MAXIMA
Download:
http://sourceforge.net/projects/maxima/
http://www.dobreprogramy.pl/Maxima,Program,Windows,13282.html
Linki:
http://wxmaxima.sourceforge.net/wiki
http://pl.wikibooks.org/wiki/Maxima
http://rtopolnicki.dragonia.pl/pliki/wxmaxima.pdf
http://www.austromath.at/daten/maxima/index.htm
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
2 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze
Loty pewnej linii lotniczej w po-
staci grafu:
1
Dublin
2
Kraków
4
Budapeszt
3
Paryż
5
Rzym
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
3 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze
Loty pewnej linii lotniczej w po-
staci grafu:
1
Dublin
2
Kraków
4
Budapeszt
3
Paryż
5
Rzym
Te same loty w postaci macierzy:
Cel
1
2
3
4
5
A =
0
0
1
1 1
1
0
1
0 0
0
0
0
0 1
0
1
0
0 0
0
0
0
1 0
1
2
3
4
5
Start
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
3 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze
Loty pewnej linii lotniczej w po-
staci grafu:
1
Dublin
2
Kraków
4
Budapeszt
3
Paryż
5
Rzym
Wprowadzamy macierz do programu
MAXIMA:
(%i1)
A: matrix(
[0, 0, 1, 1, 1] ,
[1, 0, 1, 0, 0] ,
[0, 0, 0, 0, 1] ,
[0, 1, 0, 0, 0] ,
[0, 0, 0, 1, 0]
);
(%o1)
0 0 1 1 1
1 0 1 0 0
0 0 0 0 1
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
3 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze –
Zadanie 1
Obliczyć macierz A
2
.
(%i2)
A2 :
A.A;
(%o2)
0 1 0 1 1
0 0 1 1 2
0 0 0 1 0
1 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1
Dublin
2
Kraków
4
Budapeszt
3
Paryż
5
Rzym
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
4 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze –
Zadanie 1
Obliczyć macierz A
2
.
(%i2)
A2 :
A.A;
(%o2)
0 1 0 1 1
0 0 1 1 2
0 0 0 1 0
1 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1
Dublin
2
Kraków
4
Budapeszt
3
Paryż
5
Rzym
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
4 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze –
Zadanie 1
Obliczyć macierz A
2
.
Co oznacza 1 w drugim wierszu i trzeciej kolumnie?
(%i2)
A2 :
A.A;
(%o2)
0 1
0 1 1
0 0
1
1 2
0 0
0 1 0
1 0
1 0 0
0 1
0 0 0
1
Dublin
2
Kraków
4
Budapeszt
3
Paryż
5
Rzym
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
4 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze –
Zadanie 1
Obliczyć macierz A
2
.
Co oznacza 1 w drugim wierszu i trzeciej kolumnie?
0 0
1
1 1
1 0
1
0 0
A =
0 0
0
0 1
0 1
0
0 0
0 0
0
1 0
0
0
1
1
1 0 1
0 1 1
1 0 1 0 0
0 0
1
1 2
A =
0
0
0
0
1 0 0
0 1 0
= A · A = A
2
0
1
0
0
0 1 0
1 0 0
0
0
0
1
0 0 1
0 0 0
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
4 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze –
Zadanie 1
Obliczyć macierz A
2
.
Co oznacza 1 w drugim wierszu i trzeciej kolumnie?
(%i2)
A2 :
A.A;
(%o2)
0 1
0 1 1
0 0
1
1 2
0 0
0 1 0
1 0
1 0 0
0 1
0 0 0
1
Dublin
2
Kraków
4
Budapeszt
3
Paryż
5
Rzym
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
4 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze –
Zadanie 1
Obliczyć macierz A
2
.
Co oznacza 2 w drugim wierszu i piątej kolumnie?
(%i2)
A2 :
A.A;
(%o2)
0 1 0 1
1
0 0 1 1
2
0 0 0 1
0
1 0 1 0
0
0 1 0 0
0
1
Dublin
2
Kraków
4
Budapeszt
3
Paryż
5
Rzym
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
4 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze –
Zadanie 1
Obliczyć macierz A
2
.
Co oznacza 2 w drugim wierszu i piątej kolumnie?
0 0 1 1
1
1 0 1 0
0
A =
0 0 0 0
1
0 1 0 0
0
0 0 0 1
0
0
0
1
1
1 0 1 0 1
1
1 0 1 0 0
0 0 1 1
2
A =
0
0
0
0
1 0 0 0 1
0
= A · A = A
2
0
1
0
0
0 1 0 1 0
0
0
0
0
1
0 0 1 0 0
0
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
4 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze –
Zadanie 1
Obliczyć macierz A
2
.
Co oznacza 2 w drugim wierszu i piątej kolumnie?
