F – w 5

1

Projektowanie stopy fundamentowej

S9

–

sprawdzanie warunków stanów granicznych

w poziomie posadowienia fundamentu

1.

Metoda analityczno – graficzną określić wymiary
podstawy stopy fundamentowej S9

2.

Obliczyć wysokość fundamentu

3.

Określić położenie wypadkowych obciążenia

względem osi słupa

4.

Wyznaczyć położenie osi słupa względem osi

stopy

5.

Wykonać wykresy naprężeń w poziomie

posadowienia

6.

Sprawdzić warunki I stanu granicznego w

poziomie posadowienia

7.

Sprawdzić warunki II stanu granicznego

F – w 5

2

Grunt posadowienia: P

π

, I

D

= 0,40

Wymiary słupa: d

B

= 0,4 m, d

L

= 0,6m, zbrojenie

prętami

φ

16 [mm], stal A-II

Obciążenia

P

[kN]

H

x

[kN]

H

y

[Nm]

M

x

[kNm]

M

y

[kNm]

Układ I

- SGN

5000 1200 1500

3600

4200

Układ II

- SGU

4000 1400 1600

3200

3900

Osiadania [cm]

s

1

s

2

s

3

s

4

s

5

s

6

s

7

s

8

s

9

3,13 3,81 1,46 4,18 4,06 2,15 2,35 4,82

?

S9

– obliczyć (

lub przyjąć wartość wyliczoną w MG

)

Przemieszczenia dopuszczalne:

s

ś

r

Θ

f:l

∆

s:l

3,44

0,00265

0,00155

0,00355

głębokość

posadowienia
D

min

[m]

poziom

terenu

[m]

grubość

posadzki

[m]

L

1,5

,

L

5,4

[m]

L

4,8

,

L

8,3

[m]

S1÷S4

B x L

[mxm]

S5÷S8

B x L

[mxm]

0,6

2,5

0,3

8,0 10,0 2,6x3,2 2,6x2,6

F – w 5

3

S1

S2

S3

S4

S5

S7

S6

S8

S9

L

5,4

L

1,5

L

4

,8

L

8

,3

F – w 5

4

Algorytm wyznaczenie wymiarów

podstawy stopy fundamentowej

1.

Sporządzamy wykres obciążeń
jednostkowych

q = (P + G) / B

⋅⋅⋅⋅

L

gdzie:

P – obciążenie pionowe,

G – ciężar żelbetowej stopy fundamentowej

obliczony z nadmiarem wg wymiarów:

G = D

min

⋅⋅⋅⋅

B

⋅⋅⋅⋅

L

⋅⋅⋅⋅

γγγγ

ż

γγγγ

ż

– ciężar właściwy żelbetu = 25 kN/m

3

2.

Zakładamy:

d

B

/ d

L

= B / L

L = B

⋅⋅⋅⋅

d

L

/ d

B

q = (P + G) / (B

2

⋅⋅⋅⋅

(d

L

/ d

B

))

F – w 5

5

3.

Sporządzamy wykres

q = f (B)

dla B

∈

(0,5

÷

6,0) m

P = P

I

i P

II

q

q

P

I

q

P

II

B

4.

Sporządzamy wykres odporu jednostkowego

gruntu

q

f

= f (B)

(

PN-81-B-03020

)

Parametry geotechniczne występujące w równaniu

określamy: znając rodzaj gruntu i znaną wartość I

D

lub I

L

oraz przyjmując, że B / L = d

B

/ d

L

F – w 5

6

5.

Na poprzedni wykres nanosimy krzywą

q

f

(B)

q

q

f

q

P

II

q

P

I

poszukiwana

B

wartość

B

6.

Poszukiwane wymiary podstawy stopy
fundamentu

B , L = B

⋅⋅⋅⋅

(d

L

/ d

B

)

F – w 5

7

PRZYKŁAD ROZWIĄZANIA

Dane do zadania :

Grunt posadowienia:

Pr, I

D

= 0,44

Wymiary słupa:

d

B

= 0,25 m, d

L

= 0,35 m

Wymiary stopy –

S2

:

B = 3,00 m, L = 3,80 m

Na ćwiczeniach –

wymiary stopy

S

9

trzeba będzie

wyznaczyć

Głębokość posadowienia:

D = 4,20 m

Rodzaj

obciążenia

Układ

obciążeń

I

Układ

obciążeń

II

P

800 kN

700 kN

H

x

250 kN

150 kN

H

y

200 kN

150 kN

M

x

400
kNm

200
kNm

M

y

550

kNm

400
kNm

Parametry materiałowe:

Zbrojenie słupa – stal: 6 prętów

φ

= 16 mm,

f

yd

= 350 MPa –

(obliczeniowa granica

plastyczności stali zbrojeniowej)

Beton: klasa B20 o f

ctd

= 0,87 MPa –

(wytrzymałość

obliczeniowa betonu na rozciąganie)

F – w 5

8

S1

S2

S3

S4

S5

S7

S6

S8

S9

L

5,4

= 9,0 m

L

1,5

= 9,0 m

L

4

,8

=

1

2

,0

m

L

8

,3

=

1

2

,0

m

Rys. 1. Układ geometryczny zadania.

F – w 5

9

1.

Wyznaczenie wysokości stopy fundamentu.

W celu wyznaczenia wysokości stopy fundamentowej
należy

sprawdzić trzy warunki obliczeniowe

:

-

warunek na przebicie stopy;

-

warunek koniecznej długości zakotwienia prętów
zbrojeniowych;

-

warunek nie przekroczenia naprężeń ścinających po
obwodzie słupa;

-

warunek ekonomiczny.

