Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie

28.05.2013r.

Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska

Afiniczne odwzorowanie płaszczyzny na

płaszczyznę

MARCELA ODROBIŃSKA

ZOD RUDA ŚLASKA

ROK II, SEMESTR 4,

Nr 1019, GR. 2

ROK AKADEMICKI 2012/2013

SPRAWOZDANIE

Dane formalno-prawne:

1. Zleceniodawca: Akademia Górniczo-Hutnicza Wydział Geodezji Górniczej i Inżynierii Środowiska

2. Wykonawca: Marcela Odrobińska

3. Czas wykonania: 27.05.2013r.

4. Rodzaj pracy: Afiniczne odwzorowanie płaszczyzny na płaszczyznę

Nr = 1019

Współrzędne na płaszczyźnie S

1

:

1. (1000,00 1000,00)
2. (2000,00 1000,00)
3. (2000,00 2000,00)
4. (1000,00 2000,00)

Współrzędne na płaszczyźnie S

2

:

1. (-307,62 5828,15)
2. ( 456,39 5487,01)
3. (1504,07 5836,19)
4. (740,05 6177,33)

Dane współczynniki w odwzorowaniu afinicznym:

a

1

-2119,307

b

1

5820,106

a

2

0,76401367

b

2

-0,34113487

a

3

1,04767368

b

3

0,34917803

1. Wyznaczenie postaci linii parametrycznych prostych w dwóch przypadkach, gdy u = const., gdy

v=const.

Założenia:

Ogólna postad, z której wyznaczamy postad linii parametrycznych:

Wyprowadzenie postaci linii parametrycznych prostych dla u=const

Wyprowadzenie postaci linii parametrycznych prostych dla v=const

2. Wyznaczenie Pierwszej Formy Kwadratowej i współczynników Gaussa:

Wzór ogólny

Powierzchnia S

1

Powierzchnia S

2

E

1

=1

E

2

=0,7000899

F

1

=0

F

2

=0,6813202

G

1

=1

G

2

=1,2195454

3. Obliczenie kąta pomiędzy liniami parametrycznymi:

Wnioski:
Powierzchnia S1 posiada linie parametryczne prostopadłe do siebie.
Powierzchnia S2 ma linie parametryczne pod kątem mniejszym niż 90°
Odwzorowanie nie jest wiernokątne.

4. Skala odwzorowania:

Współrzędne na płaszczyźnie S

1

:

Współrzędne na płaszczyźnie S

2

:

1. (1000,00 1000,00) [m]

1. (-307,62 5828,15) [m]

2. (2000,00 1000,00) [m]

2. ( 456,39 5487,01) [m]

3. (2000,00 2000,00) [m]

3. (1504,07 5836,19) [m]

4. (1000,00 2000,00) [m]

4. (740,05 6177,33) [m]

Obliczenie długości na powierzchni S

1

i S

2

:

Wyznaczenie kierunków głównych dla boku trójkąta:

Obliczenie na podstawie wzoru na skalę dla kierunków w trójkącie:

Kontrola obliczenia skali odwzorowao:

Skala odwzorowań to stosunek odpowiadających sobie elementarnych wielkości na powierzchni S1 i
na S2.

5. Wyznaczenie kierunków głównych odwzorowania:

W danym odwzorowaniu kartograficznym (wiemy, że nie jest wiernokątne) istnieje taka siatka
ortogonalna, która odwzorowuje się jako siatka ortogonalna.

Kontrola: Warunek poprawności

6. Skale w kierunkach linii parametrycznych:

Wzór dla u = const. czyli du=0

Wielkośd zniekształcenia:

Wzór dla v = const. czyli dv=0

Wielkośd zniekształcenia:

Skale nie są sobie równe, więc odwzorowanie nie jest równokątne (w odwzorowaniu występują
zniekształcenia kątowe). Skale długości w kierunkach linii parametrycznych umożliwiają obliczenie
skali pól.


7. Skale i zniekształcenia w kierunkach głównych:

Wielkości zniekształcenia:

Dla a

Dla b

Obrazem elementarnych skal długości we wszystkich kierunkach wychodzących z danego punktu jest
elipsa, której półosie są równe elementarnym skalom długości w kierunkach głównych. Umożliwia to
określenie wartości zniekształceń, skal w kierunkach linii parametrycznych.

8. Zniekształcenia kątów. Kąt o maksymalnym zniekształceniu:

56,88``

Występujące w odwzorowaniu zniekształcenia kątowe określane są przez największą różnicę wartości
bezwzględnej między kątem na S1 a odpowiadającym mu kątem na S2.

9. Skala i zniekształcenia pola:

Skala

Zniekształcenie

Kontrola

Odwzorowanie nie jest wiernokątne, ponieważ a≠b. Gdyby a=b to maksymalne zniekształcenie

Odwzorowanie nie jest odwzorowaniem wiernopolowym, ponieważ a*b≠1, gdyby a*b=1 to skala
zniekształcenia pola wynosiłaby f=1.