Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie    

  

28.05.2013r.

 

Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska 

 

 

 

 

 

 

 

Afiniczne odwzorowanie płaszczyzny na  

płaszczyznę 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

MARCELA ODROBIŃSKA 

ZOD RUDA ŚLASKA 

ROK II, SEMESTR 4,  

Nr 1019, GR. 2 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

       ROK AKADEMICKI 2012/2013 

 

 

SPRAWOZDANIE 

 

Dane formalno-prawne: 

 

1.  Zleceniodawca:  Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska 

2.  Wykonawca: Marcela Odrobińska 

3.  Czas wykonania: 27.05.2013r. 

4.  Rodzaj pracy: Afiniczne odwzorowanie płaszczyzny na płaszczyznę  

Nr = 1019 

 

Współrzędne na płaszczyźnie S

1

: 

1.  (1000,00  1000,00) 
2.  (2000,00  1000,00) 
3.  (2000,00  2000,00) 
4.  (1000,00  2000,00) 

Współrzędne na płaszczyźnie S

2

: 

1.  (-307,62  5828,15) 
2.  ( 456,39   5487,01) 
3.  (1504,07  5836,19) 
4.  (740,05   6177,33) 

 

 

Dane współczynniki w odwzorowaniu afinicznym: 

a

1

 

-2119,307 

b

1

 

5820,106 

a

2

 

0,76401367 

b

2

 

-0,34113487 

a

3

 

1,04767368 

b

3

 

0,34917803 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.  Wyznaczenie  postaci  linii  parametrycznych  prostych  w  dwóch  przypadkach,  gdy  u  =  const.,  gdy 

v=const. 
 
Założenia: 

 

 
Ogólna postad, z której wyznaczamy postad linii parametrycznych: 
 

 

 

Wyprowadzenie postaci linii parametrycznych prostych dla u=const 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
Wyprowadzenie postaci linii parametrycznych prostych dla v=const 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 

2.  Wyznaczenie Pierwszej Formy Kwadratowej i współczynników Gaussa: 

Wzór ogólny 

 

 

 

 

Powierzchnia S

1

  

 

 

 

Powierzchnia S

2 

E

1

=1 

 

 

 

 

 

E

2

=0,7000899 

F

1

=0 

 

 

 

 

 

F

2

=0,6813202 

G

1

=1 

 

 

 

 

 

G

2

=1,2195454 

 

3.  Obliczenie kąta pomiędzy liniami parametrycznymi: 

 

 

Wnioski:  
Powierzchnia S1 posiada linie parametryczne prostopadłe do siebie. 
Powierzchnia S2 ma linie parametryczne pod kątem mniejszym niż 90° 
Odwzorowanie nie jest wiernokątne. 

 

4.  Skala odwzorowania: 

Współrzędne na płaszczyźnie S

1

: 

 

 

Współrzędne na płaszczyźnie S

2

: 

1.  (1000,00  1000,00) [m]   

 

 

 

1. (-307,62  5828,15) [m] 

2.  (2000,00  1000,00) [m]   

 

 

 

2. ( 456,39   5487,01) [m]  

3.  (2000,00  2000,00) [m]   

 

 

 

3. (1504,07  5836,19) [m] 

4.  (1000,00  2000,00) [m]   

 

 

 

4. (740,05   6177,33) [m] 

 

 

Obliczenie długości na powierzchni S

1

 i S

2

: 

 

 

 

 

 

Wyznaczenie kierunków głównych dla boku trójkąta: 

 

 

Obliczenie na podstawie wzoru na skalę dla kierunków w trójkącie: 

 

 

Kontrola obliczenia skali odwzorowao: 

 

 

Skala  odwzorowań  to  stosunek  odpowiadających  sobie  elementarnych  wielkości  na  powierzchni  S1  i 
na S2. 

 

5.  Wyznaczenie kierunków głównych odwzorowania: 

 

 

W danym odwzorowaniu kartograficznym (wiemy, że nie jest wiernokątne) istnieje taka siatka 
ortogonalna, która odwzorowuje się jako siatka ortogonalna. 

Kontrola:   Warunek poprawności  

 

 

 

6.  Skale w kierunkach linii parametrycznych: 

Wzór dla u = const. czyli du=0 

 

 

Wielkośd zniekształcenia: 

 

Wzór dla v = const. czyli dv=0 

 

Wielkośd zniekształcenia: 

 

Skale nie są sobie równe, więc odwzorowanie nie jest równokątne (w odwzorowaniu występują 
zniekształcenia kątowe). Skale długości w kierunkach linii parametrycznych umożliwiają obliczenie 
skali pól. 
 
 
7.  Skale i zniekształcenia w kierunkach głównych: 

 

 

 

Wielkości zniekształcenia: 

Dla a 

 

Dla b 

 

 

Obrazem elementarnych skal długości we wszystkich kierunkach wychodzących z danego punktu jest 
elipsa, której półosie są równe elementarnym skalom długości w kierunkach głównych. Umożliwia to 
określenie wartości zniekształceń, skal w kierunkach linii parametrycznych. 
 

 

 
 
8.  Zniekształcenia kątów. Kąt o maksymalnym zniekształceniu: 

 

 

 

56,88`` 

 

Występujące w odwzorowaniu zniekształcenia kątowe określane są przez największą różnicę wartości 
bezwzględnej między kątem na S1 a odpowiadającym mu kątem na S2. 
 

 
9.  Skala i zniekształcenia pola: 

Skala 

 

Zniekształcenie 

 

Kontrola 

 

 

Odwzorowanie nie jest wiernokątne, ponieważ a≠b. Gdyby a=b to maksymalne zniekształcenie 

 

   

Odwzorowanie  nie  jest  odwzorowaniem  wiernopolowym,  ponieważ    a*b≠1,  gdyby  a*b=1  to  skala 
zniekształcenia pola wynosiłaby f=1.