graf3d 01 podstawy

background image

Wykład 1 – Wprowadzenie:

Układ współrzędnych 3D

Operacje na wektorach

Transformacje 3D

Rzutowanie

Matematyka grafiki 3D

Wykład

z grafiki komputerowej

(3D)

(C) 2009 Grzegorz Łukawski
Politechnika Świętokrzyska w Kielcach

background image

● R. S. Wright jr, M. Sweet: „OpenGL – księga eksperta”,

Helion 1999

● Wojciech Jawor: „Principia Silnika”

Literatura (3D)

background image

Kartezjański, lewoskrętny układ współrzędnych:

0, 0, 0

X

Y

Z

Kartezjański układ współrzędnych

background image

X

Y

Z

P

P'

R

φ

ψ

0, 0, 0

R - promień wodzący;
φ - kąt pomiędzy płaszczyzną X-Z

a promieniem wodzącym.

ψ - kąt pomiędzy rzutem

promienia wodzącego na

płaszczyznę X-Z a osią X;

Przejście na układ kartezjański:

x = R * cos φ * cos ψ
y = R * sin φ

z = R * cos φ * sin ψ

Sferyczny układ współrzędnych

background image

Obliczenie długości wektora:

∣ 

W∣=

x

2

y

2

z

2

Normalizacja wektora (wektor znormalizowany ma długość jednostkową):

W ' =

W

∣ 

W

Iloczyn skalarny (wynikiem jest liczba):

a⋅b =∣a∣⋅∣b∣⋅cos a , b

a⋅b = x

1

x

2

y

1

y

2

z

1

z

2

Operacje na wektorach

background image

A×B=det

[

x

x

1

x

2

y y

1

y

2

z

z

1

z

2

]

A×

B=

[

y

1

z

2

y

2

z

1

, x

2

z

1

x

1

z

2

, x

1

y

2

x

2

y

1

]

A

B

A x B

B x A

Wektor A = [x

1

, y

1

, z

1

]

Wektor B = [x

2

, y

2

, z

2

]

Wynikiem iloczynu wektorowego jest wektor prostopadły do mnożonych

wektorów. Iloczyn wektorowy nie jest przemienny!

Iloczyn wektorowy

background image

O

x

=

[

1

0

0

0

0 cosφ −sin φ 0
0 sin φ

cos φ

0

0

0

0

1

]

● Wokół osi X:

O

y

=

[

cosφ 0 −sin φ 0

0

1

0

0

sin φ 0

cosφ

0

0

0

0

1

]

● Wokół osi Y:

O

z

=

[

cosφ −sin φ 0 0

sin φ

cosφ

0 0

0

0

1 0

0

0

0 1

]

● Wokół osi Z:

Obrót względem dowolnej osi realizuje się poprzez rozkład na obroty

cząstkowe wokół osi X, Y i Z.

Transformacje 3D – Obrót

3) Obrót:

background image

R=

[

1 0

0

0

0 1

0

0

0 0 −1 0
0 0

0

1

]

4) Zmiana orientacji układu współrzędnych z lewoskrętnego

na prawoskrętny i vice versa:

Transformacje 3D

background image

Rzutowanie pozwala pokazać trójwymiarową scenę na płaskim ekranie

monitora. W grafice 3D stosuje się dwa podstawowe rodzaje rzutowania:

Perspektywiczne (środkowe) – nie zachowuje kątów

i równoległości linii. Obiekty położone dalej są pozornie mniejsze.

Równoległe – zachowuje kąty i równoległość linii.

Rzutowanie

background image

Rzutowanie równoległe przenosi wszystkie punkty sceny równolegle na

płaszczyznę rzutowania.

Płaszczyzna

rzutowania (ekran)

Z

P

1

P

2

P

1

'

P

2

'

Obserwator

Jeżeli obserwator znajduje się na osi Z,
rzutowanie równoległe polega na
usunięciu współrzędnej Z wszystkich
punktów sceny.

Rzutowanie równoległe

background image

Obserwator

Płaszczyzna

rzutowania (ekran)

Z

P

1

P

2

P

1

'

P

2

'

Obiekty położone dalej od obserwatora wydają się mniejsze. Dzięki

zachowaniu perspektywy rzutowanie takie daje bardziej realistyczne efekty
niż rzutowanie równoległe.

