Zadania z przedmiotu Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I/II semestr seria 8

−−→

1. Dane sa punkty P

P

,

1(1, 0, 3), P2(2, 3, −1), P3(2, 2, 3), P4(3, −1, 1), P5(3, 5, −1). Niech a =

1P2,

−−→

−−→

−−→

b = P1P3, c = P1P4, d = P1P5.

(1) Znaleźć wspó lrzedne wektorów a, b, c, d;

,

(2) Znaleźć cos ^(a, b);

(3) Znaleźć iloczyny wektorowe: a × b, a × c, a × (b + c), d × a; (4) Obliczyć pole trójkata rozpietego na wektorach a i b oraz objetość równoleg lościanu

,

,

,

rozpietego na wektorach a, b i c.

,

2. Wykazać, że dla dowolnych wektorów a, b i c zachodzi wzór (a × b) ◦ c = a ◦ (b × c) 3. Podać przyk lad wektorów a, b i c dla których (a × b) × c 6= a × (b × c) 4. Znaleźć równanie p laszczyzny: (1) przechodzacej przez punkt P

,

0(1, −2, 3) i równoleg lej do wektorów a = [2, 0, −1], b =

[1, 1, , 0];

(2) przechodzacej przez punkty P

,

1(1, −3, 2), P2(0, −1, 2) i P3(1, 3, −2); (3) prostopad lej do wektora k = [0, 0, 1] i przechodzacej przez punkt P

,

0(2, −3, 1).

5. Wykazać, że jeśli p laszczyzna przechodzi przez trzy wierzcho lki trójkata P

,

1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) i P3(x3, y3, z3), to jej równanie można napisać w postaci:



x

y

z



det

x

= 0.



2 − x1

y2 − y1 z2 − z1 

x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

6. Znaleźć równanie p laszczyzny prostopad lej do danej p laszczyzny: 2x − 3z − 1 = 0 i przechodzacej przez punkty P

,

1(2, 3, 1), P2(1, 1, 2).

7. Znaleźć równanie p laszczyzny zawierajacej prosta

,

,

x − y + 1 = 0

` :

x − z − 1 = 0

i której odleg lość od poczatku uk ladu wspó lrzednych jest równa 1.

,

,

x + y − z + 1 = 0

x + z + 4 = 0

8. Dane sa dwie prostè

, `

.

,

1 :

x − y + z − 1 = 0

2 :

x − y − 1 = 0

(1) Wykazać, że prostè1, `2 skośne (czyli nie maja punktu wspólnego i nie sa równoleg le);

,

,

(2) Znaleźć równania p laszczyzn równoleg lych, z których każda zawiera jedna z prostych

,

`1, `2.

(3) Wyznaczyć odleg lość miedzy prostymì

,

1, `2.

1