G. 3. Krzywizna krzywej płaskiej
Łuk o końcach A i B nazywamy łukiem prostowalnym, jeŜeli ma długość, krzywą zaś
nazywamy prostowalną, gdy długość ma kaŜdy jej łuk.
RozwaŜmy krzywą prostowalną mającą w
kaŜdym punkcie styczną zmieniającą się w
sposób ciągły. Obierzmy na tej krzywej
punkty P oraz P'. W obu tych punktach
poprowadźmy styczne. Długość łuku PP'
oznaczmy przez
σ
, kąt między stycznymi
przez
ω
.
Definicja
Krzywizną średnią łuku PP' nazywamy stosunek
σ
ω
.
Wyobraźmy sobie, Ŝe punkt P' dąŜy do punktu P po łuku prostowalnym PP'. Wtedy
σ
→
0
oraz
ω
→
0, zaś iloraz
σ
ω
dąŜy do pewnej liczby k.
Definicja
Krzywizną k krzywej w punkcie P nazywamy granicę średniej krzywizny łuku PP', gdy P'
dąŜy do P , czyli k =
σ
ω
σ
0
lim
→
.
Przykład 1.
Obliczymy krzywiznę okręgu w dowolnie wybranym jego punkcie.
Z własności okręgu i stycznych do okręgu wynika, Ŝe dla małych łuków okręgu o promieniu
R zachodzi równość
σ
=
ω
R, gdzie
ω
jest miarą łukową kąta.
Mamy k =
σ
ω
σ
0
lim
→
=
R
ω
ω
σ
0
lim
→
=
R
1
.
Stąd dla kaŜdego punktu okręgu jego krzywizna jest
równa odwrotności promienia okręgu k =
R
1
.
Definicja
Promieniem krzywizny krzywej w punkcie P nazywamy promień okręgu, mającego tę samą
krzywiznę w punkcie P, co rozpatrywana krzywa.
Oznaczając przez R promień krzywizny krzywej o krzywiźnie k w danym punkcie mamy:
a) R =
k
1
, gdy k
≠
0, b) R = 0, gdy k =
∞
, c) R =
∞
, gdy k = 0.
Twierdzenie
Gdy krzywa ma równanie y = f(x) oraz funkcja f ma pochodne f’ , f’’ pierwszego i drugiego
rzędu, to jej krzywizna k jest równa:
k =
2
3
2
,
,,
]
))
(
(
1
[
|
)
(
|
x
f
x
f
+
.
Przykład
Wyznacz krzywiznę i promień krzywizny krzywej danej równaniem y = e
x
w jej punkcie
P = (0,1).
Rozwiązanie
Niech f(x) = e
x
. Wtedy f’(x) = f”(x) = e
x.
Zatem k =
2
3
2
]
)
(
1
[
|
|
−
+
⋅
x
x
e
e
=
2
3
2
]
1
[
|
|
−
+
⋅
x
x
e
e
.
Podstawiając x = 0 mamy k =
2
3
0
2
0
]
1
[
|
|
−
⋅
+
⋅
e
e
=
2
3
]
1
1
[
1
−
+
⋅
=
2
3
)
2
(
−
=
2
2
1
.
Krzywizna krzywej y = e
x
w jej punkcie P = (0,1) wynosi
2
2
1
; promień jej
krzywizny w tym punkcie jest równy 2
2
.
Zadania do samodzielnego rozwiązywania
Zadanie 1.
Wyznacz krzywiznę i promień krzywizny krzywej danej równaniem:
a) y = ln x w jej punkcie A = (1, 0); w punkcie B = (e, 1) oraz w dowolnym punkcie
P = (x, ln x)
b) y = x
2
+ 2x w jej punkcie A = (-2, 0), oraz w punkcie B = ( 0, 0).
c) y = sin x w punkcie o pierwszej współrzędnej równej ½
π
,
d) x – 2y + 3 = 0 w dowolnym jej punkcie.
Odpowiedzi
Zad. 1. a) W punkcie P krzywizna k =
5
,
1
2
)
1
(
x
x
+
, stąd w punkcie A wynosi k =
2
2
1
w B
mamy k =
5
,
1
2
)
1
(
e
e
+
.
b) W punktach A i B krzywizna wynosi k =
5
5
2
.
c)
k = R = 1,
d)
k = 0, R =
∞
.