B. Szemberg

MATRIX REAKTYWACJA

Zadanie 1 Klub tenisowy przed nast

,

epnym turniejem tenisowym powinnien u lo˙zy´

c ranking swoich zawodnik´

ow.

W tym celu zdecydowano, ˙ze ka˙zdy zawodnik musi zagra´

c jednego seta z ka˙zdym z pozosta lych zawodnik´

ow. Wyniki tych

rozgrywek podane s

,

a w nast

,

epuj

,

acej tabeli:

Zawodnik

pokona l:

1. Adam

Czarka, Darka, Edka

2. Bartek

Adama, Darka, Edka

3. Czarek

Bartka, Darka

4. Darek

Franka

5. Edek

Czarka, Darka, Franka

6. Franek

Adama, Bartka, Czarka

a) Wyrazi´

c wyniki rozgrywek w postaci macierzy A, wstawiaj

,

ac 1 w i-tym wierszu i j-tej kolumnie, je´

sli gracz i

pokona l gracza j, a 0 w przeciwnym wypadku.

b) Obliczy´

c macierz B = A + A

2

.

c) Jak za pomoc

,

a mno˙zenia macierzy obliczy´

c sum

,

e element´

ow w poszczeg´

olnych wierszach macierzy B?

d) Korzystaj

,

ac z poprzednich punkt´

ow uszeregowa´

c zawodnik´

ow klubu od najlepszego do najgorszego i wyja´

sni´

c

zasad

,

e kryj

,

ac

,

a si

,

e za tym rankingiem.

Zadanie 2 Wyznaczy´

c macierz odpowiadaj

,

ac

,

a obrotowi wektora dooko la osi Oz o k

,

at θ w przestrzeni tr´

ojwymiarowej.

Obliczy´

c jej wyznacznik, kwadrat i macierz odwrotn

,

a.

Zadanie 3 Pewna firma sprzedaje pi

,

e´

c r´

o˙znych modeli komputer´

ow osobistych w dw´

och sklepach ulokowanych w du˙zym

mie´

scie. Stan magazynu w ka˙zdym sklepie opisuje macierz

Model komputera

A

B

C

D E

M =



4

2

3

7

1

2

3

5

0

6



Sklep 1

Sklep 2

natomiast w macierzy N

Cena (w PLN)

hurt

detal

N =









2100

2520

4200

5400

5400

7200

8100

9900

10 500

14 700









A

B

C

D

E

Model
komputera

zawarte s

,

a ceny hurtowe i detaliczne ka˙zdego modelu komputera.

a) Jaka jest warto´

s´

c detaliczna towaru w drugim sklepie? Jaka jest warto´

s´

c hurtowa towaru w pierwszym sklepie?

b) Przedyskutowa´

c mo˙zliw

,

a interpretacj

,

e element´

ow w macierzach M · N i N · M .

c) Je´

sli iloczyny te maj

,

a sensown

,

a interpretacj

,

e, to obliczy´

c je, a nast

,

epnie podpisa´

c odpowiednio wiersze i kolumny

otrzymanych macierzy.

d) Jak za pomoc

,

a mno˙zenia macierzy obliczy´

c liczb

,

e komputer´

ow danego modelu dost

,

epn

,

a w obu sklepach? Jak

za pomoc

,

a mno˙zenia macierzy obliczy´

c liczb

,

e wszystkich komputer´

ow dost

,

epnych w danym sklepie? Wykona´

c

potrzebne operacje.

Zadanie 4 Pewien pensjonat w Bieszczadach cieszy si

,

e zas lu˙zon

,

a reputacj

,

a dbaj

,

acego o specjalne potrzeby zdrowotne

swoich go´

sci. W nast

,

epnym tygodniu kierownik pensjonatu spodziewa si

,

e czterech go´

sci choruj

,

acych na cukrzyc

,

e. Go´

scie

ci planuj

,

a zosta´

c w pensjonacie przez 7, 14, 21 i odpowiednio 28 dni. Najbli˙zsza apteka po lo˙zona jest do´

s´

c daleko,

dlatego kierownik planuje zakup odpowiedniej ilo´

sci insuliny przed przyjazdem go´

sci i zmagazynowanie jej w pensjonacie.

Potrzebne s

,

a trzy r´

o˙zne rodzaje insuliny: lente (o ´

srednim czasie dzia lania), semilente (o przed lu˙zonym czasie dzia lania)

i ultralente (o znacznie przed lu˙zonym czasie dzia lania).

