Zestaw 1

1. Niech V będzie zbiorem liczb rzeczywistych dodatnich. Określamy działa-
nia ⊕ oraz ◦:

∀u, v ∈ V u ⊕ v = u · v,
∀v ∈ V, ∀k ∈ R k ◦ v = v

k

Udowodnić, że V z tak określonymi działaniami jest przestrzenią liniową nad
ciałem R.

2. W zbiorze R

2

określamy działania:

(x

1

, x

2

) + (y

1

, y

2

) = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

),

k(x

1

, x

2

) = (kx

1

, x

2

)

Czy R

2

z tak określonymi działaniami jest przestrzenią liniową?

3. Niech X będzie dowolnym zbiorem. W zbiorze 2

X

(podzbiorów zbioru X)

określamy działania dodawania i mnożenia przez elementy ciała Z

2

:

A + B = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
1A = A, 0A = ∅

(a) Udowodnić, że 2

X

z tak okreslonymi działaniami jest przestrzenią liniowa

nad ciałem Z

2

.

(b) Wyznaczyć wymiar tej przestrzeni jeśli X jest skończonym n-elementowym
zbiorem.
(c) Wykazać, że jeśli zbiory A

1

, A

2

, . . . , A

k

tworzą silnie rosnący ciąg elemen-

tów zbioru 2

X

, to tworzą układ liniowo niezależny.

4. Które z poniższych zbiorów są podprzestrzeniami przestrzeni R

4

:

V

1

= {(x, y, z, t) : x + y + z + t = 0, x + 2y + z = 0},

V

2

= {(x, y, z, t) : x + y = 0},

V

3

= {(x, y, z, t) : x − 2y + 3z = 1, x + 2y = 0},

V

4

= {(x, y, z, t) : x + y + z = 0, x + z = 0, x + 2y = 0, 3x + z = 0},

V

5

= {(x, y, z, t) : x

2

+ y

2

= 0},

V

6

= {(x, y, z, t) : x

2

+ y

2

= 1}.

5. Wykazać, że jeśli ciało jest nieskończone, to każda niezerowa przestrzeń
liniowa nad tym ciałem też jest nieskończona.

1

6. Podać przykład skończonej niezerowej przestrzeni liniowej. Podać przykład
nieskończonej przestrzeni liniowej nad ciałem skończonym.

7. Które z poniższych podzbiorów przestrzeni C

4

są podprzestrzeniami:

V

1

= {(x, y, z, t) : x = t},

V

2

= {(x, y, z, t) : Argx = Argy = Argz = Argt}

V

3

= {(x, y, z, t) : |x| = |y| = |z| = |t|}.

8. Udowodnić, że jeśli u i v są wektorami, a α, β skalarami to równość
αu + βv = αv + βu zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy v = u.

9. Udowodnić, że W jest podprzestrzenią przestrzeni V wtedy i tylko wtedy
gdy ∀w, u ∈ W, ∀k ∈ K w + ku ∈ W .

10. Udowodnić, że zbiór ciągów (x

n

)

n∈N

spełniających warunek:

∃n

0

∈ N∀i ­ n

0

x

i

= 0

jest podprzestrzenią przestrzeni R

N

.

11. Dla jakich wartości α z liniowej niezależności wektorów u i v wynika
liniowa niezależność wektorów αu + v i αv + u.

12. Dla jakich wartości α z liniowej niezależności wektorów v

1

, v

2

, . . . , v

n

wynika liniowa niezależność wektorów v

1

+ v

2

, v

2

+ v

3

, . . . , v

n

+ αv

1

.

13. Udowodnić, że wektory v, u, w, z są liniowo niezależne wtedy i tylko
wtedy gdy wektory v + u + w + z, v + u + 2z, v + 2w + z, w + z − u są liniowo
niezależne.

14. Dla jakiej wartości parametru α wektory

(1, 0, 1, −1), (1, α, 1, 1), (0, −1, 1, 1), (1, −1, 1, 0)

są liniowo niezależne.

15. Niech v

1

, v

2

, . . . , v

n

będą liniowo zależnymi wektorami przestrzeni liniowej

nad nieskończonym ciałem i niech y będzie kombinacją liniową wektorów v

1

,

v

2

, . . . , v

n

. Wykazać, że istnieje nieskończenie wiele sposobów przedstawienia

y jako liniowej kombinacji wektorów v

1

, . . . , v

n

.

16. Czy wielomiany 1, x − 1, (x − 1)

2

, . . . , (x − 1)

n

tworzą bazę przestrzeni

wielomianów stopnia ¬ n?

2

17. Do trójki wektorów (1, 1, 1, 0), (1, −1, 0, 1), (1, 0, 0, −1) dobrać czwarty
wektor, tak aby tworzyły one bazę przestrzeni R

4

.

18. Czy można uzupełnić do bazy przestrzeni R

4

trójkę wektorów (1, 2, 3, 4),

(1, 2, 1, −1), (5, 10, 9, 5)?

19. Znaleźć bazy i obliczyć wymiary wszystkich zbiorów, które są podprze-
strzeniami w zadaniu 3. Znaleźć bazy i wymiary wszystkich podprzestrzeni
postaci V

i

+ V

j

i V

i

∩ V

j

dla wszystkich podprzestrzeni z zadania 4.

20. Wyznaczyć bazy i wymiary przestrzeni U , V , U + V , U ∩ V , gdzie:

(a)

U = lin{(1, 0, −1, 1), (1, 1, 0, 1), (3, 2, −1, 3), (5, 3, −2, 5)},
V = lin{(2, 1, 0, 1), (3, 1, −1, 2), (7, 3, −1, 4)},

(b)

U = lin{(1, 1, −1, 1), (1, 1, 0, 1), (3, 2, −1, 3), (5, 4, −2, 5)},
V = lin{(2, 1, 0, 1), (3, 1, −1, 2), (7, 3, −1, 4)}.

21. Udowodnić, że zbiór macierzy M

n

(K) wymiaru n×n o współczynnikach z

ciała K, z działaniami dodawania macierzy oraz mnożenia elementu ciała K
przez macierz tworzy przestrzeń liniową. Wyznaczyć wymiar tej przestrzeni.

22. Niech U ⊂ M

n

(K) będzie zbiorem macierzy symetrycznych, a V ⊂

M

n

(K) zbiorem macierzy antysymetrycznych. Udowodnić, że zbiory U i V są

podprzestrzeniami przestrzeni z poprzedniego zadania. Wyznaczyć wymiary
tych podprzestrzeni. Udowodnić, że jeśli w ciele K, zachodzi zależność 1+1 6=
0 to M

n

(K) = U ⊕ V .

23. Korzystając z zadania 21. udowodnić, że jeśli A ∈ M

n

(K) to istnieje

wielomian f (x) o współczynnikach z ciała K, taki że f (A) = 0.

24. Czy przestrzeń R

N

ma przeliczalną bazę?

3