Zadania z przedmiotu

Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I/II semestr

seria 8

1. Dane s

,

a punkty P

1

(1, 0, 3), P

2

(2, 3, −1), P

3

(2, 2, 3), P

4

(3, −1, 1), P

5

(3, 5, −1). Niech a =

−−→

P

1

P

2

,

b =

−−→

P

1

P

3

, c =

−−→

P

1

P

4

, d =

−−→

P

1

P

5

.

(1) Znale´

z´

c wsp´

o lrz

,

edne wektor´

ow a, b, c, d;

(2) Znale´

z´

c cos ^(a, b);

(3) Znale´

z´

c iloczyny wektorowe: a × b, a × c, a × (b + c), d × a;

(4) Obliczy´

c pole tr´

ojk

,

ata rozpi

,

etego na wektorach a i b oraz obj

,

eto´s´

c r´

ownoleg lo´scianu

rozpi

,

etego na wektorach a, b i c.

2. Wykaza´

c, ˙ze dla dowolnych wektor´

ow a, b i c zachodzi wz´

or (a × b) ◦ c = a ◦ (b × c)

3. Poda´

c przyk lad wektor´

ow a, b i c dla kt´

orych (a × b) × c 6= a × (b × c)

4. Znale´

z´

c r´

ownanie p laszczyzny:

(1) przechodz

,

acej przez punkt P

0

(1, −2, 3) i r´

ownoleg lej do wektor´

ow a = [2, 0, −1], b =

[1, 1, , 0];

(2) przechodz

,

acej przez punkty P

1

(1, −3, 2), P

2

(0, −1, 2) i P

3

(1, 3, −2);

(3) prostopad lej do wektora k = [0, 0, 1] i przechodz

,

acej przez punkt P

0

(2, −3, 1).

5. Wykaza´

c, ˙ze je´sli p laszczyzna przechodzi przez trzy wierzcho lki tr´

ojk

,

ata P

1

(x

1

, y

1

, z

1

), P

2

(x

2

, y

2

, z

2

)

i P

3

(x

3

, y

3

, z

3

), to jej r´

ownanie mo˙zna napisa´

c w postaci:

det





x

y

z

x

2

− x

1

y

2

− y

1

z

2

− z

1

x

3

− x

1

y

3

− y

1

z

3

− z

1





= 0.

6. Znale´

z´

c r´

ownanie p laszczyzny prostopad lej do danej p laszczyzny: 2x − 3z − 1 = 0 i prze-

chodz

,

acej przez punkty P

1

(2, 3, 1), P

2

(1, 1, 2).

7. Znale´

z´

c r´

ownanie p laszczyzny zawieraj

,

acej prost

,

a

` :

 x − y + 1 = 0

x − z − 1 = 0

i kt´

orej odleg lo´s´

c od pocz

,

atku uk ladu wsp´

o lrz

,

ednych jest r´

owna 1.

8. Dane s

,

a dwie proste `

1

:

 x + y − z + 1 = 0

x − y + z − 1 = 0

, `

2

:

 x + z + 4 = 0

x − y − 1 = 0

.

(1) Wykaza´

c, ˙ze proste `

1

, `

2

sko´sne (czyli nie maj

,

a punktu wsp´

olnego i nie s

,

a r´

ownoleg le);

(2) Znale´

z´

c r´

ownania p laszczyzn r´

ownoleg lych, z kt´

orych ka˙zda zawiera jedn

,

a z prostych

`

1

, `

2

.

(3) Wyznaczy´

c odleg lo´s´

c mi

,

edzy prostymi `

1

, `

2

.

1