ZADANIA Z ALGEBRY

Działania, grupy, pierścienie, ciała

1. Podać przykład działania, które jest przemienne i nie jest łączne oraz
działania, które nie jest przemienne ale jest łączne.

2. Niech X będzie dowolnym zbiorem i niech działanie ◦ określone będzie
następująco:

a ◦ b = a.

Udowodnić, że jest to działanie łączne.

3. W zbiorze Z określamy działanie ◦

a ◦ b = a

2

+ b − 1.

Zbadać własności tego działania (łączność, przemienność, istnienie elementu
neutralnego, odwracalność elementów).

4. W zbiorze R określamy działanie ◦

a ◦ b = a + b + ab.

Zbadać własności tego działania.

5. W zbiorze {a, b, c, d} działanie ∗ jest określone przy pomocy tabelki:

*

a

b

c

d

a

a

b

c

d

b

b

d

a

c

c

c

a

d

b

d

d

c

b

a

Zbadać własności tego działania.

6. Niech X będzie dowolnym zbiorem. W zbiorze 2

X

wprowadzamy działanie

÷ w następujący sposób:

A ÷ B = (A − B) ∪ (B − A).

Sprawdzić, czy działanie to jest przemienne. Znaleźć element neutralny te-
go działania i udowodnić, że każdy element jest odwracalny względem tego

1

działania. Rozwiązać równanie {1, 2, 3} ÷ Y = {2, 4, 5, 6, 7, 8} jeśli wszystkie
zbiory są podzbiorami zbioru N.

7. W zbiorze niepustych podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych R wprowa-
dzamy działania:

A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}
A · B = {a · b : a ∈ A, b ∈ B}

(a) Obliczyć {2, 3, 4}+{4, 5, 6, 7}, {3, 6, 7, 8}·{2, 4}, (0, 1)+(0, 1), (0, 1)·(0, 1).
(b) Zbadać własności tych działań.
(c) Rozwiązać równanie ({2, 3} · X) + {1, 2} = {3, 4, 5}, jeśli wiadomo, że X
jest zbiorem złożonym z jednej liczby naturalnej.
(d) Czy prawdziwe jest stwierdzenie, że jeśli A jest zbiorem nieskończonym to
dla każdego B zbiór A+B jest nieskończony? Czy prawdziwe jest analogiczne
twierdzenie dla mnożenia?

8. W zbiorze Z określamy działania ⊕,  w następujący sposób:

a ⊕ b = a + b + 1,
a  b = ab + a + b.

Zbadać, czy:

(a) działanie  jest rozdzielne względem działania ⊕,
(b) działanie ⊕ jest rozdzielne względem działania ,
(c) działanie  jest rozdzielne względem działania ,
(d) działanie ⊕ jest rozdzielne względem działania ⊕,

9. W zbiorze dzielników liczby 6 określamy działania ◦ oraz  w następujący
sposób:

a ◦ b = NWW(a, b),
a  b = NWD(a, b).

Skonstruować tabelki tych działań i zbadać ich własności (przemienność, ist-
nienie elementu neutralnego odwracalność). Rozwiązać równanie (2 ◦ x)  3 =
6.

10. Wykazać, że (Z, ◦), gdzie a ◦ b = a + b + 2 jest grupą.

11. W zbiorze G = [0, 1) określamy działanie ◦ w następujący sposób:

a ◦ b =

(

a + b

dla

a + b < 1

a + b − 1

dla

a + b ­ 1

Udowodnić, że (G, ◦) jest grupą.

2

12. Oznaczmy przez F zbiór wszystkich funkcji f : R → R takich, że f (x) =
ax + b, a 6= 0. Udowodnić, że F z działaniem składania przekształceń jest
grupą.

14. Skonstruować tabelki działań +

6

, ·

6

w Z

6

. Wymienić elementy odwracalne

względem mnożenia.

15. Zbadać, czy Q(

√

2) = {a + b

√

2 : a, b ∈ Q} jest ciałem.

16. Rozwiązać równania:

2 ·

5

x +

5

2 = 1 w Z

5

,

11 ·

17

x +

17

15 = 13 w Z

17

,

4 ·

11

x +

11

9 = 4 w Z

11

,

5 ·

8

x +

8

4 = 7 w Z

8

.

3