MATEMATYKA DYSKRETNA - LZZ
KOLOKWIUM 1 - 27.04.2007
RESZTA Z DZIELENIA NUMERU ZESTAWU PRZEZ 4 R ÓWNA 1
1. ( 4 pkt) Na ile sposobów można po lożyć w rz¸edzie 2 jednakowe sukienki, 3 jednakowe bluzki i 7
jednakowych sweterków tak aby sukienki nie leża ly ko lo siebie?
2. (4 pkt) Na ile sposobów można wybrać 7 kanapek spośród kanapek 4 rodzaji: z sa lat¸a, z jajkiem, z salmonella, z mas lem
a) w dowolny sposób,
b) tak, aby wybranym zbiorze by ly co najmniej 3 kanapki z jajkiem?
Zak ladamy, że kanapki jednego rodzaju s¸a jednakowe (nierozróżnialne) oraz jest dost¸epnych co najmniej 7 kanapek każdego rodzaju?
P
3. (4 pkt) Obliczyć
1000( − 1) k · 21000 −k · 1000 .
k=1
k
4. ( 4 pkt) W wyniku spotkania towarzyskiego pomi¸edzy dwiema grupa kibiców pi lkarskich każdy z 40 uczestnicz¸acych w tym spotkaniu kibiców odniós l uraz r¸eki lub nogi lub g lowy. 15 odnios lo uraz r¸eki, 17 uraz nogi, 8 uraz g lowy i r¸eki, 11 uraz g lowy i nogi, 10 uraz r¸eki i nogi a 5 uraz i r¸eki i nogi i g lowy. Ilu kibiców nie odnios lo urazu g lowy?
5. (4 pkt) Na ile sposobów można umieścić 5 różnych (rozróżnialnych) kur w 3 pralkach jeśli w każdej pralce może si¸e znaleźć dowolna liczba kur (w l¸acznie z zerem) oraz
a) pralki s¸a jednakowe (nierozróżnialne),
b) pralki s¸a różne (rozróżnialne)?
ODPOWIEDZI
1) 12! − 11! , 2) a) 10 = 120, b) 7 = 35, 3) 1 − 21000, 4) 8, 5) a) S(5 , 1) + S(5 , 2) + S(5 , 3) =
2! · 3! · 7!
3! · 7!
7
4
1 + 15 + 25 = 41, b) 35 = 243.
————————————————————————————————————————–
MATEMATYKA DYSKRETNA - LZZ
KOLOKWIUM 1 - 27.04.2007
RESZTA Z DZIELENIA NUMERU ZESTAWU PRZEZ 4 R ÓWNA 2
1. (4 pkt) Na ile sposobów można rozmieścić 9 jednakowych krasnali w 3 szufladach przy czym w każdej szufladzie może być dowolna liczba krasnali (w l¸acznie z zerem) oraz
a) szuflady s¸a jednakowe,
b) szuflady s¸a różne?
2. (4 pkt) Na ile sposobów można ustawić w rz¸edzie 5 jednakowych Marsjan, 3 jednakowych Wenusjan i 2 jednkowych Ziemian tak aby trzej Wenusjanie nie stali ko lo siebie?
P
3. (4 pkt) Obliczyć
250 k · 250 .
k=1
k
4. ( 4 pkt) Spośród 90 studentów każdy planuje w czasie wakacji uczyć si¸e Statystyki lub Matematyki Dyskretnej lub pracować. 64 zamierza uczyć si¸e Statystyki. Spośród 46, którzy planuj¸a uczyć si¸e Matematyki Dyskretnej, 33 planuje również uczyć si¸e Statystyki. Ilu studentów zamierza w czasie wakacji tylko pracować ( to znaczy nie uczyć si¸e żadnego z wymienionych wyżej przedmiotów)?
5. (4 pkt) Na ile sposobów można wybrać z pó lki sklepowej 25 butelek piwa bezalkoholowego spośród trzech rodzaji A, B i C jeśli w wybranym zbiorze butelek powinno być
a) co najmniej 5 butelek piwa A,
b) dok ladnie 7 butelek piwa B?
Zak ladamy, że butelki z piwem jednego rodzaju s¸a nierozróżnialne oraz na pó lce sklepowej jest co najmniej 25 butelek każdego rodzaju piwa.
ODPOWIEDZI
1) a) P (9 , 1) + P (9 , 2) + P (9 , 3) = 1 + 4 + 7 = 12, b) 3+9 − 1 = 11 = 55, 2) 10! − 8! , 3) 250 · 2249, 9
9
5! · 3! · 2!
5! · 2!
4) 13, 5) a) 3+20 − 1 = 22 = 231, b) 2+18 − 1 = 19 = 19.