1.1 Sprawdzenie warunku na nieprzekroczenie
naprężeń ścinających po obwodzie słupa

Stopa trapezowa o podstawie prostokątnej – dlatego
korzystamy z zależności:

h ≥ 0,25·(L – d

L

)

h ≥ 0,25·(3,8 – 0,35) [m]

h ≥ 0,86 m

F – w 5

10

1.2 Sprawdzenie warunku na konieczną długość
zakotwienia prętów zbrojeniowych.

Podstawowa długość zakotwienia pręta o średnicy

φ

określa się ze wzoru

[PN–B–03264 :1999 wzór 166]

:

bd

yd

b

f

f

4

l

φ

=

gdzie:

f

bd

–

graniczne obliczeniowe naprężenie

przyczepności

[PN–B–03264:1999 tablica 26]

f

bd

= 1,0 MPa;

m

4

,

1

1

350

4

16

l

b

=

=

Długość zakotwienia obliczamy ze wzoru

[PN–B–

03264:1999 wzór 168]

:

prov

s,

req

s,

b

a

net

b,

A

A

l

α

l

=

gdzie:

α

a

–

współczynnik efektywności zakotwienia

(dla prętów prostych

α

a

= 1);

l

b

–

podstawowa długość zakotwienia;

A

s,req

; A

s,prov

– wymagane; zastosowane pole przekroju

zbrojenia.

l

b,net

= 1,4 m

Uwzględniając otulinę 3 cm uzyskujemy: h ≥ 1,43 m

Ostatecznie przyjęto wysokość stopy:

h = 145 cm

F – w 5

11

1.3 Sprawdzenie warunku na przebicie stopy przez
słup.

Warunek obliczeniowy

[PN – B – 03264:1999 wzór 67]:

h

u

f

4

,

1

N

p

ctd

sd

≤

gdzie: N

sd

– siła podłużna wywołana obciążeniem

obliczeniowym (w naszym przypadku jest to
składowa pionowa obciążenia P

i

);

u

p

– średnia arytmetyczna obwodu słupa i podstawy

fundamentu.

m

4

,

7

2

8

,

14

2

)

35

,

0

25

,

0

(

2

)

8

,

3

3

(

2

2

)

d

2(d

L)

2(B

u

L

B

p

=

=

+

+

+

=

+

+

+

=

stąd wysokość fundamentu wyznaczamy ze wzoru:

p

ctd

sd

u

1,4f

N

h

≥

-

pierwszy układ obciążeń:

m

m

kPa

kN

h

089

,

0

]

[

4

,

7

]

[

870

4

,

1

]

[

800

=

⋅

⋅

≥

-

drugi układ obciążeń:

m

m

kPa

kN

h

078

,

0

]

[

4

,

7

]

[

870

4

,

1

]

[

700

=

⋅

⋅

≥

F – w 5

12

1.4 Obliczenie ciężaru stopy.

Ciężar zaprojektowanej stopy równy jest iloczynowi
jej objętości (v) i ciężaru objętościowego żelbetu (

γ

B

):

G = v ·

γ

B

1/3 h

2/3 h

B

v

1

v

2

db

Rys. 2. Schemat do obliczania ciężaru stopy.

3

1

51

,

5

8

,

3

3

145

3

1

hBL

3

1

v

m

=

⋅

⋅

⋅

=

=

v

2

=

(

)

2

L

B

L

B

)

d

d

(

d

BLd

BL

h

9

2

+

+

=

(

)

2

)

25

,

0

35

,

0

(

35

,

0

25

,

0

8

,

3

3

8

,

3

3

145

9

2

⋅

+

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

⋅

=

v

2

= 4,00 m

3

v = v

1

+ v

2

= 9,51 m

3

γ

B

= 25 kN/m

3

stąd

G = 237,66 kN

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

F – w 5

13

2.

Wyznaczenie położenia wypadkowych względem

osi słupa

Położenie wyznacza się z zależności;

G

P

h

H

M

r

i

i

x

i

x

i

x

+

+

=

G

P

h

H

M

r

i

i

y

i

y

i

y

+

+

=

2.1 Pierwszy układ obciążeń:

m

735

,

0

66

,

237

800

145

250

400

G

P

h

H

M

r

I

I
x

I
x

I

x

=

+

⋅

+

=

+

+

=

m

81

,

0

66

,

237

800

145

200

550

G

P

h

H

M

r

I

I
y

I

y

I

y

=

+

⋅

+

=

+

+

=

2.2 Drugi układ obciążeń:

m

445

,

0

66

,

237

700

145

150

200

G

P

h

H

M

r

II

II
x

II
x

II

x

=

+

⋅

+

=

+

+

=

m

66

,

0

66

,

237

700

145

150

400

G

P

h

H

M

r

II

II

y

II

y

II

y

=

+

⋅

+

=

+

+

=

F – w 5

14

3. Wyznaczenie położenia osi słupa względem osi
stopy

Położenie słupa względem stopy należy przyjąć tak,

aby wypadkowa obciążenia nie wykraczała poza jej

rdzeń

.

Warunek obliczeniowy ma postać:

6

1

B

e

L

e

i

y

i

x

≤

+

Przyjęto: r

x

’ = 0,6 m

r

y

’ = 0,7 m

Stąd wartości mimośrodów wynoszą:

-

dla pierwszego układu obciążeń:

m

0,135

0,6

-

0,735

'

r

r

e

x

I

x

I
x

=

=

−

=

m

0,11

0,7

-

0,810

'

r

r

e

y

I

y

I

y

=

=

−

=

-

dla drugiego układu obciążeń:

m

0,155

-

'

r

r

e

x

II

x

II
x

=

−

=

m

0,04

-

0,7

-

0,66

'

r

r

e

y

II

y

II

y

=

=

−

=

F – w 5

15

x

y

r

x

'=0,6 m

r

y

'=0,7 m

e

y

I

e

y

II

e

x

II

e

x

I

1 )

2 )

3 )

4 )

Rys. 3. Położenie osi słupa względem osi stopy, wraz

z mimośrodami.

