Problem wyboru portfela papierów warto ciowych

Za o enia o racjonalnym wyborze: teoria u yteczno ci

1. Jednostka ma preferencje i mo e je wyrazi".

Maj$c dwie mo liwo ci: Q1, Q2 jednostki
albo

preferuje

Q1 nad Q2

albo preferuje Q2 nad Q1
albo dwie mo liwo ci s$ jej oboj%tne

2. Preferencje s$ przechodnie

Je eli Q1 jest preferowane nad Q2 a Q2 nad Q3, to Q1 jest preferowane nad Q3.
(To samo dotyczy oboj%tno ci)

3. Zasada substytucji

Je eli mo liwo ci Q1, Q2 s$ jednostce oboj%tne, to dla dowolnej mo liwo ci Q3
oboj%tne s$ jednostce dwie gry losowe:

(a)

Q1 z prawdop. p oraz Q3 z prawdop. (1 - p)

(b) Q2 z prawdop. p oraz Q3 z prawdop. (1 - p)

(Preferencje nie zmieniaj$ si% pod wp ywem ryzyka)

4. Istnieje "pewno ciowy" odpowiednik ka dej gry

Niech mo liwo " Q1 b%dzie preferowana nad mo liwo " Q2, a Q2 nad Q3.
Istnieje takie prawdop. p, e jednostce jest oboj%tne czy otrzyma Q2 na pewno
czy Q1 z prawdop. p oraz Q3 z prawdop. (1 - p).
(Trudno " w konstrukcji gry powstaje, gdy Q3 oznacza bardzo z y wynik:
bankructwo, mier" itp.)

Twierdzenie o istnieniu funkcji u yteczno ci

Przy za o eniach 1-4 (i pewnych "technicznych") istnieje indeks wyra aj$cy

preferencje jednostki okre lany jako funkcja u yteczno ci.

(Von Neumanna, Morgensterna funkcja u yteczno ci)

Kwadratowa funkcja u yteczno ci:

2

,

0

,

;

)

(

2

<

>

+

+

=

Q

Q

Q

Q

U

2

))

(

(

)

(

p

p

p

p

R

E

R

c

bR

a

R

U

+

=

Funkcja (kwadratowa) oboj%tno ci

)

(

)

(

))

(

(

2

2

1

p

p

p

R

R

E

const

R

U

E

+

=

=

Zadanie Markowitza konstrukcji portfela optymalnego:

max

R

E

R

D

p

p

+

)

(

)

(

5

.

0

2

=

=

=

n

i

n

j

j

i

j

i

p

R

R

X

X

R

D

1

1

2

)

,

cov(

)

(

=

=

n

i

i

i

p

R

E

X

R

E

1

)

(

)

(

1

1

=

=

n

i

i

X

;

0

i

X

(i = 1,2,...,n)

W praktyce trudno ustali" warto " parametru . Standardowo przyjmuje si%, e

= 3

Inne zadania wyboru portfela papierów warto ciowych

Dominacja stochastyczna

Portfel papierów warto ciowych X dominuje stochastycznie nad portfelem Y,

je eli z punktu widzenia inwestora jest on w pewnym sensie lepszy od portfela

Y w ka dym stanie natury (sytuacji gospodarczej, sytuacji na rynku

kapita owym itp.)

Dominacja pierwszego rz%du (dominacja w sensie mocnym):

Niech F

X

(r ), F

Y

(r ) oznaczaj$ dystrybuanty stóp zwrotu z portfeli X, Y. Portfel

X dominuje stochastycznie nad portfelem Y, je eli:

F

X

(r ) ? F

Y

(r ) dla wszystkich r

F

X

(r ) @ F

Y

(r ) dla przynajmniej jednego r

Dominacja drugiego rz%du (dominacja w sensie rednim):

Portfel X dominuje nad portfelem Y, je eli:

[ ( )

( )]

0

r

Y

X

F r

F r dr

dla wszystkich r

F

X

(r ) @ F

Y

(r ) dla przynajmniej jednego r

Dominacja stochastyczna

PrawdopodobieCstwo

Dystrybuanta stóp

zwrotu

Stopy zwrotu

[%] X

Y

Z

F

X

( R) F

Y

( R) F

Z

( R)