20
20
18
18
MATEMATYKA DYSKRETNA - LZZ
KOLOKWIUM 1 - 27.04.2007
RESZTA Z DZIELENIA NUMERU ZESTAWU PRZEZ 4 R ÓWNA 3
1. ( 4 pkt) W szafie s¸a 2 jednakowe spódniczki, 3 jednakowe sweterki i 6 jednakowych koszulek. Na ile sposobów można u lożyć w rz¸edzie rzeczy w szafie tak aby spódniczki nie leza ly obok siebie.
2. (4 pkt) Na ile sposobów można ukryć 8 jednakowych kartonów papierosów (beznikotynowych) w 3 jednakowych ci¸eżarówkach z w¸eglem jeśli
a) w każdej ci¸eżarówce może być dowolna liczba kartonów (w l¸acznie z zerem), b) w każdej ci¸eżarówce musi być co najmniej jeden karton papierosów.
P
3. (4 pkt) Obliczyć
200 ( − 1) k · 200 .
k=1
k
4. (4 pkt) Na ile sposobów degustator może wybrać 10 butelek z p lynem do spryskiwaczy spośród 3
gatunków: wytrawnego, pó ls lodkiego i s lodkiego tak aby w wybrabym zbiorze
a) by la co najmniej jedna butelka p lynu kadego rodzaju,
b) by lo co najmniej 6 butelek z p lynem wytrawnym?
Zak ladamy, że dost¸epnych jest co najmniej 10 butelek każdego gatunku oraz butelki z p lynem tego samego gatunku s¸a jednakowe?
5. ( 4 pkt) Po nocy sp¸edzonej na ”nauce” Matematyki Dyskretnej przez grup¸e 35 studentów 12 nie ma apetytu, 17 cierpi na silny ból g lowy a 20 ma wzmożone pragnienie. Spośród 7, którzy nie maj¸a apetytu ale maj¸a wzmożone pragnienie 3 cierpi również na silny ból g lowy. Ilu studentów nie ma żadnego z wymienionych powyżej objawów jeśli 5 nie ma apetytu i cierpi na silny ból g lowy a 6 ma wzmożone pragnienie i cierpi na silny ból g lowy?
ODPOWIEDZI
1)
11!
− 10! , 2) a) P (8 , 1) + P (8 , 2) + P (8 , 3) = 1 + 4 + 5 = 10, b) P (8 , 3) = 5, 3) − 1, 4) a)
2! · 3! · 6!
3! ·
6!
3+7 − 1
= 9 = 36, b) 3+4 − 1 = 6 = 15, 5) 1.
7
7
4
4
————————————————————————————————————————–
MATEMATYKA DYSKRETNA - LZZ
KOLOKWIUM 1 - 27.04.2007
RESZTA Z DZIELENIA NUMERU ZESTAWU PRZEZ 4 R ÓWNA 4
1. ( 4 pkt) W pewnej grupie studentów by lo 20 osób, z których każda nie chodzi la na zaj¸ecia lub wychodzi la cz¸esto w czasie zaj¸eć lub nie zda la Matematyki Dyskretnej. Spośród 9 osób, które nie chodzi ly na zaj¸ecia 2 nie zda ly. 11 osób wychodzi lo cz¸esto w czasie zaj¸eć. Ile by lo takich osób, które cz¸esto wychodzi ly w czasie zaj¸eć i zda ly jeśli wszystkich osób, które nie zda ly by lo 13. Zak ladamy, że osoby, które nie chodzi ly na zaj¸ecia nie mog ly cześto wychodzić w czasie zaj¸eć.
2. (4 pkt) Na ile sposobów można rozdzielić 7 jednakowych kiji do gry w baseball wśród 4 ch lopców jeśli każdy ch lopiec może dostać dowoln¸a liczb¸e kiji (w l¸acznie z zerem) oraz
a) ch lopcy s¸a jednakowi (zamaskowani),
b) ch lopcy s¸a rozróżnialni?
3. (4 pkt) Na ile sposobów można wybrać spośród dowolnie dużej grupy prawników, ekonomistów i matematyków 11 osób tak by w wybranej grupie byli
a) przedstawiciele każdego z tych zawodów
b) przedstawiciele co najmniej dwóch z tych zawodów?
Zak ladamy, że przedstawiciele jednego zawodu s¸a nierozróżnialni.
P
4. (4 pkt) Obliczyć
400 k · 2 k · 400 .
k=0
k
5. ( 4 pkt) W szafie s¸a 4 jednakowe bluzki pomarańczowe, 2 jednakowe różowe i 3 jednakowe bia le.
Na ile sposobów można po lożyć bluzki w rz¸edzie tak aby 2 różowe bluzki nie leża ly ko lo siebie?
ODPOWIEDZI
1) 0, 2) a) P (7 , 1) + P (7 , 2) + P (7 , 3) + P (7 , 4) = 1 + 3 + 4 + 3 = 11, b) 4+7 − 1 = 10 = 120, 3) a) 7
7
3+8 − 1
= 10 = 45, b) 3+11 − 1 − 3 = 78 − 3 = 75, 4) 800 · 3399, 5) 9!
− 8!
8
8
11
4! · 2! · 3!
4! · 3!