PODSTAWY TOPOLOGII

OBWODÓW

Topologia obwodów

– zajmuje się ustaleniem

związków dotyczących połączeń elementów

obwody

zawierające tylko elementy dwójnikowe

.

Badając strukturę geometryczną obwodu
zastępujemy elementy występujące w schemacie

gałęziami

(

reprezentowanymi przez linie

), na

końcu każdej gałęzi umieszczamy

kropkę

, zwaną

węzłem

.

Jeżeli każdej gałęzi grafu przyporządkujemy
zwrot, to otrzymamy

graf zorientowany

.

Przyjmujemy, że

orientacja gałęzi grafu jest

zgodna ze strzałką prądu

w odpowiedniej

gałęzi.

gałęzi.

UWAGA

Na grafie nie zaznaczamy strzałek napięć, których
groty są skierowane przeciwnie do grotów strzałek
prądów.

W rezultacie otrzymujemy

graf

obwodu

.

Graf

- zbiór węzłów i gałęzi, przy

Graf

- zbiór węzłów i gałęzi, przy

czym każda gałąź łączy się każdym
końcem z odpowiednim węzłem

Przykład 1

Dla obwodu z rysunku narysuj graf i graf
zorientowany

1

2

3

j

1

R

2

C

3

i

2

1

2

3

4

e

6

R

5

L

4

i

3

i

4

i

5

i

6

1

2

3

6

2

3

1

5

4

1

2

3

j

1

R

2

C

3

i

2

i

4

Graf

3

4

e

6

R

5

L

4

i

3

i

4

i

5

i

6

1

2

3

6

2

3

1

5

4

4

Graf zorientowany

1

2

3

4

j

1

e

6

R

2

C

3

R

5

L

4

i

2

i

3

i

4

i

5

i

6

Najważniejsze pojęcia topologiczne

Rozważamy obwód o n - węzłach i b - gałęziach

Droga

– między węzłami j oraz k

- zbiór

gałęzi grafu utworzonych w ten sposób, że

gałęzi grafu utworzonych w ten sposób, że
- kolejne gałęzie mają wspólny węzeł
- w żadnym węźle nie łączą się więcej niż dwie
gałęzie
- z węzłem j oraz k łączy się dokładnie jedna
gałąź zbioru

Przekrój grafu spójnego

– to zbiór gałęzi

spełniających następujące warunki:

---

usunięcie wszystkich gałęzi przekroju bez

węzłów końcowych powoduje podział grafu na
dwa podgrafy

dwa podgrafy

---

usunięcie wszystkich gałęzi, poza jedna

dowolnie wybraną, nie narusza spójności grafu

Graf spójny

– to graf, w którym istnieje droga

utworzona

z

gałęzi

pomiędzy

dwoma

dowolnymi węzłami grafu

Pętla

– to podgraf spełniający dwa warunki:

Pętla

– to podgraf spełniający dwa warunki:

---

podgraf jest spójny

---

w każdym węźle łączą się dwie i tylko dwie

gałęzie

Twierdzenie Tellegena

Wynika bezpośrednio z praw Kirchhoffa i topologii,
może być stosowane do dowolnego obwodu o
elementach skupionych, utworzonego z dwójników
liniowych i nieliniowych, pasywnych i aktywnych,

liniowych i nieliniowych, pasywnych i aktywnych,
stacjonarnych i niestacjonarnych.

Jeżeli prądy gałęziowe i

k

spełniają PPK w

każdym węźle grafu oraz napięcia gałęziowe uk
spełniają NPK w każdej pętli grafu, to

Twierdzenie

0

1

=

∑

=

b

k

k

k

i

u

gdzie b-liczba gałęzi grafu.

Uwaga!!!

Prądy i napięcia muszą dotyczyć tego samego
grafu, ale nie muszą odnosić się do tego samego
obwodu

Jeżeli rozpatrujemy prądy i napięcia tego samego
obwodu można podać następującą interpretację
fizyczną tw. Tellegena:

Suma mocy chwilowych wszystkich gałęzi obwodu
jest równa zeru.

