effect of fluid flow on the solidification of industrial

casting ingots //Physic-Chemical Hydrodynamics. – 1981. - Vol. 2. – + 4. –
P. 331 – 332.

53.

( 0 % B.). >

&

0 # 0 & # $. – .: ( ,

1978. – 336 .

54.

. 4 $# $

0 8 / &

. – .:

#

, 1971.– 536 .

55.

L.C.Leung , D.Cao „On consistency and ranking of alternatives In fuzzy

AHP” European Journal of Operation Research volume 124 ,issue 1, 01-
July-2000 European Journal of Operation Research vol 124. (1) pp. 102-113

56.

L.C.Leung , D.Cao “On the efficacy of modeling multi-attribute decision

problems using AHP and Sinarchy”.
European Journal of Operation Researchvol 132 (1)pp 39-49]

57.

Chen-Tung Chen.” A fuzzy approach to selsect the location of the

distribution center” Departamnet of Information Management. Da-Yeh
University, april 1998

58.

Sevastianov, V.I. Valkovsky, D.P. Sevastianov, D.V. Stepanov. The

methods and software for financial an economic analysis in conditions of
fuzzy and probabilistic uncertainty// Proc. of the Fifth International Conf.
Computer Data Analysis and Modeling .1998.- Minsk. Vol. 2., P. 93-98

59.

Dymova L.,Sevastjanov D., Sevastjanov P. Application of fuzzy sets theory

methods for the evaluation of investment efficiency parameters// Fuzzy
economic review. 2000, Vol. V, N 1, P. 34-48 .

60.

Zollo G., Iandoli L., Cannavacciuolo A. The performance requirements

analysis with fuzzy logic// Fuzzy economic review. 1999, Vol. IV, N 1, P.
35-69.

80

61.

Shyi-Ming Chen., A new method for tool steel materials selection under

fuzzy environment / Fuzzy sets and systems, 1998.

62.

Mao-Jiun J Wanga and Tien-Chien Chang., Tool steel materials selection

under fuzzy environment //Fuzzy sets and systems, 1995.

63.

Chen-Tung Chen. A fuzzy approach to select the location of distribution

center //Fuzzy sets and systems, 1998.

64.

Paweł Róg. „The method of Intervals Ordering Based on the Probibalistic

Approach” //Computer Science. 2001, Vol I, N 1, P. 103-108

Własne publikacje63
1.

„Komputerowy system wspomagania decyzji przy wyborze projektów

inwestycyjnych”// Informatyka Teoretyczna i stosowana Rocznik 1 Nr 1
2001 L.Dymowa, A.Zenkowa, P. Figat

2.

„Metoda i oprogramowanie do oceny wielokryterialnej i wielopoziomowej

decyzji w warunkach niepewno ci rozmytej” (streszczenie) III Krajowa
konferencja: Metody i systemy komputerowe w badaniach naukowych
projektowaniu in ynierskim”Kraków 19-21 listopad 2001

3.

Informatyka 2- „Investment project quality comparison”

4.

Polskie towarzystwo informatyczne Szczyrk 2002 “System wspomagania

decyzji na podstawie wiedzy rozmytej” L. Dymowa, P.Figat,
P.Sevastianow, A. Zenkowa

5.

Zakopane 2002 „Methodology and application comparison for managing

fuzzy subsets of different type In financial decision making”

81

Dodatek A - Skrócona dokumentacja programu

Witamy Pa stwa w systemie wspomagania decyzji.

Nasz system pozwala w szybki i sprawny sposób agregowa kryteria zarówno
ilo ciowe jak i jako ciowe w jedno uogólnione kryterium globalne na podstawie,
którego mo emy podj decyzje. Rozwi zuje takie problemy optymalizacji, jak
wielokryterialno i wielopoziomowo zada .