F – w 5

16

Sprawdzenie warunku obliczeniowego:

6

1

B

e

L

e

i

y

i

x

≤

+

-

I układ obciążeń; - II układ obciążeń

6

1

072

,

0

0

,

3

11

,

0

8

,

3

135

,

0

≤

=

+

,

6

1

054

,

0

0

,

3

04

,

0

8

,

3

155

,

0

≤

=

+

Warunek jest spełniony,

obciążenie działa na małym mimośrodzie

(w rdzeniu podstawy stopy).

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

F – w 5

17

4. Sprawdzenie warunków I stanu granicznego

4.1 Obliczenie naprężeń

Ogólny wzór na naprężenia pod podstawą
fundamentu ma postać:















±

±

⋅

+

=

L

6e

B

6e

1

A

G

P

σ

i

x

i

y

i

i

(wartości obliczane w czterech narożach stopy zgodnie z rys. 3)

-

naprężenia dla I układu obciążeń:

σ

1

= 90,88 kPa

σ

2

=100,05 kPa

σ

3

= 91,16 kPa

σ

4

= 81,99 kPa

-

naprężenia dla II układu obciążeń:

σ

1

= 78,82 kPa

σ

2

= 75,48 kPa

σ

3

= 85,68 kPa

σ

4

= 89,02 kPa

F – w 5

18

Naprężenia krawędziowe dla P

I

100,5

100,5

91,16

91,16

81,99

81,99

90,88

90,88

1

2

3

4

F – w 5

19

4.2 Sprawdzenie I stanu granicznego

Rodzaje I stanu granicznego są następujące:

-

wypieranie podłoża przez pojedynczy fundament
lub przez całą budowlę;

-

usuwisko albo zsuw fundamentów lub podłoża wraz
z budowlą;

-

przesunięcie w poziomie posadowienia fundamentu
lub w głębszych warstwach podłoża;

Wzory na sprawdzenie I stanu granicznego, przy
obciążeniu działającym wzdłuż obu krawędzi
podstawy fundamentu, mają postać:

N

r

≤ m·

Θ

fNB ,

N

r

≤ m·

Θ

fNL

gdzie:

N

r

– pionowa składowa obciążenia;

m – współczynnik bezpieczeństwa

(

przyjęto

m = 0,7

);

Θ

fNB

,

Θ

fNL

– opór podłoża

F – w 5

20

Opór podłoża obliczamy ze wzorów:

Θ

fNB

=



























































⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

B

i

B

g

(r)

B

B

N

L

B

0,25

1

D

i

min

D

g

(r)

D

D

N

L

B

1,5

1

C

i

(r)

u

c

C

N

L

B

0,3

1

L

B

ρ

ρ

oraz przy działającej sile wzdłuż drugiego boku

podstawy fundamentu (przesunięcie)

Θ

fNL

=



























































⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

B

i

L

g

(r)

B

B

N

L

B

0,25

1

D

i

min

D

g

(r)

D

D

N

L

B

1,5

1

C

i

(r)
u

c

C

N

L

B

0,3

1

ρ

ρ

L

B

Do obliczeń przyjęto parametry geotechniczne
II warstwy

(na której posadowiony jest fundament)

.

Pozostałe parametry geotechniczne wyznaczono
opierając się na parametrze kierunkowym gruntu,
którym jest stopień zagęszczenia I

D.

Dla przyjętego gruntu – Pr : I

D

= 0,44

Na podstawie I

D

wyznaczono:

-

kąt tarcia wewnętrznego

)

( r
u

Φ

= 32,5

O

;

Do ustalenia wartości współczynników nośności i
współczynników wpływu nachylenia obciążenia
posłużono się normą.

F – w 5

21

Wartości współczynników zestawiono w tabeli.

Współczynnik Jednostka Wartość
e

y

I

, (e

y

II

)

m

0,11 (- 0,04)

e

x

I

, (e

x

II

)

m

0,135 (- 0,155)

B

I

, (

B

II

)

m

2,78 (2,92)

L

I

, (

L

II

)

m

3,53 (3,49)

N

C

35,49

N

D

23,18

N

B

10,39

i

C

I

, (i

C

II

)

0,75 (0,8)

i

D

I

, (i

D

II

)

0,65 (0,7)

i

B

I

, (i

B

II

)

siła

wzdłuż

krawędzi

B

0,35 (0,55)

i

C

I

, (i

C

II

)

0,55 (0,8)

i

D

I

, (i

D

II

)

0,55 (0,7)

i

B

I

, (i

B

II

)

siła

wzdłuż

krawędzi

L

0,35 (0,55)

(r)

D

ρ

kN/m

3

1

(r)

B

ρ

kN/m

3

2,01

(r)

U

c

0

F – w 5

22

Podstawiając współczynniki do warunku
obliczeniowego I stanu granicznego otrzymano:

-

dla I układu obciążeń:

Θ

fNB













































⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

0,35

78

,

2

9,81

01

,

2

39

,

10

53

,

3

78

,

2

0,25

1

65

,

0

2

,

4

9,81

1

18

,

23

53

,

3

78

,

2

1,5

1

75

,

0

0

35,49

53

,

3

78

,

2

0,3

1

53

,

3

78

,

2

Θ

fNB

= 1515 kN

Θ

fNL













































⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

0,35

53

,

3

9,81

01

,

2

39

,

10

53

,

3

78

,

2

0,25

1

65

,

0

2

,

4

9,81

1

18

,

23

53

,

3

78

,

2

1,5

1

75

,

0

0

35,49

53

,

3

78

,

2

0,3

1

53

,

3

78

,

2

Θ

fNL

= 1306 kN

N

r

= P

I

+ G ≤ m·

Θ

fNB

(

Θ

fNL

)