Przykład

R

1

R

2

R

3

e

4

j

5

i

5

i

4

i

3

i

2

i

1

u

1

u

2

u

5

u

3

R

2

R

3

j

1

i

5

i

4

i

3

i

2

i

1

u

1

u

2

e

5

u

3

R

4

u

4

(

)

A

j

i

R

V

e

i

2

3

,

2

,

1

1

6

5

4

=

=

Ω

=

=

(

)

A

j

i

R

V

e

i

2

ˆ

4

,

3

,

2

2

ˆ

12

ˆ

1

5

=

=

Ω

=

=

1

2

5

3

4

Po obliczeniach

ˆ

ˆ

−

=

=

=

5

1

2

4

3

równoważne

V

u

A

j

i

V

e

u

A

i

V

u

A

i

V

u

A

i

V

u

A

i

2

2

6

10

6

6

2

2

4

4

5

5

5

4

4

4

3

3

2

2

1

1

=

=

=

=

=

−

=

=

=

−

=

−

=

=

=

V

e

u

A

i

V

u

A

i

V

u

A

i

V

u

A

i

V

u

A

j

i

12

ˆ

ˆ

2

ˆ

2

ˆ

1

ˆ

2

ˆ

1

ˆ

12

ˆ

6

ˆ

14

ˆ

2

ˆ

ˆ

5

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

1

=

=

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

−

=

=

=

tw. Tellegena dla I obwodu

(bilans mocy)

0

4

60

36

4

16

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

=

+

−

+

+

=

+

+

+

+

i

u

i

u

i

u

i

u

i

u

tw. Tellegena dla II obwodu

(bilans mocy)

0

48

2

2

72

28

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

=

−

+

+

+

−

=

+

+

+

+

i

u

i

u

i

u

i

u

i

u

tw. Tellegena

dla: prądu z I obwodu napięcia z II

0

24

20

12

24

56

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

=

+

+

−

+

−

=

+

+

+

+

i

u

i

u

i

u

i

u

i

u

tw. Tellegena

dla:

napięcia z I obwodu prądy z II

0

8

6

6

12

8

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

=

−

−

−

+

=

+

+

+

+

i

u

i

u

i

u

i

u

i

u

METODA POTENCJAŁÓW

WĘZŁOWYCH

W obwodzie są 4 węzły i 7 gałęzi. Jeśli prądy źródeł są znane
– mamy 5 niewiadomych prądów.

j

6

1

2

3

R

1

R

2

j

i

4

i

1

i

2

R

4

R

5

j

7

i

3

i

5

Węzeł odniesienia

R

3

Węzły obwodu

0

R

4

1

2

3

R

1

R

2

R

3

R

5

j

7

i

4

i

3

i

1

i

2

i

5

j

6

0

Ile można napisać równań

liniowo niezależnych?

Z PPK 3 równania

Z NPK potrzebne są
2 równania

Mamy do rozwiązania
układ 5 równań

0

1

2

3

R

1

R

2

R

3

R

5

j

7

i

4

i

1

i

5

j

6

V

1

V

2

V

3

Napięcia ( potencjały) węzłowe

i

3

i

2

0

Pokażemy, że
wystarczy znajomość
trzech potencjałów węzłowych
tzn. układ trzech równań

0

.

1

6

4

1

=

+

+

j

i

i

dla

0

.

2

2

3

1

=

+

+

−

i

i

i

dla

0

.

3

7

6

5

2

=

−

−

−

−

j

j

i

i

dla

1

2

1

1

R

V

V

i

−

=

2

3

2

2

R

V

V

i

−

=

3

2

3

R

V

i =

4

1

4

R

V

i =

5

3

5

R

V

i

−

=

Napięcia ( potencjały) węzłowe

0

0

6

4

1

1

2

1

=

+

+

−

j

R

V

R

V

V

0

2

3

2

3

2

1

2

1

=

−

+

+

−

−

R

V

V

R

V

R

V

V

=

−

−

−

−

−

−

V

V

V

0

.

1

6

4

1

=

+

+

j

i

i

dla

0

.

2

2

3

1

=

+

+

−

i

i

i

dla

0

.

3

7

6

5

2

=

−

−

−

−

j

j

i

i

dla

0

7

6

5

3

2

3

2

=

−

−

−

−

−

−

j

j

R

V

R

V

V

Po uporządkowaniu
otrzymamy:

6

1

2

4

1

1

1

1

1

j

R

V

R

R

V

−

=













−













+

0

1

1

1

1

1

2

3

3

2

1

2

1

1

=













−













+

+

+













−

R

V

R

R

R

V

R

V

1

1

1

j

j

V

V

+

=









+

+









−

7

6

5

2

3

2

2

j

j

R

R

V

R

V

+

=









+

+









−

a niewiadome są potencjały: V

1

, V

2

, V

3

.

