1

MATEMATYKA DYSKRETNA - LZZ

KOLOKWIUM 1 - 27.04.2007

RESZTA Z DZIELENIA NUMERU ZESTAWU PRZEZ 4 R ´

OWNA 1

1. ( 4 pkt) Na ile sposob´ow mo˙zna po lo˙zy´c w rz¸edzie 2 jednakowe sukienki, 3 jednakowe bluzki i 7

jednakowych sweterk´ow tak aby sukienki nie le˙za ly ko lo siebie?

2. (4 pkt) Na ile sposob´ow mo˙zna wybra´c 7 kanapek spo´sr´od kanapek 4 rodzaji: z sa lat¸a, z jajkiem,

z salmonella, z mas lem
a) w dowolny spos´ob,
b) tak, aby wybranym zbiorze by ly co najmniej 3 kanapki z jajkiem?
Zak ladamy, ˙ze kanapki jednego rodzaju s¸a jednakowe (nierozr´o˙znialne) oraz jest dost¸epnych co
najmniej 7 kanapek ka˙zdego rodzaju?

3. (4 pkt) Obliczy´c

P

1000

k=1

(−1)

k

· 2

1000−k

·



1000

k



.

4. ( 4 pkt) W wyniku spotkania towarzyskiego pomi¸edzy dwiema grupa kibic´ow pi lkarskich ka˙zdy z

40 uczestnicz¸acych w tym spotkaniu kibic´ow odni´os l uraz r¸eki lub nogi lub g lowy. 15 odnios lo uraz
r¸eki, 17 uraz nogi, 8 uraz g lowy i r¸eki, 11 uraz g lowy i nogi, 10 uraz r¸eki i nogi a 5 uraz i r¸eki i nogi
i g lowy. Ilu kibic´ow nie odnios lo urazu g lowy?

5. (4 pkt) Na ile sposob´ow mo˙zna umie´sci´c 5 r´o˙znych (rozr´o˙znialnych) kur w 3 pralkach je´sli w ka˙zdej

pralce mo˙ze si¸e znale´z´c dowolna liczba kur (w l¸acznie z zerem) oraz
a) pralki s¸a jednakowe (nierozr´o˙znialne),
b) pralki s¸a r´o˙zne (rozr´o˙znialne)?

ODPOWIEDZI

1)

12!

2!·3!·7!

−

11!

3!·7!

, 2) a)



10

7



= 120, b)



7
4



= 35, 3) 1 − 2

1000

, 4) 8, 5) a) S(5, 1) + S(5, 2) + S(5, 3) =

1 + 15 + 25 = 41, b) 3

5

= 243.

————————————————————————————————————————–

MATEMATYKA DYSKRETNA - LZZ

KOLOKWIUM 1 - 27.04.2007

RESZTA Z DZIELENIA NUMERU ZESTAWU PRZEZ 4 R ´

OWNA 2

1. (4 pkt) Na ile sposob´ow mo˙zna rozmie´sci´c 9 jednakowych krasnali w 3 szufladach przy czym w

ka˙zdej szufladzie mo˙ze by´c dowolna liczba krasnali (w l¸acznie z zerem) oraz
a) szuflady s¸a jednakowe,
b) szuflady s¸a r´o˙zne?

2. (4 pkt) Na ile sposob´ow mo˙zna ustawi´c w rz¸edzie 5 jednakowych Marsjan, 3 jednakowych Wenusjan

i 2 jednkowych Ziemian tak aby trzej Wenusjanie nie stali ko lo siebie?

3. (4 pkt) Obliczy´c

P

250

k=1

k ·



250

k



.

4. ( 4 pkt) Spo´sr´od 90 student´ow ka˙zdy planuje w czasie wakacji uczy´c si¸e Statystyki lub Matematyki

Dyskretnej lub pracowa´c. 64 zamierza uczy´c si¸e Statystyki. Spo´sr´od 46, kt´orzy planuj¸a uczy´c si¸e
Matematyki Dyskretnej, 33 planuje r´ownie˙z uczy´c si¸e Statystyki. Ilu student´ow zamierza w czasie
wakacji tylko pracowa´c ( to znaczy nie uczy´c si¸e ˙zadnego z wymienionych wy˙zej przedmiot´ow)?

5. (4 pkt) Na ile sposob´ow mo˙zna wybra´c z p´o lki sklepowej 25 butelek piwa bezalkoholowego spo´sr´od

trzech rodzaji A, B i C je´sli w wybranym zbiorze butelek powinno by´c
a) co najmniej 5 butelek piwa A,
b) dok ladnie 7 butelek piwa B?
Zak ladamy, ˙ze butelki z piwem jednego rodzaju s¸a nierozr´o˙znialne oraz na p´o lce sklepowej jest co
najmniej 25 butelek ka˙zdego rodzaju piwa.

ODPOWIEDZI

1) a) P (9, 1) + P (9, 2) + P (9, 3) = 1 + 4 + 7 = 12, b)



3+9−1

9



=



11

9



= 55, 2)

10!

5!·3!·2!

−

8!

5!·2!

, 3) 250 · 2

249

,

4) 13, 5) a)



3+20−1

20



=



22
20



= 231, b)



2+18−1

18



=



19
18



= 19.

2

MATEMATYKA DYSKRETNA - LZZ

KOLOKWIUM 1 - 27.04.2007

RESZTA Z DZIELENIA NUMERU ZESTAWU PRZEZ 4 R ´

OWNA 3

1. ( 4 pkt) W szafie s¸a 2 jednakowe sp´odniczki, 3 jednakowe sweterki i 6 jednakowych koszulek. Na

ile sposob´ow mo˙zna u lo˙zy´c w rz¸edzie rzeczy w szafie tak aby sp´odniczki nie leza ly obok siebie.