(%i2)
A2 :
A.A;
(%o2)
0 1 0 1
1
0 0 1 1
2
0 0 0 1
0
1 0 1 0
0
0 1 0 0
0
1
Dublin
2
Kraków
4
Budapeszt
3
Paryż
5
Rzym
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
4 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze –
Zadanie 1
Obliczyć macierz A
2
.
Jak zinterpretować elementy macierzy A
2
nie leżące na przekątnej?
(%i2)
A2 :
A.A;
(%o2)
0 1 0 1 1
0 0 1 1 2
0 0 0 1 0
1 0 1 0 0
0 1 0 0 0
1
Dublin
2
Kraków
4
Budapeszt
3
Paryż
5
Rzym
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
4 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze –
Zadanie 2
Obliczyć macierz A + A
2
.
(%i3)
A+Aˆˆ2;
(%o3)
0
1 1 2 2
1
0
2 1 2
0 0
0
1 1
1 1 1
0
0
0 1 0 1
0
Jaka jest interpretacja macierzy A + A
2
?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
5 / 18
Linie lotnicze
Linie lotnicze –
Zadanie 2
Obliczyć macierz A + A
2
.
(%i3)
A+Aˆˆ2;
(%o3)
0
1 1 2 2
1
0
2 1 2
0 0
0
1 1
1 1 1
0
0
0 1 0 1
0
Jaka jest interpretacja macierzy A + A
2
?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
5 / 18
Linie lotnicze
Programowanie w MAXIMIE
Linie lotnicze –
Zadanie 3
Obliczać sumy A + A
2
, A + A
2
+ A
3
+ · · · , dopóki wynik nie będzie
macierzą, która ma zera co najwyżej na przekątnej.
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
6 / 18
Linie lotnicze
Programowanie w MAXIMIE
Linie lotnicze –
Zadanie 3
Obliczać sumy A + A
2
, A + A
2
+ A
3
+ · · · , dopóki wynik nie będzie
macierzą, która ma zera co najwyżej na przekątnej.
Sprawdzamy, czy macierz A ma zera poza przekątną:
(%i4)
ZERO(A,n):=block(
[i,j,total:false],
for i:1 step 1 thru n do [
for j:1 step 1 thru n do
[if (i#j and A[i,j]=0) then total:true]],
return(total)
)$
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
6 / 18
Linie lotnicze
Programowanie w MAXIMIE
Linie lotnicze –
Zadanie 3
Obliczać sumy A + A
2
, A + A
2
+ A
3
+ · · · , dopóki wynik nie będzie
macierzą, która ma zera co najwyżej na przekątnej.
Jeśli tak, to dodajemy do macierzy jej kolejne potęgi:
(%i5)
NZERO(A,n):=block(
[i,k:1,B:A],
while ZERO(B,n) do [
k:k+1,
B:A,
for i:2 step 1 thru k do B:(B+Aˆˆi)],
return([k,B])
)$
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
6 / 18
Linie lotnicze
Programowanie w MAXIMIE
Linie lotnicze –
Zadanie 3
Obliczać sumy A + A
2
, A + A
2
+ A
3
+ · · · , dopóki wynik nie będzie
macierzą, która ma zera co najwyżej na przekątnej.
(%i6)
NZERO(A,5);
(%o6)
[4,
2
3
4
4
4
2
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
2
]
Jaka jest interpretacja macierzy A + A
2
+ A
3
+ A
4
?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
6 / 18
Linie lotnicze
Programowanie w MAXIMIE
Linie lotnicze –
Zadanie 3
Obliczać sumy A + A
2
, A + A
2
+ A
3
+ · · · , dopóki wynik nie będzie
macierzą, która ma zera co najwyżej na przekątnej.