A oto kolejno , w jakiej powinni my działa , aby poprawnie rozwi za problem
podj cia decyzji:

1)

Utworzenie drzewa kryterialnego

a)

Podanie nazw dla ka dego kryterium i podkryterium

b)

Ustalenie typu funkcji przynale no ci. Dla ka dego kryterium
szczegółowego (takiego, które nie ma podgrup) ustalamy jeden z 7
typów funkcji przynale no ci, które mo emy podejrze naciskaj c
na pole edycyjne prawym guzikiem myszy.

c)

Wprowadzenie punktów kluczowych dla ka dej funkcji
przynale no ci. W zale no ci od typu funkcji okre lamy
szczegółowe warto ci punktów kluczowych ka dej funkcji. W ten
sposób ostatecznie formalizuj c dane kryterium.

2)

Wprowadzenie danych

W tym oknie wprowadzamy dane dla rozpatrywanych przypadków.
Mo emy ustali standardow nazw dla naszych przypadków (w zale no ci
do oceny, czego jest nasz program wykorzystywany - jedni ocenia b d
marki samochodów a drudzy skomplikowane projekty inwestycyjne).

82

Mo emy zapisa utworzony zestaw danych do pliku lub sczyta te dane z
pliku utworzonego wcze niej. Oczywi cie liczba przypadków, które
porównujemy jest dowolna i mo e by zmieniana dla w trakcie oblicze w
dowolny sposób.

3)

Obliczenie kryterium globalnego.

Mo emy obliczy kryteria na dowolnym poziomie (przycisk

oblicz

kryterium) lub od razu policzy kryterium globalne (przycisk oblicz
wszystko)
Nast pnie naciskaj c na dowolny rz d w tabeli z wynikami mo emy
zobaczy , jaki przebieg miały funkcje agreguj ce poszczególnych projektów
(porównywanych przypadków). Naciskaj c przycisk

Wyniki ko cowe

(dokonujemy automatycznych oblicze na całym drzewie kryterialnym)
mo emy zorientowa si , który z rozpatrywanych przypadków jest najlepszy
pod wzgl dem 1 z trzech sposobów agregowania ( maksymalnego
pesymizmu, multiplikatywnego, addytywnego)

83

Dodatek B - Najwa niejsze funkcje programu

Poniewa zamieszczenie całego kodu byłoby niemo liwo ci gdy w tym

momencie w podstawowej wersji zajmuje on około 4000 linii kodu,

zamieszczam wiec poni ej zestaw kluczowych funkcji, na których opiera si

cz

wylicze .

1. Funkcja wyliczaj ca rangi – współczynniki wzgl dnej wa no ci

double* TCriterion::frang()
{
TCriterion* foc=this;
int i,j,ii;

int liczba=foc->get_sgc();//liczba kryteriow podrzednych

int c=liczba;

double y=2;

double **b;
b=new

double*[liczba+1];

for (int i = 0; i < liczba+1; i++) /// b
b[i] = new

double[liczba+1];

double *m;
m=new

double[liczba+1]; //m

double *rang;
rang=new

double[liczba];

double *r; //r i rangi
r=new

double[liczba+1];

for(i=0; i<liczba; i++)
{
m[i]=0;

for(j=0; j<liczba; j++)

b[i][j]=-foc->getElem(i,j)-foc->getElem(j,i);
b[i][i]=c-1;

for(j=0; j<liczba; j++)

if(i!=j)

b[i][i]+=pow(foc->getElem(i,j),y);//element do kwadratu
}

for(i=0; i<liczba; i++)
{
b[liczba][i]=1;
b[i][liczba]=1;
}
m[liczba]=1;
b[liczba][liczba]=0;

for(i=0; i<liczba; i++)
{

for(j=i+1; j<liczba+1; j++)

{
y=b[j][i]/b[i][i];
m[j]-=y*m[i];

for(ii=i+1; ii<liczba+1; ii++)

b[j][ii]-=y*b[i][ii];
}
}
for(i=liczba; i>-1; i--)
{

84

y=0;

for(j=i+1; j<liczba+1; j++)

y+=b[i][j]*r[j];
r[i]=(m[i]-y)/b[i][i];
}

for(i=0; i<liczba; i++)
rang[i]=r[i]*liczba;

for (int i = 0; i < liczba; i++)

delete[] b[i];

delete[] b;

delete []r; //zwalnianie pamieci

delete[]m;

return rang;

}

2.