2

Dzienne zapotrzebowanie go´

sci na insulin

,

e (w odpowiednich jednostkach) przedstawione jest w tabelce:

Go´

s´

c 1

Go´

s´

c 2

Go´

s´

c 3

Go´

s´

c 4

insulina semilente

20

40

30

10

insulina lente

30

0

10

10

insulina ultralente

10

0

30

50

a) Za pomoc

,

a mno˙zenia macierzy obliczy´

c, ile insuliny ka˙zdego rodzaju potrzebuj

,

a go´

scie.

b) Ile pensjonat musi zap laci´

c za insulin

,

e, je´

sli jednostka insuliny semilente kosztuje 27 gr, insuliny lente 24 gr, a

insuliny ultralente 30 groszy.

c) Wyznaczy´

c d lugo´

s´

c pobytu w pensjonacie ka˙zdego z go´

sci, je´

sli ich dzienne zapotrzebowanie na insuline jest takie,

jak powy˙zej, a w sumie b

,

ed

,

a oni potrzebowali 1180 jednotek insuliny semilente, 580 jednostek insuliny lente i

1500 jednostek ultralente. Zak ladamy przy tym, ˙ze l

,

acznie pozostan

,

a oni w pensjonacie 52 dni.

d) Zak ladamy, ˙ze dzienne zapotrzebowanie go´

sci na insulin

,

e i jej cena s

,

a takie, jak powy˙zej. Czy jest mo˙zliwe

wyznaczenie d lugo´

sci pobytu ka˙zdego z go´

sci w pensjonacie, je´

zeli wiemy, ile kierownik zap laci l za ca l

,

a potrzebn

,

a

insulin

,

e? Odpowied´

z uzasadni´

c.

Zadanie 5 Na rysunku zilustrowano nate˙zenie ruchu samochodowego w sieci czterech jednokierunkowych ulic w godzinach
szczytu w pewnym mie´

scie. Liczby napisane obok ka˙zdej ulicy wskazuj

,

a ilo´

s´

c samochod´

ow (na godzin

,

e) wje˙zd˙zaj

,

acych

do sieci i opuszczaj

,

acych j

,

a dan

,

a ulic

,

a. Zmienne x

1

, x

2

, x

3

, x

4

reprezentuj

,

a nat

,

e˙zenie ruchu pomi

,

edzy skrzy˙zowaniami

w tej sieci.

a) P lynno´

s´

c ruchu b

,

edzie zachowana, je˙zeli liczba samo-

chod´

ow wje˙zd˙zaj

,

acych na skrzy˙zowanie b

,

edzie r´

owna licz-

bie samochod´

ow opuszczaj

,

acych to skrzy˙zowanie.

Wy-

znaczy´

c r´

ownania opisuj

,

ace p lynny ruch na czterech

skrzy˙zowaniach.

b) Rozwi

,

aza´

c uk lad r´

owna´

n wyznaczonych w poprzednim

punkcie.

c) Jaka jest maksymalna liczba samochod´

ow mog

,

acych

przeje˙zd˙za´

c ulic

,

a Sowi

,

a od ul. Pawiej do Go l

,

ebiej? A jaka

minimalna?

d) Opisa´

c ruch w sieci, je´

sli ´

swiat la ustawione s

,

a tak, ˙ze 1000

samochod´

ow (na godzin

,

e) mo˙ze przeje˙zd˙za´

c ulic

,

a Sowi

,

a od

ul. Pawiej do Go l

,

ebiej.

800

x

1

600

ul. Pawia

500

x

3

900

ul. Go l

,

ebia

x

4

700

400

ul. Sowia

x

2

500

600

ul. Orla

Zadanie 6 Bilety do Parku Wodnego w pewnym mie´

scie kosztuj

,

a 5 PLN dla posiadaczy karty sta lego klienta i 7,50 PLN

dla pozosta lych go´

sci. Pod koniec ka˙zdego dnia znana jest liczba sprzedanych bilet´

ow i zysk uzyskany z ich sprzeda˙zy.

Nie wiadomo natomiast, ile bilet´

ow ka˙zdego rodzaju sprzedano. Nast

,

epuj

,

aca tabela zawiera znane informacje z czterech

ostatnich dni:

Dzie´

n:

k

1

2

3

4

Ilo´

s´

c sprzedanych bilet´

ow

k

1

1200

1550

1740

1400

Zysk (w PLN)

k

2

7 125

9 825

11 100

8 650

a) Ile bilet´

ow sprzedano w obu kategoriach cenowych podczas ka˙zdego z tych dni? Skonstruuj uk lad r´

owna´

n opisuj

,

acy

t

,

a sytuacj

,

e i rozwi

,

a˙z go stosuj

,

ac metod

,

e macierzy odwrotnej.

b) Drugiego dnia sprzedano 1200 bilet´

ow. Czy mo˙zliwy by l zysk w wysoko´

sci 5 000 PLN lub 10 000 PLN? Odpowied´

z

uzasadnij.

c) Opisz, jaki zysk ze sprzeda˙zy bilet´

ow by l mo˙zliwy do uzyskania tego dnia, gdy sprzedano 1200 bilet´

ow.