(%i6)
NZERO(A,5);
(%o6)
[4,
2
3
4
4
4
2
3
3
3
3
1
1
1
1
1
1
2
2
3
3
1
1
2
2
2
]
Jaka jest interpretacja macierzy A + A
2
+ A
3
+ A
4
?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
6 / 18
Przekształcenia
Obrót
Obrót
x
y
(x
1
, y
1
)
x
1
y
1
α
x
2
y
2
(x
2
, y
2
)
θ
x
1
= r cos(α),
y
1
= r sin(α)
x
2
= r cos(α + θ),
y
2
= r sin(α + θ)
x
2
= r cos(α) · cos(θ) − r sin(α) · sin(θ)
y
2
= r cos(α) · sin(θ) + r sin(α) · cos(θ)
x
2
= x
1
· cos(θ) − y
1
· sin(θ)
y
2
= x
1
· sin(θ) + y
1
· cos(θ)
x
2
y
2
=
"
x
1
· cos(θ) − y
1
· sin(θ)
x
1
· sin(θ) + y
1
· cos(θ)
#
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
x
1
y
1
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
7 / 18
Przekształcenia
Obrót
Obrót
x
y
(x
1
, y
1
)
x
1
y
1
α
x
2
y
2
(x
2
, y
2
)
θ
x
1
= r cos(α),
y
1
= r sin(α)
x
2
= r cos(α + θ),
y
2
= r sin(α + θ)
x
2
= r cos(α) · cos(θ) − r sin(α) · sin(θ)
y
2
= r cos(α) · sin(θ) + r sin(α) · cos(θ)
x
2
= x
1
· cos(θ) − y
1
· sin(θ)
y
2
= x
1
· sin(θ) + y
1
· cos(θ)
x
2
y
2
=
"
x
1
· cos(θ) − y
1
· sin(θ)
x
1
· sin(θ) + y
1
· cos(θ)
#
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
x
1
y
1
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
7 / 18
Przekształcenia
Obrót
Obrót
x
y
(x
1
, y
1
)
x
1
y
1
α
x
2
y
2
(x
2
, y
2
)
θ
x
1
= r cos(α),
y
1
= r sin(α)
x
2
= r cos(α + θ),
y
2
= r sin(α + θ)
x
2
= r cos(α) · cos(θ) − r sin(α) · sin(θ)
y
2
= r cos(α) · sin(θ) + r sin(α) · cos(θ)
x
2
= x
1
· cos(θ) − y
1
· sin(θ)
y
2
= x
1
· sin(θ) + y
1
· cos(θ)
x
2
y
2
=
"
x
1
· cos(θ) − y
1
· sin(θ)
x
1
· sin(θ) + y
1
· cos(θ)
#
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
x
1
y
1
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
7 / 18
Przekształcenia
Obrót
Obrót
x
y
(x
1
, y
1
)
x
1
y
1
α
x
2
y
2
(x
2
, y
2
)
θ
x
1
= r cos(α),
y
1
= r sin(α)
x
2
= r cos(α + θ),
y
2
= r sin(α + θ)
x
2
=
r cos(α)
· cos(θ) −
r sin(α)
· sin(θ)
y
2
=
r cos(α)
· sin(θ) +
r sin(α)
· cos(θ)
x
2
=
x
1
· cos(θ) −
y
1
· sin(θ)
y
2
=
x
1
· sin(θ) +
y
1
· cos(θ)
x
2
y
2
=
"
x
1
· cos(θ) − y
1
· sin(θ)
x
1
· sin(θ) + y
1
· cos(θ)
#
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
x
1
y
1
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
7 / 18
Przekształcenia
Obrót
Obrót
x
y
(x
1
, y
1
)
x
1
y
1
α
x
2
y
2
(x
2
, y
2
)
θ
x
1
= r cos(α),
y
1
= r sin(α)
x
2
= r cos(α + θ),
y
2
= r sin(α + θ)
x
2
= r cos(α) · cos(θ) − r sin(α) · sin(θ)
y
2
= r cos(α) · sin(θ) + r sin(α) · cos(θ)
x
2
= x
1
· cos(θ) − y
1
· sin(θ)
y
2
= x
1
· sin(θ) + y
1
· cos(θ)
x
2
y
2
=
"
x
1
· cos(θ) − y
1
· sin(θ)
x
1
· sin(θ) + y
1
· cos(θ)
#
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
x
1
y
1
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
7 / 18
Przekształcenia
Obrót
Obrót
x
y
(x
1
, y
1
)
x
1
y
1
α
x
2
y
2
(x
2
, y
2
)
θ
x
1
= r cos(α),
y
1
= r sin(α)
x
2
= r cos(α + θ),
y
2
= r sin(α + θ)
x
2
= r cos(α) · cos(θ) − r sin(α) · sin(θ)
y
2
= r cos(α) · sin(θ) + r sin(α) · cos(θ)
x
2
= x
1
· cos(θ) − y
1
· sin(θ)
y
2
= x
1
· sin(θ) + y
1
· cos(θ)
x
2
y
2
=
"
x
1
· cos(θ) − y
1
· sin(θ)
x
1
· sin(θ) + y
1
· cos(θ)
#
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
x
1
y
1
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
7 / 18
Przekształcenia
Obrót
Obrót
x
y
(x
1
, y
1
)
x
1
y
1
α
x
2
y
2
(x
2
, y
2
)
θ
x
1
= r cos(α),
y
1
= r sin(α)
x
2
= r cos(α + θ),
y
2
= r sin(α + θ)
x
2
= r cos(α) · cos(θ) − r sin(α) · sin(θ)
y
2
= r cos(α) · sin(θ) + r sin(α) · cos(θ)
x
2
= x
1
· cos(θ) − y
1
· sin(θ)
y
2
= x
1
· sin(θ) + y
1
· cos(θ)
x
2
y
2
=
"
x
1
· cos(θ) − y
1
· sin(θ)
x
1
· sin(θ) + y
1
· cos(θ)
#
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
x
1
y
1
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
7 / 18
Przekształcenia
Obrót
Obrót
x
y
(x
1
, y
1
)
x
1
y
1
α
x
2
y
2
(x
2
, y
2
)
θ
R =
cos(
θ
)
− sin(
θ
)
sin(
θ
)
cos(
θ
)
x
2
y
2
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
x
1
y
1
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
7 / 18
Przekształcenia
Obrót
Obrót cd.