1038 kN ≤ 1364 kN (1175 kN)

Warunek jest spełniony

F – w 5

23

-

dla II układu obciążeń:

Θ

fNB

(

)

(

)

(

)

[

]

0,55

92

,

2

9,81

01

,

2

39

,

10

84

,

0

0,25

1

7

,

0

2

,

4

9,81

1

18

,

23

0.84

1,5

1

8

,

0

0

35,49

84

,

0

0,3

1

49

,

3

92

,

2

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

Θ

fNB

= 1836 kN

Θ

fNL

(

)

(

)

(

)

[

]

0,55

49

,

3

9,81

01

,

2

39

,

10

84

,

0

0,25

1

7

,

0

2

,

4

9,81

1

18

,

23

0.84

1,5

1

8

,

0

0

35,49

84

,

0

0,3

1

49

,

3

92

,

2

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

Θ

fNL

= 1710 kN

N

r

= P

I

+ G ≤ m·

Θ

fNB

(

Θ

fNL

)

938 kN ≤ 1652 kN (1539 kN)

Warunek jest spełniony

Θ

fNL

oraz

Θ

fNB

nie są przekroczone,

zatem

nie wystąpi wypieranie podłoża przez fundament.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

F – w 5

24

4.3 Sprawdzenie I stanu granicznego dla warstwy
słabej

W analizowanym podłożu gruntowym występuje
„

słabsza

” warstwa geotechniczna na głębokości

mniejszej niż 2B.

Dla słabej warstwy obliczenia przeprowadzamy

wprowadzając

fundament zastępczy

na poziomie stropu tej warstwy.

B

W

B'=B+b

b
2

b
2

h

m

in

D

m

in

e'

B

e

B

P + G

N'

r

B

W

V warstwa
geotechniczna

B

W

B'=B+b

b
2

b
2

h

D

'

m

in

m

in

e'

B

e

B

P + G

N'

r

B

W

V warstwa
geotechniczna

F – w 5

25

Składowa pionowa obciążenia ulega zwiększeniu o
ciężar bryły gruntu pod fundamentem, a nad stropem
warstwy „słabej”.

N

r

’= P + G + B’ · L’ · h ·

ρ

h

(r)

· g

gdzie:

B’, L’ - wymiary fundamentu zastępczego,
B’ = B + b
L’ = L + b

Wartość „b” przyjmujemy dla gruntów spoistych:

h > B b = (h/3) = 1,07 m
B’ = 4,07 m
L’ = 4,87 m

h - grubość warstwy „mocnej” (

od spodu fundamentu

do warstwy słabej, czyli 5 geotechnicznej

h = 3,2 m),

ρ

h

(r)

- średnia gęstość objętościowa gruntu pomiędzy

podstawami fundamentów zastępczego i

właściwego (

4 warstwa geotechniczna

ρ

h

(r)

= 2,08)

Dodatkowa wartość obciążenia wynosi:

N

r

’’ = B’ · L’ · h ·

ρ

h

(r)

· g

N

r

’’= 4,07m·4,87m·3,2m·2,08g/cm

3

·9,81m/s

2

N

r

’’=1177 kN

F – w 5

26

Wielkości geometryczne wymiarów podstawy
fundamentu zastępczego;

B

= B’ – 2 · e

B

L

= L’ – 2 · e

L

w = h + D

min

= 4,65 m

tg

δ

B

(r)

=

'

N

T

r

rB

tg

δ

L

(r)

=

'

N

T

r

rL

I układ obciążeń

tg

δ

B

(r)

= 0,113

tg

δ

L

(r)

= 0,090

II układ obciążeń

tg

δ

B

(r)

= 0,071

tg

δ

L

(r)

= 0,068

Parametry geotechniczne przyjęto
dla 5 warstwy geotechnicznej.

Wartość „b” przyjmujemy:

- dla gruntów spoistych:

h > B b = h/3 = 1,07 m

F – w 5

27

Nowe wartości mimośrodów obciążenia obliczamy:

'

'

r

rB

B

r

B

N

w

T

e

N

e

⋅

±

⋅

=

'

'

r

rL

L

r

L

N

w

T

e

N

e

⋅

±

⋅

=

Rodzaj

obciążenia

Układ

obciążeń I

Układ

obciążeń II

P

800 kN

700 kN

G

237,75 kN

N

r

’’

1177 kN

N

r

’

2214,75 kN 2114,75 kN

e

L

0,004 m

-0,052 m

e

B

-0,054 m

0,143 m

B

4,06 m

3,97 m

L

4,76 m

4,58 m

F – w 5

28

Wartości współczynników obliczeniowych dla V
warstwy słabej zestawiono w tabeli.

Współczynnik Jednostka

Wartość

e

L

I

, (e

L

II

)

m

0,004 (-0,052)

e

B

I

, (e

B

II

)

m

-0,054 (0,143)

B

I

, (

B

II

)

m

4,06 (3,97)

L

I

, (

L

II

)

m

4,76 (4,58)

N

C

6,81

N

D

1,72

N

B

0,06

i

C

I

, (i

C

II

)

i

D

I

, (i

D

II

)

i

B

I

, (i

B

II

)

siła wzdłuż

krawędzi B

i

C

I

, (i

C

II

)

i

D

I

, (i

D

II

)

i

B

I

, (i

B

II

)

siła wzdłuż
krawędzi L

0,98 (0,98)

(r)

D

ρ

kN/m

3

2,00

(r)

B

ρ

kN/m

3

1,70

(r)

U

c

kPa

34

F – w 5

29

Do ustalenia wartości współczynników nośności i
współczynników wpływu nachylenia obciążenia
posłużono się normą.

