Przykład 1
Rozważmy formułę ¬(p ∧ ¬q) ⇒ q oraz zbiór formuł X = {p, ¬q}. Rozważmy wszystkie wartościowania
v, w których są prawdziwe wszystkie formuły (zmienne) ze zbioru X. Mamy wartościowanie
v(p) = 1 i v(q) = 0. Mamy wtedy w(¬(p ∧ ¬q) ⇒ q) = 1. Zatem formuła ¬(p ∧ ¬q) ⇒ q wynika ze zbioru
X = {p, ¬q}.
Przykład 2
Rozważmy formułę (p ⇒ q) ⇒ ¬q oraz zbiór formuł X = {¬p, q}. Rozważmy wszystkie wartościowania
v, w których są prawdziwe wszystkie formuły (zmienne) ze zbioru X. Mamy wartościowanie v(p) = 0
i v(q) = 1. Mamy wtedy w((p ⇒ q) ⇒ ¬q) = 0. Zatem formuła (p ⇒ q) ⇒ ¬q nie wynika ze zbioru
X = {¬p, q}.
Przykład 3
Weźmy zbiór reguł ℜ = {
,
,
,
, α, α ⇒ β
β
} oraz zbiór formuł
X = {(¬p ∨ q) ∧ ¬q, ¬p ⇒ s}.
Rozważmy następujący ciąg formuł:
1. ϕ
1
= (¬p ∨ q) ∧ ¬q (formuła ze zbioru X).
2. ϕ
2
= ¬p ⇒
s (formuła ze zbioru X).
3. ϕ
3
= ¬p ∨ q (formuła wyprowadzona z formuły ϕ
1
za pomocą reguły
EK).
4. ϕ
4
= ¬q (formuła wyprowadzona z formuły ϕ
1
za pomocą reguły
EK).
5. ϕ
5
= ¬p (formuła wyprowadzona z formuły ϕ
3
oraz ϕ
4
za pomocą reguły
EA).
6. ϕ
6
= s (formuła wyprowadzona z formuły ϕ
2
oraz ϕ
5
za pomocą reguły
EI).
Powyższy ciąg spełnia definicję dowodu wprost formuły s na gruncie ℜ oraz X.
Przykład 4
Wykażemy, że: p ∨ (q ⇒ r), ¬p ∧ s, r ∧ s ⇒ t, q ∧ u ׀−
DN
q ⇒ (u ∧ t).
Wypisujemy kolejno założenia — (Z):
1. ϕ
1
= p ∨ (q ⇒ r) (Z).
2. ϕ
2
= ¬p ∧ s (Z).
3. ϕ
3
= r ∧ s ⇒ t (Z).
4. ϕ
4
= q ∧ u (Z).
Formuły ϕ
5
– ϕ
8
wyprowadzamy z formuł ϕ
2
, ϕ
4
w myśl reguły
EK:
5. ϕ
5
= ¬p (2,
EK).
6. ϕ
6
= s (2,
EK).
7. ϕ
7
= q (4,
EK).
8. ϕ
8
= u (4,
EK).
Przykłady