Dla obserwatora na osi Z w odległości d od

środka układu współrzędnych:

x ' =

xd

zd

y ' =

yd

zd

Rzutowanie perspektywiczne

background image

Równanie płaszczyzny w przestrzeni euklidesowej 3D:

ax bycz d =0

det

[

x

x

1

x

2

x

3

y y

1

y

2

y

3

z

z

1

z

2

z

3

1

1

1

1

]

=

0

Trzy punkty (które nie leżą na jednej prostej) określają płaszczyznę z pomocą
równania:

Równanie płaszczyzny

background image

Trzy płaszczyzny (nie posiadające wspólnej prostej) przecinają się w punkcie

o współrzędnych będących minorami wyznacznika*:

det

[

a a

1

a

2

a

3

b b

1

b

2

b

3

c

c

1

c

2

c

3

d d

1

d

2

d

3

]

=

0

* rozwinięcie Laplace'a względem pierwszej kolumny

Przecięcie płaszczyzn

background image

Prosta w przestrzeni 3D może być określona przez:

● Przecięcie dwóch płaszczyzn
● Dwa punkty

Równanie prostej przechodzącej przez

dwa punkty P

1

i P

2

(postać kanoniczna):

x x

1

x

2

x

1

=

yy

1

y

2

y

1

=

zz

1

z

2

z

1

Prosta przechodząca przez punkt

P=(x

P

, y

P

, z

P

) i równoległa do wektora

U = [ x

U

, y

U

, z

U

]:

xx

P

x

U

=

yy

P

y

U

=

z z

P

z

U

Proste

background image

Parametryczna postać równania prostej:

Wektor kierunkowy U = [x

U

, y

U

, z

U

] przechodzi przez punkt A = (x

A

, y

A

, z

A

):

x=x

A

tx

U

y= y

A

ty

U

z=z

A

tz

U

Parametr t osiąga dowolne wartości ze zbioru liczb rzeczywistych.

Proste

background image

Punkt:

P = (x

p

, y

p

, z

p

)

Płaszczyzna:

Ax + By + Cz + D = 0

Odległość punktu P od płaszczyzny:

d =

Ax

p

By

p

Cz

p

D

A

2

B

2

C

2

Odległość punktu od płaszczyzny

background image

Wartość d wyznacznika określa orientację układu punktów (wektorów):

d =det

[

x

1

x

2

x

3

y

1

y

2

y

3

z

1

z

2

z

3

]

Trzy punkty (wektory) P1, P2 i P3 tworzą względem początku układu

współrzędnych układ:

● prawoskrętny, jeżeli d > 0
● lewoskrętny, jeżeli d < 0

Orientacja układu punktów

background image

Założenie: Płaszczyzna określona jest przez trzy punkty, uporządkowane

prawoskrętnie względem początku układu współrzędnych.

Punkt P = (X, Y, Z)

Punkty P1, P2 i P3 definiują płaszczyznę:

D=det

[

X

x

1

x

2

x

3

Y

y

1

y

2

y

3

Z

z

1

z

2

z

3

1

1

1

1

]

D > 0 – punkt P leży po tej samej stronie płaszczyzny

co początek układu współrzędnych;

D < 0 – punkt P leży po przeciwnej stronie;
D = 0 – punkt P leży na płaszczyźnie.

Położenie punktu względem płaszczyzny


Document Outline


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
01 Podstawy i technika
CMS Lab 01 Podstawy Joomla
Matematyka dyskretna 2004 01 Podstawowe pojęcia, oznaczenia
01 Podstawy Logix
01 Podstawy modelowania
CMS Lab 01 Podstawy Joomla
01 Podstawowe czynności laboratoryjne instrukcja
01 Podstawowe informacje o pamięciach półprzewodnikowychid 2695 ppt
Folie 01 Podstawowe pojęcia 2
GI W 01 podstawowe figury i aksonometria
PO, 01 podstawy
01 podstawowe pojecia
Wykład 01 Podstawowe pojęcia 2010
materiay na egzamin ustny - prowadzenie zajec, 01.Podstawowe definicje drogowe
01 Podstawowe bramki logiczne instrukcja poprawiona
01 Podstawy prawne w przedsiębiorstwie 10 2012 i 10 2012

więcej podobnych podstron