x
y
(0, 0)
(1, 0)
(1, 3)
(2, 2)
(3, 3)
(3, 0)
(4, 0)
(4, 4)
(3, 4)
(2, 3)
(1, 4)
(0, 4)
"
cos (52
◦
)
− sin (52
◦
)
sin (52
◦
)
cos (52
◦
)
#
·
0
1
1
2
3
3
4
4
3
2
1
0
0
0
3
2
3
0
0
4
4
3
4
4
=
0
0.6
−1.75
−0.3
−0.5
1.85
2.46
−0.7
−1.31
−1.13
−2.54
−3.15
0
0.8
2.63
2.81
4.21
2.36
3.15
5.61
4.83
3.42
3.25
2.46
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
8 / 18
Przekształcenia
Obrót
Obrót cd.
x
y
(0, 0)
(1, 0)
(1, 3)
(2, 2)
(3, 3)
(3, 0)
(4, 0)
(4, 4)
(3, 4)
(2, 3)
(1, 4)
(0, 4)
"
cos (52
◦
)
− sin (52
◦
)
sin (52
◦
)
cos (52
◦
)
#
·
0
1
1
2
3
3
4
4
3
2
1
0
0
0
3
2
3
0
0
4
4
3
4
4
=
0
0.6
−1.75
−0.3
−0.5
1.85
2.46
−0.7
−1.31
−1.13
−2.54
−3.15
0
0.8
2.63
2.81
4.21
2.36
3.15
5.61
4.83
3.42
3.25
2.46
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
8 / 18
Przekształcenia
Obrót
Obrót cd.
x
y
"
cos (52
◦
)
− sin (52
◦
)
sin (52
◦
)
cos (52
◦
)
#
·
0
1
1
2
3
3
4
4
3
2
1
0
0
0
3
2
3
0
0
4
4
3
4
4
=
0
0.6
−1.75
−0.3
−0.5
1.85
2.46
−0.7
−1.31
−1.13
−2.54
−3.15
0
0.8
2.63
2.81
4.21
2.36
3.15
5.61
4.83
3.42
3.25
2.46
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
8 / 18
Przekształcenia
Działania na macierzy obrotu
Kwadrat macierzy R
R
2
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
=
=
"
cos
2
(θ) − sin
2
(θ)
−2 sin(θ) · cos(θ)
2 sin(θ) · cos(θ)
cos
2
(θ) − sin
2
(θ)
#
Korzystając ze znanych tożsamości trygonometrycznych otrzymujemy
macierz
R
2
=
"
cos(2θ) − sin(2θ)
sin(2θ)
cos(2θ)
#
,
która odpowiada obrotowi o kąt 2θ.
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
9 / 18
Przekształcenia
Działania na macierzy obrotu
Kwadrat macierzy R
R
2
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
=
=
"
cos
2
(θ) − sin
2
(θ)
−2 sin(θ) · cos(θ)
2 sin(θ) · cos(θ)
cos
2
(θ) − sin
2
(θ)
#
Korzystając ze znanych tożsamości trygonometrycznych otrzymujemy
macierz
R
2
=
"
cos(2θ) − sin(2θ)
sin(2θ)
cos(2θ)
#
,
która odpowiada obrotowi o kąt 2θ.
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
9 / 18
Przekształcenia
Działania na macierzy obrotu
Kwadrat macierzy R
R
2
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
=
=
"
cos
2
(θ) − sin
2
(θ)
−2 sin(θ) · cos(θ)
2 sin(θ) · cos(θ)
cos
2
(θ) − sin
2
(θ)
#
Korzystając ze znanych tożsamości trygonometrycznych otrzymujemy
macierz
R
2
=
"
cos(2θ) − sin(2θ)
sin(2θ)
cos(2θ)
#
,
która odpowiada obrotowi o kąt 2θ.
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
9 / 18
Przekształcenia
Działania na macierzy obrotu
Macierz odwrotna macierzy R –
Zadanie 4
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy obrotu
R
θ
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
.
Macierz odwrotna powinna odpowiadać obrotowi o kąt −θ, zatem
R
−1
θ
= R
−θ
=
"
cos(−θ) − sin(−θ)
sin(−θ)
cos(−θ)
#
=
"
cos(θ)
sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
#
.