Wylicza warto

funkcji przynale no ci dla zadanego parametru

wej ciowego

//////////////////////////////////////////////////////////////////////

double TCriterion::fmu(double y)
{

double* x;

int ilosc= getNumberOfPoints() ;

x=new

double[ilosc] ;

for(int i=0;i<ilosc;i++)

x[i]= get_pk(i);

double b;

if( get_tof()==1)

{

if((y>=x[0])&&(y<=x[1]))

b=(x[1]-y)/(x[1]-x[0]);

if(y<x[0])

b=0;

if(y>x[1])

b=0;
}

if( get_tof()==2)

{

if((y>=x[0])&&(y<x[1]))

b=1;

if(y<x[0]) b=0;

if((y>=x[1])&&(y<=x[2])) b=(x[2]-y)/(x[2]-x[1]);

if(y>x[2]) b=0;

}

if( get_tof()==3)

{

if(y<x[0]) b=0;

if((y>=x[0])&&(y<x[1])) b=(y-x[0])/(x[1]-x[0]);

if((y>=x[1])&&(y<=x[2])) b=1;

if((y>x[2])&&(y<=x[3])) b=(x[3]-y)/(x[3]-x[2]);

if(y>x[3]) b=0;

}

if( get_tof()==4)

{

if(y<x[0]) b=0;

if(y>x[2]) b=0;

if((y>=x[0])&&(y<=x[1])) b=(y-x[0])/(x[1]-x[0]);

85

if((y>x[1])&&(y<=x[2])) b=(x[2]-y)/(x[2]-x[1]);

}

if( get_tof()==5)

{

if(y<x[0])

b=0;

if((y>=x[0])&&(y<x[1]))

b=(y-x[0])/(x[1]-x[0]);

if((y>=x[1])&&(y<=x[2]))

b=1;

if(y>x[2])

b=0;
}

if( get_tof()==6)

{

if(y<x[0])

b=0;

if((y>=x[0])&&(y<=x[1]))

b=(y-x[0])/(x[1]-x[0]);

if(y>x[1])

b=0;
}

if( get_tof()==7)

{

if(y<x[0]) b=0;

if((y>=x[0])&&(y<=x[1])) b=1;

if(y>x[1]) b=0;

}

delete []x;

return(b);

}

//////////////////////////////////////////////////////////////////////

3.

Wyliczenie kryterium D1,D2 lub D3

- parametr wej ciowe to

które - które kryterium i proj - okre laj cy numer szacowanej
alternatywy. Jako wynik zwracana jest nam warto

kryterium

double TCriterion::Dglob(int ktore,int proj) //kryterium globalne
{

double d=0 ;

if(this->get_done()==true)

{

if(ktore==1)

//maksymalnego pesymizmu

{
d=2;

for(int j=0; j<sgc; j++)

{

if(this->get_k(j).get_sgc()==0)

{

if(d>=pow(this->getMu(j,proj),this->getRang(j)))

d=pow(this->getMu(j,proj),this->getRang(j));
}

else

{
this->setMu(j,proj,this->get_k(j).Dglob(1,proj));

if(d>=pow(this->get_k(j).Dglob(1,proj),this->getRang(j)))

d=pow(this->get_k(j).Dglob(1,proj),this->getRang(j));
}
}

86

return d;

}

if(ktore==2)

// mltiplikatywne

{

double d=1;

for(int j=0; j<sgc; j++)

if(this->get_k(j).get_sgc()==0)

d*=pow(this->getMu(j,proj),this->getRang(j)) ;

else

{
this->setMu(j,proj,this->get_k(j).Dglob(2,proj));
d*=pow(this->get_k(j).Dglob(2,proj),this->getRang(j)) ;
}

return d;

}

if(ktore==3)

//addytywne

{

double d=0;

for(int j=0; j<sgc; j++)

if(this->get_k(j).get_sgc()==0)

d+=this->getMu(j,proj)*this->getRang(j);

else

{
this->setMu(j,proj,this->get_k(j).Dglob(3,proj));
d+=this->get_k(j).Dglob(3,proj)*this->getRang(j);
}

return d/=(double)sgc;

}
}

return d;

}