1

Wykład nr

Nr indeksu:

Nazwisko, imi

ę

studenta

………………………………………………

Temat A

Egzamin ze statystyki

Studia Licencjackie Stacjonarne

Termin I – czerwiec 2011

10

Zadanie

Pkt.

1

a

b

c

d

e

2

a

b

c

3

a

b

c

4

a

b

c

5

(TEST)

Razem

2

Zadanie 1

Spośród wszystkich produkowanych przez pewną firmę kopiarek wylosowano odpowiednio 200,
150 i 100 urządzeń trzech typów dla zbadania liczby awarii (cecha X) w ciągu ostatniego roku.

Kopiarki typu A

Kopiarki typu B

Kopiarki typu C

x

i

iA

n

iA

i

n

x

iA

A

i

n

x

x

2

)

(

−

iB

n

iB

i

n

x

iB

B

i

n

x

x

2

)

(

−

iC

n

iC

i

n

x

iC

C

i

n

x

x

2

)

(

−

0

60

0

86,4

100

0

16

10

0

32,4

1

70

70

2,8

40

40

14,4

20

20

12,8

2

40

80

25,6

10

20

25,6

50

100

2

3

30

90

97,2

-

-

-

20

60

28,8

∑

200

240

212

150

60

56

100

180

76

[3p] a) Porównaj zróżnicowanie liczby awarii wśród zbadanych kopiarek typu A i C.

[1p] b) Przedstaw graficznie rozkład liczby awarii dla kopiarek typu A i na tej podstawie

określ i zinterpretuj kierunek asymetrii tego rozkładu.

[3p] c) Oszacuj punktowo (wraz ze standardowym błędem) i przedziałowo bezawaryjność

(odsetek urządzeń, które nie miały awarii w ciągu roku) kopiarek typu B.

Uwaga. W rozwiązaniach – tam gdzie to konieczne – przyjąć poziom istotności
0,05 i współczynnik ufności 0,95.

3

[3p] d) Wiedząc, że suma kwadratów odchyleń międzygrupowych wynosi 124, sprawdź,

czy wyniki uzyskane dla wylosowanych kopiarek trzech typów pozwalają na
uogólniające stwierdzenie, że typ kopiarki różnicuje przeciętną awaryjność
(zweryfikuj właściwą hipotezę).

[5p] e) Przeprowadzono analizę kopiarek typu B ze względu na okres eksploatacji

(2 warianty: co najwyżej 1 rok lub dłużej niż 1 rok). Okazało się, że wszystkie
kopiarki (100 szt.), które pracowały bezawaryjnie, eksploatowano nie więcej niż rok,
wśród tych 40, które miały jedną awarię, połowa eksploatowana była dłużej niż rok,
natomiast wszystkie z dwoma awariami (10 szt.) eksploatowano dłużej niż rok. Czy
awaryjność kopiarek typu B zależy stochastycznie od okresu eksploatacji? Zweryfikuj
odpowiednią hipotezę. Jak silna jest ta zależność w wylosowanej próbie?

4

Zadanie 2

Importer soli (gatunek ryby) dostarcza w każdym tygodniu towar do wielu hurtowni. Umowę
z hurtowniami ma podpisaną na 2 lata (104 tygodnie). Doświadczenie i obserwacja pokazują, że
tygodniowe zapotrzebowanie na solę (w kg) ze strony każdej hurtowni jest zmienną losową
X:N(1800, 200).

[1p]

a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w pewnym tygodniu losowo wybrana
hurtownia zamówi u importera ponad 2100 kg soli?

[1,5p] b) Niech Z będzie zmienną losową równą liczbie tygodni (w ciągu 2 lat, czyli 104

tyg.), w których losowo wybrana hurtownia zamawia ponad 2100 kg soli u importera
tygodniowo. Jaki rozkład ma zmienna losowa Z i jakie ma parametry? Wykorzystaj
obliczenia z podpunktu a).