Ponieważ współczynniki i

B

, i

C

, i

D

dla sił wzdłuż

krawędzi B i L są takie same,

wartości

Θ

fNB

oraz

Θ

fNL

są również identyczne.

Podstawiając współczynniki
do warunku obliczeniowego I stanu granicznego
otrzymano:

-

dla I układu obciążeń:

Θ

fNB

=

Θ

fNL

=













































⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

0,35

78

,

2

9,81

01

,

2

39

,

10

53

,

3

78

,

2

0,25

1

65

,

0

2

,

4

9,81

1

18

,

23

53

,

3

78

,

2

1,5

1

75

,

0

0

35,49

53

,

3

78

,

2

0,3

1

53

,

3

78

,

2

Θ

fNB

=

Θ

fNL

= 6205 kN

N

r

= P

I

+ G + N

r

’’ ≤ m

Θ

fNB

(

Θ

fNL

)

2214,75 kN ≤ 4343,5 kN

Warunek jest spełniony

F – w 5

30

-

dla II układu obciążeń:

Θ

fNB

=

Θ

fNL

=













































⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

−

+

⋅

⋅

⋅

⋅

⋅

+

+

⋅

⋅

⋅

⋅

+

⋅

⋅

0,35

78

,

2

9,81

01

,

2

39

,

10

53

,

3

78

,

2

0,25

1

65

,

0

2

,

4

9,81

1

18

,

23

53

,

3

78

,

2

1,5

1

75

,

0

0

35,49

53

,

3

78

,

2

0,3

1

53

,

3

78

,

2

Θ

fNB

=

Θ

fNL

= 5861 kN

N

r

= P

I

+ G + N

r

’’≤ m

Θ

fNB

(

Θ

fNL

)

2114,75 kN ≤ 4102,7 kN

Warunek jest spełniony

Θ

fNL

oraz

Θ

fNB

nie są przekroczone

zatem

nie nastąpi wypychania gruntu przez fundament.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

F – w 5

31

5. Sprawdzenie warunków II stanu granicznego

Sprawdzenie II stanu granicznego obejmuje:

- średnie osiadanie fundamentu;
- przechylenie budowli jako całości;
- odkształcenie konstrukcji,

wygięcie

(ugięcie)

budowli.

5.1 Średnie osiadanie fundamentów.

Wartość obliczeniowa średniego osiadania
fundamentów jest obliczana za pomocą wyrażenia:

∑

∑

=

i

i

i

ś

r

F

F

S

S

gdzie:

S

i

–

osiadanie poszczególnych fundamentów

(1÷8) dane, 9 - wyznaczone;

F

i

–

pola powierzchni poszczególnych fundamentów.

Pola powierzchni wszystkich stóp:

(S1÷S8) – dane, S9 - wyznaczone:

F

1

= 390 · 470

=183300 cm

2

F

2

= 300 · 380 = 114000 cm

2

F

3

= F

4

= 390 · 470 = 183300 · 2 = 366600 cm

2

F

5

= F

6

= 380 · 470 = 178600 · 2 = 357200 cm

2

F

7

= F

8

= 350 · 420 = 147000 · 2 = 294000 cm

2

F

9

= 430 · 430

= 184900 cm

2

Σ

F

j

= 1500000 cm

2

F – w 5

32

Iloczyny osiadań i pola powierzchni stóp:

S

1

·

F

1

= 3,61 · 183300 = 661713

S

2

·

F

2

= 1,51 · 114000 = 12540

S

3

·

F

3

= 1,98 · 183300 = 362934

S

4

·

F

4

= 3,92 · 183300 = 718536

S

5

·

F

5

= 2,10 · 178600 = 375060

S

6

· F

6

=

4,75 · 178600 = 848350

S

7

·

F

7

= 3,31 · 147000 = 486570

S

8

· F

8

= 4,14 · 147000 = 608580

S

9

·

F

9

= 2,15 · 184900 = 397535

4471818

=

⋅

∑

i

i

F

S

cm

F

F

S

S

i

i

i

sr

98

,

2

1500000

4471818

=

=

⋅

=

∑

∑

S

ś

r

dopuszczalne - 3,75 cm

3,75 cm > 2,98 cm

Wartość dopuszczalna jest większa od obliczeniowej,

czyli warunek jest spełniony.

F – w 5

33

5.2 Przechylenie budowli

Warunek obliczeniowy ma postać:

Θ

Θ

Θ

Θ

=

2

2

b

a

+

≤

Θ

Θ

Θ

Θ

dop

= 0,00255

gdzie: a, b – współczynniki obliczone z układu równań:

a·

Σ

x

i

2

+ b·

Σ

x

i

y

i

+ c·

Σ

x

i

=

Σ

x

i

S

i

a·

Σ

x

i

y

i

+ b·

Σ

y

i

2

+ c·

Σ

y

i

=

Σ

y

i

S

i

a·

Σ

x

i

+ b·

Σ

y

i

+ n·c =

Σ

S

i

n – liczba fundamentów.
x

i

, y

i

– współrzędne fundamentów.

