Zadania z przedmiotu Algebra liniowa z elementami geometrii analitycznej, I/II semestr seria 8
−−→
1. Dane sa punkty P
P
,
1(1, 0, 3), P2(2, 3, −1), P3(2, 2, 3), P4(3, −1, 1), P5(3, 5, −1). Niech a =
1P2,
−−→
−−→
−−→
b = P1P3, c = P1P4, d = P1P5.
(1) Znaleźć wspó lrzedne wektorów a, b, c, d;
,
(2) Znaleźć cos ^(a, b);
(3) Znaleźć iloczyny wektorowe: a × b, a × c, a × (b + c), d × a; (4) Obliczyć pole trójkata rozpietego na wektorach a i b oraz objetość równoleg lościanu
,
,
,
rozpietego na wektorach a, b i c.
,
2. Wykazać, że dla dowolnych wektorów a, b i c zachodzi wzór (a × b) ◦ c = a ◦ (b × c) 3. Podać przyk lad wektorów a, b i c dla których (a × b) × c 6= a × (b × c) 4. Znaleźć równanie p laszczyzny: (1) przechodzacej przez punkt P
,
0(1, −2, 3) i równoleg lej do wektorów a = [2, 0, −1], b =
[1, 1, , 0];
(2) przechodzacej przez punkty P
,
1(1, −3, 2), P2(0, −1, 2) i P3(1, 3, −2); (3) prostopad lej do wektora k = [0, 0, 1] i przechodzacej przez punkt P
,
0(2, −3, 1).
5. Wykazać, że jeśli p laszczyzna przechodzi przez trzy wierzcho lki trójkata P
,
1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) i P3(x3, y3, z3), to jej równanie można napisać w postaci:
x
y
z
det
x
= 0.
2 − x1
y2 − y1 z2 − z1
x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1
6. Znaleźć równanie p laszczyzny prostopad lej do danej p laszczyzny: 2x − 3z − 1 = 0 i przechodzacej przez punkty P
,
1(2, 3, 1), P2(1, 1, 2).
7. Znaleźć równanie p laszczyzny zawierajacej prosta
,
,
x − y + 1 = 0
` :
x − z − 1 = 0
i której odleg lość od poczatku uk ladu wspó lrzednych jest równa 1.
,
,
x + y − z + 1 = 0
x + z + 4 = 0
8. Dane sa dwie prostè
, `
.
,
1 :
x − y + z − 1 = 0
2 :
x − y − 1 = 0
(1) Wykazać, że prostè1, `2 skośne (czyli nie maja punktu wspólnego i nie sa równoleg le);
,
,
(2) Znaleźć równania p laszczyzn równoleg lych, z których każda zawiera jedna z prostych
,
`1, `2.
(3) Wyznaczyć odleg lość miedzy prostymì
,
1, `2.
1