Łatwo można pokazać, że
R
θ
· R
−1
θ
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
"
cos(θ)
sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
#
=
"
1 0
0 1
#
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
10 / 18
Przekształcenia
Działania na macierzy obrotu
Macierz odwrotna macierzy R –
Zadanie 4
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy obrotu
R
θ
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
.
Macierz odwrotna powinna odpowiadać obrotowi o kąt −θ, zatem
R
−1
θ
= R
−θ
=
"
cos(−θ) − sin(−θ)
sin(−θ)
cos(−θ)
#
=
"
cos(θ)
sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
#
.
Łatwo można pokazać, że
R
θ
· R
−1
θ
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
"
cos(θ)
sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
#
=
"
1 0
0 1
#
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
10 / 18
Przekształcenia
Działania na macierzy obrotu
Macierz odwrotna macierzy R –
Zadanie 4
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy obrotu
R
θ
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
.
Macierz odwrotna powinna odpowiadać obrotowi o kąt −θ, zatem
R
−1
θ
= R
−θ
=
"
cos(−θ) − sin(−θ)
sin(−θ)
cos(−θ)
#
=
"
cos(θ)
sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
#
.
Łatwo można pokazać, że
R
θ
· R
−1
θ
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
"
cos(θ)
sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
#
=
"
1 0
0 1
#
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
10 / 18
Przekształcenia
Działania na macierzy obrotu
Macierz odwrotna macierzy R –
Zadanie 4
Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy obrotu
R
θ
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
.
Macierz odwrotna powinna odpowiadać obrotowi o kąt −θ, zatem
R
−1
θ
= R
−θ
=
"
cos(−θ) − sin(−θ)
sin(−θ)
cos(−θ)
#
=
"
cos(θ)
sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
#
.
Łatwo można pokazać, że
R
θ
· R
−1
θ
=
"
cos(θ) − sin(θ)
sin(θ)
cos(θ)
#
·
"
cos(θ)
sin(θ)
− sin(θ) cos(θ)
#
=
"
1 0
0 1
#
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
10 / 18
Przekształcenia
Rzutowanie
Rzutowanie –
Zadanie 5
Wyznaczyć macierz odpowiadającą rzutowaniu wektora na oś Ox.
x
y
(x , y )
(x , 0)
(x , z)
(x , w )
·
x
y
=
x
0
P =
1 0
0 0
P
2
=?
P
−1
=?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
11 / 18
Przekształcenia
Rzutowanie
Rzutowanie –
Zadanie 5
Wyznaczyć macierz odpowiadającą rzutowaniu wektora na oś Ox.
x
y
(x , y )
(x , 0)
(x , z)
(x , w )
·
x
y
=
x
0
P =
1 0
0 0
P
2
=?
P
−1
=?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
11 / 18
Przekształcenia
Rzutowanie
Rzutowanie –
Zadanie 5
Wyznaczyć macierz odpowiadającą rzutowaniu wektora na oś Ox.
x
y
(x , y )
(x , 0)
(x , z)
(x , w )
a
b
c
d
·
x
y
=
x
0
P =
1 0
0 0
P
2
=?
P
−1
=?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
11 / 18
Przekształcenia
Rzutowanie
Rzutowanie –
Zadanie 5
Wyznaczyć macierz odpowiadającą rzutowaniu wektora na oś Ox.
x
y
(x , y )
(x , 0)
(x , z)
(x , w )
1 0
0 0
·
x
y
=
x
0
P =
1 0
0 0
P
2
=?
P
−1
=?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
11 / 18
Przekształcenia
Rzutowanie
Rzutowanie –
Zadanie 5
Wyznaczyć macierz odpowiadającą rzutowaniu wektora na oś Ox.
x
y
(x , y )
(x , 0)
(x , z)
(x , w )
1 0
0 0
·
x
y
=
x
0
P =
1 0
0 0
P
2
=?
P
−1
=?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
11 / 18
Przekształcenia
Rzutowanie
Rzutowanie –
Zadanie 5
Wyznaczyć macierz odpowiadającą rzutowaniu wektora na oś Ox.
x
y
(x , y )
(x , 0)
(x , z)
(x , w )
1 0
0 0
·
x
y
=
x
0
P =
1 0
0 0
P
2
=?
P
−1
=?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
11 / 18
Przekształcenia
Rzutowanie
Rzutowanie –
Zadanie 5
Wyznaczyć macierz odpowiadającą rzutowaniu wektora na oś Ox.
x
y
(x , y )
(x , 0)
(x , z)
(x , w )
1 0
0 0
·
x
y
=
x
0
P =
1 0
0 0
P
2
=?
P
−1
=?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
11 / 18
Kryptografia
Tabela liter
Definiujemy odwzorowanie pomiędzy literami a liczbami naturalnymi za pomocą
następującej tabeli:
t
A
Ą
B
C
Ć
D
E
Ę
F
G
H
I
J
K
L
Ł
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
M
N
Ń
O
Ó
P
R
S
Ś
T
U
W
Y
Z
Ź
Ż
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
przy czym spacji odpowiada liczba 0.