nr

fundamen

tu

y

i

y

i

2

x

i

x

i

2

x

i

y

i

S

i

x

i

S

i

y

i

S

i

cm

cm

2

cm

cm

2

cm

2

cm

cm

2

cm

2

1

70

4900

60

3600

4200

3,61

216,6

252,7

2

2330

5428900

60

3600

139800

1,51

90,6

3518,3

3

2330

5428900

1720

2958400

4007600

1,98

3405,6

4613,4

4

70

4900

1720

2958400

120400

3,92

6742,4

274,4

5

70

4900

900

810000

63000

2,1

1890

147

6

2330

5428900

900

810000

2097000

4,75

4275

11067,5

7

1200

1440000

60

3600

72000

3,31

198,6

3972

8

1200

1440000

1720

2958400

2064000

4,14

7120,8

4968

9

1200

1440000

900

810000

1080000

2,15

1935

2580

ΣΣΣΣ

10800

20621400

8040

11316000 9648000

27,47

25874,6

31393,3

F – w 5

34

Układ równań przyjmuje postać:

11316000a + 9648000b + 8040c = 26021,50
9648000a + 20621400b + 10800c = 28075,50
8040a + 10800b + 9c = 26,07

W wyniku rozwiązania układu równań otrzymano:

a = 0,002252
b = - 0,000400

Stąd przechylenie budowli wynosi:

θ

=

)

2

0,000400

2

0,002252

(

+

θ

= 0,002216 ≈ 0,00222

θ

θ

θ

θ

≤

θθθθ

dop

0,00222 < 0,00255

Warunek jest spełniony

F – w 5

35

5.3 Odkształcenie budowli

Układ osiadania fundamentów:

S

2

= 1,51 cm S

6

= 4,75 cm S

3

= 1,98 cm

S

7

= 3,31 cm

S

9

= 2,15 cm

S

8

= 4,14 cm

S

1

= 3,61 cm S

5

= 2,10 cm S

4

= 3,92 cm

Jako najbardziej niekorzystny przyjęto układ: S

2

S

6

S

3

Zgodnie z normą:

F – w 5

36

Warunek na wygięcie względne budowli ma postać:

f

0

/

l ≤ (f

0

/

l)

dop

f

0

= (l·S

0

– l

1

·S

2

– l

2

·S

1

)

f

0

= 1800·4,75 – 900·1,98 – 900·1,51= 3,01 cm

f

0

/

l = 0,0017

(f

0

/

l)

dop

= 0,00155

Warunek nie jest spełniony

Dopuszczalna bezwzględna różnica osiadań

pomiędzy sąsiednimi fundamentami wynosi:

0036

,

0

)

(

0018

,

0

1800

S

S

l

∆

S

6

2

=

∆

≤

=

−

=

dop

l

S

Odkształcenie konstrukcji

( różnica osiadań)

jest

mniejsze od dopuszczalnego

F – w 5

37

Stateczność skarp w gruntach spoistych

Metoda Felleniusa

Zakłada się, że

obsunięcie

skarpy w gruntach

spoistych

następuje

wzdłuż

powierzchni

krzywoliniowej

, zaś w gruntach niejednorodnych

wzdłuż powierzchni łamanej.

Skarpy, dla których wzdłuż powierzchni poślizgu

istnieje stan graniczny, co oznacza, że naprężenia
ś

cinające są równe wytrzymałości gruntu na

ś

cinanie, nazywane są skarpami granicznymi.

Istnieje wiele metod do określania warunków
stateczności skarp, znacznie różniących się od
siebie założeniami.

Metoda Felleniusa (szwedzka) jest jedną z metod
zalecaną przez PN–83/B–03010.

F – w 5

38

Metoda Felleniusa opiera się na przyjęciu
cylindrycznej powierzchni osuwiskowej.

Bryłę osuwającego się gruntu w chwili rozpoczęcia
się zsuwu uważa się za sztywną, jej podziału na „n”
bloków dokonuje się w celach obliczeniowych.

Wymiar bloków w kierunku prostopadłym do
powierzchni

przekroju

poprzecznego

skarpy

przyjmuje się = 1.

O

O

1

β

1

Bryła osuwiskowa skarpy w gruncie spoistym

F – w 5

39

N

1

B

1

T

1

G

1

B

2

T

2

T

3

N

2

N

3

G

2

G

3

B

3

B

i

T

i

G

i

N

i

α

1

α

2

α

3

α

i

O

Schemat sił działających na skarpę

Ciężar G

i

każdej z brył rozkłada się na dwie

składowe:

N

i

– normalną do powierzchni zsuwu,

B

i

– styczną do powierzchni zsuwu.

F – w 5

40

Przesuwowi bloków skarpy przeciwstawiają się siły
tarcia T

i

(pochodzące od tarcia na granicy bryły

poślizgu oraz od spójności gruntu), działające
stycznie do powierzchni poślizgu.

i

u

u

i

i

A

C

tgΦ

N

T

⋅

+

⋅

=

i

u

u

i

i

i

A

C

tgΦ

α

G

T

⋅

+

⋅

⋅

=

cos

gdzie:

α

i

– kąt nachylenia siły T

i

do poziomu;

l

i

– długość podstawy bloku

(łuku powierzchni

poślizgu)

;

A

i

– powierzchnia podstawy bloku;

A

i

= l

i

• 1 m

Równowaga całej bryły zostanie zachowana, jeżeli
suma momentów sił zsuwających (obracających)
M

0

będzie równa bądź mniejsza od sumy

momentów sił utrzymujących M

u

.

M

o

≤ m ·M

u

F – w 5

41

Stosunek

tych

momentów

nazywa

się

współczynnikiem stateczności skarpy

.

u

o

M

M

m

≥

,

o

u

M

M

m

F

≤

=

1

gdzie:

M

o

-

moment obracający, względem punktu obrotu O,

M

u

-

moment utrzymujący, względem punktu obrotu O.

