G. 3. Krzywizna krzywej płaskiej

Łuk o końcach A i B nazywamy łukiem prostowalnym, jeżeli ma długość, krzywą zaś

nazywamy prostowalną, gdy długość ma każdy jej łuk.

Rozważmy krzywą prostowalną mającą w

każdym punkcie styczną zmieniającą się w

sposób ciągły. Obierzmy na tej krzywej

punkty P oraz P'. W obu tych punktach

poprowadźmy styczne. Długość łuku PP'

oznaczmy przez

σ

, kąt między stycznymi

przez

ω

.

Definicja

Krzywizną średnią łuku PP' nazywamy stosunek

σ

ω

.

Wyobraźmy sobie, że punkt P' dąży do punktu P po łuku prostowalnym PP'. Wtedy

σ

→

0

oraz

ω

→

0, zaś iloraz

σ

ω

dąży do pewnej liczby k.

Definicja

Krzywizną k krzywej w punkcie P nazywamy granicę średniej krzywizny łuku PP', gdy P'

dąży do P , czyli k =

σ

ω

σ

0

lim

→

.

Przykład 1.

Obliczymy krzywiznę okręgu w dowolnie wybranym jego punkcie.

Z własności okręgu i stycznych do okręgu wynika, że dla małych łuków okręgu o promieniu

R zachodzi równość

σ

=

ω

R, gdzie

ω

jest miarą łukową kąta.

Mamy k =

σ

ω

σ

0

lim

→

=

R

ω

ω

σ

0

lim

→

=

R

1

.

Stąd dla każdego punktu okręgu jego krzywizna jest

równa odwrotności promienia okręgu k =

R

1

.

Definicja

Promieniem krzywizny krzywej w punkcie P nazywamy promień okręgu, mającego tę samą

krzywiznę w punkcie P, co rozpatrywana krzywa.

Oznaczając przez R promień krzywizny krzywej o krzywiźnie k w danym punkcie mamy:

a) R =

k

1

, gdy k

≠

0, b) R = 0, gdy k =

∞

, c) R =

∞

, gdy k = 0.

Twierdzenie

Gdy krzywa ma równanie y = f(x) oraz funkcja f ma pochodne f’ , f’’ pierwszego i drugiego

rzędu, to jej krzywizna k jest równa:

k =

2

3

2

,

,,

]

))

(

(

1

[

|

)

(

|

x

f

x

f

+

.

Przykład

Wyznacz krzywiznę i promień krzywizny krzywej danej równaniem y = e

x

w jej punkcie

P = (0,1).

Rozwiązanie

Niech f(x) = e

x

. Wtedy f’(x) = f”(x) = e

x.

Zatem k =

2

3

2

]

)

(

1

[

|

|

−

+

⋅

x

x

e

e

=

2

3

2

]

1

[

|

|

−

+

⋅

x

x

e

e

.

Podstawiając x = 0 mamy k =

2

3

0

2

0

]

1

[

|

|

−

⋅

+

⋅

e

e

=

2

3

]

1

1

[

1

−

+

⋅

=

2

3

)

2

(

−

=

2

2

1

.

Krzywizna krzywej y = e

x

w jej punkcie P = (0,1) wynosi

2

2

1

; promień jej

krzywizny w tym punkcie jest równy 2

2

.

Zadania do samodzielnego rozwiązywania

Zadanie 1.

Wyznacz krzywiznę i promień krzywizny krzywej danej równaniem:

a) y = ln x w jej punkcie A = (1, 0); w punkcie B = (e, 1) oraz w dowolnym punkcie

P = (x, ln x)

b) y = x

2

+ 2x w jej punkcie A = (-2, 0), oraz w punkcie B = ( 0, 0).

c) y = sin x w punkcie o pierwszej współrzędnej równej ½

π

,

d) x – 2y + 3 = 0 w dowolnym jej punkcie.

Odpowiedzi

Zad. 1. a) W punkcie P krzywizna k =

5

,

1

2

)

1

(

x

x

+

, stąd w punkcie A wynosi k =

2

2

1

w B

mamy k =

5

,

1

2

)

1

(

e

e

+

.

b) W punktach A i B krzywizna wynosi k =

5

5

2

.

c)

k = R = 1,

d)

k = 0, R =

∞

.