Wiadomość “
TEKST JAWNY
” odpowiada ciągowi:
26
7
14
24
26
0
13
1
28
18
29
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
12 / 18
Kryptografia
Tabela liter
Definiujemy odwzorowanie pomiędzy literami a liczbami naturalnymi za pomocą
następującej tabeli:
t
A
Ą
B
C
Ć
D
E
Ę
F
G
H
I
J
K
L
Ł
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
M
N
Ń
O
Ó
P
R
S
Ś
T
U
W
Y
Z
Ź
Ż
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
przy czym spacji odpowiada liczba 0.
Wiadomość “
TEKST JAWNY
” odpowiada ciągowi:
26
7
14
24
26
0
13
1
28
18
29
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
12 / 18
Kryptografia
Kodowanie
Jawna wiadomość:
26
7
14
24
26
0
13
1
28
18
29
Macierz kodująca:
K =
1 1 1
2 1 2
2 3 1
Jawna wiadomość:
J =
26 24 13 18
7 26
1 29
14
0 28
0
Kodowanie:
K · J =
1 1 1
2 1 2
2 3 1
·
26 24 13 18
7 26
1 29
14
0 28
0
=
47
50 42
48
87
74 83
66
87 126 57 126
Zakodowana wiadomość:
47
87
87
50
74
126
42
83
57
48
66
126
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
13 / 18
Kryptografia
Kodowanie
Jawna wiadomość:
26
7
14
24
26
0
13
1
28
18
29
Macierz kodująca:
K =
1 1 1
2 1 2
2 3 1
Jawna wiadomość:
J =
26 24 13 18
7 26
1 29
14
0 28
0
Kodowanie:
K · J =
1 1 1
2 1 2
2 3 1
·
26 24 13 18
7 26
1 29
14
0 28
0
=
47
50 42
48
87
74 83
66
87 126 57 126
Zakodowana wiadomość:
47
87
87
50
74
126
42
83
57
48
66
126
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
13 / 18
Kryptografia
Kodowanie
Jawna wiadomość:
26
7
14
24
26
0
13
1
28
18
29
Macierz kodująca:
K =
1 1 1
2 1 2
2 3 1
Jawna wiadomość:
J =
26 24 13 18
7 26
1 29
14
0 28
0
Kodowanie:
K · J =
1 1 1
2 1 2
2 3 1
·
26 24 13 18
7 26
1 29
14
0 28
0
=
47
50 42
48
87
74 83
66
87 126 57 126
Zakodowana wiadomość:
47
87
87
50
74
126
42
83
57
48
66
126
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
13 / 18
Kryptografia
Kodowanie
Jawna wiadomość:
26
7
14
24
26
0
13
1
28
18
29
Macierz kodująca:
K =
1 1 1
2 1 2
2 3 1
Jawna wiadomość:
J =
26 24 13 18
7 26
1 29
14
0 28
0
Kodowanie:
K · J =
1 1 1
2 1 2
2 3 1
·
26 24 13 18
7 26
1 29
14
0 28
0
=
47
50 42
48
87
74 83
66
87 126 57 126
Zakodowana wiadomość:
47
87
87
50
74
126
42
83
57
48
66
126
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
13 / 18
Kryptografia
Kodowanie –
Zadanie 6
Odkodować wiadomość:
22, 43, 41, 42, 77, 68, 37, 67, 81, 26, 50, 54, 23, 45, 34, 25, 43, 57
Tabela liter:
t
A
Ą
B
C
Ć
D
E
Ę
F
G
H
I
J
K
L
Ł
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
M
N
Ń
O
Ó
P
R
S
Ś
T
U
W
Y
Z
Ź
Ż
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Macierz kodująca:
K =
1
1
1
2
1
2
2
3
1
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
14 / 18
Kryptografia
Kodowanie –
Zadanie 6
Odkodować wiadomość:
22, 43, 41, 42, 77, 68, 37, 67, 81, 26, 50, 54, 23, 45, 34, 25, 43, 57
Tabela liter:
t
A
Ą
B
C
Ć
D
E
Ę
F
G
H
I
J
K
L
Ł
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
M
N
Ń
O
Ó
P
R
S
Ś
T
U
W
Y
Z
Ź
Ż
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
Macierz kodująca:
K =
1
1
1
2
1
2
2
3
1
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
14 / 18
Statystyka
Ocenianie –
Zadanie 7
Test:
1
2
3
4
W =
78 84 81 86
91 65 84 92
95 90 92 91
75 82 87 91
83 88 81 76
Ania
Bartek
Czesio
Dana
Ewa
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
15 / 18
Statystyka
Ocenianie –
Zadanie 7
Test:
1
2
3
4
W =
78 84 81 86
91 65 84 92
95 90 92 91
75 82 87 91
83 88 81 76
Ania
Bartek
Czesio
Dana
Ewa
1
Jak obliczyć średnią liczbę
punktów zdobytych przez
każdego studenta ze
wszystkich czterech testów?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
15 / 18
Statystyka
Ocenianie –
Zadanie 7
Test:
1
2
3
4
W =
78 84 81 86
91 65 84 92
95 90 92 91
75 82 87 91
83 88 81 76
Ania
Bartek
Czesio
Dana
Ewa
1
Jak obliczyć średnią liczbę
punktów zdobytych przez
każdego studenta ze
wszystkich czterech testów?