[2p]

c) Jakie jest prawdopodobieństwo, że w ciągu 104 tygodni w co najmniej 10
tygodniach (tzn. dziesięciokrotnie) losowo wybrana hurtownia zamówi ponad 2100
kg soli? Z jakiego twierdzenia należy skorzystać przy rozwiązaniu tego zadania?

5

Zadanie 3

Dla 150 losowo wybranych kopiarek typu B oszacowano funkcję regresji kosztów serwisu i
naprawy (Y – tys. zł) od liczby usterek (X):

ŷ

i

=0,329x

i

+0,51

[1p]

a) Zinterpretuj współczynnik regresji.

[3p]

b) Sprawdź, czy oszacowanie współczynnika regresji liniowej jest statystycznie
istotne, jeśli dodatkowo wiadomo, że jego błąd standardowy w próbie wyniósł 0,1.
Przy jakim poziomie istotności decyzja ulegnie zmianie?

[3p]

c) Jaki średni koszt serwisu i napraw generuje kopiarka, która ma 3 usterki w roku?
Oszacuj błąd standardowy predykcji (prognozy), jeśli znane są:

- wariancja reszt: 0,01
- średnia liczba awarii: 0,4
- wariancja (nieobciążona) liczby usterek: 0,376

6

Zadanie 4

Poniższa tabela prezentuje ceny (zł) i wartości sprzedaży (mln zł) trzech paliw w niektórych
miesiącach 2011 roku w pewnym koncernie.

Cena

Produkt

styczeń luty marzec kwiecień maj

Wartość sprzedaży

w maju

Benzyna (Pb95)

5

5,04

5,11

5,17

5,20

5

Ropa (ON)

4,9

4,95

5,01

5,07

5,14

4

Gaz (LPG)

2,42

2,43

2,45

2,47

2,5

1

Ogółem

10

[1,5p] a) O ile procent zmieniła się cena poszczególnych paliw w maju w stosunku do

stycznia? Zinterpretuj wskaźnik zmiany ceny benzyny.

[1p]

b) Jakie było średnie miesięczne tempo zmian ceny ropy w pierwszych pięciu
miesiącach 2011? Zinterpretuj uzyskany wynik.

[2,5p] c) Jaki był wpływ zmian cen na zmianę łącznej wartości sprzedaży tych trzech

produktów w maju w porównaniu ze styczniem?

7

Zadanie 5

Proszę zaznaczyć w każdym przypadku odpowiedź T-tak lub N-nie

Punktacja w zadaniu 5: odpowiedź poprawna= 1 pkt; brak odpowiedzi= 0 pkt; odpowiedź
błędna = –1 pkt; Jeżeli całkowita suma punktów z części testowej będzie ujemna, jako wynik
części testowej zostanie przyjęte 0 pkt.

1.

Dystrybuanta empiryczna cechy skokowej:

a)

Jest funkcją określoną na zbiorze liczb rzeczywistych z przedziału <0,1>

T

N

b)

Jest funkcją określoną na zbiorze liczb całkowitych

T

N

c)

Jest funkcją niemalejącą

T

N

2.

Jeśli do wnioskowania o populacji korzystamy z estymatora, który jest nieobciążony,
to czy prawdą jest, że jeżeli będziemy powtarzali pobieranie prób z populacji i obliczali
dla każdej z nich wartości estymatora, to:

a)

Uzyskane wartości estymatora będą oscylować wokół wartości

parametru, który szacujemy

T

N

b)

Nie będzie się pojawiało systematyczne odchylenie się wartości

estymatora od wartości poszukiwanego parametru.

T

N

c)

Tak wyznaczone estymatory nie mogą być wykorzystane w testach

istotności

T

N

3.

Do analizy szeregu czasowego można zastosować:

a)

W celu wyodrębnienia trendu – średnie ruchome scentrowane

T

N

b)

W celu zmierzenia wahań sezonowych o stałej amplitudzie wahań –

wskaźniki sezonowości dla wahań addytywnych

T

N

c)

Indeksy jednopodstawowe

T

N