Lista nr 2 - funkcja kwadratowa
Zadanie 1. Funkcja kwadratowa y ax
bx c
=
+
+
2
ma dokładnie jedno miejsce zerowe i do je wykresu należą punkty A
=
(0; 1) i B
=
(2; 9). Wyznacz a, b, c i podaj ilustrację graficzną rozwiązania zadania.
Zadanie 2. Dana jest funkcja kwadratowa f x
ax
bx c
( )
=
+
+
2
. Wykaż, że jeśli f(1) = 0 i f(2) = 1 i f(3) = 4, to f(x) jest kwadratem
pewnego dwumianu.
Zadanie 3. Dla jakich wartości parametru m funkcja
f x
m
x
x mx
( ) (
)
=
−
−
+
+
2
3
1
2
przyjmuje wartości dodatnie dla każdego x rzeczywistego?
Zadanie 4. Wyznacz wszystkie wartości parametru k
∈
R, dla których funkcja
f x
k
k
x
k
x
( ) (
)
(
)
=
+
−
−
−
+
2
2
4
5
2
1
2
przyjmuje wartości dodatnie dla każdej wartości x
∈
R
Zadanie 5. a) Dla jakich wartości parametru m, funkcja kwadratowa
y
m
m
x
m
x
=
+
−
−
−
−
(
)
(
)
2
2
5
6
1
2 jest stale ujemna?
b) Wykaż, że jeżeli w trójmianie y ax
bx c
=
+
+
2
a≠
0 oraz a i c są różnych znaków, to trójmian ma zawsze miejsce
zerowe.
Zadanie 6. a) Dla jakich wartości parametru m, funkcja: f x
m
x
m
x
m
( ) (
)
(
)
=
−
−
+
−
−
2
2
1
2
2
ma dwa miejsca zerowe dodatnie?
b) Określ zbiór rozwiązań nierówności: (
)
(
)
m
x
m
x
m
−
−
+
−
−
<
2
2
1
2
0
2
w zależności od parametru m.
Zadanie 7. Dla jakiej wartości parametru m równanie kwadratowe (
)
(
)
m
x
m
x
−
−
−
+ =
3
2
1 0
2
ma wspólny pierwiastek z
równaniem mx
+ =
3 0 ?
Zadanie 8. Dla jakich wartości parametru k trójmian kwadratowy (
)
(
)
2
1
7
2
3
2
k
x
k
x
k
−
+
+
−
ma dla każdego x
∈
R wartość
większą niż trójmian (
)
(
)
(
)
k
x
k
x
k
+
+
+
−
+
3
5
1
4
1
2
?
Zadanie 9. Wyznacz wartości parametru m tak, aby trójmian y
m
x
m
x m
=
−
−
+
+
+
(
)
(
)
1
1
1
2
miał dwa miejsca zerowe.
Zadanie 10. Dla jakich wartości parametru a równanie (
)
2
1
2
3 0
2
a
x
ax
a
−
+
+
− =
ma nie więcej niż jeden pierwiastek?
Zadanie 11. Dla jakich wartości parametru m równanie x
m
x m
m
2
2
5
6
5 0
−
−
+
−
+ =
(
)
ma dwa pierwiastki rzeczywiste różnych
znaków?
Zadanie 12. Dla jakich wartości parametru m równanie (
)
(5
)
2
1
6 0
2
2
m
m
x
m x
+ −
+
−
− =
ma dwa różne pierwiastki jednakowych
znaków?
Zadanie 13. Dla jakich wartości parametru m równanie (
)
m
x
mx
m
+
−
+
− =
2
4
4
1 0
2
ma dwa pierwiastki dodatnie?
Zadanie 14. Dane jest równanie (
)
(
)
k
x
k
x k
−
−
+
− =
2
1
0
2
o niewiadomej x. Wyznacz zbiór wartości k, dla których równanie to
ma tylko ujemne rozwiązania.
Zadanie 15. Dla jakich wartości parametru m równanie
−
+
−
+
− =
x
mx m
m
2
2
2
1 0 ma dwa rzeczywiste pierwiastki takie, że ich
suma jest o 1 większa od ich iloczynu?
Zadanie 16. Funkcja f x
x
px q
( )
=
−
+
2
ma dwa miejsca zerowe, których suma kwadratów równa się 15. Dla x
= −
5 funkcja
przyjmuje wartość 5. Jaka jest najmniejsza wartość funkcji f?
Zadanie 17. Dla jakich wartości parametru t pierwiastki równania x
t
x t
2
2
1
0
+
+
=
są odpowiednio równe sinusowi i cosinusowi
tego samego kąta ostrego?
Zadanie 18. Dla jakich wartości parametru k suma kwadratów miejsc zerowych funkcji f x
x
k
x k
( )
(
)
=
+
−
+
−
2
2
2
1 jest
mniejsza od 1?
Zadanie 19. Dla jakich wartości parametru m pierwiastki rzeczywiste równania 4
4 1 2
9
8
2
mx
m x
m
−
−
+
−
(
)
spełniają warunek
1
1
4
1
2
x
x
+
≥ −
?
Zadanie 20. Niech x
1
, x
2
będą pierwiastkami równania x
x
2
1 0
+ − =
i niech n
x
x
x
x
=
+
1
2
2
1
. Dla jakich wartości parametru m
nierówność
x
m n x m
x
x
n
2
2
2
1
+
+
+
+ −
≤
(
)
jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą x.