1
78 84 81 86
91 65 84 92
95 90 92 91
75 82 87 91
83 88 81 76
·
1
4
1
4
1
4
1
4
=
82.25
83
92
83.75
82
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
15 / 18
Statystyka
Ocenianie –
Zadanie 7
Test:
1
2
3
4
W =
78 84 81 86
91 65 84 92
95 90 92 91
75 82 87 91
83 88 81 76
Ania
Bartek
Czesio
Dana
Ewa
2
Jak obliczyć średnią, jeżeli
trzy pierwsze testy mają tą
samą wagę, natomiast waga
czwartego testu jest dwa razy
większa?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
15 / 18
Statystyka
Ocenianie –
Zadanie 7
Test:
1
2
3
4
W =
78 84 81 86
91 65 84 92
95 90 92 91
75 82 87 91
83 88 81 76
Ania
Bartek
Czesio
Dana
Ewa
2
Jak obliczyć średnią, jeżeli
trzy pierwsze testy mają tą
samą wagę, natomiast waga
czwartego testu jest dwa razy
większa?
2
78 84 81 86
91 65 84 92
95 90 92 91
75 82 87 91
83 88 81 76
·
1
5
1
5
1
5
2
5
=
83
84.8
91.8
85.2
80.8
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
15 / 18
Statystyka
Ocenianie –
Zadanie 7
Test:
1
2
3
4
W =
78 84 81 86
91 65 84 92
95 90 92 91
75 82 87 91
83 88 81 76
Ania
Bartek
Czesio
Dana
Ewa
3
Jak obliczyć średnią liczbę
punktów zdobytych przez całą
klasę z każdego testu?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
15 / 18
Statystyka
Ocenianie –
Zadanie 7
Test:
1
2
3
4
W =
78 84 81 86
91 65 84 92
95 90 92 91
75 82 87 91
83 88 81 76
Ania
Bartek
Czesio
Dana
Ewa
3
Jak obliczyć średnią liczbę
punktów zdobytych przez całą
klasę z każdego testu?
3
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
·
78 84 81 86
91 65 84 92
95 90 92 91
75 82 87 91
83 88 81 76
=
84.4 81.8 85 87.2
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
15 / 18
Układy równań liniowych
Układ oznaczony
Analiza inwestycji
Doradca finansowy:
Rodzaj inwestycji
Oczekiwany zysk
I
1
o umiarkowanym ryzyku
10%
I
2
o podwyższonym ryzyku
20%
Klienci:
k
1
2
3
Kwota do zainwestowania
k
1
20 000 PLN
50 000 PLN
10 000 PLN
Oczekiwany zysk roczny
k
2
2 400 PLN
7 500 PLN
1 300 PLN
(12%)
(15%)
(13%)
Niewiadome:
x
1
kwota zainwestowana w I
1
przez danego klienta
x
2
kwota zainwestowana w I
2
przez danego klienta
Model matematyczny:
x
1
+
x
2
=
k
1
0, 1 x
1
+
0, 2 x
2
=
k
2
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
16 / 18
Układy równań liniowych
Układ oznaczony
Analiza inwestycji
Doradca finansowy:
Rodzaj inwestycji
Oczekiwany zysk
I
1
o umiarkowanym ryzyku
10%
I
2
o podwyższonym ryzyku
20%
Klienci:
k
1
2
3
Kwota do zainwestowania
k
1
20 000 PLN
50 000 PLN
10 000 PLN
Oczekiwany zysk roczny
k
2
2 400 PLN
7 500 PLN
1 300 PLN
(12%)
(15%)
(13%)
Niewiadome:
x
1
kwota zainwestowana w I
1
przez danego klienta
x
2
kwota zainwestowana w I
2
przez danego klienta
Model matematyczny:
x
1
+
x
2
=
k
1
0, 1 x
1
+
0, 2 x
2
=
k
2
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
16 / 18
Układy równań liniowych
Układ oznaczony
Analiza inwestycji
Doradca finansowy:
Rodzaj inwestycji
Oczekiwany zysk
I
1
o umiarkowanym ryzyku
10%
I
2
o podwyższonym ryzyku
20%
Klienci:
k
1
2
3
Kwota do zainwestowania
k
1
20 000 PLN
50 000 PLN
10 000 PLN
Oczekiwany zysk roczny
k
2
2 400 PLN
7 500 PLN
1 300 PLN