8

0,1 0,0 0,1 0,1 0,0 0,1

9

0,1 0,1 0,2 0,2 0,1 0,3

10 0,2

0,2

0,2

0,4

0,3

0,5

11 0,2

0,4

0,2

0,6

0,7

0,7

12 0,2

0,2

0,2

0,8

0,9

0,9

13 0,1

0,1

0,1

0,9

1,0

1,0

14 0,1

0,0

0,0

1,0

1,0

1,0

E(R

i

)

11 11 10,5

D

2

(R

i

)

3

1,2 2,25

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

7

8

9

10

11

12

13

14

Stopa zwrotu

D

ys

tr

yb

u

an

ta

X
Y
Z

Dominacja stochastyczna 1 rz%du: portfel X dominuje nad portfelem Z

Dominacja stochastyczna 2 rz%du: portfel Y dominuje nad portfelem X

Uwzgl%dnienie bezpieczeCstwa portfela

Kryterium Roya

min

min

min

(

)

min

(

)

max

( )

( )

(

)

p

p

p

p

p

P R

r

E R

r

k

D R

E R

r

kD R

<

=

=

+

Przyk ad:

Portfel

Charakterystyka

1

2

3

Oczekiwana stopa zwrotu

6

8

10

Odchylenie standardowe

3

4

6

Przy poziomie minimalnym 2% i 5% wybra" portfel optymalny w sensie

kryterium Roya.

Kryterium Roya w wietle nierówno ci Czebyszewa (dla nieznanego rozk adu)

2

min

2

(

)

1

(

)

1

(

)

p

p

p

p

R

E R

P

k

D R

k

P R

r

k

>

<

Kryterium Kataoki

min

min

max

(

)

p

r

P R

r

<

Minimalna stopa zwrotu nie jest dana, ale wyznaczana w ten sposób, aby

prawdopodobieCstwo uzyskania zwrotu z portfela ni szego od tej stopy nie

przekracza o z góry przyj%tego poziomu .

Je eli stopa zwrotu ma rozk ad normalny, to kryterium Kataoki dla O = 0.05

przyjmuje posta":

max

)

(

64

.

1

)

(

min

=

p

p

R

D

R

E

r

Przyk#ad: Dla danych z poprzedniego przyk adu wyznaczy" – przy poziomie

ryzyka O = 0.05 – portfel optymalny w sensie kryterium Kataoki.

Kryterium Kataoki w wietle nierówno ci Czebyszewa

2

1

(

(

)

(

))

p

p

p

P R

E R

kD R

k

>

Kryterium Teslera

min

min

(

)

max

(

)

(

)

( ) (

)

p

p

p

p

E R
P R

r

E R

r

k

D R

<

+

Zbiór portfeli dopuszczalnych w sensie kryterium Teslera mo e by" zbiorem

pustym.

Przyk ad: Dla wcze niejszych danych i przy poziomie ryzyka O = 0.05 oraz

minimalnej stopie zwrotu

r

min

= 1% wyznaczy" najpierw portfele dopuszczalne,

a nast%pnie portfel optymalny w sensie kryterium Teslera.

Strategie inwestycyjne (zarz$dzania portfelem)

•

Pasywna – „by" jak rynek” przy jednoczesnym minimalizowaniu kosztów

transakcyjnych i ilo ci po wi%conego czasu:

Fundusze indeksowe

Kup i trzymaj (buy and hold)

•

Aktywna – „by" lepszym ni rynek”

Strategia opiera si% na doborze akcji (z uwzgl%dnieniem analizy technicznej i

fundamentalnej), sektora i czasu inwestycji;

Decyzje podejmowane s$ na podstawie oczekiwaC co do warto ci pewnych

parametrów w przysz o ci.

Ocena jako ci portfela papierów warto ciowych

Miernik Sharpe’a

(premia za ryzyko przypadaj$ca na jednostk% ryzyka portfela)

t

f

t

t

r

r

S

/

)

(

=

Miernik Treynora

(premia za ryzyko przypadaj$ca na jednostk% ryzyka systematycznego portfela)

t

f

t

t

r

r

T

/

)

(

=

Miernik Jensena

Ocena na podstawie oszacowania wyrazu wolnego równania

i

M

i

i

r

J

r

+

+

=

*

(Ocena ta mierzy zdolno " zarz$dzaj$cego portfelem do przewidywania
przychodu z walorów)

dla przypomnienia linia charakterystyczna:

i

M

i

i

i

r

r

+

+

=

*