2. (4 pkt) Na ile sposob´ow mo˙zna ukry´c 8 jednakowych karton´ow papieros´ow (beznikotynowych) w

3 jednakowych ci¸e˙zar´owkach z w¸eglem je´sli
a) w ka˙zdej ci¸e˙zar´owce mo˙ze by´c dowolna liczba karton´ow (w l¸acznie z zerem), b) w ka˙zdej ci¸e˙zar´owce
musi by´c co najmniej jeden karton papieros´ow.

3. (4 pkt) Obliczy´c

P

200

k=1

(−1)

k

·



200

k



.

4. (4 pkt) Na ile sposob´ow degustator mo˙ze wybra´c 10 butelek z p lynem do spryskiwaczy spo´sr´od 3

gatunk´ow: wytrawnego, p´o ls lodkiego i s lodkiego tak aby w wybrabym zbiorze
a) by la co najmniej jedna butelka p lynu kadego rodzaju,
b) by lo co najmniej 6 butelek z p lynem wytrawnym?
Zak ladamy, ˙ze dost¸epnych jest co najmniej 10 butelek ka˙zdego gatunku oraz butelki z p lynem tego
samego gatunku s¸a jednakowe?

5. ( 4 pkt) Po nocy sp¸edzonej na ”nauce” Matematyki Dyskretnej przez grup¸e 35 student´ow 12 nie

ma apetytu, 17 cierpi na silny b´ol g lowy a 20 ma wzmo˙zone pragnienie. Spo´sr´od 7, kt´orzy nie maj¸a
apetytu ale maj¸a wzmo˙zone pragnienie 3 cierpi r´ownie˙z na silny b´ol g lowy. Ilu student´ow nie ma

˙zadnego z wymienionych powy˙zej objaw´ow je´sli 5 nie ma apetytu i cierpi na silny b´ol g lowy a 6 ma

wzmo˙zone pragnienie i cierpi na silny b´ol g lowy?

ODPOWIEDZI

1)

11!

2!·3!·6!

−

10!

3!·6!

, 2) a) P (8, 1) + P (8, 2) + P (8, 3) = 1 + 4 + 5 = 10, b) P (8, 3) = 5, 3) −1, 4) a)



3+7−1

7



=



9
7



= 36, b)



3+4−1

4



=



6
4



= 15, 5) 1.

————————————————————————————————————————–

MATEMATYKA DYSKRETNA - LZZ

KOLOKWIUM 1 - 27.04.2007

RESZTA Z DZIELENIA NUMERU ZESTAWU PRZEZ 4 R ´

OWNA 4

1. ( 4 pkt) W pewnej grupie student´ow by lo 20 os´ob, z kt´orych ka˙zda nie chodzi la na zaj¸ecia lub

wychodzi la cz¸esto w czasie zaj¸e´c lub nie zda la Matematyki Dyskretnej. Spo´sr´od 9 os´ob, kt´ore nie
chodzi ly na zaj¸ecia 2 nie zda ly. 11 os´ob wychodzi lo cz¸esto w czasie zaj¸e´c. Ile by lo takich os´ob, kt´ore
cz¸esto wychodzi ly w czasie zaj¸e´c i zda ly je´sli wszystkich os´ob, kt´ore nie zda ly by lo 13. Zak ladamy,

˙ze osoby, kt´ore nie chodzi ly na zaj¸ecia nie mog ly cze´sto wychodzi´c w czasie zaj¸e´c.

2. (4 pkt) Na ile sposob´ow mo˙zna rozdzieli´c 7 jednakowych kiji do gry w baseball w´sr´od 4 ch lopc´ow

je´sli ka˙zdy ch lopiec mo˙ze dosta´c dowoln¸a liczb¸e kiji (w l¸acznie z zerem) oraz
a) ch lopcy s¸a jednakowi (zamaskowani),
b) ch lopcy s¸a rozr´o˙znialni?

3. (4 pkt) Na ile sposob´ow mo˙zna wybra´c spo´sr´od dowolnie du˙zej grupy prawnik´ow, ekonomist´ow i

matematyk´ow 11 os´ob tak by w wybranej grupie byli
a) przedstawiciele ka˙zdego z tych zawod´ow
b) przedstawiciele co najmniej dw´och z tych zawod´ow?
Zak ladamy, ˙ze przedstawiciele jednego zawodu s¸a nierozr´o˙znialni.

4. (4 pkt) Obliczy´c

P

400

k=0

k · 2

k

·



400

k



.

5. ( 4 pkt) W szafie s¸a 4 jednakowe bluzki pomara´nczowe, 2 jednakowe r´o˙zowe i 3 jednakowe bia le.

Na ile sposob´ow mo˙zna po lo˙zy´c bluzki w rz¸edzie tak aby 2 r´o˙zowe bluzki nie le˙za ly ko lo siebie?

ODPOWIEDZI

1) 0, 2) a) P (7, 1) + P (7, 2) + P (7, 3) + P (7, 4) = 1 + 3 + 4 + 3 = 11, b)



4+7−1

7



=



10

7



= 120, 3) a)



3+8−1

8



=



10

8



= 45, b)



3+11−1

11



− 3 = 78 − 3 = 75, 4) 800 · 3

399

, 5)

9!

4!·2!·3!

−

8!

4!·3!