(12%)
(15%)
(13%)
Niewiadome:
x
1
kwota zainwestowana w I
1
przez danego klienta
x
2
kwota zainwestowana w I
2
przez danego klienta
Model matematyczny:
x
1
+
x
2
=
k
1
0, 1 x
1
+
0, 2 x
2
=
k
2
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
16 / 18
Układy równań liniowych
Układ oznaczony
Analiza inwestycji
Doradca finansowy:
Rodzaj inwestycji
Oczekiwany zysk
I
1
o umiarkowanym ryzyku
10%
I
2
o podwyższonym ryzyku
20%
Klienci:
k
1
2
3
Kwota do zainwestowania
k
1
20 000 PLN
50 000 PLN
10 000 PLN
Oczekiwany zysk roczny
k
2
2 400 PLN
7 500 PLN
1 300 PLN
(12%)
(15%)
(13%)
Niewiadome:
x
1
kwota zainwestowana w I
1
przez danego klienta
x
2
kwota zainwestowana w I
2
przez danego klienta
Model matematyczny:
x
1
+
x
2
=
k
1
0, 1 x
1
+
0, 2 x
2
=
k
2
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
16 / 18
Układy równań liniowych
Układ oznaczony
Analiza inwestycji cd.
Układ równań:
x
1
+
x
2
=
k
1
0, 1 x
1
+
0, 2 x
2
=
k
2
Równoważne równanie macierzowe:
Inw
X
K
1
1
0.1 0.2
·
x
1
x
2
=
k
1
k
2
Inw · X = K
Rozwiązanie:
X
Inw
−1
K
x
1
x
2
=
2 −10
−1
10
·
k
1
k
2
X = Inw
−1
· K
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
17 / 18
Układy równań liniowych
Układ oznaczony
Analiza inwestycji cd.
Układ równań:
x
1
+
x
2
=
k
1
0, 1 x
1
+
0, 2 x
2
=
k
2
Równoważne równanie macierzowe:
Inw
X
K
1
1
0.1 0.2
·
x
1
x
2
=
k
1
k
2
Inw · X = K
Rozwiązanie:
X
Inw
−1
K
x
1
x
2
=
2 −10
−1
10
·
k
1
k
2
X = Inw
−1
· K
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
17 / 18
Układy równań liniowych
Układ oznaczony
Analiza inwestycji cd.
Układ równań:
x
1
+
x
2
=
k
1
0, 1 x
1
+
0, 2 x
2
=
k
2
Równoważne równanie macierzowe:
Inw
X
K
1
1
0.1 0.2
·
x
1
x
2
=
k
1
k
2
Inw · X = K
Rozwiązanie:
X
Inw
−1
K
x
1
x
2
=
2 −10
−1
10
·
k
1
k
2
X = Inw
−1
· K
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
17 / 18
Układy równań liniowych
Układ oznaczony
Analiza inwestycji cd.
Klient 1:
x
1
x
2
=
2 −10
−1
10
·
20 000
2 400
=
16 000
4 000
Klient 2:
x
1
x
2
=
2 −10
−1
10
·
50 000
7 500
=
25 000
25 000
Klient 3:
x
1
x
2
=
2 −10
−1
10
·
10 000
1 300
=
7 000
3 000
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
18 / 18
Układy równań liniowych
Układ oznaczony
Analiza inwestycji cd.
Interpretacja wyników:
1
1
0.1 0.2
·
x
1
x
2
=
k
1
k
2
1
Czy równanie ma rozwiązanie dla dowolnych prawych stron k
1
i k
2
?
2
Czy wszystkie te rozwiązania mają sens dla problemu wyjściowego?
(M. Grzech, B. Szemberg)
Kraków 2010
18 / 18
Document Outline
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
matrix reaktywacja zadania
Matrix Reaktywacja Rosja w NeuroNecie
Matrix Reaktywacja Rosja w NeuroNecie
ANTYOKSYDANTY A REAKTYWNE FORMY TLENU
Reaktywne formy tlenu a starzenie się organizmu
matrix, 5d , 2002 2010
podanie reaktywacja przeniesienie, AGH, GiG, AGH
MATRIX
REAKTYWACJA, pedagogika
Betony na proszkach reaktywnych
wykłady, depresja3-maj'02-Karolina, Pozycja depresyjna jako jakość która z perspektywy psychoanality
Blender 3D Podstawy Animacji Matrix Spadające znaki
Matrix Operations
Matrix Glitcher 2 PHAT Tutorial
więcej podobnych podstron