W celu uzyskania najniekorzystniejszej wartości
tego

współczynnika

należy

ustalić

najniebezpieczniejszy punkt obrotu

.

Dla ułatwienia obliczeń wyznacza się linię
najbardziej niebezpiecznych punktów obrotu O.
Linia ta przebiega przez punkty O’ i O’’.

o

Pierwszy z nich znajduje się na głębokości równej
wysokości skarpy i w odległości 4,5- krotnej tej
wysokości liczonej od dolnej krawędzi skarpy.

o

Drugi z nich leży na przecięciu linii biegnących
pod kątami odpowiednio

δ

1

i

δ

2

od dolnej i górnej

krawędzi skarpy.

F – w 5

42

Wielkości kątów

δ

1

i

δ

2

w zależności od nachylenia

skarpy

β

1 : m

δ

1

δ

2

45

o

1 : 1

28

o

37

o

33

o

41’

1 : 1,5

26

o

35

o

26

o

34’

1 : 2

25

o

35

o

18

o

21’

1 : 3

25

o

35

o

11

o

19’

1 : 5

25

o

37

o

Po wyznaczeniu linii O’ – O’’ oblicza się n wartości
współczynnika m

n

dla punktów obrotu O

n

, tak aby

uzyskać sytuację gdy z trzech kolejnych środkowy ma
wartość najmniejszą.

Punkty te znajdujemy w ten sposób, że współrzędną
(x) są kolejne kroki na linii najniebezpieczniejszych
punktów obrotu, a (y) wartość współczynnika
stateczności skarpy m.

o

Stosując funkcję wielomianu drugiego stopnia,
podstawiając wartości tych trzech punktów,
wyznaczamy współczynniki kierunkowe funkcji, a
następnie jej ekstremum.

o

W miejscu ekstremum obliczamy minimalną
wartość współczynnika m.

F – w 5

43

4,5 H

H

H

O'

O''

δ

1

δ

2

β

O

1

O

2

O

n

x

y

F

1

F

2

F

n

F

m

in

Wyznaczenie linii najbardziej niebezpiecznych punktów obrotu

F – w 5

44

Jeżeli w zboczu, wskutek różnicy poziomów wody
gruntowej,

występuje

przepływ

wody,

przy

sprawdzaniu warunku stateczności do wartości
momentu obracającego M

o

należy dodać dodatkowy

moment

∆

M

o

.

P

s

R

s

R

O

ψ

l

∆

h

Stateczność skarpy przy działaniu ciśnienia spływowego

Wartość tego przyrostu obliczamy ze wzoru:

s

s

o

R

P

∆

M

⋅

=

gdzie:

R

s

- promień działania siły P

s

w stosunku do środka

obrotu O,

P

s

- ciśnienie spływowe,

w

s

ρ

i

P

⋅

=

i - spadek hydrauliczny;

i =

∆

h

/

l = sin

ψ

F – w 5

45

Zadanie

Okre

ś

li

ć

współczynnik stateczno

ś

ci skarpy dla

nast

ę

puj

ą

cych danych:

rodzaj gruntu

I

L,

I

D

h [m]

a [m]

b [m]

q [kN/m

2

]

nachylenie

skarpy

h

a

b

q

F – w 5

46

F – w 5

47

α

b

l

α

W

T

S

N

h

ś

r

h

L

h

P

F – w 5

48

W

i

= Q

i

+ G

i

Q

i

– ci

ęż

ar bloku „i”

G

i

– ci

ęż

ar obiektu (podany jako obci

ąż

enie ci

ą

głe) na bloku „i”

gdzie:

b

i

- szeroko

ść

bloku (paska),

h

ś

r,i

-

ś

rednia wysoko

ść

bloku (paska),

l

i

- długo

ść

podstawy bloku (łuku powierzchni po

ś

lizgu),

A

i

- pole powierzchni podstawy bloku = l

i

·1m,

V

i

- obj

ę

to

ść

bloku.

Przykład obliczenia współczynnika m

1

dla punktu obrotu O

1

tg

Ф

u

R

1

[m]

h [m]

q [kN/m

2

]

c

u

[kPa]

Ф

u

[º]

ϱ

[kg·10

3

/m

3

]

g [m/s

2

]

0,0787017

6,8

3,9

42

29

4,5

1,8

9,81

numer bloku

b

i

[m]

h

ś

r,i

[m]

α

i

[º]

sin

α

i

cos

α

i

l

i

[m]

A

i

[m

2

]

V

i

[m

3

]

1

1

0,80

59,00

0,8572

0,5150

1,94

1,94

1,55

2

1

2,10

45,00

0,7071

0,7071

1,41

1,41

2,97

3

0,5

2,80

37,00

0,6018

0,7986

0,63

0,63

1,75

4

1

2,95

29,00

0,4848

0,8746

1,14

1,14

3,37

5

1

2,75

20,00

0,3420

0,9397

1,06

1,06

2,93

6

1

2,35

11,00

0,1908

0,9816

1,02

1,02

2,39

7

1

1,80

3,00

0,0523

0,9986

1,00

1,00

1,80

8

1

1,10

6,00

0,1045

0,9945

1,01

1,01

1,11

9

0,8

0,35

13,00

0,2250

0,9744

0,82

0,82

0,29

Suma:

8,3

F – w 5

49

W

i

[kN]

S

i

[kN]

N

i

[kN]

T

i

[kN]

Mu

i

[kNm]