Jest to opis węzłowy układu

i

G

V

G

G

V

−

=

−

+

1

2

4

1

1

)

(

0

)

(

2

3

3

2

1

2

1

1

=

−

+

+

+

−

G

V

G

G

G

V

G

V

)

(

j

j

G

G

V

G

V

+

=

+

+

−

Nasze równania możemy też zapisać następująco

7

6

5

2

3

2

2

)

(

j

j

G

G

V

G

V

+

=

+

+

−

A konduktancje G

i

użyte w opisie są równe

odwrotnością rezystancji

V

1

Przykład 2

V

2

j

6

1

2

3

R

1

R

2

R

5

j

7

i

4

i

i

1

i

2

e

V

3

R

4

V

1

pojawienia się idealnego źródła napięciowego dało nam
znajomość potencjału jednego węzła

e

V =

2

i

3

i

5

0

0

6

4

1

1

2

1

=

+

+

−

j

R

V

R

V

V

0

2

3

2

3

2

1

2

1

=

−

+

+

−

−

R

V

V

R

V

R

V

V

−

−

V

V

V

e

V =

2

0

7

6

5

3

2

3

2

=

−

−

−

−

−

−

j

j

R

V

R

V

V

0

6

4

1

1

2

1

=

+

+

−

j

R

V

R

V

V

0

7

6

5

3

2

3

2

=

−

−

−

−

−

−

j

j

R

V

R

V

V

3

2

e

V =

Więc układ równań ma postać

2

3

7

6

5

2

3

6

1

3

4

1

1

1

1

1

1

R

e

j

j

R

R

V

j

R

e

R

R

V

+

+

=













+

−

=













+

Przykład 3

e

V

V

=

−

3

1

e

j

7

1

2

3

R

1

R

2

R

5

i

4

i

1

i

2

i

R

4

1

2

1

1

R

V

V

i

−

=

2

3

2

2

R

V

V

i

−

=

3

2

3

R

V

i =

4

1

4

R

V

i =

5

3

5

R

V

i

−

=

R

5

i

3

i

5

0

e

j

7

1

2

3

R

1

R

2

R

5

i

4

i

1

i

2

i

5

i

Rozpatrzmy poprzednie
zadanie jeszcze raz

Napiszmy równania z

i

3

R

4

i

5

0

Napiszmy równania z

PPK

0

.

3

0

.

2

0

.

1

7

5

2

2

3

1

1

4

=

−

−

−

−

=

+

+

−

=

+

+

j

i

i

i

i

i

i

i

i

i

6

3

1

e

V

V

=

−

Tu w równaniach 1 i 3 mamy niewiadomy prąd

i

0

.

3

0

.

2

0

.

1

7

5

2

2

3

1

1

4

=

−

−

−

−

=

+

+

−

=

+

+

j

i

i

i

i

i

i

i

i

i

Możemy go usunąć dodając stronami oba równania

0

7

5

2

1

4

=

−

−

−

−

+

+

j

i

i

i

i

i

i

0

7

5

2

1

4

=

−

−

−

+

j

i

i

i

i

A to jest równanie dla
przekroju

4 1 2 5 7

e

j

7

1

2

3

R

1

R

2

R

5

i

4

i

i

1

i

2

R

4

i

3

i

5

0

0

7

5

2

1

4

=

−

−

−

+

j

i

i

i

i

A to jest równanie dla
przekroju 4 1 2 5 7

Procedura formułowania równań węzłowych

1. Przyjmujemy jeden węzeł za węzeł odniesienia
oraz rozpatrujemy napięcia węzłowe pozostałych węzłów
(względem odniesienia).
Napięcia węzłowe wraz z prądami źródeł napięciowych

Napięcia węzłowe wraz z prądami źródeł napięciowych
(niezależnych i sterowanych) traktujemy jako niewiadome
w budowanym układzie równań.

2. Piszemy równania, na podstawie PPK,

w poszczególnych węzłach z wykluczeniem węzła odniesienia.

3. Prądy w gałęziach z opornikiem oraz napięcia sterujące
uzależniamy od napięć węzłowych i podstawiamy do równań
wyznaczonych w p.2.

4. Napięcia niezależnych i sterowanych źródeł napięciowych
uzależniamy od napięć węzłowych, podstawiając jednocześnie

uzależniamy od napięć węzłowych, podstawiając jednocześnie
wyznaczone w p.3 zależności określające prądy i napięcia
sterujące.