Mo

i

[kNm]

m

1

69,43

59,51

35,76

59,12

402,02

404,68

52,44

37,08

37,08

43,93

298,73

252,16

30,95

18,63

24,72

20,10

136,69

126,68

59,56

28,87

52,09

37,26

253,35

196,35

51,68

17,67

48,56

34,68

235,84

120,18

42,27

8,07

41,50

32,81

223,10

54,85

31,83

1,67

31,78

31,54

214,48

11,33

19,53

-2,04

19,42

30,69

208,68

-13,88

5,07

-1,14

4,94

24,20

164,56

-7,76

0,54

Suma

Suma

2137,45

1144,57

Przykład obliczenia współczynnika m

2

dla punktu obrotu O

2

tg

Ф

u

R

2

[m]

h [m]

q [kN/m

2

]

c

u

[kPa]

Ф

u

[º]

ϱ

[kg·10

3

/m

3

]

g [m/s

2

]

0,0787017

6,7

3,9

42

29

4,5

1,8

9,81

numer bloku

b

i

[m]

h

ś

r,i

[m]

α

i

[º]

sin

α

i

cos

α

i

l

i

[m]

A

i

[m

2

]

V

i

[m

3

]

1

1

0,85

60,00

0,8660

0,5000

2,00

2,00

1,70

2

0,5

2,00

49,00

0,7547

0,6561

0,76

0,76

1,52

3

0,5

2,55

43,00

0,6820

0,7314

0,68

0,68

1,74

4

1

3,15

34,00

0,5592

0,8290

1,21

1,21

3,80

5

1

3,40

24,00

0,4067

0,9135

1,09

1,09

3,72

6

1

3,10

15,00

0,2588

0,9659

1,04

1,04

3,21

7

1

2,60

6,50

0,1132

0,9936

1,01

1,01

2,62

8

1

1,95

2,00

0,0349

0,9994

1,00

1,00

1,95

9

1

1,20

11,00

0,1908

0,9816

1,02

1,02

1,22

10

0,8

0,40

18,50

0,3173

0,9483

0,84

0,84

0,34

Suma:

8,8

W

i

[kN]

S

i

[kN]

N

i

[kN]

T

i

[kN]

Mu

i

[kNm]

Mo

i

[kNm]

m

2

72,02

62,37

36,01

60,83

407,59

417,88

47,92

36,16

31,44

24,58

164,66

242,29

30,78

20,99

22,51

21,60

144,71

140,66

67,09

37,52

55,62

39,36

263,70

251,37

65,72

26,73

60,04

36,47

244,35

179,09

56,67

14,67

54,74

34,33

230,02

98,27

46,21

5,23

45,91

32,80

219,77

35,05

34,45

-1,20

34,43

31,73

212,58

-8,06

21,59

-4,12

21,19

31,21

209,11

-27,60

5,96

-1,89

5,65

24,91

166,89

-12,67

0,58

Suma

Suma

2263,36

1316,29

F – w 5

50

Przykład obliczenia współczynnika m

3

dla punktu obrotu O

3

tg

Ф

u

R3 [m]

h [m]

q [kN/m2]

c

u

[kPa]

Ф

u

[º]

ϱ

[kg·10

3

/m

3

]

g [m/s

2

]

0,0787017

7

3,9

42

29

4,5

1,8

9,81

numer bloku

b

i

[m]

h

ś

r,i

[m]

α

i

[º]

sin

α

i

cos

α

i

l

i

[m]

A

i

[m

2

]

V

i

[m

3

]

1

0,7

0,60

60,90

0,8738

0,4863

1,44

1,44

0,86

2

0,5

1,50

51,56

0,7833

0,6217

0,80

0,80

1,21

3

1

2,25

44,00

0,6947

0,7193

1,39

1,39

3,13

4

1

2,70

37,46

0,6082

0,7938

1,26

1,26

3,40

5

1

2,55

31,26

0,5189

0,8548

1,17

1,17

2,98

6

1

2,15

25,26

0,4267

0,9044

1,11

1,11

2,38

7

1

1,65

19,54

0,3345

0,9424

1,06

1,06

1,75

8

1

1,05

14,02

0,2423

0,9702

1,03

1,03

1,08

9

0,8

0,35

8,63

0,1501

0,9887

0,81

0,81

0,28

Suma:

8

W

i

[kN]

S

i

[kN]

N

i

[kN]

T

i

[kN]

Mu

i

[kNm]

Mo

i

[kNm]

m

3

44,65

39,01

21,71

43,45

304,15

273,09

21,30

16,69

13,24

24,37

170,56

116,80

55,23

38,37

39,73

43,44

304,09

268,57

60,06

36,53

47,68

40,29

282,00

255,71

52,68

27,33

45,03

37,47

262,28

191,34

41,98

17,91

37,96

35,05

245,38

125,39

30,92

10,34

29,14

33,07

231,46

72,38

19,11

-4,63

18,54

31,35

219,45

-32,41

5,00

-0,75

4,94

23,85

166,98

-5,25

0,58

Suma

Suma

2186,35

1265,63

F – w 5

51

Algorytm postępowania

1.

wyznaczyć linię najniebezpieczniejszych punktów obrotu,

2.

przyjąć pierwszy punkt obrotu (

pierwszy promień poślizgu

),

3.

określić płaszczyznę obojętną,

4.

dokonać podziału skarpy na bloki (

co 1m, ale i tak aby

linie podziału wypadały pod punktami charakterystycznymi

),

5.

wyznaczyć parametry geometryczne bloków,

6.

obliczyć siły,

7.

obliczyć momenty,

8.

obliczyć wartość współczynnika stateczności skarpy,

9.

powtarzać cykl obliczeń dla kolejnych punktów obrotu, aż

uzyska się mniejszą wartość współczynnika

bezpieczeństwa w otoczeniu 2 o większej wartości, lub

wyznaczyć ekstremum funkcji F (R) określając wartość

promienia poślizgu, przy którym F osiąga wartość

minimalną.